Analysis Rohfassung

Analysis
Rohfassung
Prof. Dr. Hans-Jürgen Steens
Fachhochschule Kaiserslautern Standort Zweibrücken
[email protected]
29. September 2014
2
Kapitel 1
Der Grenzwertbegri
1.1 Die reellen Zahlen
1.1.1 Der Zahlenaufbau revisited
Die reellen Zahlen können bottom-up oder top-down speziziert werden. Der Aufbau
im ersten Semester war bottom-up, also konstruktiv. Ausgehend von den natürlichen
Zahlen konstruierten wir die ganzen Zahlen vermittels einer Äquivalenzrelation. Betrachten wir die Repräsentanten der Äquivalenzklassen, dann besteht der Übergang
der natürlichen Zahlen im Übergang zu einem Paar natürlicher Zahlen. Analog kann
man den Übergang von den ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen als Übergang
von ganzen Zahlen zu einem Paar ganzer Zahlen betrachten. Insgesamt können wir
also eine rationale Zahl konstruieren aus 4 einzelnen natürlichen Zahlen, aggregiert
in Form zweier Zahlenpaare. Ein 4-Tupel natürlicher Zahlen steht dann für folgende
rationale Zahl:
(a, b, c, d) ∼
= (a − b)/(c − d)
Die Erweiterungen sind somit nit, d.h. mit endlich vielen natürlichen Zahlen kann
jede rationale Zahl konstruiert werden.
Der Übergang von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen ist von einer ganz
anderen Qualität, der Übergang kann nur mit inniten Mitteln vollzogen werden.
Die neu hinzukommenden irrationalen Zahlen können nur durch einen Übergang zu
inniten Datenstrukturen erfasst werden (i.d.R. durch unendliche nichtperiodische
Dezimalbrüche).
Für die Informatik als Ingenieurwissenschaft, der nur nite rechnerische Mittel zur
Verfügung stehen, ist dies ein Problem. Man kann es umgehen, indem man die in
mathematischen Problemen auftauchenden irrationalen Zahlen nur approximiert.
Dennoch ist ein konzeptuelles Verständnis auch der irrationalen Zahlen notwendig,
wenn es darum geht mathematische Probleme algorithmisch geeignet aufzubereiten.
Neben dem bottom-up Ansatz lassen sich die reellen Zahlen und alle darin enthaltenen rationalen, ganzen und natürlichen Zahlen wie bereits angedeutet in einem
einzigen Ziug speziziert werden. Das ist der in der Analysis häug gewählte Ansatz.
1.1.2 Die Axiome der reellen Zahlen
Die grundlegenden Eigenschaften der reellen Zahlen
R
lassen sich unterteilen in
gebraische Axiome, Ordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom.
3
al-
4
KAPITEL 1.
DER GRENZWERTBEGRIFF
Betrachten wir zunächst die algebraischen Axiome. Sie besagen, dass
ist. Im einzelnen bedeutet dies, dass aus auf der Menge
R
R ein Körper
zwei binäre Operationen
gibt, für die wir die gewohnte inxNotation benutzen:
+
R×R
(x, y)
−→
7−→
R×R
(x, y)
−→
7−→
R
x+y
sowie
·
R
x·y
Die Operation + heiÿt Addition, die Operation · heiÿt Multiplikation. Dass
ein Körper ist, bedeutet nun einerseits, dass
R
R
bzgl. der Addition eine abelsche
(i.e. kommutative) Gruppe ist mit 0 als neutralem Element und dass andererseits
R \ {0}
auch bzgl. der Multipliktion eine abelsche Gruppe ist mit 1 als neutralem
Element, wobei Addition und Multiplikation über ein Distibutivgesetz miteinander
verbunden sind.
Im einzelnen gelten also folgende
AG1)
(
AG2)
AG3)
AG4)
MG2)
MG3)
(
MG4)
(
und für die
DG)
(
x ∈ R gilt x + 0 = 0 + x = x.
der 0)
Für alle
x ∈ R gibt es jeweils ein −x ∈ R,
des inversen Elementes)
Für alle
x, y ∈ R
gilt
(Kommutativgesetz)
sowie für die
(
Für alle
gilt
(x + y) + z = x + (y + z).
(Existenz
(
MG1)
x, y, z ∈ R
(Neutralität
(
(
Für alle
(Assoziativgesetz)
(
algebraische Axiome für die Addition:
so dass
x + (−x) = (−x) + x = 0.
x + y = y + x.
Multiplikation:
Für alle
x, y, z ∈ R
Für alle
x ∈ R gilt x · 1 = 1 · x = x.
der 1)
(Assoziativgesetz)
gilt
(x · y) · z = x · (y · z).
(Neutralität
x ∈ R \ {0} gibt es jeweils
(Existenz des inversen Elementes)
Für alle
Für alle
x, y ∈ R
gilt
(Kommutativgesetz)
ein
x−1 ∈ R,
so dass
x · x−1 = x−1 · x = 1.
x · y = y · x.
Veträglichkeit zwischen der Addition und der Multiplikation:
Für alle
x, y, z ∈ R
(Distributivgesetz)
gilt
(x + y) · z = x · z + y · z .
1.1.
5
DIE REELLEN ZAHLEN
Zusätzlich zu den algebraischen Axiomen hat
R die Eigenschaft, ein total oder line-
ar angeordneter Körper zu sein, wobei die Ordnungsrelation mit den algebraischen
Operationen verträglich ist.
Im einzelnen gelten also folgende
ORD1)
(
ORD2)
(
ORD3)
(
ORD4)
(
ORD5)
(
ORD6)
(
Für alle
Axiome der Anordnung:
x, y ∈ R gilt x 5 x.
der Ordnung)
(Reexivität
Falls für zwei
x, y ∈ R
Falls für drei
x, y, z ∈ R
(Identitätsgesetz)
(Transitivitätsgesetz)
Für je zwei
(Linearität
sowohl
x5y
sowohl
als auch
x5y
y 5 x,
als auch
x, y ∈ R gilt entweder x 5 y
od. Totalität der Ordnung)
oder
dann ist
y 5 z,
y5x
x = y.
dann ist auch
x 5 z.
(oder beides)
Falls für
x, y ∈ (R) : x 5 y , dann ist für alle z ∈ R : x + z 5 y + z .
der Ordnung mit der Addition)
Falls für
x, y ∈ (R) : x 5 y , dann ist für diejenigen z ∈ R
der Ordnung mit der Multiplikation)
(Verträglichkeit
(Verträglichkeit
Konvention: Wir schreiben
Schlieÿlich gilt für
R
das
x < y,
falls
x5y
und
mit
0 5 z : x · z 5 y · z.
x ̸= y .
Vollständigkeitsaxiom:
VOLLST) Jede nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge M ⊂ R hat ein Inmum in R.
(
Der Körper der reellen Zahlen ist durch diese Eigenschaften (bis auf Isomorphie)
eindeutig bestimmt.
1.1.3 Einfache Folgerungen aus den algebraischen Axiomen
Satz 1.1. Die Gleichung a + x = b ist stets eindeutig lösbar. Insbesondere folgt
aus a + x = a + y stets x = y .
Beweis.
Wir zeigen zunächst die Existenz einer Lösung von
x = b + (−a).
x+a
Damit
x + a = b:
Wähle
Dann gilt:
= (b + (−a)) + a (Wahl von x)
= b + ((−a) + a) (AG1)
= b+0
(AG3)
= b
(AG2)
ergibt sich also x = b + (−a) als eine
x + a = b. Wir
a + x = a + y . Dann gilt:
mögliche Lösung von
zeigen nun noch die Eindeutigkeit der Lösung. Sei also
6
x
KAPITEL 1.
