Kinematik des starren Körpers

Technische Mechanik II
Kinematik des starren Körpers
Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc.
Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau
Hochschule Bochum
WS 2009/2010
Kinematik des starren Körpers
Übersicht
1. Kinematik des Massenpunktes
2. Kinematik des starren Körpers
◦ Beschreibung von Starrkörperbewegungen
◦ Ebene Bewegung
- Momentanpol
- Gangpolbahn und Rastpolbahn
◦ Räumliche Bewegung
3. Kinetik des Massenpunktes
4. Kinetik des starren Körpers
5. Stossprobleme
Prof. Dr. U. Zwiers
BTM2
2/23
Kinematik des starren Körpers
Beschreibung von Starrkörperbewegungen 1/6
Grundlegende Begriffe
Starrer Körper
Idealisierung eines realen Körpers, nach der die elastische
Verformung des Körpers nicht berücksichtigt wird
Starrkörperbewegung
Allgemeine Bewegung eines starren Körpers, die sich stets als
Überlagerung einer translatorischen und einer rotatorischen
Bewegung darstellen lässt
Prof. Dr. U. Zwiers
BTM2
3/23
Kinematik des starren Körpers
Beschreibung von Starrkörperbewegungen 2/6
Grundlegende Begriffe (Forts.)
Translation
Alle Punkte eines Körpers erfahren die gleiche Verschiebung
Rotation
Alle Punkte eines Körpers bewegen sich mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit entlang von Kreisbahnen um eine gemeinsame
Achse
Prof. Dr. U. Zwiers
BTM2
4/23
Kinematik des starren Körpers
Beschreibung von Starrkörperbewegungen 3/6
Grundlegende Begriffe (Forts.)
Freiheitsgrad
Bewegungsmöglichkeit eines Körpers (bzw. eines Systems), die
unabhängig von anderen Bewegungen ausgeführt und durch eine
unabhängige Koordinate beschrieben werden kann
freie Objekte
Freiheitsgrade
Massenpunkt
in der Ebene
im Raum
2
3
Starrer Körper
in der Ebene
im Raum
3
6
Prof. Dr. U. Zwiers
BTM2
5/23
Kinematik des starren Körpers
Beschreibung von Starrkörperbewegungen 4/6
z
Drehung um eine feste Achse
Geschwindigkeit von Punkt P
−→
v = ω × r , r = OP
~ω
~v
O
Allgemeine Darstellung
−→
v = ω × QP
~r
P
x
α
y
Q
Bei Drehung um eine feste Achse erfährt jeder Punkt eines starren
Körpers die gleiche Winkelgeschwindigkeit.
Prof. Dr. U. Zwiers
BTM2
6/23
Kinematik des starren Körpers
Beschreibung von Starrkörperbewegungen 5/6
Allgemeine Bewegung
~vB
Ortsvektor zu Punkt B
r B = r A + sAB
B
~vA
~sAB
~rB
Geschwindigkeitsvektor
ṙ B = ṙ A + ṡAB
⇓
v B = v A + ṡAB
?
ṡAB = ω × sAB
z
x
⇒
Beschleunigungsvektor
Prof. Dr. U. Zwiers
~ω
A
~rA
y
v B = v A + ω × sAB
aB = aA + ω̇ × sAB + ω × (ω × sAB )
BTM2
7/23
Kinematik des starren Körpers
Beschreibung von Starrkörperbewegungen 6/6
Allgemeine Bewegung (Forts.)
Momentanpol
Zeitlich veränderlicher Drehpunkt, dessen augenblickliche
Geschwindigkeit Null ist
allg.: v B = v A + ω × sAB
ω
~
b
~vB
hier: v A = v M = 0
B
~vB′
b
z
x
y
M
Prof. Dr. U. Zwiers
v B = ω × sMB
′
B
Mit Hilfe des Momentanpols ist es
möglich, jede beliebige Starrkörperbewegung als reine Rotation
um diesen Punkt aufzufassen.
BTM2
8/23
Kinematik des starren Körpers
Ebene Bewegung 1/7
Grafische Bewegungsanalyse
~vB
ω
~
~ω
~vB
M
b
b
B
Translation
+
0 = v B + ω × sBM
