2 Folgen und Reihen
Werbung
02-folgen.cdf 1 2 Folgen und Reihen 2.1 Folgen Definition Unter einer Folge stellt man sich anschaulich eine nicht endende Liste von Zahlen vor, zum Beispiel 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, … oder 1 1 , 1 , 2 4 1 1 , , 8 16 1 , 32 1 1 , , 64 128 1 1 , 256 , , 512 … 1024 Etwas genauer ausgedrückt handelt es sich um eine Funktion, deren Definitionsmenge die natürlichen Zahlen sind, und deren Zielmenge die reellen Zahlen sind. Definition 2.1.1 Folge Eine Funktion N ® R, die jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl an zuordnet, heißt (reelle) Folge. Die Glieder einer Folge schreibt man üblicherweise mit einem Index an statt wie sonst bei Funktionswerten mit Klammern aHnL. Für das erste Beispiel ist a1 1, a2 4, a3 9, a4 16, a5 25, a6 36, , … und für das zweite Beispiel b1 1 b2 , 2 1 , 4 b3 1 , 8 b4 1 , 16 b5 1 , 32 b6 1 , … . 64 Eine Folge kann durch einen Folgenterm eindeutig definiert werden. Also durch einen Term, mit dem man das n-te Folgenglied an berechnen kann. Die Folge an ist die Folge der Quadratzahlen mit dem Term an n2 . Der Term für die Folge bn der inversen Zweierpotenzen ist bn 1 2n . Manchmal ist es nützlich, die Definition etwas zu verallgemeiner und eine Folge schon bei Null oder erst bei einem späteren Index beginnen zu lassen. Tatsächlich werden wir uns vor allem für das Verhalten von Folgen “für große n” interessieren, so dass es wie bei reellen Funktionen möglich ist, aus der Definitionsmenge einzelne Elemente herauszunehmen, ohne dass sich eine Folge grundlegend anders verhält. So sind zum Beispiel bei der Folge 02-folgen.cdf 2 cn n2 + 3 n + 2 n2 - 3 n + 2 die Folgenglieder c1 und c2 nicht definiert. Sie beginnt also erst mit c3 10, c4 5, c5 7 c6 , 2 14 , 5 c7 12 , 5 c8 15 , … 7 Der Graph einer Folge lässt sich wie üblich darstellen, indem man den Index auf der “x-Achse” und den Wert der Folgenglieder auf der “y-Achse”aufträgt. Es ergibt sich allerdings keine Kurve, sondern eine Reihe von einzelnen Punkten. Für die oben definierte Folge der Quadratzahlen liegen die Punkte auf einer Parabel. an 400 300 an n2 200 100 0 5 10 15 20 n Für die Folge der inversen Zweierpotenzen nähern sich die Punkte sehr schnell der n-Achse, entsprechend dem Verhalten einer Exponentialfunktion. bn 0.6 0.5 0.4 0.3 bn 0.2 0.1 0.0 -0.1 5 10 15 20 n 1 2n 02-folgen.cdf 3 Ein ähnliches Verhalten zeigt die Folge cn , bei der sich die Folgenglieder der Eins nähern. cn 10 8 cn 6 n2 +3 n+2 n2 -3 n+2 4 2 0 5 10 15 20 n Sie können die Graphen mit der Maus im oberen Bereich skalieren und im unteren Bereich verschieben. Aufgabe 2.1.1 Finden Sie zu jeder Folge einen passenden Term. Sie können die Liste fortsetzen, indem sie auf die Pünktchen klicken. a1 1, b1 c1 a2 8, 1 , 2 1 , 2 b2 c2 a3 27, 1 , 5 2 , 3 b3 c3 d1 1, d2 1.4142… , e1 1, e2 -1, f1 2, f2 2, g1 3, g2 6, 1 , 10 3 , 4 e3 1, f3 a4 64, 8 , 3 g3 6, 1 b4 c4 a5 125, b5 , 17 4 c5 , 5 d3 1.7321… , e4 -1, f4 4, g4 8, f5 a6 216, 1 26 5 c6 , 6 d4 2, e5 1, 32 , 5 g5 10, b6 , 1 , … 37 6 , … 7 d5 2.2361… , e6 -1, f6 … d6 2.4495… , … … 32 , … 3 g6 13, … Rekursion Was ist das spezielle an einer Folge bzw. daran, dass die Definitionsmenge einer Funktion die natürlichen Zahlen sind? Betrachten wir zum Beispiel die Folge qn 5 × 2n , H1L 02-folgen.cdf 4 also q1 10, q2 20, q3 40, q4 80, q5 160, q6 320, q7 640, … . Um die Folgenglieder der Reihe nach zu berechnen, müssen wir nicht jedes Mal den Index in den Term (1) einsetzen. Es genügt, jeweils den vorhergehenden Wert zu verdoppeln. Zusätzlich müssen wir nur den ersten Wert wissen. Wenn wir also einen Anfangswert und eine Rekursionsformel angeben, q1 10, qn 2 qn-1 , H2L dann können damit die Folge rekonstruieren. Um nachzuweisen, dass es sich bei expliziten Darstellung (1) und der rekursiven Darstellung (2) tatsächlich um dieselbe Folge handelt, prüft man nach, dass der in (1) angegebene Term die Gleichungen (2) erfüllt. Das ist der Fall, denn 5 × 21 10, 5 × 2n 2 × I5 × 2n-1 M. Betrachten wir als zweites Bespiel die rekursiv definierte Folge S0 0, Sn Sn-1 + n. Das jeweils nächste Folgenglied ergibt sich, indem man zum Vorgänger den Index addiert. Wenn man die ersten Folgenglieder schrittweise berechnet, erkennt man, dass Sn die Summe der ersten n natürlichen Zahlen ist. Es gilt nämlich S1 S0 + 1 1 1 S2 S1 + 2 1 + 2 3 S3 S2 + 3 1 + 2 + 3 6 S4 S3 + 4 1 + 2 + 3 + 4 10 S5 S4 + 5 1 + 2 + 3 + 4 + 5 15 … Kann man für Sn auch einen expliziten Term angeben? Es gibt kein allgemeines, stets zum Ziel führendes Verfahren, um aus einer rekursiven Darstellung eine explizite zu machen. Speziell für diese Folge lässt sich jedoch relativ leicht ein Term finden. Es gibt viele verschiedene Wege, die Summe der ersten n natürlichen Zahlen zu bestimmen, ohne die Zahlen einzeln zu addieren. Eine Möglichkeit besteht darin, die Summe geometrisch darzustellen, indem man die Zahl k durch ein Rechteck der Breite 1 und Höhe k darstellt. Legt man die so dargestellten Zahlen von 1 bis n nebeneinander, so ergibt sich eine Treppenfigur. H3L 02-folgen.cdf 5 Sn 153 n 17 Ohne die Stufen hätte das Dreieck die Fläche n2 2. Die Stufen bestehen aus n kleinen Dreiecken, die jeweils die Fläche 1 2 haben, also zusammen die Fläche n 2. Daraus schließen wir Sn n2 + 2 n 2 n Hn + 1L . 