4 Zahlenbereiche

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4.1 N und Z (8.12.2011)
Definition 4.1 (Ring) Eine Menge R, versehen mit zwei Abbildungen + :
R × R → R und ·R × R → R heißt Ring, falls folgende Eigenschaften erfüllt
sind:
1)
(i) Existenz eines neutralen Elementes zur Addition: Es gibt ein
n ∈ R, so dass für alle x ∈ R gilt: x + n = x
(ii) Existenz inverser Elemente: Zu jedem x ∈ R gibt es ein x̃ ∈ R,
so dass x + x̃ = n.
(iii) Assoziativität der Addition: Für alle x, y, z ∈ R gilt (x + y) + z =
x + (y + z).
(iv) Kommutativität der Addition: Für alle x, y ∈ R gilt x+y = y+x.
2)
(i) Existenz eines neutralen Elementes zur Multiplikation: Es
gibt ein e ∈ R, so dass für alle x ∈ R gilt:ex = xe = x
(ii) Assoziativität der Multiplikation: Für alle x, y, z ∈ R gilt (xy)z =
x(yz).
3) Distributivität: Für alle a, b, c gilt
a(b + c) = ab + ac und (a + b)c = ac + bc.
Falls zusätzlich für alle x, y ∈ R gilt xy = yx so nennt man R einen kommutativen Ring.
Satz 4.2 (Rechenregeln in Z) Auf N 2 sei eine Äquivalenzrelation durch
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c
definiert. Der Quotientenraum Z := N2 / ∼ ist versehen mit der Addition
Kl(a, b) + Kl(c, d) := Kl(a + c, b + d)
und der Multiplikation
Kl(a, b) · Kl(c, d) := Kl(ac + bd, ad + bc)
ein kommutativer Ring.
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Satz 4.3 Z ist abzählbar.
Satz 4.4 (Primfaktorenzerlegung in Z) Es sei p1 , p2 , p3 , . . . die Folge der
Primzahlen (der größe nach). Für jedes z ∈ Z \ {−1, 0, 1} gibt es ein eindeutiges
N ∈ N, ein eindeutiges ǫ ∈ {−1, 1} und eindeutige α1 , . . . , αN so dass
z=ǫ
N
Y
pαk k
mit αN 6= 0.
k=1
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4.2 Modulare Arithmetik (9.12.2011)
Definition 4.5 Sei n ∈ N. Zwei Zahlen a, b ∈ Z heißen kongruent modulo
n, in Zeichen
a ≡ b mod n,
wenn n die Differenz a − b teilt, oder gleichbedeutend, wenn a − b ∈ nZ :=
{nz | z ∈ Z}.
Satz 4.6 Zu festem n ∈ N definiert
a ∼ b :⇔ a ≡ b
mod n
eine Äquivalenzrelation auf Z.
Satz 4.7 Zu n ∈ N und a, b, c ∈ Z gilt:
a) a ≡ a mod n
b) a ≡ b mod n impliziert b ≡ a mod n
c) a ≡ b mod n und b ≡ c mod n impliziert a ≡ c mod n.
d) a ≡ b mod n und c ≡ d mod n impliziert a + c ≡ b + d mod n und
ac ≡ bd mod n.
Pn
k
Zu
einer
Natürlichen
Zahl
N
=
k=0 ak 10 mit ak ∈ {0, 1, . . . , 9} heißt
Pn
k=1 ak die Quersumme von N .
Satz 4.8
a) Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre
Quersumme durch 9 teilbar ist.
b) Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme
durch 3 teilbar ist.
Satz 4.9 Aus ca ≡ cb mod n und ggT(c, n) = 1 folgt a ≡ b mod n.
Satz 4.10 Zu a ∈ Z und n ∈ N existieren eindeutige ganze Zahlen q, r mit
a = nq + r und 0 ≤ r < n. Die Zahl r heißt Rest bei Division von a mit n.
Satz 4.11 Es sei n ∈ N. Zwei Zahlen a, b ∈ Z haben genau dann den selben
Rest bei Division mit n falls a ≡ b mod n. Insbesondere gibt es zu jedem a ∈ Z
ein einen eindeutiges r ∈ Z mit 0 ≤ r < n so dass a ≡ r mod n.
Satz 4.12 Zu festem n ∈ N nennt man den Quotientenraum Zn := Z/≡ den
Restklassenring modulo n. Bezüglich der Addition Kl(a)+ Kl(b) := Kl(a +b)
und der Multiplikation Kl(a) · Kl(b) := Kl(ab) ist Zn ein Ring.
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4.3 Q (15.12.2011)
Satz 4.13 Die auf Z × N erklärte Relation
(z1 , n1 ) ∼ (z2 , n2 ) ⇔ z1 n2 = z2 n1
ist eine Äquivalenzrelation. Die auf dem Quotientenraum Z × N/ ∼ erklärte
Addition
Kl(z1 , n1 ) + Kl(z2 , n2 ) := Kl(z1 n2 + z2 n1 , n1 n2 )
und die Multiplikation
Kl(z1 , n1 ) · Kl(z2 , n2 ) := Kl(z1 z2 , n1 n2 )
ist wohldefiniert.