Prof. Dr. U. Zwiers
b
B
B
Rotation um B
=
Rotation um M
Lage des Momentanpols
ω × vB
sBM =
ω2
BTM2
9/23
Kinematik des starren Körpers
Ebene Bewegung 2/7
Grafische Bewegungsanalyse (Forts.)
Darstellung im . . .
. . . raumfesten Koordinatensystem
~vB
r OM = ([r OK +sKM ]·ex )ex +([r OK +sKM ]·ey )ey
B
⇒ Rastpolbahn
~eξ
~eη
M
~sKM
~vA
K
. . . körperfesten Koordinatensystem
A
sKM = (sKM · eξ )eξ + (sKM · eη )eη ~ey
~rOM
⇒ Gangpolbahn
O
Prof. Dr. U. Zwiers
BTM2
~ex
10/23
Kinematik des starren Körpers
Ebene Bewegung 3/7
Grafische Bewegungsanalyse (Forts.)
Rastpolbahn
Bahn des Momentanpols von einem Beobachter gesehen, der sich
an einem raumfesten Punkt befindet (globale Darstellung)
Gangpolbahn
Bahn des Momentanpols von einem Beobachter gesehen, der sich
mit dem Starrkörper bewegt (lokale Darstellung)
Bei einer ebenen Bewegung rollt die Gangpolbahn auf der
Rastpolbahn ab!
Prof. Dr. U. Zwiers
BTM2
11/23
Kinematik des starren Körpers
Ebene Bewegung 4/7
Grafische Bewegungsanalyse (Forts.)
Beispiel: Abrutschende Leiter
M(t0 )
Rastpolbahn
Gangpolbahn
A
M(t1 )
~vA
~vS
~vB
B
Prof. Dr. U. Zwiers
BTM2
12/23
Kinematik des starren Körpers
Ebene Bewegung 5/7
Grafische Bewegungsanalyse (Forts.)
Beispiel: Rollendes Rad
Gangpolbahn
~vS
Prof. Dr. U. Zwiers
~vS
ω
ω
M(t0 )
M(t1 )
BTM2
Rastpolbahn
13/23
Kinematik des starren Körpers
Ebene Bewegung 6/7
Drehung des Koordinatensystems
xP
cos ϕ − sin ϕ ξP
=
yP
sin ϕ
cos ϕ ηP
{z
} |{z}
|{z}
|
rP =
R
r ′P η
y
Aktive Drehung: r P = R r ′P
yP
ξ
Passive Drehung: r ′P = R−1 r P
Eigenschaften der Rotationsmatrix
◦ det(R) = 1
◦ RT R = RRT = I
◦ R−1 = RT
Prof. Dr. U. Zwiers
P
ηP
~rP
ξP
ϕ
xP
BTM2
x
14/23
Kinematik des starren Körpers
Ebene Bewegung 7/7
Verwendung der Rotationsmatrix
Ortsvektor
r P = r 0 + s0P = r 0 + R s′0P
s0P Darstellung im raumfesten x, y-KOS
s′0P Darstellung im körperfesten ξ, η-KOS
P
Geschwindigkeitsvektor
v P = v 0 +ω ×s0P = v 0 + Ṙ s′0P
η
Zeitableitung der Rotationsmatrix
dR
dR
= ϕ̇
Ṙ =
dt
dϕ
y
~s0P
ϕ
~rP
(ṡ′0P = 0)
ω
ξ
0
~r0
x
Zusammenhang zwischen Ṙ und ω
ṘRT s0P = ω × s0P
Prof. Dr. U. Zwiers
BTM2
15/23
Kinematik des starren Körpers
Räumliche Bewegung 1/8
Beschreibung der Position und Orientierung von starren Körpern
Die Konfiguration eines starren Körpers im Raum ist durch sechs
Koordinaten eindeutig definiert:
◦ drei Translationskoordinaten, z. B. x, y, z → Ortsvektor r 0
◦ drei Rotationskoordinaten, z. B. ψ, θ, φ
→ Rotationsmatrix R
P
Position eines Körperpunktes
r P = r 0 + s0P = r 0 +
y3 ~s0P
R s′0P
x3
~rP
Eine beliebige Orientierung kann
durch drei aufeinander folgende
Drehungen beschrieben werden
0
z0
~r0
z3
y0
x0
Prof. Dr. U. Zwiers
~ω
BTM2
16/23
Kinematik des starren Körpers
Räumliche Bewegung 2/8
Beschreibung von Drehbewegungen
Drehungen um endliche Winkel sind nicht kommutativ!
z
z
z
90◦
y
x
y
90◦
x
z
y
x
z
z
90◦
y
x
y
x
Prof. Dr. U. Zwiers
90◦
y
x
BTM2
17/23
Kinematik des starren Körpers
Räumliche Bewegung 3/8
Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.)
Parametrierung mit Euler-Winkeln
z0
1. Drehung um z0
0

