Bearbeitung des 1. Übungsblatts

Bearbeitung des 1. Übungsblatts
Bearbeitung des 1. Übungsblatts
Aufgabe 1
a) Betrachte Ω = {1, 2, 3, 4} = [4] (mit [n] ..= {1, 2, ..., n}). Dann sind folgende Systeme von Ereignissen
σ-Algebren:
E1 ..= {∅, {1, 2, 3, 4}}, denn
(i) ∅, Ω ∈ E1
(ii) ∅ ∈ E1 ⇒ ∅C = {1, 2, 3, 4}\∅ = {1, 2, 3, 4} ∈ E1
{1, 2, 3, 4} ∈ E1 ⇒ {1, 2, 3, 4}C = {1, 2, 3, 4}\{1, 2, 3, 4} = ∅ ∈ E1
(iii) ∅, {1, 2, 3, 4} ∈ E1 ⇒ ∅ ∪ {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} ∈ E1
E2 ..= P({1, 2, 3, 4}) (siehe Vorlesung)
E3 ..= {∅, {1}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}, denn
(i) ∅, Ω ∈ E1
(ii) ∅ ∈ E3 ⇒ ∅C = {1, 2, 3, 4}\∅ = {1, 2, 3, 4} ∈ E3
{1} ∈ E3 ⇒ {1}C = {2, 3, 4} ∈ E3
{2, 3, 4} ∈ E3 ⇒ {2, 3, 4}C = {1} ∈ E3
{1, 2, 3, 4} ∈ E3 ⇒ {1, 2, 3, 4}C = ∅ ∈ E3
(iii) {1}, {2, 3, 4} ∈ E3 ⇒ {1} ∪ {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} ∈ E3
Wegen ∅ ∪ M = M für eine beliebige Menge M und A ∪ B = B, falls A ⊂ B sind alle weiteren
Vereinigungen in E3 enthalten.
E4 ..= {∅, {1, 2}, {3, 4}, {1, 2, 3, 4}} = {∅, [2] , {3, 4}, {1, 2, 3, 4}}, denn
(i) ∅, Ω ∈ E1
(ii) {1, 2} ∈ E4 ⇒ {1, 2}C = {3, 4} ∈ E4
(iii) {1, 2}, {3, 4} ∈ E4 ⇒ {1, 2} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4} ∈ E4
b) Sei (Ω, E) ein gegebener Ereignisraum (d.h. E ist eine σ-Algebra) und A ⊆ Ω eine beliebige Teilmenge
von Ω. Zeigen Sie, dass EA ..= {E ∩ A : E ∈ E} eine σ-Algebra auf A ist.
Wir müssen also zeigen:
(i) ∅, A ∈ EA
(ii) EA ∈ EA ⇒ EA C = (A\EA ) ∈ EA
S
(iii) EA1 , EA2 , ... ∈ EA ⇒
EAi ∈ EA
i≥1
Zu (i): Da E eine σ-Algebra ist, gilt ∅, Ω ∈ E. Mit ∅ ∩ A = ∅ folgt, dass ∅ ∈ EA , denn ∅ = ∅ ∩ A : ∅ ∈ E.
Da A ⊆ Ω ist Ω ∩ A = A. Mit Ω ∈ E folgt A ∈ EA , denn A = Ω ∩ A : Ω ∈ E. Also ist ∅, A ∈ EA .
Zu (ii): Es sei EA ∈ EA beliebig, d.h. es muss gelten: EA = E ∩ A für ein geeignetes E ∈ E. Wir
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betrachten das Komplement EA C = A\EA = A\(E ∩A) = A∩E C , wobei E ∈ E. Da E eine σ-Algebra,
ist auch E C ∈ E. Somit gilt EA C = A ∩ E C : E C ∈ E, also EA C ∈ EA .
Zu (iii): Seien EA1 , EA2 , ... ∈ EA beliebig, d.h.
EA1 = E1 ∩ A : E1 ∈ E
EA2 = E2 ∩ A : E2 ∈ E
..
.
Dann ist
EA1 ∪ EA2 ∪ ... = (E1 ∩ A) ∪ (E2 ∩ A) ∪ ...
= A ∩ (E1 ∪ E2 ∪ ...),
da
S
(A ∩ Bi ) = A ∩ (
i∈I
S
Bi ). Da E1 , E2 , ... ∈ E und E eine σ-Algebra, ist auch (E1 ∪ E2 ∪ ...) ∈ E.
i∈I
Somit ist auch EA1 ∪ EA2 ∪ ... = A ∩ (E1 ∪ E2 ∪ ...) ∈ EA .
Aufgabe 2
Wir betrachten zunächst das Zufallsexperiment „Eine Münze wird einmal geworfen“ mit
P(Kopf) = p, 0 ≤ p ≤ 1. Dann ist (unter idealisierten Umständen) Ω1 = {Kopf, Zahl} und E1 = P(Ω1 ).