Wir schreiben Q statt Z × N/ ∼ und nz11 statt Kl(z1 , n1 ). Die Menge der nicht
negativen Klassen {Kl(z, n) | z ≥ 0} bezeichnen wir mit Q+
0 . Gilt für a, b ∈ Q,
+
dass a − b ∈ Q0 so schreiben wir a ≥ b.
Satz 4.14 Q ist abzählbar unendlich.
Definition 4.15 (Körper) Eine Menge K versehen mit einer Addition + :
K × K → K und einer Multiplikation · : K × K → K heißt Körper, wenn K
ein kommutativer Ring ist und zusätzlich gilt:
Für jedes x ∈ K \ {0} gibt es ein x̃ ∈ K \ {0}, so dass xx̃ = 1 ist.
hierbei sei mit 0 das neutrale Element des Addition und mit 1 das neutrale
Element der Multiplikation bezeichnet.
Satz 4.16 Q ist ein Körper.
Satz 4.17 Für alle q ∈ Q und alle n ∈ N gibt es unendlich viele r ∈ Q mit
|r − q| < n1 .
Satz 4.18 Für jede Primzahl p hat die Gleichung x2 = p keine Lösung in Q.
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4.4 R (16.12.2011)
Definition 4.19 Eine rationale Folge ist eine Abbildung a : N → Q, n 7→ an .
Wir schreiben (an )n∈N oder (a1 , a2 , . . . ) statt a : N → Q, n 7→ an . Eine Folge
mit der Eigenschaft:
Für jedes ǫ > 0 gibt es ein N ∈ N, so dass für alle n, m > N gilt: |an − am | < ǫ
heißt Cauchy-Folge. Eine Folge heißt Nullfolge, falls gilt:
Für jedes ǫ > 0 gibt es ein N ∈ N, so dass für alle n > N gilt: |an | < ǫ
Satz 4.20 Die auf der Menge der rationalen Folgen erklärte Relation
a ∼ b ⇔ a − b ist Nullfolge
ist eine Äquivalenzrelation. Die auf dem Quotientenraum definierte Addition
Kl(a) + Kl(b) := Kl(a + b)
und die Multiplikation
ist wohldefiniert.
Satz 4.21
Kl(a) · Kl(b) := Kl(a · b)
a) R ist ein Körper.
b) Für jedes y > 0 und alle n ∈ N hat xn = y eine eindeutige Lösung in R.
Satz 4.22
a) Für jedes R ∈ R gibt es ein eindeutiges z ∈ Z und ein eindeutiges r ∈ [0, 1), so dass R = z + r. Schreibweise: z = ⌊R⌋ (sogenannte
Gaußsche Klammer).
b) Für jedes r ∈ R ∩ [0, 1) gibt es eine rationale Folge der Form (an )n∈N mit
an ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}, so dass die durch
rn =
n
X
ak 10−k .
k=1
definierte
P∞ Folge−kr repräsentiert (d.h. r = Kl((rn )n∈N )). Wir schreiben
r = k=1 ak 10 oder r = 0, a1 a2 a3 . . . . Diese Darstellung heißt Dezimalentwicklung. Die Dezimalantwicklung ist im allgemeinen nicht eindeutig.
c) R ist rational genau dann wenn die Folge der Dezimalkoeffizienten (an )n∈N
ab einem Index N periodisch wird.
Satz 4.23 R ist überabzählbar.
Korollar 4.24 Die Menge der irrationalen Zahlen R \ Q ist überabzählbar.
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4.5 C und A (22.12.2011)
Definition 4.25 Die Menge C := R2 aller Paare reeller Zahlen versehen mit
der Addition
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) := (x1 + x2 , y1 + y2 )
und der Multiplikation
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) := (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 )
heißt Körper der komplexen Zahlen.
Definition 4.26
a) Die komplexe Zahl i := (0, 1) heißt imaginäre Einheit.
b) Schreibweise: a + bi := (a, b) ∈ C.
c) Zu z = a + bi ∈ C heißt a der Realteil und b der Imaginärteil von z.
Schreibweise: a = Re(a + bi) und b = Im(a + bi).
√
d) Zu a + bi ∈ C heißt |a + bi| := a2 + b2 die Norm von a + bi.
e) Zu z = a + bi heißt die Zahl z̄ := a − bi die konjugierte komplexe Zahl zu
z.
Satz 4.27
a) C ist ein Körper. Hierbei ist (0, 0) das Nullelement und (1, 0)
das Einselement.
b) Zusätzlich gelten die folgenden Rechenregeln
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
i2 = −1.
Für alle z ∈ C ist z + z = 2 Re(z) und z − z = 2i Im(z).
Für alle z, w ∈ C gilt z + w = z + w und zw = zw.
Für alle z ∈ C ist |z|2 = zz.
Füe alle z, w ∈ C gilt |zw| = |z| · |w|.
Satz 4.28 (Dereicksungleichung) Für alle w, z ∈ C gilt |w + z| ≤ |w| + |z|.
Satz 4.29 C ist überabzählbar.
Definition 4.30 Zahlen z ∈ C für die es ein n ∈ N und Zahlen a0 , a1 , . . . , aN ∈
Z gibt, so dass a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + aN z N = 0 ist, heißen algebraische Zahlen.
Bemerkung 4.31 Es gilt:
a) A ist ein Körper.
b) Q ⊂ A ⊂ C.
c) A ist abzählbar.
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