Formelsammlung WS 2005/06

Formelsammlung
WS 2005/06
FH Düsseldorf
Fachbereich Maschinenbau und Verfahrenstechnik
Mathematik für Ingenieure
Prof. Dr. W. Scheideler
Ausarbeitung: Sevda Mercan
1
Inhaltsverzeichnis
1.
Zeichen für besondere Zahlenmengen
3
2.
Potenzen
3
Rechenregeln für Potenzen
3
Wurzeln
4
Rechenregeln für Wurzeln
4
4.
Binomische Formeln
4
5.
Quadratische Gleichungen
5
6.
Trigonometrische Funktionen
6
6.1.
Definition der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck
6
6.2.
Winkelmaße (Grad- und Bogenmaß)
6
6.3.
Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen
7
6.3.1. „Trigonometrischer Pythagoras“
7
6.3.2. Additionstheoreme für die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion
8
6.3.3. Sinussatz
8
6.3.4. Kosinussatz
9
Tabelle: häufiger Funktionswerte der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion
9
3.
6.4.
7.
Exponential- und Logarithmusgleichungen
9
7.1.
Rechenregeln für Exponential- und Logarithmusgleichungen
10
7.2.
Basiswechsel
10
2
1.
Zeichen für besondere Zahlenmengen
N = {0, 1, 2, 3, …}
Menge der natürlichern Zahlen
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Menge der ganzen Zahlen
Q
Mengen der rationalen Zahlen
R
Menge der reellen Zahlen
N *, Z *, Q *, R *
Mengen N, Z, Q, R ohne dieNull
Z+, Q+, R+
Positive Zahlen der Mengen Z, Q, R
einschließlich der Null
Z+*, Q+*, R+*
Positive Zahlen der Mengen Z, Q, R
Z-*
Menge der negativen ganzen Zahlen
G
Grundbereich
L
Lösungsmenge
D
Definitionsbereich
W
Wertebereich
2.
Potenzen
Rechenregeln für Potenzen:
Im Folgenden sei m, n ∈ N
1.
am⋅ an
2.
am
an
=
a
=
a
negativer Exponent
a
3.
⎛⎜ a m ⎞⎟ n
⎠
⎝
=
m + n
( Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis )
m - n
-n
=
⎛⎜ a n ⎞⎟ m
⎝
⎠
(Division von Potenzen mit gleicher Basis)
1
an
=
a
=
m⋅n
⎛1⎞ n
⎜ ⎟
⎝a⎠
( a ≠ 0 und a ≠ ∞ )
( Potenzieren von Potenzen )
3
4.
an⋅ bn
an
bn
5.
(a ⋅ b ) n
=
⎛a⎞ n
⎜ ⎟
⎝b⎠
=
(Multiplikation von Potenzen bei gleichen Exponenten)
( b ≠ 0 und b ≠ ∞ )
(Division von Potenzen bei gleichen Exponenten)
6.
a0 = 1
3.
Wurzeln
Rechenregeln für Wurzeln:
1.
2.
3.
4.
n
am
m
= a n = ⎛⎜ n a ⎞⎟ m
⎝
⎠
m n
a
=
n a ⋅n b
n a
n b
1
m
a n
1
1
1
⎛
⎞m
⎜
⎟
m⋅n
= ⎜an ⎟
= a
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
1
1
= a n ⋅b n =
a
= n
b
= m⋅n a
1
(a ⋅ b ) n = n a ⋅ b
für b > 0 ; alle m, n ∈ N
4.
Binomische Formeln:
1.
(a ± b) 2 = a 2 ± 2 a b + b 2
2.
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2
4
5.
Quadratische Gleichungen
Die Allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet:
ax2 + bx + c = 0
(a
≠ 0)
Sie läßt sich stets in die Normalform
x 2 + px + q = 0
b
c ⎞
⎛
, q =
⎜ p =
⎟
a
a⎠
⎝
überführen. Die (formalen) Lösungen dieser Gleichung lauten (sog p, q – Formel):
Lösungen einer in der Normalform x 2 + p x + q = 0 gegebenen quadratischen Gleichung
(sog p, q – Formel)
p
x
= - ±
1, 2
2
⎛ p⎞ 2
⎜ ⎟ - q
⎝2⎠
Das bedeutet 1. Lösung von x
2. Lösung von x
p
x = - +
1
2
p
x = - 2
2
⎛ p⎞ 2
⎜ ⎟ - q
⎝2⎠
⎛ p⎞ 2
⎜ ⎟ - q
⎝2⎠
⎛ p⎞
Eine Fallunterscheidung wird dabei anhand der Diskriminante D = ⎜ ⎟ 2 - q
⎝ 2 ⎠
wie folgt vorgenommen
:
D > 0:
Zwei verschiedene reelle Lösungen
D = 0:
Eine reelle Lösung
D < 0:
Keine reellen Lösungen. (Die Lösungen dann sog. (konjugiert)
komplexe Zahlen.)