2 Um umabhängig von der geometrischen Anschauung zu beweisen, dass die explizite Darstellung (4) die gleiche Folge definiert wie die rekursive Darstellung (3), setzen wir den expliziten Term wieder in die rekursive Dastellung ein. Für n 0 ergibt sich aus (4) S0 0. Der Anfangswert stimmt also. Eingesetzt in die Rekursionsformel ergibt sich n Hn + 1L 2 Hn - 1L n + n. 2 Durch Ausmultiplizieren erkennt man, dass auch diese Gleichung stimmt. Die rekursive und die explizite Darstellung gehören zur gleichen Folge, oder anderes ausgedrückt, mit der Formel (4) kann man die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n berechnen. Eine etwas andere rekursiv definierte Folge ist die berühmte Fibonacci-Folge. Für sie gilt F0 0, F1 1, Fn Fn-1 + Fn-2 . Man bildet also jeweils die Summe der beiden vorhergehenden Folgenglieder, um das nächste zu berechnen. Damit das möglich ist, muss man die ersten beiden Folgenglieder als Anfangswerte angeben. Anwenden der Rekursionsformel ergibt F2 1 + 0 1 F3 1 + 1 2 F4 2 + 1 3 F5 3 + 2 5 F6 5 + 3 8 F7 8 + 5 13 H4L 02-folgen.cdf 6 F8 13 + 8 21 F9 21 + 13 34 … Dass es nicht ganz so einfach ist, einen expliziten Term für die Fibonacci-Folge anzugeben, erkennt man spätestens, wenn man ihn sieht. Er lautet 1+ 1 Fn 5 n 1- - n . 2 5 5 2 Dass darin irrationale Wurzeln vorkommen, obwohl es sich um eine Folge handelt, die nur aus natürlichen Zahlen besteht, erscheint zunächst überraschend. Was sich dahinter verbirgt, ist die quadratische Gleichung x2 x + 1, deren Lösungen die beiden Zahlen in den Klammern sind, nämlich a 1+ 5 , 2 b 1- 5 . 2 Für diese beiden Zahlen gilt demnach a2 a + 1, b2 b + 1. Daraus folgt, wenn man die Gleichungen mit an-2 bzw. bn-2 multipliziert, an an-1 + an-2 , bn bn-1 + bn-2 . Das ist die Rekursionsformel für die Fibonacci-Folge. Tatsächlich können wir nun zwei beliebige reelle Zahlen u und v wählen und eine Folge Gn u an + v bn definieren. Jede solche Folge erfüllt die Rekursionsformel Gn Gn-1 + Gn-2 . Jetzt müssen wir nur noch die Zahlen u und v so wählen, dass sich die richtigen Anfangswerte ergeben. Die passenden Werte sind u 1 , 5 v- 1 . 5 Setzt man diese Zahlen in den Term für Gn ein, so ergibt sich die oben angegebene explizite Darstellung der Fibonacci-Folge. Aus den Beispielen sollte klar werden, was man allgemein unter der rekursiven Darstellung einer Folge versteht. Es müssen ein oder mehrere Anfangswerte, also die ersten Folgenglieder, explizit angegeben werden. Und es muss eine Rekursionsformel geben, mit der man das jeweils nächste Folgenglied bestimmen kann, wenn man die davor bereits kennt. Es lassen sich dann der Reihe nach alle Folgenglieder berechnen, so dass die Folge vollständig bestimmt ist. Wir halten das in einem Satz fest. Satz 2.1.2 Rekursive Darstellung einer Folge 02-folgen.cdf 7 Eine Folge an ist eindeutig bestimmt, wenn (1) endlich viele Anfangswerte a1 , a2 , … , am gegeben sind, sowie (2) eine Rekursionsformel, mit der man an für n > m berechnen kann, wenn man alle ak mit k < n kennt. Kann man einen solchen intuitiv einsichtigen Satz auch formal beweisen? Um das zu tun, muss man sich ein bisschen näher damit auseinendersetzen, was eigentlich die natürlichen Zahlen sind. Tatsächlich sind diese nämlich genau so definiert, dass dieser Satz gilt. Aufgabe 2.1.2 Berechnen Sie die ersten fünf (oder mehr) Folgenglieder und finden Sie für die rekursiv definierten Folgen eine explizite Darstellung. Weisen Sie nach, dass diese tatsächlich die gleiche Folge definiert. a0 3, an an-1 + 5 b0 1000, bn bn-1 5 c0 0, cn 1 - cn-1 d0 0, dn dn-1 + 2 n - 1 e0 1, en en-1 × f0 0, f1 1, n+1 n fn fn-1 + 2 fn-2 Zählen und natürliche Zahlen Was ist die spezielle Eigenschaft der natürlichen Zahlen, die es ermöglicht, eine Folge rekursiv zu definieren? Die einfache und intuitive Antwort darauf lautet: Das liegt daran, dass man die natürlichen Zahlen der Reihe nach aufzählen kann. Deshalb kann man mit der Rekursionsformel alle Folgenglieder berechnen, indem man eins nach dem anderen berechnet. Dahinter steht das Prinzip des Zählens. Zählen heißt: Man beginnt mit einer speziellen Zahl, die man Eins nennt. Dann scheitet man von einer Zahl zur nächsten. Und das hört nie auf. Jede Zahl hat einen Nachfolger. Den Nachfolger der Eins nennt man Zwei, den Nachfolger der Zwei nennt man Drei, und so weiter, bis man ungefähr bei Zwölf feststellt, dass es keine gute Idee ist, jeder weiteren Zahl einen ganz neuen Namen zu geben. Statt dessen entwickelt man ein Schema, mit dem man Zahlen so benennen kann, dass auch die Namen nie ausgehen. Und so, dass man aus dem Namen einer Zahl auf den Namen des Nachfolgers schließen kann. Nach Fünfhunderteinundneuzig kommt Fünfhundertzweiundneuzig. Die natürlichen Zahlen sind durch dieses Zählprinzip definiert. Das drücken wir üblicherweise mit der Schreibweise N 8 1, 2, 3, 4, 5, 6, … < und den “und so weiter”-Pünktchen aus. Aber was bedeutet das genau? Kann man die Menge der natürlichen Zahlen auch ohne Pünktchen beschreiben? Anschaulich stellt man sich die natürlichen Zahlen als eine Kette vor. Die Kette beginnt mit der Eins, und jeder Zahl ist ihr Nachfolger als nächstes Kettenglied zugeordnet. 