=
=
=
=
=
=
=
0+x
((−a) + a) + a
(−a) + (a + x)
(−a) + (a + y)
((−a) + a) + y
0+y
y.
AG2)
AG3)
(AG1)
(
(
(nach Voraussetzung)
AG1)
AG3)
(AG2)
(
(
Insgesamt erhalten wir damit also
gewiesen.
DER GRENZWERTBEGRIFF
x=y
und die Eindeutigkeit der Lösung ist nach-
2
Folgerung 1.2. Sowohl das neutrale Element als auch die jeweils inversen
Elemente sind eindeutig bestimmt.
Beweis.
a + x = a als auch a + x = 0 eindeutig
x geben, das neutral ist bzw. invers ist zu a. 2
Nach Satz 1.1 sind sowohl
lösbar. Es kann damit also nur ein
Folgerung 1.3. Es ist −(−x) = x für alle x ∈ R
Beweis. Es ist nach (AG3) sowohl −x + −(−x) = 0 als auch −x + x = 0. Wegen der Eindeutigkeit des inversen Elementes nach Folgerung 1.2 ergibt sich hieraus
sofort die Behauptung.
2
Satz 1.4. Aus x + x = x folgt x = 0.
Beweis. Es gilt:
0
=
=
=
=
=
x + (−x)
(x + x) + (−x)
x + (x + (−x))
x+0
x.
Damit ergibt sich
AG3)
(
(nach Voraussetzung)
AG1)
AG3)
(AG2)
(
(
2
0 = x.
Satz 1.5. Es ist 0 · a = 0 für alle a ∈ R.
Beweis. Es gilt:
0·a
Damit
= (0 + 0) · a (AG3)
= 0 · a + 0 · a (DG)
ist 0 · a = 0 · a + 0 · a und
nach Satz 1.4 folgt sofort die Behauptung.
Satz 1.6. Es ist (−1) · a = −a für alle a ∈ R.
Beweis. Es gilt:
0
=
=
=
=
0·a
(1 + (−1)) · a
1 · a + (−1) · a
a + (−1) · a
(Satz 1.5)
AG3)
DG)
(MG2)
(
(
2
1.1.
7
DIE REELLEN ZAHLEN
Damit ist
−a.
(−1)·a invers zu a und wegen Folgerung 1.2 ist damit notwendig (−1)·a =
2
Folgerung 1.7.
Beweis.
Es ist nach Satz 1.6
−(−1) = 1.
Notation:
Es ist (−1) · (−1) = 1.
2
Wenn wir mit
b−1
(−1) · (−1) = −(−1).
das zu
bezeichnen, dann sei denitionsgemäÿ
Satz 1.8.
Beweis.
Es ist
Übung
b inverse Element
a
= a · b−1 .
b
Wegen Folgerung 1.3 ist
bzgl. der Multiplikation
a
a·c
·c=
b
b
2
1.1.4 Einfache Folgerungen aus den Ordnungsaxiomen
Sprachregelung: Eine Zahl
a
mit
a>0
nennen wir positiv. Eine Zahl
a
mit
a<0
nennen wir negativ.
Satz 1.9.
Beweis.
a>0
Ist a positiv, dann ist −a negativ und umgekehrt.
Sei
a
positiv, d.h.
⇒ a + (−a)
⇒
0
Damit ist
−a
a 0 + (−a) (ORD5)
>
−a
(denn a + (−a) = 0)
denitionsgemäÿ negativ. Die Umkehrung zeigt sich analog.
Folgerung 1.10.
Beweis.
a > 0.
Ist a −b.
Es gilt:
⇒ a + (−a)
⇒
0
⇒
0
⇒
0
⇒
−a
⇒
−a
 −(b − a) (Satz 1.9)
>
−b + a
> −b + a − a (ORD5)
>
−b
(denn − b + a − a = −b)
2
Satz 1.11.
Es ist 0 < 1.
2
8
KAPITEL 1.
Beweis.
DER GRENZWERTBEGRIFF
1 < 0. Dann ist 1 negativ ist somit nach dem letzten Satz
−1 > 0. Wegen der Verträglichkeit der Multiplikation mit der
Ordnungsrelation für positive Zahlen ist damit (−1) · (−1) > 0 · (−1) = 0. Nach
Folgerung 1.7 ist (−1) · (−1) = 1 und damit wäre 1 > 0. Beides ist aber nach den
Ordnungsaxiomen nicht möglich. 2
−1
Annahme
positiv, also
Übungsaufgabe:
0 ⇒ a−1 > 0.
a > b
Übungsaufgabe:
a>b>0
und
c < 0
impliziert
impliziert
a · c 
a−1 < b−1 .
1.1.5 Weitere Folgerungen
Satz 1.12.
Beweis.
Schranke
Jede nach oben beschränkte Menge hat ein Supremum.
Sei
o∈R
Folgerung 1.10
M
mit
−o
eine nach oben beschränkte Menge, d.h. es gebe eine obere
o=x
damit ein Inmum. Sei
für
M
ist.
für alle
x ∈ M.
−M = {−x|x ∈ M}. Dann ist wegen
−M und wegen (VOLLST) hat −M
Man zeigt nun leicht, dass −I Supremum
Sei
eine untere Schranke für
I
dieses Inmum.
2
Wir haben die reellen Zahlen axiomatisch gewissermaÿen auf einen Schlag eingeführt. Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen müssen sich in der so
denierten Menge der reellen Zahlen geeignet wiedernden lassen.
Wir beginnen mit der Identikation der natürlichen Zahlen innerhalb von
Form einer Menge
N,
R
in
die auf natürliche Weise alle Eigenschaften der natürlichen
Zahlen erfüllt. Wir benutzen hierzu einerseits das neutrale Element der Addition
die Null und andererseits das neutrale Element bzgl. der Multiplikation die Eins beides Elemente, die uns vorab vornherein bei der Denition von
R
axiomatisch gegeben sind.
Wir denieren
(i)
N
induktiv wie folgt:
0 ∈ N.
(ii) Wenn
x ∈ N,
dann ist auch
(iii) Keine weiteren Elemente
Die Nachfolgerfunktion
N
x + 1 ∈ N.
x∈R
gehören zu
N.
erhalten wir jetzt einfach vermöge:
N (x) := x + 1.
N (x) = N (y) bedeutet x + 1 = y + 1 und hieraus
−1) sofort x = y . Die 0 besitzt kein
Urbild bzgl. der Abbildung N , denn man zeigt induktiv sofort, dass für alle x ∈ N
gilt: N (x) > 0. Auf Grund der induktiven Denition von N folgt oensichtlich auch
die letzte Eigenschaft der natürlichen Zahlen: jede Teilmenge M ⊂ N mit 0 ∈ M
und der Eigenschaft, dass mit x ∈ M auch N (x) ∈ M, ist gleich N.
Oensichtlich ist
N
injektiv, denn
ergibt sich (Addition auf beiden Seiten mit
1.1.
9
DIE REELLEN ZAHLEN
Ausgehend von
N ⊂ R
kann man nun durch Inversenbildung innerhalb
eine natürliche Identikation von
Z
und
Q
in
R
R
auch
nden.
Satz 1.13 (Archimedes). Zu jeder reellen Zahl a gibt es eine natürliche Zahl n
mit a < n. Es gibt also keine reelle Zahl, die gröÿer ist als alle natürlichen Zahlen.
Beweis.
Annahme es gebe ein
a,
das gröÿer ist als alle natürlichen Zahlen.
