Vorlesung Di - Fachbereich Mathematik und Statistik
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Fachbereich Mathematik und Statistik µ ϑ WS 2005/06 γ Wieso-weshalb-warum ∇ ⇔ Einführungskurs Mathematik ε Mathematik ∞ Warum Mathematik? Zur Beschreibung von β Michael Junk Gesetzmäßigkeiten Mustern regelmäßigen Strukturen Universität Konstanz Φ mit dem Ziel, unsere Umwelt besser zu verstehen. Σ δ Ψ ξ ⊆ ∀ Ω Mathematik Arbeitsweise Besonderheit der Mathematik … Mathematik Vorgehensweise Arbeitsziel in der Mathematik … … sinnvoll motivierte Aussagen zu beweisen präzise Sprache (basierend auf Mengenlehre) spezielle Symbolik (hohe Informationsdichte) Eine Aussage beschreibt einen Sachverhalt, der entweder wahr oder falsch ist. präzise Argumentation (Logik) deduktiver Aufbau der Theorie (axiomatische Methode) Ableitung einer wahren Aussage aus anderen wahren Aussagen nach bestimmten logischen Schlussregeln Abstraktion (Konzentration auf das Wesentliche) Logik µ ϑ Φ γ ⇔ ∇ ∞ Logik ε Σ δ Ψ ⊆ β ξ Eine Aussage beschreibt einen Sachverhalt, der entweder wahr oder falsch ist. … ist eine Aussage in einem Kontext, wo Peter eindeutig eine Person beschreibt ∀ Ω Aussagen Peter hat rote Haare. … ist keine Aussage in einer Gruppe, wo zwei Peter verschiedene Haarfarben haben Bem: Sie müssen dazu nicht wissen, ob Peter rote Haare hat oder nicht 1 Logik Aussagen Herzlichen Glückwunsch! Logik 1=2 … ist keine Aussage, da kein Wahrheitswert zugeordnet werden kann. Logik Aussagen Jede gerade Zahl, die größer ist als 2, ist Summe zweier Primzahlen … ist eine Aussage mit Wahrheitswert falsch. Logik Aussagen Diese Aussage ist falsch. Das ist die Godbachsche Vermutung. … ist keine Aussage, da kein Wahrheitswert zugeordnet werden kann: wäre die Aussage wahr, dann wäre sie falsch und wäre die Aussage falsch dann wäre sie wahr. Ihr Wahrheitswert ist unbekannt … dennoch nimmt man an, dass sie entweder wahr oder falsch und damit eine Aussage ist. Logik Aussagen Aussagen p ist eine Primzahl. … ist keine Aussage, da kein Wahrheitswert zugeordnet werden kann. Aber: wenn wir den Platzhalter p durch eine Zahl ersetzen, entsteht eine Aussage. Logik Beispiel einer Schlussregel Logische Argumentation eines Technikers: Bei diesem Fehler liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer oder ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor. Die Taktstörung ist es diesmal nicht. Also haben wir einen Kriechstrom in der Sensorik. korrekte Schlussweise? Wir nennen A(p)=„p ist eine Primzahl.” eine Aussageform. Inhalt verstanden? 2 Logik Beispiel einer Schlussregel Logik Beispiel einer Schlussregel Beispiel: Beispiel: Ich gehe Donnerstags in die Mathematik- oder in die Biologievorlesung. Wenn p eine Primzahl oder eine gerade Zahl ist An diesem Donnerstag fällt Mathe aus. und p ist ungeade, dann ist p eine Primzahl. Also gehe ich in die Biovorlesung. gleicher logischer Schluss? Zusammenhang mit vorherigem Beispiel? wieso? Wahrheitswerte bekannt? Logik Beispiel einer Schlussregel Analyse einer Schlussregel Bei diesem Fehler liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer oder ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor. Eine logisch korrekte Argumentation drückt unsere gemeinsame Welterfahrung aus ist unabhängig vom Inhalt der Aussagen ist unabhängig vom Wahrheitswert der Aussagen hängt von der Verknüpfung der Aussagen ab Logik Logik Analyse einer Schlussregel A = Es liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer vor. B = Es liegt ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor. Die Taktstörung ist es diesmal nicht. Also haben wir einen Kriechstrom in der Sensorik. Elementare Aussagen: A = Es liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer vor. B = Es liegt ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor. Logik oder-Verknüpfung Angenommen A, B sind Aussagen. Ist dann C = A ∨ B wieder eine Aussage? Die zusammengesetzte Aussage Bei diesem Fehler liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer oder ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor. entspricht der oder –Verknüpfung: C = A oder B Symbol: C = A ∨ B Junktor Beispiel: A = Ich fahre heute. B = Ich fahre morgen. A∨ B A B f f f f w w w f w w w w Bem.: oder bedeutet nicht entweder-oder 3 Logik Analyse einer Schlussregel Logik Analyse einer Schlussregel entspricht sinngemäß der Verneinung von: Bei diesem Fehler liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer oder ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor. A = Es liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer vor. Die Taktstörung ist es diesmal nicht. Die Aussage: Die Taktstörung ist es diesmal nicht. also: D = nicht A statt f auch 0 Symbol: A ¬A 0 1 1 0 entspricht sinngemäß E = C und D D = ¬A Bei diesem Fehler liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer oder ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor und die Taktstörung ist es diesmal nicht. statt w auch 1 Symbol: E = C ∧ D Logik und-Verknüpfung Merkregel: And Die und-Verknüpfung: Beispiel: A = Ich habe Hunger. B = Ich habe Durst. A B A∧ B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Logik Analyse einer Schlussregel Gesamtaussage: Bei diesem Fehler liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer oder ein Kriechstrom in der E =ˆ Phylasensorik vor. Die Taktstörung ist es diesmal nicht. Also haben wir einen Kriechstrom in der Sensorik. =ˆ B entspricht: aus E folgt B Symbol: G = ( E Logik Implikation bzw. E impliziert B B) Logik Implikation Wann ist die impliziert-Verknüpfung wahr oder falsch: Konklusion Prämisse (0 = 0) 2 ist irrational (0 = 0) exp(0) = 0 (0 = 1) ( 0 = 0) (0 = 1) ( 0 = 2) Also gilt z.B.: (1 = 0) Ex falso quod libet A B A B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Achtung: A B bedeutet (in der Aussagenlogik) nicht, „man kann mit A beweisen, dass B stimmt“ A B ist einfach eine verknüpfte Aussage, deren Wahrheitswert durch den von A bzw. B gegeben ist. Bem.: intuitive Begründung der Tabelle siehe Skript GoldbachscheVermutung 4