02-folgen.cdf 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … Wie kann man diese Zahlenkette beschreiben, ohne Pünktchen zu verwenden? Allein zu sagen, dass es eine Eins gibt und jede Zahl einen Nachfolger hat, reicht nicht. Denn kann könnte die Kette auch so aussehen: 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 … Auch hier hat jede Zahl einen Nachfolger. Der Nachfolger von 1 ist 2, der Nachfolger von 2 ist 3, … , der Nachfolger von 6 ist 7, und der Nachfolger von 7 ist 1. So ist das mit der Zahlenkette aber nicht gemeint. Es gibt nicht nur die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Wir müssen noch dazusagen, dass die Eins nur einmal am Anfang der Kette vorkommt und dann nie wieder. Die Eins darf selbst nicht der Nachfolger irgendeiner Zahl sein. Damit haben wir nicht nur erklärt, dass man sich beim Zählen nicht im Kreis dreht, sondern auch, dass die Reihe nicht schon vor der Eins beginnt. Etwa so, mit zwei zusätzlichen Zahlen “x”und “y”: x y 1 2 3 4 5 6 7 8 … Aber auch mit dieser zusätzlichen Eigenschaft könnte die Zahlenreihe immer noch so aussehen: 1 2 3 4 5 6 7 3 4 5 … Wieder gibt es nur die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, der Nachfolger von 1 ist 2, der Nachfolger von 2 ist 3, … , der Nachfolger von 6 ist 7, und der Nachfolger von 7 ist 3. Also hat jede Zahl einen Nachfolger, und die Eins tritt nie als Nachfolger auf. Trotzdem ist etwas falsch. Die Drei hat hier eine Eigenschaft, die eine Zahl nicht haben sollte. Sie ist sowohl der Nachfolger der Zwei als auch der Nachfolger der Sieben. So funktioniert Zählen nicht. Beim Zählen ergibt sich bei jedem Schritt eine neue Zahl als Nachfolger, nicht eine, die schon einmal da war. Es gibt also keine Zahl, die der Nachfolger von zwei verschiedenen Zahlen ist. Durch diese Eigenschaft geraten wir nie in eine Schleife, denn wir kommen weder zurück zur Eins, noch zu irgeneiner anderen Zahl, bei der wir schon einmal waren. Haben wir damit das Zählen vollständig beschrieben? Nein, denn es fehlt noch genau die Eigenschaft der natürlichen Zahlen, die die Rekursion von Folgen ermöglicht. Nämlich die Eigenschaft, dass man, wenn man von Eins zu zählen beginnt, auch wirklich alle natürlichen Zahlen erreicht. Ohne diese Eigenschaft könnte die Menge der natürlichen Zahlen so aussehen: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … a b c d e f g h i j … Neben der üblichen Zahlenkette könnte es noch zusätzliche Zahlen geben, die auch alle einen Nachfolger haben, die aber von der Eins aus beim Zählen nicht erreicht werden. Die roten Zahlen in der Kette könnten zum Beispiel gebrochene Zahlen oder irrationale Zahlen sein, oder etwas ganz anderes. Das entspricht aber nicht dem, was man unter Zählen versteht. Es gibt beim Zählen außer den Zahlen, die man von der Eins aus erreicht, keine weiteren. Damit haben wir mit etwas Mühe eine Beschreibung der Menge der natürlichen Zahlen gefunden, die schon fast ohne Pünktchen oder unklare “und so weiter”-Formulierungen auskommt: Es gibt eine spezielle natürliche Zahl Eins. Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger. Die Eins ist kein Nachfolger. Keine Zahl ist der Nachfolger von zwei verschiedenen Zahlen. Und schließlich, wenn man von Eins zu zählen beginnt, also immer wieder den Nachfolger bildet, dann erreicht man irgendwann jede natürliche Zahl. Die Wörter “immer wieder”und “irgendwann”im letzten Satz erinnern allerdings noch etwas an die Pünktchen. Aber auch das lässt sich vermeiden. Wir müssen nur, statt den Prozess des Zählens zu beschreiben, das fertige Ergebnis beschreiben. Etwa so: Wenn man die Eins hat, und mit jeder Zahl auch deren Nachfolger, dann hat man alle natürlichen Zahlen. Oder in die Mengensprache übersetzt: Wenn eine Menge die Eins enthält, und wenn für jedes Element der Menge auch der Nachfolger ein Element der Menge ist, dann sind alle natürlichen Zahlen in der Menge enthalten. In dieser Formulierung kommt kein “uns so weiter”oder “immer wieder”mehr vor. 8 02-folgen.cdf 9 Aber auch das lässt sich vermeiden. Wir müssen nur, statt den Prozess des Zählens zu beschreiben, das fertige Ergebnis beschreiben. Etwa so: Wenn man die Eins hat, und mit jeder Zahl auch deren Nachfolger, dann hat man alle natürlichen Zahlen. Oder in die Mengensprache übersetzt: Wenn eine Menge die Eins enthält, und wenn für jedes Element der Menge auch der Nachfolger ein Element der Menge ist, dann sind alle natürlichen Zahlen in der Menge enthalten. In dieser Formulierung kommt kein “uns so weiter”oder “immer wieder”mehr vor. Fasst man alles zusammen und bringt es möglichst kurz auch den Punkt, so ergibt sich daraus die folgende, heute in der Mathematik übliche axiomatische Definition der natürlichen Zahlen. Definition 2.1.3 Natürliche Zahlen Die Menge N der natürlichen Zahlen hat folgende Eigenschaften. (N1) Eins ist eine natürliche Zahl: 1 Î N. (N2) Jede natürliche Zahl n Î N hat einen Nachfolger sHnL Î N. (N3) Eins ist nicht der Nachfolger einer natürlichen Zahl: n Î N Þ sHnL ¹ 1. (N4) Zwei natürliche Zahlen, die den n, m Î N ß sHnL sHmL Þ n m. gleichen Nachfolger haben, sind gleich: (N5) Enthält eine Menge die Eins und mit jeder Zahl auch ihren Nachfolger, so enthält sie alle natürlichen Zahlen: 1 Î M ß Hn Î M Þ sHnL Î ML Þ N Ì M. Vollständige Induktion Was ist nun der Zusammenhang zwischen der axiomatischen Definition der natürlichen Zahlen und der rekursiven