Dann ist die Menge aller natürlichen Zahlen nach oben beschränkt, also hat sie ein
C bezeichnen. Da 0 < 1 (Satz 1.11) folgt C < C + 1, und
C − 1 < C . Nach Denition des Supremums gibt es also eine positive Zahl
n mit C − 1 < n. Daraus folgt aber sofort, dass C < n + 1. n + 1 ist aber ebenfalls
eine natürliche Zahl. Widerspruch zur Annahme.
2
Supremum, das wir mit
deshalb
Folgerung 1.14.
0 < 1/n < ϵ.
Beweis.
Zu jeder positiven reellen Zahl ϵ gibt es ganze Zahl n mit
2
Satz 1.15.
Es gibt eine reelle Zahl b > 0 mit b2 = 2. Die Zahl b heiÿt Wurzel
von 2 und wir schreiben:
√
b = 2.
Beweis. Sei S die Menge aller positiven reellen Zahlen x mit x2 5 2. Dann ist S
nicht leer und nach oben beschränkt (warum?). Sei b das Supremum dieser Menge.
2
Angenommen b < 2. Wir betrachten dann den Ausdruck:
(
)
1
b+
n
=
b2 +
2b
1
+ 2
n
n
5
b2 +
2b
1
+
n
n
=
b2 +
2b + 1
.
n
2
Wählen wir nach dem Satz von Archimedes ein n so, dass n > (2b+1)/(2−b ), dann
2
2
ergibt sich (b+1/n) < 2 und b wäre kein Supremum für S . Damit muss b = 2 sein.
Auf ähnliche Weise zeigt man, dass
2
wendig b = 2.
2
b2
nicht gröÿer als 2 sein kann. Damit ist not-
2
Die Wurzel von 2 ist eindeutig bestimmt. Sei nämlich für positive b und c b =
2
2
2
c = 2, dann folgt 0 = b − c = (b + c)(b − c). Also ist entweder b = c oder b = −c.
Da aber die Wurzeln als positiv vorausgesetzt werden, muss
a=b
sein, da anson-
sten eine der Wurzel negativ wäre.
Mit analogen Mitteln kann man zeigen:
Satz 1.16. Für jede reelle Zahl a > 0 gibt es ein (eindeutig bestimmtes) b > 0
mit b2 = a. Wir schreiben:
√
b = a.
Beweis.
Übung
Satz 1.17.
Beweis.
2
Aus 0 < x 5 y folgt
Übung
2
√
√
x 5 y.
10
KAPITEL 1.
DER GRENZWERTBEGRIFF
1.1.6 Absolutbetrag und Dreiecksungleichung
Der Absolutbetrag einer Zahl
x
wird deniert durch:
|x| =
Oensichtlich ist
|x|2 = x2
Insbesondere ist also auch
√
x2 .
|x| = | − x| und es gilt:
{
x, falls x = 0
|x| =
−x, falls x < 0
und
x 5 |x|
für alle
x ∈ R.
Darüberhinaus hat der Absolut-
betrag folgende Eigenschaften:
Satz 1.18. i) Für alle x ∈ R ist |x| = 0 und |x| > 0 falls x ̸= 0.
ii) Für alle x, y ∈ R ist |xy| = |x||y|.
iii) Für alle x, y ∈ R ist |x + y| 5 |x| + |y|.
√
√ √
√
Beweis. zu i): Es ist |xy| = (xy)2 = x2 y2 = x2 y2 = |x||y|.
2
zu iii): Es ist |x + y|
= (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 5 |x|2 + 2|xy| + |y|2 =
2
2
|x| + 2|x||y| + |y| = (|x| + |y|)2 . 2
Satz 1.19. Sei ϵ eine positive reelle Zahl. Dann ist (für x ∈ R) |x| 5 ϵ äquivalent zu −ϵ 5 x 5 ϵ.
Beweis.
to be done
2
Begri eines geschlossenen und oenen Intervalles.
1.2 Konvergente Folgen
Formal kann eine Zahlenfolge aufgefasst werden als eine Abbildung von
N
in die
Menge der reellen Zahlen. Folgen können beliebig gebildet werden, im allgemeinen
haben wir aber einfache und überschaubare Bildungsgesetze.
Interessant ist nun das endgültige Verhalten solcher Folgen, d.h. ob sie gegen einen
Grenzwert konvergieren oder nicht.
Wie kann man solche Konvergenz mathematisch präzise fassen:
Inituitiv erwarten wir, dass bei einer Folge, die gegen einen Grenzwert strebt,
die Folgenelemente letztlich sich immer stärker dem Grenzwert annähern. Dieses letztlich können wir nun mathematisch so fassen, dass wir sagen ab einem
gewissen Folgenelement müssen die weiteren Folgenelemente sich ausnahmslos alle
innerhalb eines vorgegebenen `Nahbereich um den Grenzwert herum' benden. Für
eine gegen einen Grenzwert konvergente Folge erwarten wir also folgendes Verhalten:
Egal, welchen Nahbereich um den Grenzwert wir auch vorgegeben, es muss für
diesen speziellen Nahbereich dann einen Index geben, ab dem sich alle weiteren
Folgenelemente innerhalb dieses Bereiches benden müssen. Dabei werden wir im
allgemenen annehmen müssen, dass je enger der Nahbereich gefasst ist, desto länger
wir bei der Folge warten müssen, bis alle weiteren Folgenelemente endgültig innerhalb dieses Bereiches verbleiben.
1.2.
11
KONVERGENTE FOLGEN
Im ersten Ansatz können wir also formulieren: bei einer gegen einen Grenzwert
konvergenten Folge
Index
N ∈N
(xn )
c
muss es für jeden beliebig vorgebenen Nahbereich einen
geben, so dass alle Folgenelemente
xn
mit
n5N
sich innerhalb des
Nahbereiches benden müssen.
Damit bleibt als Aufgabe noch den Begri des Nahbereiches zu präzisieren. Hierzu
benutzt man in der Mathematik den Begri der
Umgebung. Wir benötigen diesen
Begri im folgenden nur in der speziellen Form der sog.
εUmgebung:
Denition 1.20. Für ein x ∈ R und ein ε ∈ R mit ε > 0 heiÿt die Menge
Uε (x0 ) = {x||x − x0 | < ε} εUmgebung von x0 .
Folgerung 1.21.
Beweis.
Es gilt x ∈ Uε (x0 ) g.d.w. x0 − ε < x < x0 + ε.
Folgt sofort aus Eigenschaften des Absolutbetrages.
2
Damit kommen wir zur zentralen Denition dieses Kapitels:
Denition 1.22. Sei (xn ) eine Zahlenfolge (reeller Zahlen). Dann heiÿt (xn )
konvergent gegen einen Grenzwert c ∈ R, wenn es für alle εUmgebungen Uε (c) von
c ein N ∈ N gibt mit xn ∈ Uε (c) für alle n = N.
Hieraus erhalten wir sofort:
Folgerung 1.23. Eine Zahlenfolge (xn ) konvergiert gegen einen Grenzwert
c ∈ R genau dann, wenn es für jedes ε > 0 ein N ∈ N gibt, so dass für alle n = N
gilt: |c − xn | < ε bzw. (wegen 1.21) c − ε < xn < c + ε.
Beweis der Eindeutigkeit des Grenzwertes. t.b.d.
Wir weisen nun an Hand eines besonders einfachen Beispiels die Konvergenz einer
Zahlenfolge formal nach, um ein erstes Gefühl für die Denition des Konvergenzbegries zun bekommen.
Satz 1.24.
Die Folge (xn ) = (1/n) konvergiert gegen den Grenzwert 0.
Beweis. Zu zeigen ist, dass bei vorgegebem ε > 0 es ein (von ε i.A. abhängiges)
N ∈N
gibt, so dass für alle
n=N
gilt
xn = 1/n ∈ Uε (0).
