1.4 Kinetik des starren Körpers

1.4
Kinetik des starren Körpers
In diesem Kapitel rückt wieder die Ursache der Bewegung in unseren Fokus. Nach den
Überlegungen zur Kinematik der starren Scheibe müssen wir über die Änderung des translatorischen Bewegungszustand eines geeigneten Referenzpunktes, vormals mit A bezeichnet, und über die Änderung der Rotation des starren Körpers um diesen Referenzpunkt
Aussagen machen können. Beides kann wie wir sehen werden getrennt abgehandelt werden. In einem ersten Unterkapitel werden wir die translatorischen Bewegung abhandelnn,
in einem zweiten Unterkapitel schließlich die Rotation.
z
1.4.1
Schwerpunktsatz
F
M
Die Abbildung zeigt einen Körper der durch Kräfte und Momente
belastet wird. Dargestellt ist die resultierende Kraft F⃗ und das re⃗ . Die Newtonsche Bewegungsgleichung hatsultierende Moment M
ten wir bisher für Massenpunkte allenfalls für Systeme von Massenpunkten kennen gelernt. Es liegt nun nahe den Körper in differentielle Massenelemente aufzuteilen, die wir wie massenpunkte
behandeln wollen. Die newtonsche Bewegungsgleichung für eine
freigeschnittennes masseneement dm liefert
m
y
x
dm
dMdm
dFdm
vdm
wobei die resultierende Kraft dF⃗dm auf den Massenpunkt äußere und innere Kräfte beinhaltet12 . Außerdem können alle Massenelemente verschiedene Geschwindigkeiten aufweisen,
was durch den Index an der Geschwindigkeit vermerkt wird. Um den gesamten Körper zu
erfassen, integrieren wir über alle Massenelemente
Wenn wir stets die gesamte Masse des Körpers im Auge halten, so ist m = const und die
Zeitdifferentiation kann unter das Integral links vom Gleichheitszeichen gezogen werden,
das Inegral auf der rechten Seite liefert uns die resultierende Kraft F⃗ auf den Körper:
z
∫
Das Integral
F
(
)
⃗vdm dm können wir als die Berechnungsformel
vS
aS
(m)
S
m
für den Schwerpunkt S wieder erkennen
x
y
so dass wir endgültig
12
Die Momente tauchen auch an einem endlichen Massenelement in dieser Beziehung nicht auf, da sie
als Kräftepaare darstellbar sind und damit keinen Beitrag zur resultierenden Kraft liefern.
77
M
erhalten.
Das Ergebnis ist sehr einfach zu interpretieren. Der Schwerpunkt eines ausgedehnten
Körpers der Masse m wird unter dem Einfluss äußerer Kräfte, die irgendwie auf den
Körper einwirken, so beschleunigt, als ob die Masse des Körpers im Schwerpunkt konzentriert ist. Schwerpunktsbeschleunigung ⃗aS und resultierende Kraft F⃗ sind zueinander
parallel, ihre Wirkungslinien müssen nicht zusammenfallen13 .
es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass wir bei dieser Herleitung die Näherung des
starren Körpers nicht genutzz haben. Genau die gleiche Aussage hatten wir auch bereits
für ein System von Massenpunkten im Abschnitt über Streu und Stoßproblemen abgeleitet.
Das Ergebnis rechtfertigt im Nachhinein, die Kinetik des Massenpunktes als eine sehr
brauchbare Approximation der Wirklichkeit, wenn nicht die binnenkörperliche Rotation
eine wichtige Rolle spielen soll.
Die Beschreibung der Rotation des Körpers wollen wir an dieser Stelle noch zurückstellen
und zunächst die Beschreibung mechanischer Energiefomen für den starren Körper insbesondere die potentielle Energie in einem konservativen Schwerefeld und die kinetische
Energie.
13
Es sei explizit darauf hingewiesen, dass die Lage der Wirkungslinie wohl eine Rolle spielt, denn die
Rotationsbewegung repräsentiert durch φ
⃗˙ und φ
⃗¨ des Körpers um den Schwerpunkt S wird dadurch beeinflusst. Für die Beschleunigung aller anderen Punkte A außer des Schwerpunktes S erhalten wir mit der
Eulerschen Formel für den starren Körper
)
(
⃗˙ × ⃗rA,S + φ
⃗¨ × ⃗rA,S .