Darstellung von Folgen? Zunächst lässt sich aus den Axiomen, insbesondere aus dem Induktionsaxiom (N5), ein sehr allgemeines Beweisprinzip für Sätze über natürliche Zahlen ableiten. Nehmen wir an, wir haben eine Aussage über natürliche Zahlen, von der wir nicht wissen, ob sie für alle natürlichen Zahlen gilt oder nicht. Zum Beispiel 3n + 4n £ 7n . Durch Einsetzen kann man leicht feststellen, dass die Aussage für kleine Zahlen stimmt. Aber stimmt sie für alle natürlichen Zahlen? Nehmen wir einmal an, die Ungleichung würde für eine bestimmte natürliche Zahl k gelten, also 3k + 4k £ 7k . Dann gilt sie immer noch, wenn wir beide Seiten mit 7 multiplizieren, also H3 + 4L × I3k + 4k M £ 7 × 7k . Nun formen wir die Ungleichung etwas um, indem wir links ausmultiplizieren, 3 × 3k + 4 × 4k + 3 × 4k + 4 × 3k £ 7 × 7k , und zusammenfassen, 3k+1 + 4k+1 + 3 × 4k + 4 × 3k £ 7k+1 . Wenn diese Ungleichung gilt, dann bleibt sie auch gültig, wenn wir die linke Seite noch kleiner machen, indem wir die letzten beiden Summanden entfernen, also 3k+1 + 4k+1 £ 7k+1 Damit wissen wir immer noch nicht, ob die Ungleichung 3n + 4n £ 7n für alle natürlichen Zahlen wahr ist. Aber wir haben gezeigt: Wenn für irgendeine Zahl k die Ungleichung 3k + 4k £ 7k gilt, dann gilt auch die Ungleichung 3k+1 + 4k+1 £ 7k+1 . Das heißt zum Beispiel: Wenn 3315 + 4315 £ 7315 ist, dann ist auch 3316 + 4316 £ 7316 . Und wenn das der Fall ist, dann auch 3317 + 4317 £ 7317 . 02-folgen.cdf 10 n n n Damit wissen wir immer noch nicht, ob die Ungleichung 3 + 4 £ 7 für alle natürlichen Zahlen wahr ist. Aber wir haben gezeigt: Wenn für irgendeine Zahl k die Ungleichung 3k + 4k £ 7k gilt, dann gilt auch die Ungleichung 3k+1 + 4k+1 £ 7k+1 . Das heißt zum Beispiel: Wenn 3315 + 4315 £ 7315 ist, dann ist auch 3316 + 4316 £ 7316 . Und wenn das der Fall ist, dann auch 3317 + 4317 £ 7317 . Natürlich rechnen wir jetzt nicht nach, ob 3315 + 4315 £ 7315 ist. Sondern, ob 31 + 41 £ 71 ist. Das ist offenbar der Fall. Daraus können wir schließen, dass 32 + 42 £ 72 ist. Daraus folgt 33 + 43 £ 73 , und so weiter, und irgendwann auch 3315 + 4315 £ 7315 . Und irgendwann ziehen wir diesen Schluss für jede natürliche Zahl. Damit haben wir das Prinzip der vollständigen Induktion angewandt. Wir haben eine Aussage über natürlichen Zahlen bewiesen, indem wir zwei Dinge gezeigt haben. Erstens: Die Aussage gilt für die Eins. Und zweitens: Wenn die Aussage für irgendeine natürliche Zahl gilt, dann gilt sie auch für deren Nachfolger. Daraus folgt, dass die Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt. Denn es ist genau eine der definierenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen, dass man jede Zahl erreicht, wenn man, von Eins beginnend, immer wieder zum Nachfolger übergeht. Um zu zeigen, dass sich das auch formal aus dem Axiom (N5) ergibt, betrachten wir die Menge M 8 n Î N 3n + 4n £ 7n <, also die Menge aller natürlichen Zahlen, für die die Aussage gilt. Über diese Menge haben wir zwei Informationen. Wir wissen, dass die Eins in ihr enthalten ist. Das haben durch einfaches Nachrechnen herausgefunden. Und wir wissen, wenn eine Zahl k in dieser Menge enthalten ist, dann ist auch k + 1 enthalten. Das haben wir durch schrittweises Umformen der Ungleichung beweisen. Wie wissen also, formal aufgeschrieben, 1 Î M ß Hk Î M Þ k + 1 Î ML. Gemäß (N5) folgt daraus N Ì M, also dass M alle natürlichen Zahlen enthält. Das bedeutet nicht anderes, als dass die Ungleichung 3n + 4n £ 7n für alle natürlichen Zahlen n gilt. Verallgemeinert man das Beispiel, so ergibt sich daraus der folgende Satz, der das grundlegende Prinzip beschreibt. Satz 2.1.4 Vollständige Induktion Eine Aussage AHnL ist für alle natürlichen Zahlen n Î N bewiesen, wenn gezeigt wurde: Induktionsanfang: Es gilt AH1L. Induktionsschluss: Aus AHnL folgt AHn + 1L. Genau dieses Prinzip haben wir bei der rekursiven Darstellung von Folgen verwendet. Zunächst brauchen wir es, um eine Folge überhaupt rekursiv definieren zu können. Im einfachsten Fall haben wir das erste Folgengllied a1 festgelegt, und eine Formel angegeben, um aus an das nächste Folgenglied an+1 zu berechnen. Mit anderen Worten: Wir haben a1 festgelegt, und wir wissen, wenn an festgelegt ist, dann ist auch an+1 festgelegt. Nach dem Induktionsprinzip folgt daraus, dass alle Folgenglieder festgelegt sind. Dann haben wir es noch einmal benutzt, um zu zeigen, dass eine rekursive Darstellung und eine explizite Darstellung zur selben Folge gehört. Auch dazu mussten wir zwei Dinge zeigen. Erstens, dass die explizite Darstellung den richtigen Anfangswert a1 liefert. Und zweitens, dass sie die Rekursionsformel erfüllt. Das bedeutet: Wenn sie den richtigen Wert für irgendein an liefert, dann liefert sie auch den richtigen Wert für an+1 . Wenn beides der Fall ist, folgt aus dem Induktionsprinzip, dass sie für alle Folgenglieder den gleichen Wert wie die rekursive Darstellung. Die vollständige Induktion als Beweisprinzip ist aber sehr viel allgemeiner. Auch Sätze aus der Geometrie lassen sich damit beweisen, zum Beispiel der bekannte Satz über die Winkelsumme in einem Vieleck. Dies und andere Beispiele finden Sie in den Aufgaben. Oft ist es dabei nützlich, dass Induktionsprinzip etwas zu verallgemeinern, ähnlich wie bei der rekursiven Darstellung von Folgen. Die vollständige Induktion als Beweisprinzip ist aber sehr viel allgemeiner. Auch Sätze aus der Geometrie lassen sich damit beweisen, zum Beispiel der bekannte Satz über die Winkelsumme in einem Vieleck. Dies und andere Beispiele finden Sie in den Aufgaben. Oft ist es dabei nützlich, dass Induktionsprinzip etwas zu verallgemeinern, ähnlich wie bei der rekursiven Darstellung von Folgen. 