Wegen der Folgerung
ε ein geeignetes
0 − ε < 1/n < 0 + ε für alle n = N .
Sei also ε > 0 beliebig vorgegeben. Dann gibt es nach dem Satz von Archimedes
ein N ∈ N mit N > 1/varepsilon. Für alle n = N ist damit (Transitivität der Ordnungsrelation!) auch n > 1/varepsilon. Durch Multiplikation mit den Kehrwerten
1/n und 1/(1/ε) = ε erhalten wir (Verträglichkeit der Ordnungsrealtion mit der
1.23 genügt es also alternativ zu zeigen, dass es bei vorgegebenem
N
gibt mit
Multiplikation: die Kehrwerte bleiben positiv) aus dieser Ungleichung die Ungleichung
1/n < ε.
Zusätzlich gilt aber auch
−ε < 1/n,
und damit erhalten wir formal
(unter Berücksichtigung, dass unser Grenzwert 0 die Rolle des obigen
0 − ε < 1/n < 0 + ε
hatten.
2
soll) die Ungleichung
was wir zu beweisen
für alle
Äquivalente Formulierung der Konvergenz mit
n = N.
1/m
anstelle
ε.
Operationelle Interpretation durch ein Programmsegment in Java:
boolean checkConvergence(){
c
einnehmen
Das ist aber genau das,
12
KAPITEL 1.
DER GRENZWERTBEGRIFF
L1: for(int m = 1; ; m++){
L2: for(int N ; ; N++){
for(int n = N + 1; ; n++){
if(!(Math.abs(x(n) - c) < 1/m){
continue L2;
}
}
continue L1;
}
return false;
}
return true
}
Konvergente Zahlenfolgen haben die generelle Eigenschaft beschränkt zu sein:
Satz 1.25. Jede (gegen eine Zahl c) konvergente Folge (xn ) ist beschränkt.D.H.
es gibt zwei Zahlen i und s mit i < xn < s für alle n ∈ N. (Dabei kann ohne
Beschränkung der Allgemeinheit die untere Schranke i als −s also als das Negative
der oberen Schranke gewählt werden. Beweis!)
Beweis.
Nach Voraussetzung existiert auf Grund der Konvergenz z.B. für die
spezielle Wahl
ε = 1 ein N
mit
dest sämtliche Folgenglieder ab
x0 , · · · xN −1
c−1 < xn < c+1 für alle n = N . Damit sind zuminxN beschränkt. Die restlichen Folgenglieder nämlich
sind aber oensichtlich auch beschränkt, da es sich hier nur um endlich
min(x0 , · · · , xN −1 ) < xn < max(x0 , · · · , xN −1 ) für
n = 0, · · · , N −1. Insgesamt gilt damit damit unter Einbeziehung der Schranken
für die Folgenglieder ab N : min(x0 , · · · , xN −1 , c − 1) < xn < max(x0 , · · · , xN −1 , c +
1) für ausnahmslos alle n ∈ N. Damit ist die Behauptung beweisen. 2
viele Zahlen handelt. Formal ist
alle
Umgekehrt können wir aber nicht sagen, dass jede beschränkte Zahlenfolge auch
n
konvergent ist, wie wir am Beispiel der Zahlenfolge (xn ) = ((−1) unschwer erkennen können.
Wir haben nun zwar eine Denition für die Konvergenz einer Zahlenfolge, die wir
in Spezialfällen auch zum direkten Nachweis der Konvergenz einer Zahlenfolge benutzen können, wenn wir eine Vorstellung vom tatsächlichen Grenzwert (im obigen
Fall die 0) haben. Wie können wir aber vorgehen die Konvergenz einer konkreten
Folge zu beweisen, wenn wir den Grenzwert (dessen Existenz wir annehmen) selbst
nicht kennen? Wir benötigen mit anderen Worten, Konvergenzkriterien, an Hand
derer wir die Konvergenz von Folgen feststellen können, ohne eine Vorstellung vom
Grenzwert selbst zu haben. Am einfachsten gelingt uns dies mit sog.
Folgen,
monotonen
das sind Folgen, deren Folgenglieder ausnahmslos nur in einer Richtung
wachsen. Formal denieren wir hierzu:
Denition 1.26.
i Eine Folge (xn ) heiÿt monton wachsend bzw. streng
monoton wachsend wenn für alle n ∈ N: xn 5 xn−1 bzw. xn < xn−1 .
ii Eine Folge (xn ) heiÿt monton fallend bzw. streng monoton fallend wenn für
alle n ∈ N: xn = xn−1 bzw. xn > xn−1 .
iii Eine Folge (xn ) heiÿt monton bzw. streng monton, wenn sie monton wachsend
oder fallend bzw. streng monoton wachsend oder fallend ist.
Für monotone Folgen gilt nun auch die Umkehrung von Satz 1.25:
Satz 1.27. Ist eine beschränkte Folge (xn ) zusätzlich monoton, dann ist sie
notwendig auch konvergent.
1.2.
13
KONVERGENTE FOLGEN
Beweis. Wir beweisen die Behauptung stellvertretend für den Fall einer monoton wachsenden Folge
Sei also
(xn )
(xn ):
eine beschränkte Folge, die zusätzlich monoton wachsende ist. Auf
Grund des Vollständigkeitsaxioms der reellen Zahlen gibt es auf Grund der Be-
(xn ) für die (natürlich ebenfalls beschränkte) Menge {xn |n ∈
R. Sei b dieses Supremum. Dann gibt es auf Grund der Eigenschaften eines Supremums für ein beliebig vorgegebenes ε > 0 ein Element aus
{xn |n ∈ N} also ein xN aus der Folge (xn ) mit b − ε < xN < b. Da (xn ) monoton
wachsend ist und b auf Grund der Supremumsegenschaft gleichzeitig auch eine obere
Schranke für ausnahmslos alle xn ist, können wir die letzte Ungleichung erweitern
zu b − ε < xN 5 xn 0 (s.o.) gibt es ein N ∈ N mit b − ε < xn < b + ε für alle n = N .
Damit haben wir aber die Konvergenz von (xn ) nachgewiesen mit dem Supremum
b als Grenzwert. 2
schränktheit der Folge
N}
ein Supremum in
Beispiel: Die Folgen
(xn ) = ((1 + 1/n)n
bzw.
(xn ) = ((1 + 1/n)n+1
sind mono-
ton wachsend bzw. monoton fallend und beschränkt.
Beweis t.b.d.
Wir haben bemerkt, dass eine beschränkte Zahlenfolge
vergent ist. Dennoch erwarten wir, dass wenn
(xn )
(xn )
nicht notwendig kon-
nicht schon konvergent ist, es
zumindest Punkte gibt, um die herum es beliebig viele Folgenglieder geben muss.
Solche Punkte heiÿen
Häufungspunkte. Formal denieren wir:
Denition 1.28. Sei (xn ) eine beliebige (nicht notwendig beschränkte) Folge.
Dann heiÿt c ∈ R ein Häufungspunkt der Folge, wenn in jeder εUmgebung von
c Uε (c) unendlich viele Folgenglieder von (xn ) enthalten sind. M.a.W. eine reelle
Zahl c ist Häufungspunkt von (xn ) g.d.w. es für jedes ε > 0 unendlich viele n ∈ N
gibt, mit |c − xn | < ε.
Man beachte den Unterschied in den Denitionen eines Grenzwertes und eines
(nur) Häufungspunktes. Jeder Grenzwert ist notwendig auch ein Häufungspunkt
aber nicht umgekehrt.