⃗aA = ⃗aS + ⃗aA,S = ⃗aS + φ
⃗˙ × φ
78
1.4.2
Potentielle und kinetische Eneergie des Körpers
Potentielle Energie in konstantem Schwerefeld
Wir hatten beim Massenpunkt die potentielle Energie der Gewichtskraft als die negative
Arbeit der Gewichtskraft bei der Verschiebung im Schwerefeld eingeführt. Wieder teilen
wir deshalb den Körper in infinitesimale Massenelemente dm auf und übernehmen diese
Definition für jedes Massenelement:
z
g
G
Wir erleichtern uns die Herleitung, indem wir einen starren Körper
annehmen. Dann können wir die Verschiebung d⃗rdm mit Euler
durch
dm S m
A
x
⃗ = ⃗g dm in die obige Beausdrücken und dies zusammen mit dG
ziehung ein
y
dG
dm
dFdm
dMdm drdm
einsetzen. Integrieren für alle Massenelemente des Körpers
Das zweite Integral können wir mit ⃗g = const und d⃗
φ = const auswerten zu
Es bietet sich hier nun an, den Punkt A geschickt zu wählen. Identifizieren wir nämlich A
mit dem Schwerpunkt des starren Körpers S, so wird verschwindet das Integral:
Es verbleibt das erste Integral, wobei die Translation d⃗rA = d⃗rS für alle Punkte des
Körpers gleich ist
Die potentielle Energie des starren Körpers berechnet sich also aus der Verschiebung des
Schwerpunkts des starren Körpers im Schwerefeld, genau so, als ob die Gesamtmasse im
Schwerpunkt konzentriert ist unabhängig davon ob der Körper bei der Verschiebung noch
rotiert oder nicht.
79
Orientieren wir die Schwerebeschleunigung antiparallel zur z-Achse so wird ⃗g = (0, 0, −g)
und für eine endliche Verschiebung vom Ort 1 zum Ort 2
Übung Zeigen Sie, dass sich auch ein deformierbarer Körper hinsichtlich der potentiellen
Energie wie ein Massenpunkt verhält, das heißt ,dass alleine die Lage des Schwerpunkts
im Schwerefeld die Potentielle Energie bestimmt!
Kinetische Energie des starren Körpers
z
Auch für die Bestimmung der kinetischen Energie eines ausgedehnten Körpers wollen wir wieder vom Massenpunkt ausgehen., Die
kinetische Energie eines infinitesimalen Massenpunktes ist demnach
vdm
dm S m
A
und für den Körper insgesamt
x
y
Die Geschwindigkeit jedes Massenelementes kann unterschiedlich sein. Wir vermuten, dass
wieder der Schwerpunkt S eine besondere Rolle spielt und wir könnten ⃗vdm mit Euler durch
ausdrücken. Oft rotiert aber ein betrachteter Körper um einen festen Punkt, durch den die
Achse der Drehbewegung verläuft. Wir wollen deshalb allgemeiner formulieren und einen
zunächst unbestimmten Punkt A als Referenzpunkt wählen:
In der Definition für die kientische Energie benötigen wir das Quadrat der Geschwindigkeit
Wir multiplizieren dies aus und erhalten
so das unter Formel für die kinetische Energie
80
lautet.
Das erste Integral liefert, wenn wir berücksichtigen, dass die Geschwindigkeit vA = const
des Referenzpunktes A als translatorischer Beitrag für alle Massenelemente konstant ist
im zweiten Integral setzen wir außerdem ⃗vdm,A = φ
⃗˙ × ⃗rdm,A und berücksichtigen, dass für
den starren Körper φ
⃗˙ = const, so dass sich
ergibt. Im dritten Integral schließlich müssen wir
auswerten. Wir nutzen hierfür die Lagrangesche Identität14
so dass
Der Ausdruck
ist eine rein geometrische Größe, der nur von der Massenverteilung im Körper abhängt.