02-folgen.cdf Der Induktionsanfang kann auch bei einer anderen Zahl als bei der Eins erfolgen. Zeigt man zum Beispiel AH3L und AHnL Þ AHn + 1L, so hat man damit die Aussage für alle natürlichen Zahlen n ³ 3 bewiesen, aber nicht für n 1 oder n 2. Auch der Induktionsschluss AHnL Þ AHn + 1L klappt manchmal nicht für alle natürlichen Zahlen, sondern nur für n ³ m, wobei m typischerweise eine überschaubar kleine Zahl ist. Dann kann man das Prinzip trotzdem verwenden, wenn man die Aussagen AH1L, AH2L und so weiter bis AHmL einzeln beweist. Für alle weiteren natürlichen Zahlen folgt die Aussage dann durch die Induktion. Außerdem kann man beim Induktionsschluss benutzen, dass die Aussage bereits für alle kleineren Zahlen bewiesen ist, statt nur auf den unmittelbaren Vorgänger zurückzugreifen. Es genügt also, zu zeigen: Wenn AHkL für alle k < n gilt, dann gilt auch AHnL. Aufgabe 2.1.3 Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck ΠHn - 2L ist. Da die Aussage nur für n ³ 3 sinnvoll ist, beginnen Sie als Induktionsanfang mit einem Dreieck. Beweisen Sie anschließend die Aussage für ein beliebiges n-Eck mit n > 3, wobei Sie voraussetzen können, dass sie für alle k < n bereits bewiesen ist. Wenn Sie keinen Ansatz finden, skizzieren Sie ein n-Eck und überlegen Sie sich, wie Sie dessen Winkelsumme auf möglichst einfache Weise bestimmen können, wenn Sie bereits wissen, dass die obige Formel für jedes Vieleck mit weniger Ecken stimmt. Aufgabe 2.1.4 Ein unregelmäßiges Puzzle wird hergestellt, indem man in einen Kreis beliebig viele Sehnen einzeichnet und den Kreis anschließend entlang der Sehnen in Teile schneidet. Beweisen Sie, dass es immer möglich ist, die Teile so schwarz und weiß zu färben, dass nirgendwo zwei schwarze oder zwei weiße Teile an einer Schnittkante zusammenstoßen. Aufgabe 2.1.5 Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n, für die n2 > 2n ist. Aufgabe 2.1.6 Beweisen Sie: Für n Î N, x Î R und x ³ 0 gilt H1 + xLn ³ 1 + n x. Aufgabe 2.1.7 Ein Streckenzug beginnt am Punkt P und endet am Punkt Q. Er besteht aus n Strecken, die jeweils die Länge 1 haben. Beweisen Sie, dass für den Abstand der Punkte P Q¤ £ n gilt. Ein Streckenzug besteht aus aneinandergereihten Strecken, bei denen das Ende der einen Strecke der Anfang der nächsten ist. Sie können für den Beweis die Dreiecksungleichung benutzen, die besagt, dass für drei Punkte A, B, C stets A B¤ + B C¤ ³ A C¤ gilt. Eigenschaften von Folgen Um das Verhalten von Folgen genauer beschreiben zu können, definieren wir ein paar grundlegende Eigenschaften, die eine Folge haben kann. Definition 2.1.5 monoton Eine Folge an heißt monoton steigend, wenn für alle n gilt: an+1 ³ an . Eine Folge an heißt monoton fallend, wenn für alle n gilt: an+1 £ an . Bei einer monoton steigenden Folge werden die Glieder also immer größer oder bleiben gleich groß, bei einer monoton fallenden werden sie immer kleiner oder bleiben gleich. Oft nennt man eine Folge auch streng monoton, wenn die Gleichheit ausgeschlossen ist. 11 02-folgen.cdf 12 Bei einer monoton steigenden Folge werden die Glieder also immer größer oder bleiben gleich groß, bei einer monoton fallenden werden sie immer kleiner oder bleiben gleich. Oft nennt man eine Folge auch streng monoton, wenn die Gleichheit ausgeschlossen ist. Die ganz am Anfang definierte Folge der Quadratzahlen ist (streng) monoton steigend, an 400 300 an n2 200 100 0 5 10 15 20 n und die Folge der inversen Zweierpotenzen ist streng monoton fallend. bn 1.2 1.0 0.8 0.6 bn 1 2n 0.4 0.2 0.0 5 10 15 20 n -0.2 Eine Folge, die abweselnd oder unregelmäßig steigt und fällt, ist nicht monoton. Wenn sie, wie im folgenden Beispiel, bei jedem zweiten Glied steigt und bei jedem zweiten fällt, bezeichnet man sie auch als alternierend. 02-folgen.cdf bleiben gleich Oft nennt man d, n2 1 2n nn sie, wie im chnet man sie 12 02-folgen.cdf 13 cn 2.0 1.5 cn 1 + J- 1.0 0.5 0.0 5 10 15 20 n Betrachtet man die Quadratzahlen und die inversen Zweierpotenzen noch einmal, so fällt außer dem steigenden bzw. fallenden Verhalten noch ein Unterschied auf. Während die Quadratzahlen beliebig weit steigen, also irgendwann größer als jede vorgegebene Zahl werden, fallen die inversen Zweierpotenzen nicht ungebrenzt. Sie werden nie kleiner als Null. Definition 2.1.6 beschränkt Eine Folge an heißt nach oben beschränkt, wenn es eine obere Schranke S+ Î R, gibt, so dass alle an £ S+ sind. Eine Folge an heißt nach unten beschränkt, wenn es eine untere Schranke S- Î R, gibt, so dass alle an ³ S- sind. Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist. Die inversen Zweierpotenzen sind beschränkt, denn alle Folgenglieder liegen zwischen der unteren Schranke S- 0 und der oberen Schranke S+ 1. Denn für alle natürlichen Zahlen n gilt 0£ 1 2n £ 1. Die Quadratzahlen sind nach unten, aber nicht nach oben beschränkt. Eine untere Schranke ist S- 0 oder jede kleinere Zahl, denn für alle n Î N gilt 0 £ n2 . Es gibt aber keine obere Schranke S+ , so dass alle Quadratzahlen kleiner als diese Zahl sind. Zu jeder reellen Zahl S+ gibt es immer eine natürliche Zahl n, so dass n2 größer als S+ ist. Die Folge ist also nicht nach oben beschränkt. Die alternierende Folge cn ist ebenfalls beschränkt, aber eine alternierende Folge kann auch unbeschränkt sein, wie das folgende Beispiel zeigt. n 02-folgen.cdf + J- N so fällt außer Quadratzahlen en, fallen die zwischen der hlen n gilt e Schranke ist Zahl sind. Zu ist. Die Folge ge kann auch 2 n 3 13 02-folgen.cdf 14 dn 25 20 15 dn n + H-1 10 5 0 5 10 15 20 n Zwischen den Eigenschaften monoton und beschränkt besteht ein Zusammenhang. Wenn eine Folge monoton steigt, dann ist jedes Folgenglied größer als alle Glieder davor, insbesondere also größer als das erste. Das erste Folgenglies ist somit eine untere Schranke und die Folge ist nach unten beschränkt. Dasselbe gilt entsprechend für eine monoton fallende Folge. Satz 2.1.7 Jede monoton steigende Folge ist nach unten beschränkt. Jede monoton fallende Folge ist nach oben beschränkt. Ansonsten können die Eigenschaften monoton und beschränkt in jeder Kombination auftreten. Aufgabe 2.1.8 Gibt es eine Folge, die sowohl monoton steigend als auch monoton fallend ist? Aufgabe 2.1.9 Sind die Folgen monoton bzw. beschränkt? an n3 , n³0 monoton fallend monoton steigend nach oben beschränkt 1 bn , n n³1 monoton fallend monoton steigend nach oben beschränkt cn H-2L-n , n³0 monoton fallend n³0 monoton fallend nach unten beschränkt monoton steigend nach oben beschränkt dn 2n , nach unten beschränkt nach unten beschränkt monoton steigend nach oben beschränkt nach unten beschränkt n 02-folgen.cdf n + H-1Ln g. Wenn eine besondere also Folge ist nach auftreten. 14 02-folgen.cdf 15 en H-2Ln , n³0 monoton fallend monoton steigend nach oben beschränkt fn 2-n , n³0 monoton fallend monoton steigend nach oben beschränkt g0 3, gn gn-1 , n³1 monoton fallend 1 3 hn hn-1 , n³1 monoton fallend nach unten beschränkt monoton steigend nach oben beschränkt h0 , nach unten beschränkt nach unten beschränkt monoton steigend nach oben beschränkt nach unten beschränkt Hier klicken, um die Antworten zu prüfen! Aufgabe 2.1.10 Für eine Folge gelte die Rekursionsformel an 4 an-1 - an-2 . 3 Ist die Folge monoton? Spezielle Folgen Statt nur danach zu fragen, ob die Folgenglieder größer oder kleiner werden, und ob sie beliebig groß bzw. klein werden oder nicht, kann man Folgen auch danach klassifizieren, ob sie in irgendeiner Weise regelmäßig steigen oder fallen. Ähnlich wie bei Funktionen von reellen Zahlen unterscheidet man bestimmte Typen von Folgen. Die einfachsten sind die arithemtischen und die geometrischen Folgen. Sie entsprechen den linearen Funktionen und den Exponentialfunktionen. Definition 2.1.8 arithmetische Folge Eine Folge an heißt arithmetisch, wenn die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder an - an-1 k konstant ist. Die Konstante k heißt Schrittweite der Folge. Aus der Definition ergibt sich sofort, dass eine arithmetische Folge rekursiv durch a0 c, an an-1 + k definiert werden kann. Sie ist durch einen Anfangwert c und die Schrittweite k eindeutig bestimmt. Die explizite Darstellung ist an k n + c. Die Schrittweite k entspricht der Steigung und der Anfangswert c dem Achsenabschnitt einer lineare Funktion. Der Graph einer arithmetischen Folge ist entsprechend eine Punktreihe, die auf einer Geraden liegt. Durch Variation von c werden die Punkt nach oben bzw. unten verschoben. Verändert man k, so steigt bzw. fällt die Folge schneller bzw. langsamer. 02-folgen.cdf b sie beliebig n, ob sie in eellen Zahlen chen und die unktionen. tig bestimmt. bschnitt einer reihe, die auf n verschoben. 15 02-folgen.cdf 16 20 10 0 5 10 15 20 -10 -20 Definition 2.1.9 geometrische Folge Eine Folge an heißt geometisch, wenn der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder an an-1 q konstant ist. Die Konstante q heißt Wachstumsfaktor der Folge. Auch hier ergibt sich aus der Definition sofort die rekursive Darstellung einer geometrischen Folge, nämlich a0 c, an q an-1 , wieder mit einem beliebigen Anfangswert c. Das entspricht dem Verhalten einer Exponentialfunktion. Erhöht man den Index im eins, so wird der Funktionswert mit einem Faktor multipliziert. Die daraus folgende explizite Darstellung ist an c qn . Abhängig vom Vorzeichen und vom Betrag von q kann sich eine geometrische Folge sehr unterschiedlich verhalten. Sie kann monoton oder alternierend sein, und beschränkt oder auch nicht beschränkt. 02-folgen.cdf geometrischen rhalten einer einem Faktor he Folge sehr nkt oder auch an k n + c c -13 3 k 17 18 16 02-folgen.cdf 17 20 10 0 5 10 15 20 -10 -20 Aufgabe 2.1.11 Untersuchen Sie, für welche Werte von c und q die geometrische Folge an c qn monoton steigend, monoton fallend, beschränkt bzw. unbeschränkt ist. Unterscheiden Sie alle möglichen Kombinationen dieser Eigenschaften. Aufgabe 2.1.12 Das arithmetische Mittel von zwei reellen Zahlen a und b ist Ha + bL 2. Beweisen Sie: Eine Folge ist genau dann arithmetisch, wenn außer dem ersten jedes Folgenglied das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarn ist. Das geometrische Mittel von zwei positiven reellen Zahlen a und b ist beweisen Sie einen entsprechenden Satz für geometrische Folgen. a b . Formulieren und Sparen und Tilgen Das typische Anwendungsbeispiel für eine geometrische Reihe ist die Verzinsung. Legt man ein Kapital K zu einem festen Zinssatz p an, so wächst es in jedem Jahr um den Faktor q p + 1. Bezeichnen wir mit Kn das Kapital nach n Jahren, so entsteht eine rekursiv definierte Folge K0 K, Kn q Kn-1 . Die explizite Darstellung dieser Folge ist Kn K qn . 