17 Der starre Körper

(c)
(d)
17 Der starre Körper
z
Unter einem starren Körper verstehen wir ein ausgedehntes Objekt, das sich frei im Raum bewegen und drehen kann, seine Form dabei aber nicht verändert. Etwas genauer formuliert, die
Verteilung der Masse im Innern des Körpers soll sich zeitlich nicht verändern. Von der Mechanik
der Punktteilchen ausgehend, können wir uns vorstellen, dass es sich dabei um ein System von
vielen Teilchen handelt, deren Abstände zueinander durch Zwangskräfte festgehalten werden.
Als einfachstes Beispiel für einen solchen idealisierten starren Körper kennen wir bereits die
Hantel aus Abbildung 5.3. Wir können uns also vorstellen, dass die einzelnen Teilchen durch ‘virtuelle Stangen’ zusammengehalten werden, die den Abstand von jeweils zwei Teilchen fixieren.
Die einzigen verbleibenden Bewegungen sind dann eine Verschiebung des ganzen Körpers im
Raum, oder die Drehung des Körpers um eine Achse.
Das Ziel dieses Kapitels ist es, die Bewegungsgleichungen für einen starren Körper aufzustellen und seine wichtigsten mechanischen Eigenschaften zu verstehen.
z
˙1
3
z
˙3
1
y
y
˙2
2
y
x
x
x
(a)
(b)
Abbildung 17.1: Die Lage eines starren Körpers im Raum wird durch die Angabe einer Orthonormalbasis a definiert, die fest mit dem Körper verbunden ist (a). Rotiert der Körper, so ist
deren Zeitableitung ˙ a durch das Kreuzprodukt mit der Winkelgeschwindigkeit gegeben (b).
Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit
Um den Ort festzulegen, an dem sich ein starrer Körpers im Raum befindet, denken wir uns
einen speziell ausgewählten Punkt in dem Körper als Bezugspunkt markiert. Wie wir gleich sehen
werden, vereinfachen sich die meisten Gleichungen erheblich, wenn wir den Schwerpunkt als
Bezugspunkt verwenden. Wir legen uns aber an dieser Stelle noch nicht fest. Den Ort, an dem
sich der Bezugspunkt zur Zeit t im Raum befindet, bezeichnen wir mit r(t).
Zusätzlich müssen wir noch die genaue Lage des Körpers im Raum festlegen. Dazu denken wir
uns zusätzlich zum Bezugspunkt noch drei orthogonale Einheitsvektoren an den Körper angeheftet. Wie in Abbildung 17.1(a) gezeigt, bezeichnen wir diese Vektoren mit n a , wobei der Index a
die Werte {1, 2, 3} annimmt. Sie sollen eine positiv orientierte Orthonormalbasis bilden. Es gilt
also
na · nb = δab ,
na × nb = εabc nc .
(17.1)
Für die Vektorindizes a, b, c, . . . gelten die üblichen Regeln. Über doppelt vorkommende Indizes
ist jeweils zu summieren, mit δab wird das Kronecker-Symbol bezeichnet, und mit εabc das LeviCivita-Symbol, dessen Vorzeichen durch ε123 = 1 festgelegt ist.
Wenn sich der Körper bewegt, so sind im allgemeinen auch die Vektoren n a Funktionen der
Zeit. Umgekehrt bestimmen diese Vektoren die Lage des Körpers eindeutig, so dass wir aus den
Funktionen na (t) die Rotationsbewegung des Körpers ablesen können. Daraus ergibt sich die
folgende Beschreibung der Bewegung eines starren Körpers im Raum:
Die Bahn eines starren Körpers wird durch die Angabe des Ortes r(t) des körperfesten Bezugspunktes sowie der körperfesten Basis na (t) zu jedem Zeitpunkt beschrieben.
Damit haben wir ein Beschreibung des Konfigurationsraumes eines starren Körpers angegeben. Um die Bewegungsgleichungen aufzustellen, müssen wir die zeitlichen Änderungen dieser
Größen betrachten. Unter der Geschwindigkeit v(t) des Körpers verstehen wir einfach die Zeitableitung von r(t), also die Geschwindigkeit des Bezugspunktes,
v(t) = ṙ(t).
(17.2)
Um die Ableitung der Basis na nach der Zeit zu berechnen, müssen wir beachten, dass es sich
zu jeden Zeitpunkt um eine Orthonormalbasis handelt. Die Gleichung (17.1) gilt zu jeder Zeit t.
Folglich gilt für die Ableitungen der Basisvektoren na nach der Zeit
na · ṅb + ṅa · nb = 0.
(17.3)
Das ergibt sich unmittelbar aus (17.1), wenn man beide Seiten nach der Zeit ableitet. Wir wollen
zeigen, dass es einen eindeutig bestimmten Vektor ω gibt, mit der Eigenschaft
ṅa = ω × na .
(17.4)
Der Vektor ω, der im allgemeinen natürlich auch von der Zeit abhängt, wird als Winkelgeschwindigkeit bezeichnet. Die Zeitableitungen ṅa der Basisvektoren stehen senkrecht zu den jeweiligen
Basisvektoren und zur Winkelgeschwindigkeit. Wie man in Abbildung 17.1(b) erkennen kann,
führt der Körper eine Rechtsdrehung um eine Achse aus, die in die Richtung von ω zeigt.
117
Wir beweisen zuerst, dass der Vektor ω durch (17.4) eindeutig bestimmt ist. Dazu multiplizieren wir diese Gleichung skalar mit εabc nb , wobei dann über a und b zu summieren ist. Das
ergibt
εabc ṅa · nb = εabc (ω × na ) · nb = εabc (na × nb ) · ω
= εabc εabd nd · ω = εabc εabd ωd = 2 ωc .
(17.5)
Hier haben wir zuerst die zyklische Eigenschaft des Spatproduktes verwendet, dann das Kreuzprodukt der Basisvektoren ausgewertet, und schließlich haben wir benutzt, dass die Vektoren n a
eine Orthonormalbasis bilden, und den Vektor ω bezüglich dieser Basis in seine Komponenten
zerlegt. Es folgt somit aus (17.4)
ω = ω a na ,
mit ωa = ω · na =
1
εabc ṅb · nc .
2
(17.6)
Nun müssen wir noch zeigen, dass dieser Vektor auch tatsächlich die Gleichung (17.4) erfüllt.
Einsetzen ergibt
1
1
εabc (ṅb · nc ) na × nd = εabc εade (ṅb · nc ) ne
2
2
1
1
= (δbd δce − δbe δcd ) (ṅb · nc ) ne = (ṅd · ne − ṅe · nd ) ne .
