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Entwurf / S.
1 / 5/13/2016
Produktives Üben
Ziel des Übens ist bewusste Verfügbarkeit und nicht blinde Routine.
Kenntnisse und Fertigkeiten sollen nicht reflexartig, sondern gezielt und
bewusst eingesetzt werden. Gute Übungen fordern immer auch zum
Den-ken heraus. Wenn dabei neue Fragen auftauchen, führt das Üben
zum aktiv-entdeckenden Lernen zurück. Dann sprechen wir von
produktivem Üben.
Das Konzept des
produktiven Übens
Beim produktiven Üben stehen die einzelnen Aufgaben in einem Zusammenhang. Sie sind systematisch ausgewählt, so dass mit dem Üben
Gesetzmässigkeiten auftreten und Strukturen sichtbar werden, Fragen und
Vermutungen auftauchen. Dabei kann sich der Zusammenhang aus einem
sachlichen Kontext oder aus einer innermathematischen Struktur ergeben.
Produktive Übungen leiten über das reine Üben hinaus wieder eine Phase
des aktiv-entdeckenden Lernens ein.
Beim produktiven Üben wird nicht weniger geübt, aber es wird mehr als
nur geübt.
Zwei Arten von Üben
Die Grundoperationen mit natürlichen Zahlen sind im überschaubaren
Zah-lenraum bis zur sicheren Verfügbarkeit zu üben. Z.B. sollen
Schülerinnen und Schüler zweistellige Zahlen im Kopf problemlos
subtrahieren können. Dazu müssen sie sehr viele solche Aufgaben lösen.
Das kann grund-sätzlich auf zwei Arten geschehen.
- Die Aufgaben können unstrukturiert - z.B. von einem Zufallsprogramm
erzeugt - sein:
83 - 17 =
48 - 25 =
91 - 77 =
usw.
- Dann leisten die Übungen nicht mehr als den nackten Übungsinhalt,
in diesem Fall eben «Subtraktion von zweistelligen Zahlen». Sie können
rasch sinnleer wirken.
- Demgegenüber könnte eine strukturierte Übung zu diesem Inhalt etwa
so
aussehen:
a) Nimm zwei zweistellige Zahlen, welche die Z.B.
gleichen Ziffern in umgekehrter Reihenfolge
aufweisen, und subtrahiere die kleinere von der
61 - 16 = 45
grösseren.
Löse ein paar derartige Beispiele. Fällt dir etwas
93 - 39 = 54
auf?
85 - 58 = 27
Es resultieren lauter
Neunerzahlen.
b) Rechne mit den Resultaten in der gleichen Art
61 - 16 = 45
weiter.
Beschreibe
die
auftretende
54 - 45 = 9
Gesetzmässigkeit.
90 - 09 = 81
usw.
Die Resultate laufen
in einen Zyklus von
Neunerzahlen.
c) Untersuche die Gesetzmässigkeit, die sich bei 61 - 16 = 45  46
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Blindtitel
folgender Variante ergibt:
Zähle bei jedem Resultat 1 dazu, bevor du
weiter rechnest.
64 - 46 = 18  19
91 - 19 = 72  73
usw.
Die Reihe «fällt in
einen Trichter» (36)
d) Mache die entsprechende Übung; zähle aber
immer eins weg, bevor du weiterfährst.
Auch bei einer produktiven Übungsanlage werden viele Übungen zum
gewünschten Inhalt gemacht. Darüber hinaus tauchen Strukturen auf, die
untersucht werden können. Das Üben ist wieder Ausgangspunkt zu aktiventdeckendem Lernen.
In der Hand der
Lehrkraft
Eine Lehrkraft kann produktive Übungen selber entwerfen, wenn sie die
Aufgabenstellung systematisch variiert, so dass eine Struktur sichtbar
wird. Wenn sie also z.B. 1x1-Aufgaben
nicht unstrukturiert, zufällig stellt:
sondern systemisch strukturiert:
4·4=
8·6=
3·5=
3·7=
2·6=
4·6=
7·7=
9·5=
7·7=
8·6=
9·5=
10·4 =
4·4=
3·5=
2·6=
1·7=
1·9=
2·8=
3·7=
4 · 6 =
Produktive Übungen fordern Schülerinnen und Schüler zu weiterem
Forschen und damit zu operativem Vorgehen auf.
Mathematische
Struktur oder
Sachstruktur
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Die obigen Beispiele sind mathematisch strukturiert. Die zu entdeckenden
Gesetzmässigkeiten sind innermathematisch. Produktive Übungen
können aber auch ausgehend von Sachstrukturen konstruiert sein.