02-folgen.cdf oton steigend, e möglichen e: Eine Folge tische Mittel mulieren und Legt man ein ktor q p + 1. Folge 17 an c + k n c3 q 10 9 02-folgen.cdf 18 Mit Hilfe der expliziten Darstellung lassen sich typische Fragen direkt beantworten, die man mit der rekusiven Darstellung nur durch aufwendiges Ausprobieren beantworten kann. Wie lange muss man ein Kapital K anlegen, bis es es einen bestimmten Wert Y erreicht? Gesucht ist der kleinste Wert für n, so dass K qn ³ Y. Teilt man die Ungleichung durch K und bildet auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis q, so findet man Y H1L n ³ logq . K Zu welchem Zinssatz p muss man ein Kapital K anlegen, damit es nach n Jahren mindestens den Wert Y hat? Die Bedingung ist wieder die gleiche, K qn ³ Y. Aber jetzt ist q gesucht, so dass wir auf beiden Seiten durch K teilen und dann die n-te Wurzel ziehen müssen, Y 1n q³ . K Da q p + 1 ist, bedeutet das für den Zinssatz p³ Y K 1n - 1. H2L In der folgenden Tabelle können Sie das Anfangskapital und den ZInssatz bzw. den Wachstumsfaktor verändern. Jahr Kapital Jahr Kapital Jahr Kapital Anfangskapital H€ L: 100 000. 0 100 10 157 20 157 Zinssatz H%L: 2.3 000.0584.2584.20 0 0 Wachstumsfaktor: 1.023 1 102 11 161 21 161 300.0208.6208.6zurück 0 4 4 weiter 2 104 12 164 22 164 652.9916.4916.40 4 4 3 107 13 168 23 168 059.9709.5709.52 1 1 4 109 14 172 24 172 522.2589.8589.89 3 3 5 112 15 176 25 176 041.3559.4559.41 0 0 6 114 16 180 26 180 618.2620.2620.26 7 7 02-folgen.cdf 19 7 117 17 184 254.48 8 119 27 184 774.53 18 189 951.33 9 122 774.53 28 189 024.35 19 193 710.21 024.35 29 193 371.91 371.91 Etwas anspruchsvoller ist die Berechnung eines Sparplanes. Bei einem Sparplan zahlt man zusätzlich zum bereits angelegten Kapital in regelmäßigen Abständen einen bestimmten Betrag ein, so dass sich das Kapital sowohl durch die Einzahlungen als auch durch die Zinsen erhöht. Da die Einzahlungen typischerweise monatlich erfolgen, betrachten wir einen Monat als Zeiteinheit. Am Anfang sei ein Kapital K vorhanden, und jeden Monat werde ein Betrag k eingezahlt. Die Zinsen schlagen wir ebenfalls monatlich zu. Wenn der jährliche Zinssatz p ist, ergibt sich ein monatlicher Wachstumsfaktor q Hp + 1L112 . Damit können wir für das Kapital Kn nach n Monaten eine rekursive Darstellung angeben. Nach jeweils einem Monat wird das vorhandene Kapital verzinst, also mit q mutlipliziert, und anschließend um den Einzahlungsbetrag k erhöht. Es gilt also K0 K, Kn q Kn-1 + k. In der folgenden Tabelle wird ein solcher Sparplan berechnet. Am Ersten des laufenden Monats wurde ein Kapital K angelegt. Am Ersten des nächsten Monats wird dieses Kapital zum ersten Mal verzinst und es wird zum ersten Mal der regelmäßige Betrag k wird eingezahlt. In der Tabelle wird jeweils das Kapital zu Beginn des angegebenen Monats angezeigt. Anfangskapital H€ L: 2017 30 000. Zinssatz H%JahrL: Jan 17 5.7 Einzahlung H€ MonatL: -577. 11 925.25 Feb 17 Mrz 10 16 436.38 Mai 4 864.01 321.75 934.96 Apr 5 415.94 11 16 15 2019 843.91 431.25 zurück weiter 2018 4 309.54 797.18 10 3 752.49 270.17 9 740.72 3 192.87 9 208.82 2 630.65 935.48 Jun 15 432.26 02-folgen.cdf 774.53 024.35 371.91 an zahlt man mmten Betrag n erhöht. n Monat als ein Betrag k Zinssatz p ist, ngeben. Nach lipliziert, und enden Monats um ersten Mal r Tabelle wird 2019 415.94 864.01 309.54 752.49 192.87 630.65 19 02-folgen.cdf 20 Jul 14 8 674.46 2 065.83 8 137.63 1 498.39 7 598.31 928.33 7 056.49 355.63 6 512.16 -219.72 5 965.32 -797.74 926.72 Aug 14 418.83 Sep 13 908.60 Okt 13 396.00 Nov 12 881.02 Dez 12 363.67 Sie können das Anfangskapital, den Zinssatz und den Einzahlungsbetrag verändern, und mit den Schaltflächen weiter in die Zukunft rechnen. Wenn Sie als Einzahlung eine negative Zahl eingeben, können Sie mit der Tabelle auch die Tilgung eines Kredites berechnen. Dahinter steht dasselbe Prinzip. Sie haben zu Beginn eines Monats einen bestimmten Betrag an Schulden. Die Schulden werden jeden Monat verzinst, wodurch sie sich um einen Faktor q erhöhen. Sie zahlen aber ab, so dass sich die Schulden nach der Verzinsung wieder um einen festen Betrag, nämlich die monatliche Rate -k verringern. Damit die Schulen insgesamt abnehmen, muss die Rate natürlich größer sein als die Zinsen. Aber wie groß muss sie genau sein, wenn Sie den Kredit in einer bestimmten Zeit abgezahlt haben wollen? Oder wie lange benötigen Sie für das Abzahlen, wenn sie monatlich einen bestimmten Betrag aufbringen können? Sie können diese Fragen mit Hilfe der Tabelle beantworten, indem Sie die gesuchte Größe variieren und die Tabelle in die Zukunft fortsetzen. Einfacher wäre es jedoch, wenn wir eine explizite Darstellung der Folge Kn hätten. Dann müssten wir diese nur Umstellen, um solche Fragen zu beantworten. Ein kleiner Trick hilft, die explizite Darstellung