Abzählbarkeit Arithmetik und Algorithmen - Bauhaus

2. Übungsblatt
Diskrete Strukturen (WS 09/10)
Bauhaus-Universität Weimar, Professur für Mediensicherheit
Prof. Dr. Stefan Lucks, Ewan Fleischmann
Web: medsec.medien.uni-weimar.de
(Überarbeitete Fassung)
Abgabe und Besprechung:
16.11.2009 (9.15 Uhr, in der Übung)
Abzählbarkeit
Zwei Mengen heiÿen gleich mächtig, falls eine Bijektion (d.h. eine
bijektive Abbildung1 ) zwischen ihnen existiert. Zeigen Sie mit Hilfe der Abbildung F , wobei
Aufgabe 1. (2 Punkte)
F (i, j) =
1
((i + j)2 + 3i + j),
2
dass die Mengen N0 × N0 und N0 gleich mächtig sind.
Aufgabe 2. (5 Punkte)
Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen gleich mächtig sind:
(a) N und die ungeraden natürlichen Zahlen,
(b) N und Z,
(c) N und N × N × N.
Zeigen Sie die Abzählbarkeit der Vereinigung von drei abzählbaren
Mengen (nicht notwendigerweise unendlicher oder paarweise disjunkter2 ).
Aufgabe 3. (2 Punkte)
Arithmetik und Algorithmen
Aufgabe 4. (2 Punkte)
(a) Wandeln Sie die folgenden Zahlen in das 2-er, 3-er, 7-er, 10-er und 16-er System um. Geben
Sie bei insgesamt mindestens 5 Lösungen den genauen Rechenweg dazu an. Hinweis: Die
tiefgestellten Ziern geben das Zahlensystem an in welchem die Aufgabe gestellt ist.
(a) (100)2 ,
(100)4 ,
(b) (F F )17 ,
(35)8 ,
(100)10 ,
(A)B ,
(100)16
(123)16
4
(b) Berechnen Sie 44 mod 7 ohne Computer/Taschenrechner. Geben Sie Ihren Rechenweg an.
1 Bijektion = bijektive Abbildung = Permutation
2 Zwei Mengen heiÿen diskunkt, falls ihre Schnittmenge
1
gleich der leeren Menge ist.
Zahlentheorie/Modulare Arithmetik
Aufgabe 5. (5 Punkte) Beweisen sie alle der folgenden Aussagen abgesehen derjenigen/denjenigen
die falsch ist/sind; dafür geben Sie bitte jeweils Gegenbeispiel(e) an. Im nachfolgenden sei n ∈ N.
Zum Beweis einer Aussage dürfen sie alle als korrekt bewiesenen 'vorausgegangenen' Aussagen
benutzen.
(a) a ≡ a (mod n),
(b) Aus a ≡ b (mod n) folgt b ≡ a (mod n),
(c) Aus a ≡ b (mod n) und b ≡ c (mod n) folgt a ≡ c (mod n),
(d) Aus a ≡ b (mod n) folgt a + c ≡ b + c (mod n),
(e) Aus a ≡ b (mod n) folgt ac ≡ bc (mod n)
(f) Aus ac ≡ bc (mod n) folgt a ≡ b (mod n) für c 6= 0 (mod n)
(g) Aus a ≡ b (mod n) und c ≡ d (mod n) folgt a + c ≡ b + d (mod n)
(h) Aus a ≡ b (mod n) und c ≡ d (mod n) folgt ac ≡ bd (mod n)
(i) Aus a ≡ b (mod n) folgt ak ≡ bk (mod n) für alle k ≥ 0.
(j) Aus a ≡ b (mod n) folgt k a ≡ k b (mod n) für alle k ≥ 0.
Aufgabe 6. (2 Punkte)
Beweise die folgenden Aussagen über gröÿte gemeinsame Teiler (ggT ).
(a) ggT (ka, kb) = k · ggT (a, b) für alle k ∈ N.
(b) ggT (a, b) = ggT (a + kb, b) für alle k ∈ Z.
Nachfolgend ist ein Beispiel einer Liste von aufeinanderfolgenden,
zusammengesetzten Zahlen (d.h. keine Primzahlen) angegeben:
Aufgabe 7. (2 Punkte)
114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126.
Beweisen Sie, dass es für alle n ∈ N eine solche Liste der Länge n gibt. Betrachten Sie dabei
insbesondere Zahlen > n! = n · (n − 1) · · · 3 · 2 · 1.
2