5
6
Trigonometrische Funktionen
6.1.
Definition der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck
a: Gegenkathete
c
a
b: Ankathete
c: Hypotenuse
ß
b
Umkehrfunktion im Bereich
Trigonometrische Funktion:
0 ° ≤ β ≤ 90 ° :
sin β =
Gegenkathede
Hypotenuse
cos β =
Ankathede
Hypotenuse
tan β =
Gegenkathede
Ankathede
cot β =
Ankathede
=
Gegenkathede
6.2.
a
c
=
⎛ a ⎞
arcsin ⎜
⎟ = β
⎝ c ⎠
b
c
=
⎛ b ⎞
arccos ⎜
⎟ = β
⎝ c ⎠
a
b
=
b
a
=
a/c
b/c
b/c
a/c
=
=
=
sin β
cos β
cos β
sin β
⎛ a ⎞
arctan ⎜
⎟ = β
⎝ b ⎠
⎛ b ⎞
arc cot ⎜
⎟ = β
⎝ a ⎠
Winkelmaße (Grad- und Bogenmaß)
v
1
Bogenmaß x
ß
u
Bild 6.2.1.
6
Das Bogenmaß x lässt sich auch etwas allgemeiner definieren. Ist b die Länge des Bogens, der in
einem Kreis vom Radius r dem Winkel β gegenüber liegt, so gilt (Bild 6.2.1.):
x =
Bogenlänge
Radius
b
r
=
Zwischen Bogenmaß x und Gradmaß β besteht die lineare Beziehung :
x
β
=
2π
360°
=
π
180°
Sie ermöglicht eine Umrechnung zwischen den beiden Winkelmaßen.
Zwischen Bogenmaß x und Gradmaß β besteht die lineare Beziehung :
x
β
=
2π
360°
=
π
180°
Sie ermöglicht eine Umrechnung zwischen den beiden Winkelmaßen.
6.3.
Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen
6.3.1. „Trigonometrischer Pythagoras“ (Bild 3.5)
+
( cos α ) 2
= sin 2 α + cos 2 α = 1
v
P
1
ß
cos ß
sin ß
( sin α ) 2
u
Bild 6.3.1.
7
6.3.2. Additionstheoreme für die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion
sin (x1 ± x2
)
= sin ( x1 )cos ( x2
)±
cos ( x1 ± x2
)
= cos ( x1 )cos ( x2
tan ( x1 ± x2
)
=
cos ( x1 ) sin ( x2
)m
)
sin ( x1 ) sin ( x2
)
tan ( x1 ) ± tan ( x2 )
1 m tan ( x1 ) tan ( x2 )
sin ( 2 x ) = 2 sin( x ) cos ( x )
cos ( 2 x ) = cos 2 ( x ) - sin 2 ( x )
1
[1 - cos ( 2 x )]
2
sin 2 ( x ) =
cos 2 ( x ) =
1
[1 + cos ( 2 x )]
2
6.3.3. Sinussatz
Für ein beliebiges Dreieck gilt:
a
B
C
c
b
A
a
sin ( A )
=
b
sin ( B )
=
c
sin ( C )
8
6.3.4. Kosinussatz
Für ein beliebiges Dreieck (gemäß Skizze) gelten die folgenden drei Beziehungen:
a 2 = b 2 + c 2 - 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos ( A )
b 2 = a 2 + c 2 - 2 a ⋅ c ⋅ cos ( B )
c 2 = a 2 + b 2 - 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos ( C )
6.4.
7.
Tabelle: häufiger Funktionswerte der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion
0 , 0°
π
, 30°
6
π
, 45°°
4
π
, 60°°
3
π
, 90°°
2
sin(β)
0
1
2
1
3
2
1
cos(β)
1
3
2
1
1
2
0
tan(β)
0
1
3
3
Nicht
2
2
1
definiert!!!
Exponential- und Logarithmusgleichungen
Für alle a ∈ R + gilt; a b = x ⇒ b = log x ; ( b > 0; a > 0 und a ≠ 1 )
a
für den Exponenten x führt man die Bezeichnung „Logarithmus von x zur Basis a “ ein
9
7.1.
Rechenregeln für Logarithmen
Für alle a ∈ R + gilt
( x⋅ y )
1)
log
2)
log
3)
log x n = n ⋅ log x
a
a
4)
log a n = n ⋅ log a = n
a
a
5)
log 1 = 0
a
7.2.
Basiswechsel a J b
a
x
a y
log r =
b
= log x + log y
a
a
= log x - log y
a
a
log r
a
log b
a
( log a a
= 1
)
1
) ⋅ log r = K ⋅ log r
a
a
log b
142a43
K
= (
10