Weiter ist
• P ({0}) = 0 (da 0 kein Element des Stichprobenraums ist)
• P ({Zahl}) = 1 − p
• P (Ω1 ) = 1 (da Ω1 das sichere Ereignis darstellt)
Nun betrachten wir das (nur theoretisch mögliche) Zufallsexperiment „Eine Münze wird immer wieder
geworfen“. Dann ist Ω die Menge aller Folgen in {Kopf, Zahl}, die oft auch mit {Kopf, Zahl}N bezeichnet
wird. Wir wählen E = E1N . Das Ereignis „Kopf tritt irgendwann auf“ ist das Komplementätereignis zu
„Kopf tritt nie auf“. Somit folgt
P(„Kopf tritt irgendwann auf“) = 1 − P(„Kopf tritt nie auf“)
= 1 − P({Zahl}) · P({Zahl}) · · ·
= 1 − (1 − p)(1 − p) · · ·
= 1 − lim (1 − p)n
n→∞
Wir betrachten zwei Fälle: den Fall p = 0 und den Fall p ∈ (0, 1] :
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Fall 1: p = 0. Dann ist nach (1)
P(„Kopf tritt irgendwann auf“) = 1 − lim (1 − 0)n
n→∞
= 1 − lim 1n
n→∞
=1−1
=0
Fall 2: p ∈ (0, 1]. Dann ist 1 − p =: q ∈ [0, 1) und nach (1)
P(„Kopf tritt irgendwann auf“) = 1 − lim (1 − p)n
n→∞
= 1 − lim q n
n→∞
=1−0
= 1,
da lim q n = 0 für |q| < 1.
n→∞
Aufgabe 3
Sei (Ω, E, P) ein gegebener Wahrscheinlichkeitsraum, sowie A, B ∈ E mit P(A) =
4
12 .
C
Dann ist P(A ) = 1 −
3
4
=
1
4
=
3
12
C
und P(B ) = 1 −
P(A ∩ B) = 1 − P((A ∩ B)C ) = 1 − P(AC ∪ B C )
1
3
=
2
3
=
8
12 .
3
4
=
9
12
und P(B) =
1
3
=
Es ist
(2)
Nach dem Einschluss-Ausschluss-Prinzip ist
P(AC ∪ B C ) = P(AC ) + P(B C ) − P(AC ∩ B C )
(3)
Um das Intervall zu bestimmen, in dem P(A ∩ B) liegt, betrachten wir das Intervall, in dem P(AC ∩ B C )
liegt: Die kleinstmögliche Schnittmenge von AC und B C ist die leere Menge, in diesem Fall ist also wegen
2 und 3
P(A ∩ B) = 1 − P(AC ∪ B C )
= 1 − (P(AC ) + P(B C ) − P(AC ∩ B C ))
= 1 − P(AC ) − P(B C ) + P(∅)
3
8
=1−
−
+0
12 12
1
=
.
12
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Die größtmögliche Schnittmenge von AC und B C ist derart, dass P(AC ∩ B C ) =
3
12 .
In diesem Fall ist
P(A ∩ B) = 1 − (P(AC ) + P(B C ) − P(AC ∩ B C ))
8
3
3
−
+
=1−
12 12 12
1
= .
3
Also gilt stets
1
12
≤ P(A ∩ B) ≤ 13 .
Um analoge Schranken für P(A ∪ B) zu finden betrachten wir
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Wir wissen, dass
1
12
≤ P(A ∩ B) ≤ 13 . Mit P(A) =
9
4
4
+
−
=
12 12 12
3
4
und P(B) =
1
3
folgt
3
9
4
1
≤ P(A ∪ B) ≤ 1 =
+
−
.
4
12 12 12
Aufgabe 4
2
Als Ergebnisraum wählen wir den Laplaceraum mit Ω = [6] = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 ..= {(a, b) | a, b ∈ [6]} ,
2
2
also ([6] , P([6] ), UΩ ), wobei UΩ (E) =
|E|
|Ω|
=
|E|
36
für alle E ⊂ Ω.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E1 „Die 6 erscheint genau einmal“.
Es ist E1 = {{6} × [5] , [5] × {6}} = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6)}
und |E1 | = 10. Daraus ergibt sich P(E1 ) =
10
36
= 0.27.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E2 „beide Zahlen sind gerade“.
Es ist E2 = {2, 4, 6}2 = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), 6, 4), (6, 6)} und |E2 | = 9. Daraus
9
= 0.25.
ergibt sich P(E2 ) = 36
c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E3 „Die Summe der Zahlen ist durch 3 teilbar“.
Es ist E3 = {(1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (3, 6), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 4), (6, 6), (6, 3)} und |E2 | =
12. Daraus ergibt sich P(E3 ) =
12
36
=
1
3
= 0.3.
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