¨Ubungen zur Vorlesung ” Geometrie“

Prof. Dr. H. Dinges
WS 2009
Blatt 0:
Übungen zur Vorlesung
”
Geometrie “
http://ismi.math.uni-frankfurt.de/dinges/teaching/
c)Es seien x0 , x1 , x2 , x3 paarweise verschiedene reelle Zahlen (d. h. Punkte
auf der reellen Achse). Zeigen Sie
DV (x0 , x1 , x2 , x3 ) =
Datum: Oktober 2009
Die Aufgaben zum Einstieg können sich naturgemäß noch nicht auf aktuellen Vorlesungsstoff stützen. Sie sollen Diskussionen in den Übungsstunden
anregen, mit dem Ziel, sich über das Vorwissen der Teilnehmer zu verständigen. Darüber hinaus kann versprochen werden, dass die hier geforderten
Überlegungen zu Ende des Semesters allen Teilnehmern als Kleinigkeiten
erscheinen werden.
Aufgabe 1:
(? Punkte)
Es sei L ein n-dimensionaler reellaffiner Raum (o. B. d. A. L = Rn ).
{Pi : i ∈ I} sei eine Familie von Punkten in L mit |I| ≥ n + 2.
a) Zeigen Sie: Es existiert eine Partition der Indexmenge I = I ′ + I ′′ so, dass
die konvexe Hülle von {Pi : i ∈ I ′ } und die konvexe Hülle von {Pi : i ∈ I ′′ }
einen nichtleeren Durchschnitt haben.
b) Diskutieren Sie die Situation mit Bildern im Spezialfall n = 2 , |I| = 4.
Aufgabe 2:
(? Punkte)
Es seien P0 , P1 , R paarweise verschiedene Punkte auf einer reellen Geraden
R = (1 − r) · P0 + r · P1 = P0 + r · (P1 − P0 ).
Man definiert dann das Teilungsverhältnis als die Zahl r = T (P0 , P1 , R).
a) Bestimmen Sie die Teilungsverhältnisse T (P1 , P0 , R), T (R, P1 , P0 ), sowie
T (P0 , R, P1 ), T (P0 , P1 , R), , T (P1 , R, P0 ).
b)Es seien P0 , P1 , P2 , P3 paarweise verschiedene Punkte auf einer reellen
Geraden Man definiert das Doppelverhältnis
λ = DV (P0 , P1 ; P2 , P3 ) =
T (P3 , P0 , P1 )
.
T (P2 , P0 , P1 )
Wenn man die Punkte P0 , P1 , P2 , P3 permutiert, dann kommen als Doppelverhältnisse höchstens sechs verschiedene Werte in Betracht, die sich durch
λ ausdrücken lassen. Welche sind das?
(x3 − x1 ) · (x2 − x0 )
.
(x3 − x0 ) · (x2 − x1 )
d) Für paarweise verschiedene komplexe Zahlen (z0 , z1 , z2 ; z3 ) definiert
man das Doppelverhältnis als die komplexe Zahl
DV (z0 , z1 , z2 , z3 ) =
(z3 − z1 ) · (z2 − z0 )
(z3 − z0 ) · (z2 − z1 )
Zeigen Sie, dass die reziproken Zahlen wi =
haben.
1
zi
dasselbe Doppelverhältnis
Aufgabe 3:
(? Punkte)
Es sei K = {z : z ∈ K} ein Kreis in der komplexen Ebene, (welcher nicht
durch den Nullpunkt geht). Zeigen Sie, dass K ′ = { z1 : z ∈ K} ein Kreis ist.
( Die Reziprokenabbildung bildet Kreise in Kreise ab.“)
”
Aufgabe 4:
(? Punkte)
Es sei G die Menge aller komplexen 2 × 2-Matrizen von der Gestalt
a b
A=
mit
|a|2 + |b|2 = 1.
−b̄ ā
a) Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist.
b)Zeigen Sie, dass diejenigen dieser Matrizen, die ganzzahlige Einträge haben
(a, b ∈ Z) eine Untergruppe bilden.