Satz 1.29. Eine reelle Zahl c ist ein Häufungspunkt einer Folge (xn ) g.d.w. es
für jedes ε > 0 und für jedes N ∈ N ein n > N gibt mit |c − xn | < ε.
Beweis.
Übung.
Wir kommen nun zum wichtigen
Satz 1.30 (BolzanoWeierstrass). Sei (xn ) eine beschränkte Folge mit a 5
xn 5 b für alle n ∈ N. Dann hat diese Folge einen Häufungspunkt c mit a 5 c 5 b.
Beweis. Wir bilden ausgehend von der vorgegebenen Folge (xn ) eine neue Folge
(cn ),
n ∈ N sei das neue Folgenelement cn de{xn , xn+1 , xx+2 , · · · }. (Dieses Inmum existiert
Folge (xn ).) Oensichtlich ist cn 5 cn+1 , da das
die wir wir folgt denieren: für alle
niert als das Inmum der Menge
auf Grund der Beschränktheit der
Inmum einer Teilmenge nicht kleiner sein kann als das Inmum einer Obermenge.
(Bei einer Teilmenge könnten ja die kleinsten Elemente höchstens herausgenommen
worden sein und es können erst recht keine kleineren dazugekommen sein.) Weiterhin ist notwendig
cn 5 b,
da die ursprüngliche Folge der
beschränkt ist. Wir haben es in
(cn )
xn
durch
b
nach oben
also mit einer monoton wachsenden und be-
schränkten Folge zu tun die wegen Satz 1.27 also gegen ein
c∈R
konvergiert.
14
KAPITEL 1.
DER GRENZWERTBEGRIFF
c ist damit natürlich ein Häufungspunkt von (cn ). Wir zeigen nun, dass c aber auch
ein Häufungspunkt der ursprünglichen Folge (xn ) ist. Wir benutzen hierzu den Satz
1.29. Sei also ein beliebiges ε > 0 und ein N ∈ N vorgegeben. Dann gibt es wegen
der Konvergenz von (cn ) gegen c ein m = N mit |c − cm | < ε/2. Andererseits gibt es
wegen der Inmumseigenschaft von cm bzgl. derjenigen xn , für die n = m ist, notwendig ein k = m mit |xk −xm | < ε/2. Insgesamt gibt es also für das vorgebene ε und
N ein k = m = N also ein k = N mit |c − xk | 5 |xk − cm | + |cm − c| < ε/2 + ε/2 = ε
also |c − xk | < ε. Damit ist nach Satz 1.29 die Zahl c als Häufungspunkt der Folge
(xn ) nachgewiesen. 2
Mit Hilfe des Satzes von BolzanoWeierstrass können wir nun ein allgemeineres
Konvergenzkriterium beweisen, dass sich nicht nur auf monotone Folgen bezieht.
Hierzu führen wir den Begri einer sog. CauchyFolge ein:
Denition 1.31. Eine Folge (xn ) nennen wir CauchyFolge g.d.w. es für alle
ε > 0 ein N ∈ N gibt mit |xm − xn | < ε für alle n, m = N .
Es gelten nun folgende Sätze:
Satz 1.32. Jede konvergente Folge ist eine CauchyFolge.
Beweis. Die Folge (xn ) sei konvergent gegen den Grenzwert c. Nach Denition
ε>0
N ∈ N, so dass für alle n = N gilt: |c − xn | < ε/2 und damit natürlich auch
|c − xm | < ε/2 für alle m = N . Damit ist aber auch |xn − xm | 5 |xn − c| + |c − xm | <
ε/2 + ε/2 = ε für alle n, m > N . Damit haben wir für das vorgebene ε ein N
gefunden mit |xn − xm | < ε für alle n, m = N und (xn ) ist als CauchsFolge nachgewiesen.
2
der Konvergenz und Folgerung 1.23 existiert damit für ein beliebg vorgebenes
ein
Es gilt auch die Umkehrung:
Satz 1.33. Jede CauchyFolge ist konvergent.
Beweis. Beweisidee: im ersten Schritt zeigen wir, dass jede CauchyFolge beschränkt ist und erhalten daraus mit Hilfe des Satzes von BolzanoWeierstrass, dass
die Folge einen Häufungspunkt besitzt. Im zweiten Schritt zeigen wir, dass die Folge
gegen diesen Häufungspunkt konvergieren muss.
(xn ) beschränkt ist. Nach
ε = 1 ein N , so dass für alle
n = N und speziell für m = N gilt: |xn − xN | < 1. Wegen |xn | − |xN | 5 |xn − xN |
gilt damit |xn | − |xN | < 1 und damit |xn | 5 |xN | + 1. Analog zum Beweis von Satz
1.25 ergibt sich damit, dass (xn ) beschränkt ist.
Wegen dem Satz von BolzanoWeierstrass hat damit (xn ) einen Häufungspunkt c.
Sei
(xn )
eine CauchyFolge. Wir zeigen zunächst, dass
Denition einer CauchyFolge gibt es insbesondere für
(xn ) gegen c konvergiert. Sei dazu ein beliebiges ε > 0
(xn ) gibt es dann für ε/2 ein N mit
|xn −xm | < ε/2 für alle n, m > N . Wegen der Eigenschaft von c, Häufungspunkt von
(xn ) zu sein, gibt es ein m mit N = m, so dass |xm − c| < ε/2. Damit erhalten wir
für alle n mit n = N die Ungleichung: |xn −c| 5 |xn −xm |+|xm −c| < ε/2+ε/2 = ε
also |xn − c| < ε. Damit ist (xn ) als konvergent nachgewiesen mit c als Grenzwert.
2
Wir zeigen nun, dass die Folge
vorgegeben. Wegen der CauchyEigenschaft von
1.3.
15
UNENDLICHE REIHEN
1.2.1 Rechenregeln für konvergente Folgen
Im Rechnen mit konvergenten Folgen gelten folgende Rechenregeln:
Satz 1.34.
Seien (an ) und (bn ) konvergente Folgen, dann gilt:
(i) lim an + lim bn = lim an + bn
(ii) lim c · an = c · lim an für c ∈ R beliebig
(iii) lim 1/an = 1/ lim an falls lim an ̸= 0
(iv) lim an · lim bn = lim an · bn .
Beweis. Übung
2
1.3 Unendliche Reihen
1.3.1 Grundlegende Denitionen
Die Summe über eine endliche Menge von einzelnen Summanden lässt sich leicht
induktiv denieren. Eine Summe gebildet aus unendlich vielen Einzeltermen hat
hingegen zunächst keinen Sinn. Indem wir den Begri einer unendlichen Summe auf
den Begri einer Folge zurückführen, können wir die unendliche Summe vermöge
des Konzeptes der konvergenten Folge denieren. Hierzu denieren wir zunächst
den Begri der
Partialsumme :
Denition
1.35.
∑
sn =
n
i=0 ci
Sei (cn ) eine Folge reeller Zahlen. Dann heiÿt die Folge
die Folge der Partialsummen der (ci ).
Kommen wir damit zum Konzept der
unendlichen Reihe und deren Konver-
genz:
Denition
1.36. Sei (cn ) eine Folge reeller Zahlen. Unter der unendlichen
∑
∑
Reihe ∞
c
verstehen
wir die Folge ∑
der Partialsummen (sn ) mit sn = ni=0 ci .
i
i=0
Wir sagen, dass die unendliche Reihe ∞
i=0 ci gegen s ∈ R konvergiert, wenn die
Folge der Partialsummen gegen s konvergiert. Wir schreiben dann
∞
∑
ci = s.
i=0
Das Cauchysche Konvergenzkriterium (siehe Satz 1.33 überträgt sich nun auf
die unendlichen Reihen wie folgt:
∑
Sei ∞
i=0 ci eine unendliche Reihe. Dann konvergiert diese Reihe
genau dann, wenn
gilt:
für alle ε > 0 gibt es ein N ∈ N, so dass für alle n, m =
∑m
N die Summe | i=n+1 ci | < ε (wobei wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
annehmen können, dass n 5 m).