2
2
ω × n d = ω a na × n d =
Das körperfeste Koordinatensystem
Im folgenden ist es nützlich, sich den starren Körper als ein System von Punktteilchen vorzustellen. Die Teilchen sollen durch Zwangskräfte so aneinander gebunden sein, dass sich der Körper
als ganzes frei bewegen, aber seine Form dabei nicht verändern kann. Konkret können wir uns
vorstellen, dass zwischen jeweils zwei Teilchen eine Zwangskraft wirkt, die den Abstand der
beiden Teilchen fixiert. Als einfachstes Beispiel für einen solchen idealisierten starren Körper
hatten bereits die Hantel in Abbildung 5.3 kennen gelernt. Ein etwas anspruchsvolleres Beispiel
war das Rad aus Kapitel 12. Nun wollen wir eine ganz allgemeine Anordnung von Punktteilchen
betrachten.
Aufgabe 17.2 Man stelle sich den Körper aus N Teilchen aufgebaut vor, die durch virtuelle Stangen miteinander verbunden sind. Wieviele solcher Stangen sind mindestens erforderlich, um den
Körper vollständig starr zu machen?
Wie üblich nummerieren wir die Teilchen mit einem Index α durch, und bezeichnen den Ort
des Teilchens α zur Zeit t mit rα (t). Jedes Teilchen nimmt dann einen festen Ort innerhalb
des Körpers ein. Wenn wir den Abstandsvektor uα = rα − r des Teilchens vom Bezugspunkt
bezüglich der körperfesten Basis na in seine Komponenten zerlegen, so sind diese Komponenten
zeitlich konstant. Es gilt also
(17.7)
rα (t) = r(t) + uα (t) = r(t) + uα,a na (t),
Addieren wir zu dem Ausdruck in der Klammer die Hälfte der linken Seite von (17.3), so ergibt
sich
(17.8)
ω × nd = (ṅd · ne ) ne = ṅd .
wobei die körperfesten Koordinaten uα,a des Teilchens nicht von der Zeit abhängen. Wir können
dabei den Bezugspunkt als Ursprung, und die Vektoren n a als die Basis eines kartesischen Koordinatensystems betrachten.
Die letzte Gleichung folgt wieder aus der Tatsache, dass die Vektoren n e eine Orthonormalbasis
bilden. Das Ergebnis fassen wir wie folgt zusammen:
Der Bewegungszustand eines starren Körpers wird durch den Ort r und die Geschwindigkeit v des Bezugspunktes, sowie die Orthonormalbasis na und die Winkelgeschwindigkeit ω festgelegt.
Wie wir aus der Mechanik der Punktteilchen wissen, legen die Bewegungsgleichung die zeitliche
Entwicklung eines Systems fest, sobald wir den Bewegungszustand, also die Orte und Geschwindigkeiten aller Teilchen, zu einem Zeitpunkt kennen. Wir werden jetzt zeigen, dass es sich bei den
angegebenen Größen um die entsprechenden Bewegungsgrößen eines starren Körpers handelt.
Aufgabe 17.1 Wieviele unabhängige reelle Zahlen muss man festlegen, um den Bewegungszustand eines starren Körpers eindeutig zu bestimmen?
(17.9)
Durch den Bezugspunkt r und die Basis na wird ein körperfestes Koordinatensystem definiert, in dem die Position jedes Teilchen innerhalb des Körpers durch zeitunabhängige Koordinaten festgelegt ist.
Dieser Sachverhalt ist in Abbildung 17.2(a) dargestellt. Das Teilchen befindet sich am Ort r α
innerhalb des Körpers. Der Vektor uα ist der Ortsvektor des Teilchens relativ zum Bezugspunkt
r. Seine Komponenten uα,a bezüglich der Basis na ergeben sich als die Projektionen auf die
mit {1, 2, 3} bezeichneten Koordinatenachsen. Da sich sowohl der Bezugspunkt als auch diese
Koordinatenachsen mit dem Körper mitbewegen, sind die Koordinaten u α,a des Teilchens zeitlich
unveränderlich.
Nun können wir leicht zeigen, dass wir den Bewegungszustand jedes einzelnen Teilchens aus
den oben definierten Bewegungsgrößen des starren Körpers bestimmen können. Der Ort ist durch
(17.9) gegeben, und die Geschwindigkeit des Teilchens ergibt sich zu
vα (t) = ṙα (t) = ṙ(t) + uα,a ṅa (t) = v(t) + uα,a ω(t) × na (t).
118
(17.10)
(c)
(d)
1
α
3
α
×
Dasselbe gilt für die Basisvektoren na . Sie lassen sich als Linearkombination der Basisvektoren
ei schreiben, wobei die Koeffizienten zeitabhängig sind. Da es sich um zwei Orthonormalbasen
handelt, bilden die Koeffizienten zu jedem Zeitpunkt eine orthogonale Matrix. Es gilt also
α
3
α
α
α
z
α
1
na (t) = Λai (t) ei ,
y
mit Λai (t) Λbi (t) = δab .
(17.12)
Diese Beziehung lässt sich auch umgekehrt schreiben, indem man die raumfesten Basisvektoren
als Linearkombination der körperfesten darstellt,
2
2
(a)
(b)
x
ei = Λai (t) na (t),
mit Λai (t) Λaj (t) = δij .
(17.13)
In einer expliziten Darstellung der Bewegung eines starren Körpers sind es also nicht drei Vektoren, die als Variable auftreten, sondern genau genommen eine orthogonale Transformation, die
die raumfeste Basis ei auf die körperfeste Basis na abbildet und dadurch die Lage des Körpers
festlegt. Wenn sich der Körper dreht, hängt diese Transformation natürlich von der Zeit ab.
Schließlich können wir auch noch die Winkelgeschwindigkeit in ihre Komponenten zerlegen,
und zwar wahlweise bezüglich der raumfesten oder der körperfesten Basis,
Abbildung 17.2: Die körperfesten und damit zeitunabhängigen Koordinaten uα,a des Teilchens α
sind die Komponenten des Abstandsvektors = α − vom Bezugspunkt, dargestellt bezüglich
der körperfesten Basis a (a). Jedes Teilchen trägt mit seinem Impuls α zu Gesamtimpuls bei
und mit dem Kreuzprodukt α × α zum inneren Drehimpuls (b).
ω(t) = ωi (t) ei = ωa (t) na (t).
Die Geschwindigkeiten der einzelnen Teilchen lassen sich folglich durch die Geschwindigkeit v
und die Winkelgeschwindigkeit ω des Körpers ausdrücken, die im allgemeinen ebenfalls Funktionen der Zeit sind. Die Kenntnis der Bewegungsgrößen r, n a , v und ω reicht somit aus, um den
Bewegungszustand jedes Teilchens zu bestimmen, sobald wir die körperfesten Koordinaten u α,a
des Teilchens kennen.