zu finden. Die rekursive Darstellung für Kn ist K0 K, Kn q Kn-1 + k. Wir definieren eine neue Folge Gn , die sich von Kn um eine noch zu bestimmende Konstante c unterscheidet, also Kn Gn - c. Setzt man das in (3) ein, so ergibt sich G0 - c K, Gn - c q HGn-1 - cL + k, und ein wenig umgeformt wird daraus eine rekursive Darstellung für Gn , nämlich G0 K + c, Gn q Gn-1 + k - q c + c. Nun wählen wir c so, dass sich die Rekursionsformel vereinfacht. Das ist der Fall, wenn H3L 02-folgen.cdf 065.83 498.39 928.33 355.63 219.72 797.74 , und mit den belle auch die Beginn eines onat verzinst, Schulden nach ngern. Zinsen. Aber gezahlt haben n bestimmten suchte Größe wenn wir eine en, um solche für Kn ist e Konstante c nn H3L 20 02-folgen.cdf 21 H4L k qc-c ist, also c k q-1 . Die rekrusive Darstellung für Gn ist dann G0 K + c, Gn q Gn-1 . Dafür können wir sofort eine explizite Darstellung angeben, nämlich Gn HK + cL qn . Um daraus eine explizte Darstellung für Kn zu machen, müssen wir nur die Konstante c wieder subtrahieren, also Kn HK + cL qn - c. H5L Damit haben wir die explizite Darstellung gefunden. Die Konstanten q und c ergeben sich aus dem jährlichen Zinssatz p und dem Einzahlunsbetrag k durch q H1 + pL112 , c k q-1 , Wir können nun direkt das Kapital Kn nach n Monaten berechnen. Aber können wir auch die oben gestellten Fragen beantworten? Betrachten wir als Beispiel die Fragen nach der Höhe der Kreditrate. Angenommen, Sie wollen einen Kredit in der Höhe K aufnehmen, und diesen in n Monaten abzahlen. Die Bank bietet einen bestimmten Zinssatz p an, so dass sie daraus den monatlichen Zinsfaktor q bestimmen können. Nach n Monaten sollen Ihre Schulden gleich null sein, also HK + cL qn - c 0. Diese Gleichung müssen wir nach c auflösen und dann können wir daraus die Rate k bestimmen. Das Ergebnis ist k - K qn H6L q-1 qn - 1 . Das negative Vorzeichen ergibt sich, weil mit unseren Konventionen entweder die Kredithöhe K oder die monatliche Rate k negativ ist. Setzen wir R -k für die monatliche Rate, so können wir ohne nur mit positiven Zahlen auch schreiben R K qn H7L q-1 qn - 1 . Als typisches Beispiel ergbt sich bei einem Kredit von 10 000€ , einer Laufzeit von 5 Jahren und einem jährlichen Zinssatz von 4.5% q 1.045112 1.00367, R 10 000 q60 q-1 q60 - 1 186.02, was man mit Hilfe der obigen Tabelle bestätigen kann. Wenn bei bekannter Kredithöhe und Rate die Laufzeit bestimmt werden soll, dann müssen wir die kleinste natürliche Zahl n bestimmen, so dass 02-folgen.cdf 22 HK + cL qn - c < 0. Umstellen dieser Ungeichung unter Beachtung aller Vorzeichen ergibt n > -logq 1 - K Hq - 1L R Betrachten wir das gleiche Bespiel wie oben und erhöhen die Rate auf 200€ . Verkürzt sich dadurch die Laufzeit merklich? Einsetzen ergibt q 1.045112 1.00367, -logq 1 - 10 000 Hq - 1L 200 55.3486, also eine Laufzeit von 56 statt 60 Monaten. Aufgabe 2.1.13 Können Sie die Formel (5) anschaulich erklären? Stellen Sie sich vor, der Sparer entnimmt die monatlichen Einzahlungen einem anderen Konto, auf dem ein fester Betrag liegt, und auf dem er den gleichen Zinssatz bekommt. Er hebt also jeden Monat die Zinsen von diesem Konto ab und zahlt sie in den Sparplan ein. Dann könnte er doch gleich alles auf ein Konto legen und nichts mehr zusätzlich einzahlen … Aufgabe 2.1.14 Erstellen Sie mit einer Tabellenkalkulation einen Sparplan ohne Anfangskapital. Als variable Eingabefelder sollen der jährliche Zinssatz und die monatliche Einzahlung vorhanden sein. Die Tabelle soll sich durch einfaches “Ziehen” der letzten Zeile beliebig in die Zukunft fortsetzen lassen. Aufgabe 2.1.15 Welche Bedingungen müssen die Größen K, Y und q erfüllen, damit die Ungleichungen (1) und (2) korrekt sind? Aufgabe 2.1.16 Die Tabelle gibt an, nach wie vielen Jahren sich ein Kapitel verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht … hat, wenn man es zu einem bestimmten Zinssatz anlegt. Erstellen Sie eine solche Tabelle mit einer Tabellenkalkulation, und zwar so, dass Sie sie durch “Ziehen”automatisch nach unten bzw. nach rechts fortsetzen können. 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% ´2 70 36 24 18 15 12 11 10 9 8 ´3 111 56 38 29 23 19 17 15 13 12 ´4 140 71 47 36 29 24 21 19 17 15 ® ´5 162 82 55 42 33 28 24 21 19 17 ´6 181 91 61 46 37 31 27 24 21 19 ´7 196 99 66 50 40 34 29 26 23 21 ¯ Aufgabe 2.1.17 In der Tabelle ist die Kreditrate in Abhängigkeit von der Laufzeit in Monaten und dem jährlichen Zinssatz dargestellt. Die Kredithöhe kann variiert werden. Erstellen Sie eine solche Tabelle mit einem Tabellenkalkulationsprogramm. Es soll möglich sein, die Tabelle nach rechts und unten durch “Ziehen”zu verlängern. 02-folgen.cdf 23 Kreditbetrag: Rate 6 mon. 12 mon. 18 mon. 24 mon. 30 mon. 36 mon. 42 mon. 48 mon. 54 mon. 60 mon. 1% 5 014.53 2 513.50 1 679.83 1 263.00 1 012.91 846.18 727.10 637.78 568.32 512.75 30 000. 2% 5 028.94 2 526.92 1 692.94 1 275.97 1 025.80 859.04 739.94 650.62 581.16 525.60 3% 5 043.25 2 540.26 1 705.99 1 288.90 1 038.68 871.90 752.80 663.49 594.05 538.52 ¯ 4% 5 057.45 2 553.52 1 718.98 1 301.79 1 051.54 884.77 765.68 676.41 607.01 551.53 5% 5 071.54 2 566.70 1 731.92 1 314.65 1 064.39 897.63 778.59 689.37 620.03 564.61 6% 5 085.53 2 579.80 1 744.80 1 327.47 1 077.22 910.50 791.52 702.37 633.11 577.77 ®