Satz 1.37.
Beweis. Übung
Folgerung 1.38.
2
Wenn die unendliche Reihe
vergiert die Folge der ci gegen 0.
∑∞
i=0 ci
konvergiert, dann kon-
16
KAPITEL 1.
Beweis.
DER GRENZWERTBEGRIFF
∑∞
i=0 ci konvergent. Aus Satz 1.37 folgt dann, dass beim vorgegeε > 0 ein N ∈ N existiert, so dass insbesondere für alle n, n + 1 = N (n + 1 ist
∑n+1
hier also in der Rolle des m) gilt |
i=n+1 ci | = |cn+1 | < ε. Damit ist also für vor′
gegebenes ε > 0 die Existenz eines N (hier gleich N + 1) gesichert, so dass für alle
′
n = N gilt |cn | = |cn −0| < ε. Damit konvergiert (cn ) denitionsgemäÿ gegen 0. 2
Sei
benem
Die Umkehrung gilt nicht, d.h. nicht jede unendliche Reihe, bei denen die Folge
der einzelnen Summanden eine Nullfolge bildet, konvergiert.
∑∞ 1
Beispiel: die harmonische Reihe
i=1 i divergiert.
1.3.2 Einfache konvergente unendliche Reihen
∑∞ i
∑∞ i=0 q 2 konvergiert für |q| < 1.
i=1 1/n konvergiert.
Die geometrische Reihe
Die unendliche Reihe
1.3.3 Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern
Wir betrachten im Folgenden Reihen mit positiven Gliedern.
Hierfür gibt es sehr einfache Konvergenzkriterien, die auf einem Vergleich mit bereits
als konvergent oder divergent nachgewiesenen Reihen beruht.
∑
i) Sei ∞
k=1 ck eine kona
eine
Reihe
mit
a
5
c
für
alle
k
ab
einem gewissen
vergente Reihe. Sei ∞
k
k
k
k=1
∑
a
konvergent.
Index N , dann ist auch ∞
k
k=1
Satz 1.39 (Majoranten
und Minorantenkriterium).
∑
∑∞
∑
ak eine Reihe mit ak = dk für
ii) Sei ∞
k=1∑
k=1 dk eine divergente Reihe. Sei
alle k ab einem gewissen Index N , dann ist auch ∞
k=1 ak divergent.
Beweis.
2
Übung
∑∞
∑∞Satz 1.40 (Qotientenkriterium). i) Sei k=1 ck eine konvergente Reihe. Sei
Reihe, für die ab einem gewissen Index N gilt an+1 /an 5
k=1 ak eine unendliche∑
∞
cn+1 /cn . Dann ist auch k=1 ak konvergent.
∑
∑∞
ii) Sei ∞
Reihe, für die
k=1 dk eine divergente Reihe. Sei
k=1 ak eine unendliche∑
ab einem gewissen Index N gilt an+1 /an = dn+1 /dn , dann ist auch ∞
k=1 ak divergent.
Beweis. Beweisidee zu i): Aus an+1 /an 5 cn+1 /cn ergibt sich an /a1 = an /an−1 ·
an−1 /an − 2 · · · a2 /a1 5 cn /cn − 1 · · · c2 /c1 = cn /c1 . Damit ist an 5 cn /c1 · a1 . Die
Behauptung folgt dann aus dem Majorantenkriterium.
Analog zeigt sich ii)
2
∑
Ist für eine unendliche Reihe ∞
k=1 ak ab einem
∑ gewissen
Index N an + 1/an < q für ein 0 < q < 1, dann konvergiert die Reihe ∞
k=1 ak .
Folgerung 1.41.
Beweis.
folgt aus Quotientenkriterium mit
Beispiel: Die Reihe
∑
xn /n!
ist konvergent.
ck = q k .
2
1.3.
17
UNENDLICHE REIHEN
1.3.4 Alternierende Reihen
Auch für die sog. alternierenden Reihen gibt es einfache Konvergenzkriterien. Sie
werden deniert wie folgt:
Denition 1.42.
Eine alternierende Reihe ist eine unendliche Reihe der Form
∞
∑
(−1)k+1 ak
k=1
bei der die ak eine monoton fallende Folge positiver Zahlen bilden.
Es gilt:
∑
k+1
Eine alternierende Reihe ∞
ak konvergiert genau dann,
k=1 (−1)
wenn die Reihenglieder ak eine Nullfolge bilden.
Satz 1.43.
Beweis.
Beweisidee: Die Teilfolgen der Partialsummen
s2n = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + · · · (a2n−1 − a2n
bzw.
s2n+1 = a1 + (−a2 + a3 ) + (−a4 + a5 ) + · · · (−a2n + +a2n+1
sind auf Grund der Voraussetzungen monoton wachsend bzw. fallend und sie beschränken sich gegenseitig nach oben bzw. nach unten. Also konvergieren Sie beide
und es gilt:
lim s2n+1 − lim s2n = lim a2n+1 .
n→∞
n→∞
n→∞
2
1.3.5 Absolute Konvergenz
∑∞
k+1 1
Wie das Beispiel der alternierenden Reihe
k=1 (−1)
k gibt es konvergente Rei∑∞
∑∞
c
für
die
|c
|
nicht
konvergent
ist.
Dies
gibt Anlass für folgende
hen
k
k
k=1
k=1
Denition:
Denition
1.44.
∑
wenn
∞
k=1
Eine unendliche Reihe
|ak | konvergent ist.
∑∞
k=1
ak heiÿt absolut konvergent,
Es gilt:
Satz 1.45.
Eine unendliche Reihe
auch im gewöhnlichen Sinn.
Beweis.
halten wir
∑∞
k=1
ak , die absolut konvergiert, konvergiert
Beweisidee: Mit Hilfe der (verallgemeinerten) Dreiecksungleichung er-
m
m
∑
∑
a
5
|ak |.
k
k=n+1
k=n+1
Damit ergibt sich die Behauptung mit dem Cauchyschen Konvergenzkriterium.
Beispiel: Die unendliche Reihe
∑∞
xi
i=0 i! konvergiert absolut.
2
18
KAPITEL 1.
DER GRENZWERTBEGRIFF
1.4 Exponentialfunktion und Logarithmus
Haben festgestellt, dass sowohl
(1 + x/n)n
als auch
∑∞
xi
i=0 i! für alle
x∈R
konver-
giert. Es gilt:
Satz 1.46.
Beweis.
(1 +
limn→∞ (1 + x/n)n =
∑∞
i=0
xi /i!
Beweisidee: Es ist
x
) =
n
=
=
=
n
∑
x
( )k
n
k=0
n
∑
k=0
n
∑
k=0
n
∑
k=0
n · (n − 1) · · · (n − k + 1) xk
k!
nk
xk n · (n − 1) · · · (n − k + 1)
k!
n · n···n
xk
1
k+1
· 1 · (1 − ) · · · (1 −
).
k!
n
n
Wenn nun das n sehr groÿ ist, wird für viele k ab der 0 der Term 1 · (1 −
1
k+1
n ) · · · (1 − n ) nahe der 1 sein. Und wenn dieser Term sich dann von der 1 zu
xk
entfernen beginnt, dann ist der andere Faktor
k! schon so klein, dass der Sumxk
1
k+1
mand
2
k! · 1 · (1 − n ) · · · (1 − n ) vernachlässigbar geworden ist.
limn→∞ (1 + x/n)n
Für
Satz 1.47.
bzw.