In diesem Sinne legen die Koordinaten uα,a der Teilchen den inneren Aufbau des Körpers fest,
während die Bewegungsgrößen seine Bewegung im Raum beschreiben. Wie wir gleich sehen
werden, gehören zum inneren Aufbau das Körpers noch andere Daten, wie zum Beispiel die
Massen mα der einzelnen Teilchen, oder deren Ladungen qα , wenn es sich um einen geladen
Körper handelt. Entscheidend ist, dass diese Größen zeitlich unveränderlich sind.
Nur die Bewegungsgrößen hängen von der Zeit ab. Für sie müssen wir die Bewegungsgleichungen aufstellen, wenn die die Bewegungen eines starren Körpers berechnen wollen. Bevor wir dies
tun, wollen wir uns noch kurz überlegen, wie wir eine solche Bewegung explizit, also letztlich
numerisch beschreiben können. Dazu müssen wir zusätzlich ein raumfestes Koordinatensystem
einführen, auf welches wir die Darstellung der Bahn beziehen.
Wie üblich bezeichnen wir den Ursprung dieses Koordinatensystems mit o, und die Basis mit
ei , wobei der Index i die Werte {x, y, z} annimmt. Ort und Geschwindigkeit des Bezugspunktes
lassen sich dann durch ihre Koordinaten bzw. Komponenten bezüglich dieses Koordinatensystems
ausdrücken,
(17.11)
r(t) = o + ri (t) ei , v(t) = vi (t) ei , mit vi (t) = ṙi (t).
(17.14)
Weiter oben hatten wir bereits die Komponenten ωa benutzt, um die Existenz einer Winkelgeschwindigkeit zu beweisen. Welche der beiden Darstellungen nützlicher ist, die körperfeste oder
die raumfeste, hängt oft von dem jeweils gestellten Problem ab. Wir können sie jederzeit ineinander umrechnen, denn aus (17.12) und (17.13) folgt die entsprechende Umrechnungsformel für
die Komponenten,
ωa (t) = Λai (t) ωi (t)
bzw. ωi (t) = Λai (t) ωa (t).
(17.15)
Aufgabe 17.3 Man zeige, dass sich die Zeitableitungen der Übergangsmatrizen wie folgt durch
die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit ausdrücken lassen,
Λ̇ai = εijk ωj Λak = εabc Λbi ωc ,
(17.16)
und dass sich daraus umgekehrt die folgenden Ausdrücke für die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit ergeben,
ωa =??εabc Λbi Λ̇ci ,
ωi =??εijk Λ̇aj Λak ,
(17.17)
Masse, Impuls und Kraft
Zur Herleitung der Bewegungsgleichungen für den starren Körper sind zwei Größen von zentraler
Bedeutung, nämlich der Gesamtimpuls und der innere Drehimpuls des Körpers. Für ein System
von einzelnen Teilchen hatten diese Größen bereits in Kapitel 3 eingeführt, und wir hatten gezeigt,
dass es sich dabei unter gewissen Voraussetzungen um Erhaltungsgrößen handelt.
119
Berechnen wir zunächst den Gesamtimpuls des Körpers. Für jedes einzelne Teilchen können
wir den Impuls aus (17.10) berechnen. Wenn mα die Masse des Teilchen ist, dann gilt
pα (t) = mα vα (t) = mα v(t) + mα uα,a ω(t) × na (t).
(17.18)
Der Gesamtimpuls des Körpers ergibt sich durch Summation über alle Teilchen,
X
X
X
P (t) =
pα (t) =
mα v(t) +
mα uα,a ω(t) × na (t).
(17.19)
Der Ausdruck in der ersten Klammer ist offenbar die Gesamtmasse des Körpers,
X
M=
mα .
(17.20)
α
α
M ṙ(t) = P (t),
Ṗ (t) = F (t)
α
α
Der erste Beitrag zum Gesamtimpuls ist folglich von der Form “Masse man Geschwindigkeit”.
Der zweite Beitrag, der zur Winkelgeschwindigkeit proportional ist, lässt sich durch geschickte
Wahl des Bezugspunktes eliminieren. Dazu berechnen wir den Schwerpunkt R des Körpers. Für
ihn gilt
R=
denn für die Zwangskräfte Zα gilt das dritte Newtonsche Gesetz. Sie heben sich gegenseitig als
Wechselwirkungskräfte auf, so dass die Summe über alle Teilchen verschwindet. Die zeitliche
Änderung des Gesamtimpulses P ist folglich durch die Gesamtkraft F gegeben, die sich wiederum als Summe aller auf die einzelnen Teilchen wirkenden Kräfte ergibt.
Aus (17.22) und (17.24) ergibt sich somit das folgende System von Gleichung für die Bewegung des Schwerpunktes des Körpers,
1 X
1 X
1 X
mα r α =
mα (r + uα,a na ) = r +
mα uα,a na .
M α
M α
M
α
(17.21)
Offenbar verschwindet sie Summe in der Klammer genau dann, wenn wir als Bezugspunkt r
den Schwerpunkt wählen, und genau in diesem Fall ist der Gesamtimpuls des Körpers durch den
einfachen Ausdruck
P (t) = M v(t) = M ṙ(t)
(17.22)
gegeben. Da dies, wie schon eingangs erwähnt, die folgenden Rechnungen erheblich vereinfacht,
wollen wir von nun an diese spezielle Wahl treffen.
Aus der Definition des Impulses lässt sich nun leicht die erste Bewegungsgleichung ableiten.
Auch dazu betrachten wir zuerst wieder die einzelnen Teilchen. Auf jedes Teilchen wirkt eine
äußere Kraft Fα und eine Zwangskraft Zα , die dafür sorgt, dass die Abstände des Teilchens zu
den anderen Teilchen unverändert bleiben. Beide Kräfte hängen im allgemeinen von der Zeit ab.
Somit gilt für jedes einzelne Teilchen die Bewegungsgleichung
ṗα (t) = Fα (t) + Zα (t).
(17.23)
Die einzelnen Zwangskräfte kennen wir nicht, aber wir müssen sie auch nicht kennen, um die Bewegungsgleichung für den starren Körper als ganzes zu bestimmen. Wir summieren dazu einfach
über alle Teilchen. Das ergibt
X
Fα (t),
(17.24)
Ṗ (t) = F (t) =
⇒
M r̈(t) = F (t).
(17.25)
Das sind formal die Bewegungsgleichung für ein punktförmiges Teilchen. Offenbar haben wir
damit gezeigt, dass sich ein ausgedehnter Körper, wenn wir von seiner Rotationsbewegung absehen, tatsächlich wie ein punktförmiges, in seinem Schwerpunkt befindliches Teilchen verhält.