Zwei Sonderaufgaben zu den trigonometrischen Funktionen im
Reellen
Die Mathematik der trigonometrischen Funktionen erscheint bereits im
Schulunterricht, erfahrungsgemäß aber nicht in einer irgendwie standardisierten Form. Man braucht sie nicht nur in der Analysis I, wo sie irgendwann
gründlich behandelt wird. Wir werden sie ‘formlos’ auch in der Geometrie
immer wieder ansprechen. Um Unverständnis oder Erschrecken vorzubeugen,
sollten Sie sich bald einmal (ohne Beweise!) der folgenden Fakten vergewissern:
1. Die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion sind 2π-periodische Funktiosin2 t + cos2 t = 1.
nen mit
cos t = sin(t + π2 );
Die Sinusfunktion verschwindet in den Punkten k · π, k ∈ Z.
2. Es gelten die ‘Additionstheoreme’
sin(s + t) = sin s · cos t + cos s · sin t;
cos(s + t) = cos s · cos t − sin s · sin t.
3. Für die Ableitungen gilt
d
sin t = cos t,
dt
d
cos t = − sin t.
dt
Die Umkehrabbildung (als Funktion auf R mit Werten in (−π/2 , +π/2)
heisst die Arcustangensfunktion. Wenn f (x) = tan x und g(y) =
arctan y, dann liefert die Kettenregel angewandt auf g(f (x) = x die
d
1
Ableitung der Arcustangensfunktion: dy
arctan y = 1+y
2.
= 1 − y 2 + y 4 − y 6 + . . . für |y| < 1 ergibt sich
arctan y = y − 13 y 3 + 15 y 5 − 71 y 7 + . . . . . .
für
|y| < 1.
6. Aus dem Additionstheorem für den Tangens ergibt sich das Additionstheorem für den Arcustangens:
tan s + tan t
;
1 − tan s · tan t
x+y
arctan x + arctan y = arctan
für
1 − xy
tan(s + t) =
|x|, |y| < 1.
7. Das Additionstheorem kann man auch folgendermaßen formulieren:
(∗)
x=
y+z
1 − yz
=⇒
Für k = 1, 2, 3, . . . liefert die Faktorisierung von k 2 +1 spezielle Beziehungen
zwischen einfachen Arcustangens–Werten.
S-Aufgabe :
Beweisen Sie weiter
1
d
tan x = 1 + tan2 x =
.
dx
cos2 x
1
1+y 2
π
1
1
1
1
1
= arctan 1 = arctan + arctan = 2 · arctan + arctan + 2 · arctan .
4
2
3
5
7
8
1
mit k, ℓ, m ∈ N dann bedeutet die
Hinweis : Wenn x = k1 , y = 1ℓ , z = m
Beziehung (*)
(ℓ − k)(m − k) = k 2 + 1 .
sin x
4. Die Tangensfunktion tan x = cos
x bildet das Intervall (−π/2 , +π/2)
strik monoton auf die reelle Achse R = (−∞ , +∞) ab mit
5. Aus
S-Aufgabe :
Es gilt bekanntlich tan π/4 = 1 also π/4 = arctan 1. Die Potenzreihenentwicklung der Arcustangensfunktion ist zunächst einmal ungeeignet, die Zahl
π/4 zu approximieren. Wenn wir das Additionstheorem benützen, kommen
wir der Sache näher. Zeigen Sie
arctan x = arctan y + arctan z.
π
4
1
= 4 · arctan 51 − arctan 239
.
Hinweis : Sei α = arctan 15 . Dann gilt
tan 2α =
5
12
,
tan 4α = 1 +
1
119
,
tan 4α −
π
4
=
1
239
.
Die Formel ist in der Tat nicht schlecht geeignet, wenn es gilt, die Zahl
π mit Hilfe der Reihenentwicklung auf eine beträchtliche Anzahl von De2
zimalstellen genau zu berechnen, x = 15 = 10
paßt überdies gut zum
Dezimalsystem. π = 3, 14159265358979 . . .)