∑∞
xi
i=0 i! schreiben wir
exp(x)
oder auch
Es gilt für alle x, y ∈ R
e(x + y) = e(x) · (y).
(∑
) (∑
∞ xi
∞
Beweisidee: Es ist e(x) · e(y) =
i=0 i! ·
(∑k=0
∞
Beweis.
man, wenn die zunächt die Diagonalen zusammenfasst:
∑∞
1
n=0 n!
Für
(∑
x>0
n
n!
k
m=0 k!·(n−k)! x
ist
e(x).
e(x) > 1.
)
· y n−k =
∑∞
1
n=0 n!
i=0
yk
k!
)
. Hieraus erhält
) (∑
∞
x
·
k=0
i!
i
· (x + y)n = e(x + y).
yk
k!
)
=
2
(Beweis mit Hilfe der Summenformel.)
Die Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend. (Beweis mit dem Additionstheorem)
Es ist stets
e(x) > 1 + x.
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist der Logarithmus.
ln(x).
Der Lo-
garithmus hat folgende Eigenschaften: Multiplikationstheorem.
Mit Hilfe des Logarithmus und der Exponentialfunktion können reelle Exponenr
ten deniert werden: a = exp(r · ln(a)). Diese Denition stimmt für ganzzahlige
Exponenten
r
mit der üblichen Denition überein (Übung).
Kapitel 2
Stetige und dierenzierbare
Funktionen
2.1 Stetigkeit
Betrachten im Folgenden Funktionen einer reellen Variablen. Wir beschränken uns
dabei auf die Fälle, dass die Funktionen auf ganz
R
oder einfachen Teilmengen,
insbesondere auf Intervallen, deniert sind.
Von besonderem Interesse sind die sog. stetigen Funktionen. Um den Begri der
Stetigkeit zu präzisieren gibt es mehrere Möglichkeiten. Wir wählen hier zunächst
den Weg, den Begri der Stetigkeit auf den der Konvergenz von Folgen zurückzuführen. Hierzu führen wir zunächst einen für Funktionen angepassten Grenzwertbegri
ein.
2.1.1 Grenzwertbegri bei Funktionen
Denition 2.1. Sei I ⊂ R ein Intervall und f : I → R eine reellwertige
Funktion mit I = [a, b] oder I = (a, b). Sei a 5 x0 5 b. Wir sagen, dass der
Grenzwert der Funktion f für x gegen x0 existiert und gleich c ist, wenn für jede
Folge (xn ) mit xn → x0 , xn ̸= x0 die sich daraus ergebende Folge der Funktionswerte
f (xn ) gegen den Wert c konvergiert. Wir schreiben hierfür
lim f (x) = c
x→x0
.
limn→∞ f (xn ) = c für jede Folge
limxn = x0 erfüllt sein muss, dass es also nicht reicht, dass für eine spezigegen x0 konvergierende Folge (xn ) die Folge f (xn ) gegen c konvergiert.
Zu beachten ist hierbei, dass die Bedingung
(xn )
elle
mit
Interessant ist, dass der Grenzwertbegri für Funktionen auch ohne Rückgri auf
den Grenzwertbegri von Folgen deniert werden kann. Hierzu stellen wir fest:
Satz 2.2. Unter den Voraussetzungen von 2.1 gilt, dass limx→x0 f (x) = c genau
dann, wenn folgende Bedingung (E) gilt: für alle ε > 0 gibt es ein δ = δ(ε), so dass
für alle x ∈ Uδ (x0 ) ∩ I, x ̸= x0 gilt: |f (x) − c| < ε.
Beweis. Es gelte die Bedingung (E). Zu zeigen ist nun, dass für jede Folge (xn )
mit
xn → x0 (xn ̸= x0 ) die Folge f (xn ) gegen c konvergiert. Sei also (xn ) eine gegen
19
20
x0
KAPITEL 2.
STETIGE UND DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN
ε > 0 beliebig vorgegeben. Dann gibt es nach der Beδ mit |f (x) − c| < ε für alle xinI mit |x − x0 | < δ . Da
die Folge (xn ) gegen x0 nach Vor. konvergiert, gibt es ein N (das von δ abhängt),
ab dem die Folgenglieder xn von x0 einen Abstand kleiner als δ haben. Nach der
Bedingung (E) ist aber für alle diese xn (mit n > N ) |f (xn ) − c| < ε.
konvergierende Folge. Sei
dingung (E) ein zugehöriges
ε > 0 gibt es ein N , das mittelbar via einem
f (xn ) von c endgültig einen Abstand kleiner ε ha-
Also gilt: für beliebig vorgegenes
δ(ε)
von
ϵ
abhängt, ab dem die
ben. unter der Bedingung (E) konvergiert.
Damit lässt sich zusammenfassend sagen, dass für eine beliebig gegen
gierende Folge
(xn )
die sich hieraus ergebende Folge der
Damit ist denitionsgemäÿ
f (xn )
gegen
c
x0
konver-
konvergiert.
limx→x0 f (x) = c.
Wir zeigen nun umgekehrt, dass
f (x) nicht gegen c konvergiert (im Sinne von (2.1)),
wenn die Bedingung (E) nicht erfüllt ist. Dies bedeutet nämlich, dass aus der Konvergenz im Sinne von (2.1) auch die Bedingung (E) folgen muss.
ε, das wir mit ε0
δ > 0 ein x = xδ aus Uδ (x0 ) gibt mit |f (x) − c| = ε0 .
nach δ = 1/1, δ = 1/2, δ = 1/3, · · · und zu jedem dieser
Wenn nun die Bedingung (E) nicht erfüllt ist, dann gibt es ein
bezeichnen, so dass es für jedes
Wir wählen jetzt der Reihe
δ jeweils ein x1 , x2 , x3 , · · · . Hiermit erhalten wir oensichtlich eine spezielle gegen
x0 konvergierende Folge (xn ) für die jedoch gilt |f (xn )−c| > ε0 . Dies aber bedeutet,
dass keine Konvergenz im Sinne von (2.1) vorliegt.
2
Die Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen können sinngemäÿ bei Grenzwertbetrachtungen von Funktionen benutzt werden.
Wenn also
c+d
limx→x0 f (x) = c
und
limx→x0 g(x) = d
Wir zeigen, dass
Wegen
ex −ex
0
x−x0
1 + x < ex <
→ ex0
für
1
1−x für
x → x0 :
x < 1
x:
1<
und für negative
x
1>
ex − 1
1
<
x
1−x
0>
ex − 1
x
−1>
fürx < 0
x
1−x
|
geht damit
1
ex − 1
>
x
1−x
ex − 1
x
−1<
fürx > 0
x
1−x
und somit
x→0
x < ex − 1 <
0<
und
. Für
ist
erhalten wir:
. Damit ist
limx→x0 f (x) + g(x) =
(e(x) − e(x0 ))/(x − x0 ).
dann ist
etc. Beispiele von der Berechnung von Grenzwerten:
x
ex − 1
− 1| < |
|
x
1−x
ex −1
gegen 1.
x
x
x−1 . Damit ist positive
2.1.
21
STETIGKEIT
ex −ex
0
x−x0 erhalten wir schlieÿlich durch die Substitution
x0 unter Benutzung der Gleichung
Für den allgemeinen Fall
y =x−
ex − ex0
ex−x0 − 1
= ex0 ·
x − x0
x − x0
das gewünschte Ergebnis.