JA wird Massenträgheitsmoment bezogen auf den Punkt A genannt. Das Massenträgheitsmoment bezogen auf eine Punkt wird umso größer, je weiter Teile der Gesamtmasse eines Körpers vom Punkt A entfernt sind, hohle Körper haben daher ein größere Massenträgheitsmoment als kompakte Körper15 . Die weitere Diskussion wollen wir an dieser Stelle
noch zurückstellen.
14
Die Umrechniung mit der Lagrangeschen Identität ist eine Möglichkeit eine Darstellung der kinetischen
Energie abzuleiten, die insbesondere dann praktisch ist, falls vorrangig ebene starre Körper betrachtet
werden sollen. Die Darstellung der kinetischen Energie durch den Trägheitstensor soll hier nicht genutzt
werden.
15
Die Formel für das Massenträgheitsmoment erinnert an die Definition des Flächenträgheitsmomentes
I in der Festigkeitslehre. Ein großes Flächenträgheitsmoment hatten wir bei Balken als Ursache für einen
großen Widerstand gegen Verbiegung identifiziert. Die bei einer Verformung gespeicherte Energie wächst
mit wachsendem Flächenträgheitsmoment. Entsprechend zeigt ein großes Massenträgheitsmoment in der
Kinetik an, dass ein Körper großen Trägheitsmomentes eine große Rotationsenergie speichert, beziehungsweise eine große Trägheit gegen Änderung des Rotationszustands aufweist.
81
Wir erhalten zusammengefasst folgenden Ausdruck für die kinetische Energie des starren
Körpers
Insbesondere der letzte Term zeigt einen komplizierten Beitrag zur kinetischen Energie,
in den die Richtungsabhängigkeit zwischen momentaner Drehachse in Richtung φ
⃗˙ /φ̇ und
Lage der Massenteilchen des Körpers eingeht.
Einfachere Formeln erhalten wir, falls wir den Referenzpunkt A mit dem Schwerpunkt S
identifizieren, dann ist stets ⃗rS,A = ⃗0 sowie ⃗va = ⃗vS und es tritt das Massenträgheitsmoment
bezüglich des Schwerpunkts
auf. Es ergibt sich
Der letzte Term verschwindet erst, wenn alle Massenteilchen eines Körpers senkrecht zur
momentanen Drehachse in Richtung φ
⃗˙ /φ̇ angeordnet sind. Dies ist der Fall falls es sich
um einen ebenen starren Körper handelt dessen Drehachse senkrecht zur Ausdehnung des
Körpers orientiert ist.
Für die kinetische Energie eines ebenen starren Körpers erhalten wir die einfache Beziehung
Der erste Anteil stellt den Anteil der Translation des Körpers dar. Da alle Massenelemente
die gleiche Translation ausführen ist dieser Anteil nicht zu unterscheiden von der kinetischen Energie eines Massenpunktes gleicher Masse und Geschwindigkeit. Bei ausgedehnten
Körpern ist aber zusätzlich Energie ∫in der Rotation gespeichert, die beim Massenpunkt
keine Rolle spielen kann, da
lim
rdm,S →0
(m)
2
rdm,S
dm = 0.
Wir können die kinetische Energie des ebenen starren Körpers aufteilen in einen translatorischen und eine rotatorischen Anteil
Wir erkennen eine Analogie zwischen den beiden Energieanteilen.
Es sei explizit darauf hingewiesen: Eine ähnlich einfache Aufteilung der kinetischen Energie
ist für keinen anderen Punkt A ̸= S im Körper möglich,
auch nicht für den ebenen Körper, da zwar nach wie vor
gilt, jedoch der Term
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in unserer vollständigen Formel im Allgemeinen nicht verschwindet.
Dieser wird nur dann sicher Null, falls der Bezugspunkt A überhaupt keine Geschwindigkeit
besitzt. Ein Fal der oft auftritt. Denn der Punkt A muss lediglich auf der Drehachse
angesiedelt sein und in dem Koordinatensystem, aus dem die Geschwindigkeiten heraus
definiert sind, ruhen:
Dieser Fall tritt bei technischen Anwendungen außerordentlich oft auf. Unter dieser Bedingung gilt für den ebenen Körper bei Rotation um einen im Bezugssystem ruhenden
Achspunkt A:
In diesem Ausdruck tritt dann kein translatorischer Energiebeitrag auf.