cos ψ
R1 =  sin ψ
0
− sin ψ
cos ψ
0
2. Drehung um x1

1
0
1
R2 =  0 cos θ
0 sin θ

0
0 
1
Prof. Dr. U. Zwiers
y3

0
− sin θ 
cos θ
3. Drehung um z2


cos φ − sin φ 0
2
cos φ 0 
R3 =  sin φ
0
0
1
z1 = z0
z3 = z2
y2
φ
θ
θ
ψ φ
ψ
x3
y1
y0
x2 = x1
x0
BTM2
18/23
Kinematik des starren Körpers
Räumliche Bewegung 4/8
Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.)
Parametrierung mit Euler-Winkeln (Forts.)
s0 = 0 R 3 s3
s0 Darstellung im x0 , y0 , z0 -KOS
s3 Darstellung im x3 , y3 , z3 - KOS
Konstruktion der Rotationsmatrix 0 R3
0
R3 = 0 R1 1 R2 2 R3




cos φ − sin φ 0
1 0
0
cos ψ − sin ψ 0
cos φ 0 
cos ψ 0  0 cos θ − sin θ  sin φ
= sin ψ
0
0
1
0 sin θ
cos θ
0
0
1

cos ψ cos φ − sin ψ cos θ sin φ
= sin ψ cos φ + cos ψ cos θ sin φ
sin θ sin φ
Prof. Dr. U. Zwiers
− cos ψ sin φ − sin ψ cos θ cos φ
− sin ψ sin φ + cos ψ cos θ cos φ
sin θ cos φ
BTM2

sin ψ sin θ
− cos ψ sin θ 
cos θ
19/23
Kinematik des starren Körpers
Räumliche Bewegung 5/8
Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.)
Parametrierung mit Euler-Winkeln (Forts.)
Singuläre Stellung:
R|θ=0
θ = nπ , n = 0, ±1, ±2, . . .

cos ψ cos φ − sin ψ sin φ − cos ψ sin φ − sin ψ cos φ 0
= sin ψ cos φ + cos ψ sin φ − sin ψ sin φ + cos ψ cos φ 0 
0
0
1


cos(ψ + φ) − sin(ψ + φ) 0
= sin(ψ + φ) − cos(ψ + φ) 0 
0
0
1

→ keine Unterscheidung der Winkel ψ und φ möglich!
Prof. Dr. U. Zwiers
BTM2
20/23
Kinematik des starren Körpers
Räumliche Bewegung 6/8
Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.)
Parametrierung mit Kardan-Winkeln
1. Drehung um z0
0

cos θ
R1 =  sin θ
0
− sin θ
cos θ
0
2. Drehung um y1

cos ψ 0
1
0
1
R2 = 
− sin ψ 0
3. Drehung um x2

1
0
2
R3 =  0 cos φ
0 sin φ
Prof. Dr. U. Zwiers

0
0 
1
z1 = z0
z2
z3

sin ψ
0 
cos ψ
φψ
θ
x0

0
− sin φ 
cos φ
z0
ψ
x1
φ
θ
y3
y2 = y1
y0
x3 = x2
BTM2
21/23
Kinematik des starren Körpers
Räumliche Bewegung 7/8
Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.)
Parametrierung mit Kardan-Winkeln (Forts.)
s0 = 0 R 3 s3
s0 Darstellung im x0 , y0 , z0 -KOS
s3 Darstellung im x3 , y3 , z3 - KOS
Konstruktion der Rotationsmatrix 0 R3
0
R3 = 0 R1 1 R2 2 R3



1
cos ψ 0 − sin ψ
cos θ − sin θ 0
 0
0
cos θ 0  0 1
= sin θ
0
sin ψ 0
cos ψ
0
0 1

cos ψ cos θ
= cos ψ sin θ
− sin ψ
Prof. Dr. U. Zwiers
sin φ sin ψ cos θ − cos φ sin θ
sin φ sin ψ sin θ + cos φ cos θ
sin φ cos ψ
BTM2

0
0
cos φ − sin φ 
sin φ
cos φ

cos φ sin ψ cos θ + sin φ sin θ
cos φ sin ψ sin θ − sin φ cos θ 
cos φ cos ψ
22/23
Kinematik des starren Körpers
Räumliche Bewegung 8/8
Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.)
Parametrierung mit Kardan-Winkeln (Forts.)
Singuläre Stellung:
R|ψ= π
2
ψ=
π
+ nπ , n = 0, ±1, ±2, . . .
2

0 sin φ cos θ − cos φ sin θ cos φ cos θ + sin φ sin θ
= 0 sin φ sin θ + cos φ cos θ cos φ sin θ − sin φ cos θ 
−1
0
0


0 − sin(θ − φ) cos(θ − φ)

0
cos(θ − φ) sin(θ − φ) 
=
−1
0
0

→ keine Unterscheidung der Winkel θ und φ möglich!
Prof. Dr. U. Zwiers
BTM2
23/23