Die Bewegung des Bezugspunktes, also des Schwerpunktes, entkoppelt anscheinend von der Rotationsbewegung.
Das ist aber nicht ganz richtig. Es kommt nämlich entscheidend darauf an, wovon die Kraft F
abhängt. Da es sich um die Summe über alle auf die einzelnen Teilchen wirkenden Kräfte handelt,
hängt diese Kraft im allgemeinen auch von den Orten und Geschwindigkeiten aller dieser Teilchen
ab, und somit auch von der räumlichen Lage und der Winkelgeschwindigkeit des Körpers. Wir
wollen uns das an ein paar einfachen Beispielen klar machen.
Aufgabe 17.4 Zunächst befinde sich der Körper entweder in einem homogenen Gravitationsfeld
g oder einem homogenen elektrischen Feld E, wobei die Teilchen dann zus ätzlich noch Ladungen
qα tragen sollen. Man zeige, dass in diesem Fall die Gesamtkraft durch
F =Mg
bzw. F = Q E
(17.26)
gegeben ist, wobei M die Gesamtmasse und Q die Gesamtladung des K örpers ist.
In einem homogenen elektrischen Feld bzw. einem homogenen Gravitationsfeld verhält sich ein
ausgedehnter Körper also tatsächlich wie ein Punktteilchen. Das gilt in guter Näherung auch
dann noch, wenn das Feld zwar inhomogen ist, aber auf einer Skala, die sehr viel größer ist als
die Ausdehnung des Körpers.
Als ein typisches Beispiel dafür hatten wir die Bewegung eines Planeten im Gravitationsfeld
der Sonne diskutiert. Innerhalb des Planeten kann das Gravitationsfeld der Sonne als homogen
angenommen werden, so dass die Gesamtkraft F tatsächlich nur vom Ort r des Schwerpunktes
des Planeten abhängt. Wir können nun sogar abschätzen, wie groß der Fehler ist, den wir dabei
machen.
Aufgabe 17.5 Bewegt sich der Körper in einem inhomogenen Gravitationsfeld g, so wirkt auf ein
Teilchen am Ort rα die Kraft
α
120
Fα = mα g(rα ) = mα g(r + uα,a na ).
(17.27)
Man entwickle diesen Ausdruck bis zur zweiten Ordnung in den Koordinaten u α,a in eine TaylorReihe und berechne daraus näherungsweise die Gesamtkraft. Man zeige, dass der Term erster
Ordnung verschwindet. Eine Abweichung von der Punkteilchen-N äherung, bei der man F =
g(r) setzt, tritt also erst dann auf, wenn die zweite Ableitung des Gravitationsfeldes von Null
verschieden ist.
Den Schwerpunktdrehimpuls hatten wir als den Drehimpuls eines fiktiven, im Schwerpunkt des
Systems lokalisierten Teilchens definiert, dessen Impuls der Gesamtimpuls des Systems ist. Für
den starren Körper lässt sich dieser unmittelbar aus den bereits eingeführten Bewegungsgrößen
berechnen,
X
J = (r − o) × P =
(r − o) × pα .
(17.32)
α
Aufgabe 17.6 Man zeige, dass der relative Fehler, den man bei der Berechnung der Kraft macht,
wenn man die Erde im Gravitationsfeld der Sonne als punktförmig betrachtet, von der Größenordnung Erdradius geteilt durch Bahnradius hoch zwei ist, also etwa 10 −9 .
Wie dieses Beispiel zeigt, gilt die Punktteilchen-Näherung nur dann, wenn der Körper so klein
ist, dass er die Inhomogenität eines Feldes nicht spürt. Geschwindigkeitsabhängige Kräfte führen
ebenfalls dazu, dass die Rotationsbewegung nicht mehr von der Schwerpunktbewegung entkoppelt, und somit der Körper nicht mehr als Punktteilchen betrachtet werden kann.
Aufgabe 17.7 Der Körper bewege sich in einem homogenen Magnetfeld B. Man zeige, dass auf
ihn die Gesamtkraft
(17.28)
F = Q v × B + χa (ω × na ) × B
wirkt, wobei Q wieder die Gesamtladung und χa die körperfesten Komponenten des elektrischen
Dipolvektors sind,
X
X
Q=
qα ,
χa =
qα uα,a .
(17.29)
α
α
Die Formel für die Lorentzkraft auf ein Punktteilchen, das sich im Schwerpunkt befindet, gilt also
nur dann, wenn der Dipolvektor des Körpers verschwindet. Das ist zum Beispiel dann der Fall,
wenn die Ladungsverteilung der Massenverteilung entspricht, also f ür alle Teilchen qα /mα =
q/m gilt.
Trägheitstensor, Drehimpuls und Drehmoment
Nun wollen wir die Bewegungsgleichungen für die Rotationsbewegung aufstellen. Die entscheidende Größe, die wir dazu benötigen, ist der innere Drehimpuls S. Wir erinnern uns, dass es für
ein System von Punktteilchen verschiedene Möglichkeiten gibt, einen Drehimpuls zu definieren.
Der Drehimpuls eines einzelnen Teilchens bezüglich eines raumfesten Bezugspunktes o ist durch
lα = (rα − o) × pα
(17.30)
gegeben, also durch das Kreuzprodukt des Ortsvektors mit dem Impuls, wobei der Ortsvektor
der Abstandsvektor zum Bezugspunkt o ist. Summieren wir über alle Teilchen, so ergibt sich der
Gesamtdrehimpuls zu
X
X
L=
lα =
(rα − o) × pα .
(17.31)
α
α
Für einen starren Körper bezeichnet man dieser Größe auch als Bahndrehimpuls. Sowohl der
Gesamtdrehimpuls als auch der Bahndrehimpuls hängen von der Wahl des Bezugspunktes o ab.
Ersetzen wir ihn durch einen anderen Bezugspunkt o0 , so hatten wir in Kapitel 3 gezeigt, dass
dann
L0 = J − (o0 − o) × P und J 0 = J − (o0 − o) × P
(17.33)
gilt. Beide Größen transformieren in der gleichen Art und Weise unter einer Verschiebung des
Bezugspunktes. Der innere Drehimpuls ist die Differenz S = L − J. Er ist folglich unabhängig
vom Bezugspunkt und eignet sich zur Beschreibung der Rotationsbewegung eines starren Körpers
daher besser als der Gesamtdrehimpuls.