Übung
m
Zeigen Sie, dass für die kinetische Energie des dargestellten ebenen
starren Körpers
S
ϕ
Teben
1
1
1
= m vS2 + JS φ̇2 = JA φ̇2
2
2
2
mit
JA = JS + m rS2
y
A
x
gilt.16
16
Der Anteil m rS2 des Massenträgheitsmoment bezüglich des Punktes A wird Steinerscher Anteil genannt.
Offensichtlich ist das Trägheitsmoment eines Körpers bezüglich des Schwerpunkts das kleinste. Bei Drehung
um eine Achse außerhalb des Schwerpunkts erhäht sich das Trägheitsmoment um den stets positiven
Steinerschen Anteil, der sich aus dem Abstandsquadrat und der Gesamtmasse des Körpers errechnet.
83
Beispiel
Ein Rad vom Radius r und homogener Masseverteilung rollt
ohne zu rutschen aus der Ruhelage eine schiefe Ebene hinunter.
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von der Strecke s die kinetische
Energie, die Geschwindigkeit des Rades und seine Beschleunigung,
g
s
S
r
a) wenn das Rad als ebener starrer Körper, Index SK, betrachtet wird,
α
b) wenn das Rad zum Vergleich als Massenpunkt, Index M P ,
betrachtet wird!
Lösung
s
S
Wir nutzen den Energiesatz nach dem kinetische und potentielle Energie bei s = 0 zuzüglich der Arbeit der Kräfte entlang
der zurückgelegten Strecke s mit der kinetischen und potentiellen Energie an dieser Stelle übereinstimmt:
m, r
α
Um diesen Ansatz ausnutzen zu können müssen wir die Arbeit der äußeren Kräfte ausser
der Gewichtskraft bestimmen. Dazu ist ein Freischnitt sinnvoll. Setzen wir kinetische und
potentielle Energie bei s = 0 zu Null erhalten wir
⃗ senkrecht zur Bewegungsrichtung steht verschwindet ihre Arbeit:
Da die Normalkraft N
Das Integral über die Reibkraft verschwindet ebenfalls
Dies sieht man ein, wenn man die Reibkraft in den Mittelpunkt des Rades parallel verschiebt und das dadurch entstehende Versatzmoment MR in den Freischnitt einträgt. Die
Arbeit der Reibkraft und die Arbeit des Versatzmomentes ergänzen sich genau zu Null.
Wir erhalten also einfach
wobei
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Für das rollende Rad auf der feststehenden schiefen Ebene hatten wir vS = r φ̇ gefunden,
so dass wir für die kinetische Energie den Ausdruck
erhalten. Für das Massenträgheitsmoment
finden wir mit m(rdm ) = m
2
π rdm
→ dm = m 2 rdm drdm /r2
π r2
und daher
oder
Die Beschleunigung aS (s) des Rades erhalten wir, indem wir die Beziehung für die Geschwindigkeit nach der Zeit t ableiten:
b) Vergleichen wir das Ergebnis für den sich ohne Reibungsverluste auf der Ebene bewegenden Massenpunkt, so erhalten wir aus dem Energiesatz
Das Verhältnis der kinetischen Energien,der Geschwindigkeiten und der beschleunigungne
ist also
Der reibungsfrei gleitende Massenpunkt nimmt demnach schneller Geschwindigkeit auf
als der starre Körper. Die zur Verfügung stehende potentielle Energie wird beim starren
Körper nicht nur in translatorische kinetische Energie sondern auch in rotatorische kinetische Energie überführt. Für die Zunahme der Winkelgeschwindigkeit ist die Reibkraft
zuständig. Dadurch, dass diese am Umfang angreift, kann sie die Rotationsgeschwindigkeit
des Rades so erhöhen, wie es die Abrollbedingung erfordert. In Einklang mit unserer Aussage, dass die Reibkraft keine Arbeit leistet, schlägt also durch die Reibung beim rollenden
Rad kein Verlust mechanischer Energien zu Buche17 .