Wenn Kinder z.B. die Tageslängen im Verlauf eines Jahres ausrechnen
und diese graphisch auswerten, erhalten sie eine wellenförmige Darstellung mit einem Sprung zwischen Winter- und Sommerzeit. Die Schülerinnen und Schüler üben das Berechnen von Zeitabständen mit Stunden
und Minuten («Fahrplanrechnungen»). Gleichzeitig entdecken sie ein
Naturgesetz, welches im Sachunterricht weiterverfolgt und eingebettet
werden kann.
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Blindtitel
Datum
1.Jan.
15.Jan.
29.Jan.
12.Feb.
26.Feb.
12.März
26.März
9.April
23.April
7.Mai
21.Mai
4.Juni
18.Juni
2.Juli
16.Juli
30.Juli
13.Aug.
27.Aug.
10.Sept.
24.Sept.
8.Okt.
22.Okt.
5.Nov.
19.Nov.
3.Dez.
17.Dez.
Sonnen- Tageslänge
aufgang / untergang
h min 1 2
8.16
8.13
8.00
7.41
7.18
6.50
6.22
6.55
6.28
6.06
5.48
5.36
5.34
5.39
5.50
6.05
6.23
6.42
7.00
7.19
7.38
7.57
7.18
7.38
7.57
8.10
16.50
17.07
17.27
17.48
18.10
18.30
18.50
20.10
20.29
20.48
21.05
21.20
21.29
21.29
21.21
21.06
20.45
20.21
19.54
19.25
18.57
18.31
17.08
16.52
16.41
16.41
8
8
9
10
10
11
12
13
14
14
15
15
15
15
15
15
14
13
12
12
11
10
9
9
8
8
T a g e s lä n g e n in B e r n
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
34
54
27
07
52
40
28
15
01
42
17
44
55
50
31
01
22
39
54
06
19
34
50
14
44
31
Innere
Differenzierung
Nicht alle Schülerinnen und Schüler kommen beim Üben gleich schnell
voran, und nicht alle benötigen gleich viele Übungen. Produktive Übungen
führen ganz natürlich zu einer sinnvollen Differenzierung: Die Stärkeren
werden rascher vom reinen Üben zur dahinterliegenden Struktur vorstossen und tiefer in diese eindringen. Dadurch sind alle mit unterschiedlichen Zielsetzungen im gleichen Bereich sinnvoll tätig.
Noch ein Beispiel
Die Anwendung der Formel A =   r2 ist zu automatisieren. Ab dem
8. Schuljahr sind daher immer wieder Kreise zu berechnen. Statt unstrukturiert irgendwelche Kreise vorzugeben, ist folgende produktive Übung
möglich:
a) Zeichne Kreisringe gemäss dieser Tabelle und berechne ihren
Flächeninhalt.
A
B
C
D
Äusserer Radius (in cm)
26
30
40
51
Innerer Radius (in cm)
10
18
32
45
b) Versuche, das Ergebnis zu erklären. (Suche in der Zeichnung eine
gemeinsame Grösse und stelle sie mit den Radien in einen
Zusammenhang.)
c) Zeichne einen weiteren Ring, der in die Serie passt.
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Blindtitel
d) Findest du ohne Zeichnung - aufgrund der Zahlenverhältnisse - einen
passenden Ring?
Geübt wird die Kreisberechnung. Zu entdecken ist, dass zur Berechnung
des Flächeninhaltes eines Kreisringes nicht zwei Grössen nötig sind, sondern dass die Länge der Ringsehne genügt. Und der Pythagorassatz wird
gleich noch mitgeübt.
Einwand
Rosinendidaktik
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Hinter diesem Stichwort stehen zwei inhaltlich zusammenhängende Vorbehalte: «Es gibt bei weitem nicht zu allen zu beübenden Inhalten überzeugende produktive Anlagen» und «Selber produktive Übungen zu
konstruieren, überfordert durchschnittliche Lehrkräfte».
Gewiss sind gute produktive Übungsanlagen nicht immer einfach
verfügbar. In neueren Lehrmitteln finden sich aber vermehrt Beispiele
(z.B. im Zahlenbuch). Und diesen Büchern - bzw. dem Begleitmaterial
dazu - kann auch entnommen werden, wie man selber entsprechende
Anlagen findet. Eine ergiebige Quelle sind die beiden Bände des
«Handbuchs produktiver Rechenübungen» (Wittmann / Müller; Klett
1992). Obgleich für die Unterstufe konzipiert, bieten die aufgezeigten
Beispiele und besonders die ausgedrückte Haltung eine gute Anleitung
zur Konstruktion entspre-chender Übungen auch auf der Mittel- und
Oberstufe.
Auch wenn das Prinzip des produktiven Übens nicht flächendeckend zur
Anwendung kommt, ist doch jede produktive Übung eine bessere Übung
mehr.