2.1.2 Stetigkeit von Funktionen
f wird nun in einem Punkt x0 stetig genannt, wenn der Grenzwert
limx→x0 f (x) existiert und gleich dem Funktionswert f (x0 ) ist. Eine
Eine Funktion
der Funktion
Funktion heiÿt allgemein stetig, wenn sie in allen Punkten ihres Denitionsbereiches
stetig ist.
Die Funktion
f (x) = x
für rationales
x
f (x) = −x
und
für irrationales
x
ist stetig
im Punkt 0, aber in allen anderen Punkten unstetig.
Auf Grund der Grenzwertsätze ergibt sich sofort, dass jedes Polinom stetig ist.
Satz 2.3. Ist eine Funktion f in einem Intervall I = [a, b] stetig, dann ist f
dort beschränkt.
Beweis.
Idee: Beweis durch Widerspruch, indem man eine Folge von
nimmt, so dass
f (xn )
beliebig wächst.
damit einen Häufungspunkt
(xn )
xn
an-
selbst ist natürlich beschränkt und hat
x0 , gegen den man eine konvergente Teilfolge laufen las-
sen kann, so dass die Voraussetzunmg der Stetigkeit hier leicht einen Widerspruch
erzeugt.
2
Satz 2.4. Ist eine Funktion in einem Intervall I = [a, b] stetig, so nimmt sie
dort auch ihr Inmum und ihr Supremum an.
Beweis.
Beweisidee: Sei
tigen Funktion
f.
M
I ste|M − f (xn )| < 1/n.
das Supremum der Funktionswerte einer auf
Dann gibt es eine Folge
(xn )
aus
I
mit
Diese Folge hat notwendig einen Häufungspunkt und wir können wir annehmen,
x0 konvergiert. Eixn nun gegen M , andererseits konvergiert
diese Folge wegen der Stetigkeit gegen f (x0 ). Damit muss wegen der Eindeutigkeit
eines Grenzwertes f (x0 ) = M sein und M wird von f , nämlich an der Stelle x0
angenommen.
2
dass diese Folge (notfalls nehmen wir eine Teilfolge) gegen ein
nerseit konvergiert
f (xn )
nach Wahl der
Satz 2.5 (Zwischenwertsatz). Ist eine Funktion in einem Intervall I = [a, b]
stetig, so nimmt sie dort jeden zwischen f (a) und f (b) gelegenen Wert an.
Beweis.
Beweisidee: Können annehmen, dass
Betrachten die Menge
als
y0
A
bestehend aus allen
ist. Diese Menge hat ein Supremum
auf Grund der Stetigkeit
f (xn ) → f (x0 )
x,
f (a) < f (b).
Sei
f (a)y0 < f (b).
deren Funktionswert nicht gröÿer
x0 . Für eine Folge (xn ) mit xn → x0 folgt
f (xn ) 5 y0 folgt f (x0 ) 5 y0 .
und wegen
Nun betrachten wir eine gegen x0 konvergierende Folge
′
für erhalten wir f (xn ) > y0 .
2
x′n
mit
x′n > x0 .
Hier-
22
KAPITEL 2.
STETIGE UND DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN
Folgerung 2.6. Ist eine Funktion in einem Intervall I = [a, b] stetig, und ist
f (a) < 0 und f (b) > 0 (oder umgekehrt), dann hat die Funktion f im Intervall I
eine Nullstelle.
2.2 Dierenzierbarkeit
2.2.1 Die Landau Symbole o() und O()
Seien f und g zwei reellwertige
x0 ∈ I . Wir denieren dann:
0.
Denition 2.7.
Eine Funktion
f
auf einem Intervall
denierte Funktionen. Sei
Wir schreiben f (x) = o(g(x)) für x → x0 , wenn limx→x0 f (x)/g(x) =
hat also genau dann diese Eigenschaft, wenn sie gleichsam
g für x → x0 gegen 0 geht. f
f (x) = g(x) · r(x) mit r(x) → 0 für x → x0 .
schneller als die Funktion
Darstellung
I
besitzt nämlich dann die
Es gilt folgender Satz:
Satz 2.8.
Sei f (x) = o(g(x)). Dann ist
(i) mit einer beliebigen beschränkten Funktion h(x) auch f (x) · h(x) = o(g(x)).
(ii) mit einer zweiten Funktion f1 (x), für die ebenfalls f1 (x) = o(g(x)) gilt, auch
f (x) + f1 (x) = o(g(x)).
(iii) mit einer weiteren Funktion f2 (x) mit der Eigenschaft f2 (x) = o(g2 (x)) auch
f1 (x) · f2 (x) = o(g1 (x) · g2 (x)).
Beweis.
Übung.
2
Denition 2.9. Wir schreiben f1 (x) = f2 (x) + o(g(x)) für reellwertige Funktionen f1 , f2 und g genau dann, wenn f1 (x) − f2 (x) = o(g(x)).
Wenn f1 also die in der letzten Denition beschriebene Eigenschaft hat, gleich
f2 (x) + o(g(x)) zu sein, dann unterscheidet sich f1 (x) in der fraglichen Umgebung
von x0 also nur unwesentlich von f2 . Um wieviel, das hängt natürlich von g(x)
ab: je kleiner g(x), desto geringer auch die Dierenz zwischen f1 (x) und f2 (x). Wir
sagen in diesem Zusammenhang:
Denition 2.10. Ist f (x) = a + b · (x − x0 ) + o(x − x0 ) (g habe hier also die
spezielle Form g(x) = (x − x0 )), dann heiÿt f durch die Gerade a + b · (x − x0 )
bis auf Glieder, die
(x − x0 )
sind,
approximiert.
von höherer als erster Ordnung in
klein
Es gelten folgende Rechenregeln:
Satz 2.11. Seien f1 und f2 zwei reellwertige auf einem Intervall I denierte
Funktionen mit:
f1 (x) = a1 + b1 · (x − x0 ) + o(x − x0 ) sowie
f2 (x) = a2 + b2 · (x − x0 ) + o(x − x0 ). Dann gilt:
(i) f1 (x) + f2 (x) = a1 + a2 + (b1 + b2 ) · (x − x0 ) + o(x − x0 )
2.2.
DIFFERENZIERBARKEIT
23
(ii) f1 (x) · f2 (x) = a1 · a2 + (a1 · b2 + a2 · b1 ) · (x − x0 ) + o(x − x0 )
Beweis.
Übung
2
Satz 2.12. Sei f eine reellwertige auf einem Intervall I denierte Funktion
mit:
f (x) = f (x0 ) + b · (x − x0 ) + o(x − x0 ) und f (x0 ) ̸= 0, dann gilt:
1/f (x) = 1/f (x0 ) − (b/(f (xo ))2 ) · (x − x0 ) + o(x − x0 )
.
Beweis.
Übung
2
Folgerung 2.13. Seien f1 und f2 zwei reellwertige auf einem Intervall I denierte Funktionen mit:
f1 (x) = f1 (x0 ) + b1 · (x − x0 ) + o(x − x0 ) sowie
f2 (x) = f2 (x0 ) + b2 · (x − x0 ) + o(x − x0 ) mit f2 (x0 ) ̸= 0, dann gilt:
f1 (x)/f2 (x) = f1 (x0 )/f2 (x0 )+(b1 ·f2 (x0 )+b2 ·f1 (x0 ))/(f2 (x0 )2 )·(x−x0 )+o(x−x0 ).
Beweis.
Übung
2
Denition 2.14. Wir schreiben f (x) = O(g(x)) für x → x0 , wenn f (x)/g(x)
beschränkt bleibt in einer Umgebung von x0 .
Eine Funktion
gebung von
x0
f
hat also genau dann diese Eigenschaft, wenn sie in einer Um-
von höchstens derselben Gröÿenordnung ist wie die Funktion
g.