Für einen starren Körper lässt sich der innere Drehimpuls leicht berechnen. Wir bilden einfach
die Differenz der Gleichungen (17.31) und (17.32),
X
X
(rα − r) × pα =
uα × p α
(17.34)
S =L−J =
α
α
Wie in Abbildung 17.2(b) gezeigt, trägt jedes Teilchen mit einem Beitrag zum inneren Drehimpuls bei, der sich aus dem Kreuzprodukt des Abstandsvektors vom Schwerpunkt mit dem Impuls
ergibt. In diesem Sinne ist der innere Drehimpuls, wie wir bereits in Abbildung 3 gesehen hatten,
so etwas wie der Gesamtdrehimpuls des System, wobei als Bezugspunkt aber nicht der Koordinatenursprung, sondern der Schwerpunkt gewählt wird.
Wie der Impuls lässt sich auch der Drehimpuls durch die Bewegungsgrößen des starren Körpers
ausdrücken. Wenn wir (17.18) in (17.34) einsetzen, ergibt sich
X
X
uα × p α =
mα uα,a na × (v + uα,b ω × nb )
S=
α
=
X
α
α
mα uα,a na × v +
X
α
mα uα,a uα,b na × (ω × nb ).
(17.35)
Der erste Term verschwindet, denn es handelt sich wieder um die Summe aus (17.21). Für das
doppelte Kreuzprodukt gilt
na × (ω × nb ) = (na · nb ) ω − (na · ω) nb = (δab ωc − δbc ωa ) nc .
(17.36)
Wenn wir nun noch ein paar Indizes umbenennen, lässt sich der innere Drehimpuls schließlich
wie folgt ausdrücken,
X
S=
mα (uα,c uα,c ωa − uα,a uα,b ωb ) na .
(17.37)
121
α
Noch einfacher wird dieser Ausdruck, wenn wir die Komponenten von S bezüglich der Basis n a
angeben. Dann ist
X
mα (uα,c uα,c δab − uα,a uα,b ).
(17.38)
S = Sa na , mit Sa = Θab ωb , Θab =
α
Die 3 × 3-Matrix Θab heißt Trägheitstensor. Es handelt sich offenbar um die zeitlich konstanten
Komponenten eines symmetrischen Tensors Θ zweiter Stufe bezüglich des körperfesten Koordinatensystems. Aufgefasst als lineare Abbildung bildet der Trägheitstensor die Winkelgeschwindigkeit auf den Drehimpuls ab. Mit der Notation aus (9) können wir dafür auch schreiben
denn die Zwangskräfte, die dafür sorgen, dass die Abstände der Teilchen konstant bleiben, sind
Zentralkräfte. Damit haben wir noch einmal gezeigt, dass Zentralkräfte den Gesamtdrehimpuls
eines Systems nicht verändern. Seine Zeitableitung hängt nur von den äußeren Kräften ab,
X
(rα − o) × Fα .
(17.44)
L̇ =
α
Für die Zeitableitung des Bahndrehimpulses ergibt sich aus (17.24)
X
(r − o) × Fα .
J˙ = (r − o) × Ṗ = (r − o) × F =
(17.45)
α
S = Θ(ω),
mit Θ = Θab na ⊗ nb .
(17.39)
Diese Beziehung ist analog zur Beziehung P = M v zu verstehen, die eine lineare Beziehung
zwischen Impuls und Geschwindigkeit herstellt. Zu beachten ist allerdings, dass der Trägheitstensor Θ, im Gegensatz zur Masse M des Körpers, von seiner Lage im Raum abhängt. Diese geht
also implizit in die lineare Beziehung (17.39) ein. Wie wir gleich sehen werden, lässt sich aber
auch diese Beziehung eindeutig umkehren, so dass aus dem Drehimpuls auf die Winkelgeschwindigkeit und damit die Rotationsbewegung des Körpers geschlossen werden kann.
Zuvor wollen wir jedoch die eigentliche Bewegungsgleichung aufstellen. Dazu müssen wir
die Zeitableitung des Drehimpulses berechnen. Wir gehen wieder von der Bewegungsgleichung
(17.23) für das Teilchen α aus. Für den Gesamtdrehimpuls folgt daraus
X
X
(rα − o) × ṗα =
(rα − o) × (Fα + Zα ).
(17.40)
L̇ =
α
β
α
(rα − o) × Zα =
X
α,β
(rα − o) × Zα,β = −
X
(rβ − o) × Zα,β .
(17.42)
α,β
Die letzte Gleichung ergibt sich, indem wie zuerst die Indizes α und β vertauschen, und anschließend benutzen, dass Zα,β = −Zβ,α ist. Addieren wir die beiden letzten Ausdrücke, so ergibt
sich
X
X
(rα − o) × Zα =
(rα − rβ ) × Zα,β = 0,
(17.43)
2
α
α
α
Der Vektor M wird als Drehmoment bezeichnet. Es setzt sich wieder aus Beiträgen der einzelnen
Teilchen zusammen, wobei jeweils das Kreuzprodukt des Abstandsvektors vom Bezugspunkt mit
der Kraft zu bilden ist. Das Bild ist das gleiche wie in Abbildung 17.2(b), wobei der Impuls p α
durch die Kraft Fα zu ersetzen ist.
Die Bewegungsgleichungen des starren Körpers lassen sich damit wie folgt kompakt zusammenfassen. Sie bilden ein System von Differenzialgleichungen erster Ordnung. Impuls und Drehimpuls sind als lineare Funktionen der Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit gegeben,
die wiederum durch die zeitlichen Ableitungen des Ortes und der Lage des Körpers gegeben sind,
α
Hier haben wir bereits verwendet, dass die Geschwindigkeit ṙα des Teilchens proportional zu pα
ist, so dass wir diesen Term nicht berücksichtigen müssen. In der Summe heben sich außerdem
die Zwangskräfte wieder gegenseitig auf. Wir schreiben sie dazu als Summe über Wechselwirkungskräfte zwischen je zwei Teilchen, für die das dritte Newtonsche Gesetz gilt,
X
Zα,β , mit Zα,β = −Zβ,α , Zα,α = 0.
(17.41)
Zα =
Daraus folgt
X
Bilden wir wieder die Differenz, so finden wir schließlich die Bewegungsgleichung für S,
X
X
(rα − r) × Fα =
uα × F α .
(17.46)
Ṡ = M , mit M =
α
P = M v,
S = Θ(ω),
mit v = ṙ,
ω=
1
εabc (ṅa · nb ) nc .
2
(17.47)
Die zeitlichen Änderungen von Impuls und Drehimpuls ergeben sich aus der Kraft und dem Drehmoment, die sich wiederum aus den Kräfte auf die einzelnen Teilchen zusammensetzen,
X
X
Fα ,
Ṡ = M =
uα × F α .