Zur Berechnung der Reibkraft werden wir im folgenden Abschnitt den Drehimpulssatz
für den starren Körper verwenden, dessen Herleitung uns noch fehlt und die Kinetik des
starren Körpers vervollständigt.
17
Die Reibkraft am rollenden Rad kommt durch Haftreibung zustande. Im Unterschied zur Rollreibung,
die einhergeht mit der Deformation des rollenden Körpers, kann beim starren Körper keine Rollreibung
auftreten!
85
Massenträgheitsmomente
Ebener Körper
y
Ebene Körper
S
dm
r
Mit der Definition
x
m
ergeben sich folgende Formeln
Kreisscheibe oder Walze
S
r
Kreisring oder Rohr
S
r
s
Rechteck oder Quader
S
b
a
Stab oder Platte
S
d
l
Es gilt der Satz von Steiner:
y
Offensichtlich ist das Massenträgheitsmoment bezüglich des
Schwerpunkts stets das kleinste für einen gegebenen Körper.
rS
S
x
A
Massenträgheitsmoment der homogenen Kugel um eine Symmetrieachse
z
Rotiert eine homogene Kugel um eine Schwerpunktsachse so
ist das Massentägheitsmoment durch
√
wobei ra = x2a + ya2 den Abstand der Massenelemente dm
von der Achse darstellt, wenn diese nach der z-Richtung
ausgerichtet ist.
S
x
m,R
y
Zur Berechnung des Integrals nutzen wir die Kugelsymmetrie der Kugel aus und betrachten
das einfachere Integral
86
Es ist nun wegen der Symmetrie
R′3
Da die Masse kubisch mit dem Radius anwächst m(R′ ≤ R) = m 3 , lässt sich die
R
Integrationsvariable substituieren durch
so dass wir das Ergebnis
erhalten.
Übungen
a) Vergleichen Sie das Massenträgheitsmomentes eines dünnwandigen Rohres der Masse
m mit einem Vollstab der gleichen Masse!
b) Bestimmen Sie das Massenträgheitsmoment eines dickwandigen Rohres der Msse m
mit Innenradius ri und Außenradius ra !
∫
c) In der Festigkeitslehre hatten wir das polare Flächenträgheitsmoment Ip =
r2 dA
(A)
definiert. Zeigen Sie, dass der Zusammenhang
JS =
Ip
m
A
gilt!
d) Beweisen Sie den Satz von Steiner!
e) Bestimmen Sie das Massenträgheitsmoment einer hhomogenen Hohlkugel mit Innenradius ri und Außenradius ra !
87
Beispiel
Ein homogener Quader der Masse m gleitet reibungsfrei in
einer Halfpipe aus der Ruhelage 1 in die Position 2.
g
r
M
1
Geg.: m , a , b , r , ⃗g
b
a
S
2
Ges.: Winkelgeschwindigkeit α
⃗˙ 2 in der Position 2!
Lösung
Da der Quader reibungsfrei gleitet gilt der Energieerhaltungssatz
M
1
b
S
Die kinetische Energie setzt sich zu jedem Zeitpunkt aus der
translatorischen kinetischen Energie des Schwerpunkt und
der Rotationsenergie um den Schwerpunkt zusammen
2
S
a
Der Quader dreht aber auch um den in unserem Bezugssystem raumfesten Mittelpunkt
der Halfpipe, so dass wir auch
wobei ρ den Kreisradius der Bahnkurve des Schwerpunkts S bezeichnet. Der Schwerpunkt
überstreicht auf dem Weg von 1 nach 2 einen Winkel von π/2. Damit errechnet sich die
Abnahme an potentieller Energie
Mit den geometrischen Beziehungen
folgt
Mit T1 = 0 folgt daher
88
Kontrollen:
Einheit: [α2 ] =
1 ( kg m/s2 m )1/2 √
=
s
kg m2
Spezialfall Massenpunkt:
Mit a = b = 0 gilt ∆h = r und mit JM = mr2 folgt für die Winkelgeschwindigkeit das
bekannte Ergebnis:
89