(17.48)
Ṗ = F =
α
α
Insbesondere folgt aus den Bewegungsgleichungen, dass P und S Erhaltungsgrößen sind, wenn
auf den Körper keine äußeren Kräfte einwirken. Mit diesem Fall eines “freien” starren Körpers
werden wir und gleich ausführlich beschäftigen.
Aufgabe 17.8 Man zeige, dass auf einen starren Körper in einem homogenen Gravitationsfeld
kein Drehmoment wirkt.
Aufgabe 17.9 Man berechne das Drehmoment auf einen geladenen K örper in einem homogenen
elektrischen Feld und drücke das Ergebnis durch die Feldstärke E und den Dipolvektor χ =
χa na aus Aufgabe 17.7 aus.
122
Aufgabe 17.10 Man berechne die kinetische Energie eines starren K örpers und zeige, dass diese
sich wie folgt aus einer “Bewegungsenergie” und einer “Rotationsenergie” zusammensetzt,
T =
1
1
1
1
M v · v + Θ(ω, ω) = M vi vi + Θab ωa ωb .
2
2
2
2
(17.49)
Aufgabe 17.11 Man bestimme das Trägheitmoment der Hantel aus Abbildung 5.3(b). Wie groß
sind laut (17.49) Bewegungs- und Rotationsenergie, wenn die Hantel mit einer Winkelgeschwindigkeit ω um eine zur Stange senkrechte Achse rotiert und sich mit der Geschwindigkeit v durch
den Raum bewegt?
Kontinuierliche Körper
Die Vorstellung von einem aus einzelnen Teilchen aufgebauten Körper ist zwar sehr nützlich, um
das Konzept eines starren Körpers auf der Basis der Mechanik von Punktteilchen zu verstehen.
In der Praxis ist dieses Konzept aber unbrauchbar, da es unmöglich ist, einen makroskopischen
Körper durch die Gesamtheit seiner atomaren Teilchen zu beschreiben. Außerdem verhalten sich
diese Teilchen ja in Wirklichkeit nicht wie klassische Punkteilchen, sondern müssten genau genommen quantenmechanisch beschrieben werden.
Wir wollen daher zeigen, dass wir über den genauen Aufbau eines starren Körpers eigentlich
gar nicht viel wissen müssen, um seine Bewegungsgleichungen aufzustellen. Es ist nicht nötig,
die Koordinaten uα,a aller Teilchen kennen, und wir müssen auch nicht alle Massen m α oder alle
Ladungen qα der Teilchen kennen. Es genügt, gewisse Verteilungsfunktionen dieser Größen zu
kennen.
In die Beziehungen (17.47) zwischen Impuls und Geschwindigkeit bzw. Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit gehen zum Beispiel nur zwei solche Größen ein, nämlich die Gesamtmasse
M und der Trägheitstensor Θ. Welche Größen konkret in die Kraftgleichungen (17.48) eingehen,
hängt zwar davon ab, welche Art von Kräften auftreten. Aber auch hier ist es im allgemeinen so,
dass wir nur ganz spezielle Funktionen der Teilchenorte, Massen, Ladungen etc. kennen müssen,
um die Kraft bzw. das Drehmoment zu bestimmen.
Am Beispiel der Größen M und Θ wollen wir zeigen, wie sich diese Größen für einen
aus kontinuierlicher Materie bestehenden Körper berechnen lassen. Alles, was wir dazu wissen
müssen, ist, wie die Masse innerhalb des Körpers verteilt ist. Dies wird durch eine Massendichte µ(r) beschrieben. In einem Volumenelement dω(r) am Ort r befindet sich dann eine Masse
dµ(r) = µ(r) dω(r).
Das Problem bei der Beschreibung eines sich bewegenden starren Körpers ist nun, dass diese Massendichte von der Zeit abhängt, und zwar in einer sehr speziellen Art und Weise. Die
Zeitabhängigkeit der Massendichte µ(r) kommt dadurch zustande, dass sich der Körper als ganzes zwar bewegt, nicht jedoch durch eine Verformung des Körpers. Dieses Problem können wir
dadurch lösen, dass wir zur Beschreibung der Massendichte das k örperfeste Koordinatensystem
verwenden.
Wir betrachten die Massendichte daher nicht als Funktion des Ortes, sondern als Funktion µ(u)
des in Abbildung 17.2 definierten Vektors u, und stellen sie explizit als Funktion der körperfesten
Koordinaten dar, also letztlich als Funktion µ({ua }) von drei reellen Zahlen. Diese Funktion ist
dann zeitlich konstant, das heißt wir können mit ihnen rechnen wie mit einer zeitlich konstanten
Massenverteilung.
So können wir zum Beispiel die Gesamtmasse des Körpers berechnen, indem wir die Massendichte integrieren,
Z
Z
Z
M = dµ(u) = dω(u) µ(u) = du1 du2 du3 µ(u).
(17.50)
Die Integration erfolgt formal immer über den ganzen Raum, wobei wir aber annehmen, dass der
Körper nur eine endliche Ausdehnung hat, so dass effektiv nur über einen endlichen Raumbereich
zu integrieren ist. Da durch die körperfesten Koordinaten ua ein kartesisches Koordinatensystem
definiert wird, ist das Volumenelement einfach durch dω(u) = du1 du2 du3 gegeben, wobei alle
Koordinaten über ganz R laufen.
Die Massendichte µ(u) ist nicht ganz beliebig, denn auch für einen kontinuierlichen Körper
gilt, dass der Bezugspunkt mit dem Schwerpunkt übereinstimmen muss. Wie wir gesehen haben,
ist dies für einen aus Teilchen aufgebauten Körper genau dann der Fall, wenn die Summe in
(17.21) verschwindet, also
X
mα uα,a = 0.
(17.51)
α
Ersetzen wir hier die Summe durch ein Integral, und die Massen mα der Teilchen durch das
Massenelement dµ(u) am Ort u, so ergibt sich die entsprechende Bedingung für einen kontinuierlichen Körper zu
Z
Z
dµ(u) ua =
dω(u) µ(u) ua = 0
(17.52)
Man beachte, dass dies eine Vektorgleichung ist, die sich aus drei Komponenten zusammensetzt.
An einem einfachen Beispiel lässt sich zeigen, dass dadurch die Lage des Bezugspunktes eindeutig festgelegt wird.
Aufgabe 17.12 Ein gleichmäßig mit Masse gefüllter Quader werde durch die folgende Massendichte beschrieben,
falls a1 < u1 < b1 , a2 < u2 < b2 , a3 < u3 < b3 ,
µ0
(17.53)
µ(u1 , u2 , u3 ) =
0
sonst.
Man bestimme die Gesamtmasse und zeige, dass die Schwerpunktbedingung (17.52) genau dann
erfüllt ist, wenn a1 + b1 = a2 + b2 = a3 + b3 = 0 ist. In diesem Fall befindet sich der Mittelpunkt
des Quaders genau am Ort mit den Koordinaten u1 = u2 = u3 = 0.
123
Aufgabe 17.13 Es sei eine Massedichte µ(u) vorgegeben, die die Bedingung (17.52) nicht erf üllt.
Man zeige, dass man dann zu einer verschobenen Massedichte µ̃(u) = µ(u − a) übergehen
kann, wobei a ein fester Vektor ist, so dass die neue Massendichte µ̃(u) die Bedingung erf üllt.
Dies entspricht einer Verschiebung des Bezugspunktes so, dass der neue Bezugspunkt mit dem
Schwerpunkt übereinstimmt.
Nun können wir auch den Trägheitstensor eines kontinuierlichen Körpers berechnen. Wir gehen
von der Darstellung (17.38) für Punktteilchen aus,
X
Θab =
mα (uα,c uα,c δab − uα,a uα,b ),
(17.54)
α
und ersetzen die Summe wieder durch ein Integral. Das ergibt
Z
Θab = dω(u) µ(u) (uc uc δab − ua ub ).
(17.55)
Aufgabe 17.14 Man berechne dieses Integral für den Quader aus Aufgabe 17.12, wobei der
Schwerpunkt jetzt mit dem Bezugspunkt übereinstimmen soll. Es ist dann −a1 = b1 = `1 /2,
−a2 = b2 = `2 /2, −a3 = b3 = `3 /2, wobei `1 , `2 , `3 die Kantenlängen des Quaders sind. Man
zeige, dass sich der Trägheitstensor schließlich wie folgt als Matrix darstellen lässt,
 2



0
0
`2 + ` 3 2
Θ11 Θ12 Θ13
M

.
Θab =  Θ21 Θ32 Θ23  =
(17.56)
0
`3 2 + `1 2
0
12
2
2
Θ31 Θ32 Θ33
0
0
` 1 + `2
2
Für einen Würfel der Kantenlänge ` ergibt sich daraus Θab = M ` δab /6, das heißt der
Trägheitstensor eines Würfels ist proportional zur Einheitsmatrix.
Wir verwenden diese Abbildung zunächst dazu, im Integral (17.55) eine Substitution durchzuführen, indem wir die Integrationsvariable u durch ũ = D · u ersetzen. Zunächst zeigt man
leicht, dass für den Ausdruck in der Klammer
(ũe ũe δab − ũa ũb ) = Dac Dbd (ue ue δcd − uc ud )
gilt. Ferner ist unter einer orthogonalen Transformation das Volumenelement invariant,
dω(ũ) = dω(D(u)) = dω(u).
(17.59)
Eingesetzt in (17.55) ergibt sich somit
Z
Z
Θab = dω(ũ) µ(ũ) (ũe ũe δab − ũa ũb ) = Dac Dbd dω(u) µ(D(u)) (ue ue δab − ua ub )
(17.60)
Beides sind Eigenschaften von orthogonalen Transformationen, die wir in Kapitel 9 bewiesen
haben.
Nun betrachten wir den speziellen Fall, dass es sich bei der Abbildung u 7→ D · u um eine
Symmetrie des Körper handelt. In diesem Fall ist
µ(D(u)) = µ(u),
(17.61)
denn die Massendichte ist vor und nach der Anwendung der Abbildung die gleiche. Offenbar
ergibt sich dann aus (17.60)
(17.62)
Θab = Dac Dbd Θcd .
Den Ausdruck auf der rechten Seite kennen bereits als das Verhalten eines Tensors zweiter Stufe
unter einer linearen Abbildung. Die Aussage ist also, dass der Trägheitstensor unter jeder orthogonalen Abbildung invariant ist, die den Körper in sich überführt.
Der Trägheitstensor ist mindestens so symmetrisch wie der Körper, zu dem er
gehört.
Symmetrien des Trägheitstensors
Um den Trägheitstensor eines gegebenen Körpers explizit zu berechnen, können wir auch andere
als kartesische Koordinatensystem verwenden, wenn diese besser an die Geometrie des Körpers
angepasst sind. Oft helfen dabei auch Symmetrieüberlegungen. Hat der Körper bestimmte Symmetrien, so hat auch der Trägheitstensor diese Symmetrien, und damit lässt sich seine Berechnung
oft erheblich vereinfachen.
Was bedeutet in diesem Fall Symmetrie? Wir nennen einen Körper symmetrisch, wenn er unter einer bestimmten Transformation in sich übergeht. Da eine solche Transformation stets den
Schwerpunkt auf sich selbst abbilden muss, kann es sich nur um eine Rotation oder eine Spiegelung handeln, also um eine orthogonale Transformation. Eine solche Abbildung wird durch eine
orthogonale Matrix dargestellt,
u 7→ ũ = D(u),
(17.58)
ua 7→ ũa = Dab ub ,
mit Dab Dac = δab .
Als spezielles Beispiel hatten wir bereits den Trägheitstensor eines Quaders berechnet und gesehen, dass es sich um eine Diagonalmatrix handelt, wenn wir die Koordinatenachsen in die
Richtungen der Kanten legen. Tatsächlich ist dies eine Konsequenz der Symmetrien. Der Quader
ist symmetrisch bezüglich der Spiegelungen an der Koordinatenebenen. So wird zum Beispiel die
Spiegelung an der 1-2-Ebene durch die Matrix


1 0
0
0 
Dab =  0 1
(17.63)
0 0 −1
dargestellt. Wie man leicht sieht, ergibt sich aus (17.62) zum Beispiel
(17.57)
124
Θ23 = D2c D3d Θcd = −Θ23
⇒
Θ23 = 0.
(17.64)
Entsprechend lässt sich das Verschwinden von allen anderen nichtdiagonalen Einträge von Θ ab
zeigen, indem man jeweils eine der drei möglichen Spiegelungen auswählt und die Gleichung
(17.62) für die entsprechende Komponente aufschreibt.
Wir haben also gezeigt, dass der Trägheitstensor diagonal ist, wenn der Körper symmetrisch
unter Spiegelungen an den Koordinatenachsen ist. Oft ist der Trägheitstensor sogar noch symmetrischer als der Körper selbst. Ein Beispiel dafür ist der Würfel. In diesem Fall ist, wie wir
in Aufgabe 17.14 gesehen haben, Θab = M `2 δab /6. Dieser Tensor ist unter allen orthogonalen
Transformationen invariant, denn er ist proportional zum Einheitstensor, und somit ist (17.62) für
alle orthogonalen Matrizen erfüllt. Aber natürlich geht der Würfel nicht unter allen orthogonalen
Abbildung in sich über.
Umgekehrt können wir die Symmetrien eines Körpers nun auch benutzen, um den Trägheitstensor zu berechnen. Der symmetrischste denkbare Körper ist eine Kugel. Wir wollen also den
Trägheitstensor einer Kugel mit Radius R, Massendichte µ0 , und folglich der Masse M =
4π µ0 R3 /3 berechnen. Da der Einheitstensor δab der einzige Tensor zweiter Stufe ist, der unter
allen orthogonalen Abbildungen invariant ist, muss der Trägheitstensor der Kugel proportional
dazu sein. Wir machen also den Ansatz
Θab = θ δab
(17.65)
Um die skalare Größe θ zu berechnen, bilden wir die Spur dieses Tensors. Es ist Θ aa = 3 θ und
folglich
Z
Z
1
1
2
θ = Θaa =
(17.66)
dω(u) µ(u) (uc uc δaa − ua ua ) =
dω(u) µ(u) ua ua .
3
3
3
Das Integral lässt sich nun am leichtesten in Kugelkoordinaten auswerten. Wir ersetzen die kartesischen Koordinaten (u1 , u2 , u3 ) durch (r, ϑ, ϕ), wobei r 2 = ua ua ist, und die Massendichte
nur von r abhängt. Mit dem bekannten Volumenelement in Kugelkoordinaten finden wir
2
θ=
3
Z
8π
µ(r) r sin ϑ dr dϑ dϕ =
µ0
3
4
Z
R
r4 dr =
8π
2
µ0 R 5 = M R 2 .
15
5
(17.67)
Um ein nicht ganz so einfaches Beispiel vorzuführen, berechnen wir noch den Trägheitstensor
eines Zylinders. Er soll den Radius R, die Länge `, und die Massendichte µ 0 haben. Für die Masse
ergibt sich daraus M = π µ0 ` R2 . Die Koordinatenachsen legen wir so, dass die Rotationsachse
des Zylinders die 3-Achse ist, und der Querschnitt eine Kreisscheibe in der 1-2-Ebene liegt.
Der Trägheitstensor ist dann wieder diagonal, denn der Zylinder ist symmetrisch unter Spiegelungen an allen drei Koordinatenebenen. Es gilt also


Θ11 0
0
Θab =  0 Θ22 0  .
(17.69)
0
0 Θ33
Darüber hinaus gilt sogar Θ11 = Θ22 , aufgrund der Rotationssymmetrie um die 3-Achse. Das
ist anschaulich mehr oder weniger offensichtlich, denn wir können die Richtungen den 1- und
2-Achse beliebig wählen und somit die beiden Achsen auch vertauschen. Formal können wir den
Beweis wie folgt führen. Der Zylinder ist symmetrisch unter einer Spiegelung an der Winkelhalbierenden in der 1-2-Ebene. Diese wird durch die Matrix


0 1 0
Dab =  1 0 0 
(17.70)
0 0 1
dargestellt. Aus der Symmetrieforderung (17.62) an den Trägheitstensor ergibt sich daraus
Θ11 = D1c D1d Θcd = D12 D12 Θ22 = Θ22 .
Wir müssen also nur zwei Größen berechnen, nämlich Θ11 = Θ22 und Θ33 . Beginnen wir mit
Z
Θ33 = dω(u) µ(u) (u1 2 + u2 2 ).
(17.72)
Um dieses Integral auszuwerten, verwenden wir Zylinderkoordinaten, das heißt wir setzen
u1 = r cos ϕ,
0
Damit finden wir für den Trägheitstensor einer Kugel
Θab =
2
M R2 δab .
5
(17.71)
u2 = r sin ϕ,
u3 = z
⇒
dω(u) = r dr dϕ dz.
(17.73)
Für die Massendichte gilt
(17.68)
Aufgabe 17.15 Wie bewegt sich eine Kugel, wenn auf sie keine äußeren Kräfte wirken? Wie bewegt sich ein Würfel ohne äußeren Kräfte?
Aufgabe 17.16 Eine Kugel und ein Würfel rotieren mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit. Beide haben dieselbe Masse und bestehen aus dem gleichen Stoff. Welcher der K örper besitzt eine
größere Rotationsenergie?
µ(r, z) =
µ0
0
falls r < R,
sonst.
−`/2 < z < `/2,
(17.74)
Mit den entsprechenden Integrationsgrenzen und nach Ausführung der ϕ-Integration ergibt sich
daraus
Z R Z `/2
π
1
(17.75)
Θ33 = 2π µ0 dr dz r3 = µ0 ` R4 = M R2 .
2
2
125
0
−`/2
Für die Komponenten Θ11 und Θ22 gilt
Z
Θ11 = dω(u) µ(u) (u2 2 + u3 2 ),
Θ22 =
Z
dω(u) µ(u) (u1 2 + u3 2 ).
(17.76)
Da wir bereits wissen, dass sie gleich sind, berechnen wir die Summe und drücken das Integral
wieder in Zylinderkoordinaten aus,
Θ11 + Θ22 =
Z
2
2
2
dω(u) µ(u) (u1 + u2 + 2 u3 ) = 2π µ0
Z
0
Z `/2
dr dz r (r2 + 2 z 2 ). (17.77)
R
−`/2
Auch dieses Integral kann leicht ausgewertet werden. Man findet schließlich
Θ11 = Θ22 =
π µ0 ` 3 R 2
M
π µ0 ` R 4
+
=
(3 R2 + `2 ).
4
12
12
(17.78)
Für einen zylindrischen Körper sind also stets zwei diagonale Komponenten des Trägheitstensors
gleich, nämlich die in der Rotationsebene des Zylinders, während die dritte Komponente größer
oder kleiner sein kann, je nachdem, ob der Zylinder eher flach oder lang ist.
Wenn zwischen Radius und Länge die Beziehung `2 = 3 R2 gilt, so sind alle Komponenten
gleich. In diesem Fall ist der Trägheitstensor proportional zur Einheitsmatrix, hat also die gleichen
Symmetrien wir der eines Würfels oder einer Kugel. Gilt dagegen ` 2 > 3 R2 , zum Beispiel im
Fall einer langen Stange, so ist die Komponenten des Trägheitstensors entlang der Drehachse
des Zylinders kleiner als die anderen. Ein Drehung um diese Symmetrieachse hat eine kleinere
Rotationsenergie als eine Drehung um eine dazu senkrechte Achse. Ist der Zylinder dagegen flach
wie ein Münze, so ist `2 < 3 R3 . In diesem Fall hat eine Rotation um die Symmetrieachse ein
höhere Energie als eine Rotation um eine dazu senkrechte Achse.
Aufgabe 17.17 Wie sieht der Trägheitstensor für das Rad aus Abbildung 12.3 aus?
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