Einführung in die Integralrechnung

Einführung in die Integralrechnung
Von Florian Modler
Dies ist nun der zweite Teil von „Einführung
in die Integralrechnung“
Ich habe mich bemüht diesen Artikel vor
allem verständlich und anschaulich zu
gestalten.
Ich hoffe mir ist dieses gelungen.
Dieser Artikel umfasst nun einen zweiten
Einblick in die Integralrechnung, die man so
in der Oberstufe eines Gymnasiums
(12. Klasse) kennen lernt.
Es gibt noch viele Gebiete, in denen man die
Integralrechnung anwenden kann. Hier will
ich aber an dieser Stelle nicht weiter
eingehen.
Vielleicht kommt ja noch ein dritter Teil. Das
kann man nie ausschließen.
Aber jetzt erstmal viel Spaß mit meinem zweiten kleinen Einblick in die Einführung in die
Integralrechnung.
Inhalt
1 Integralfunktion
2 Hauptsatz der Differential –und Integralrechnung
3 Stammfunktion
3.1 Der Begriff „Aufleiten“
3.2 Die Stammfunktion
3.3 Berechnen von Integralen mit Hilfe einer Stammfunktion
4 Erste Anwendungsgebiete in der Differentialrechnung
5 Zusammenfassung Teil II
6 Abschluss
7 Quellenangabe
1 Integralfunktion
Die Berechnungen von einigen Integralen mit Hilfe der Obersumme und Untersumme bzw.
mit den Grundintegralen kann sehr langwierig und umständlich sein.
Deshalb suchen wir in diesem Artikel, wie versprochen, ein einfaches Berechnungsverfahren.
b
Dazu benötigen wir mehr Wissen über das Integral
 f ( x)dx .
a
Ein Weg hierzu ergibt sich durch das systematische Verändern der im Integral auftretenden
unteren Grenze a, der oberen Grenze b und der Integrandenfunktion f.
Bei der Fülle möglicher Integrandenfunktionen erscheint es aussichtslos, die Abhängigkeit
des Integrals von der Integrandenfunktion zu untersuchen. Auch wird man bei fester
b
Integrandenfunktion f nicht beide Grenzen gleichzeitig variieren. Wegen

a
a
f    f genügt
b
es, die untere Grenze festzuhalten und die obere Grenze zu verändern. Wir erhalten so eine
x
Funktion x   f . Diese wollen wir nun untersuchen. Dazu folgende Aufgabe:
a
b
Es gilt
b³
 x²dx  3 ; b  0
0
b
a) Berechne den Wert des Integrals
 x²dx für die ganzzahligen Werte b=1, b=2, ..., b=10.
0
b) Diese Werte können als Funktionswerte angesehen werden. Die zugehörige Funktion heißt
Integralfunktion von f zur unteren Grenze 0. Gib diese durch eine Zuordnungsvorschrift an.
Gib die allgemeine Definition der Integralfunktion sowie ein weitere Beispiel an.
c) Gib die Integralfunktion von f(x)=2x³-4 mit der unteren Grenze 1 an.
Lösung:
a)
b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
b³
3
1
3
8
3
9
64
3
125
3
72
343
3
512
3
243
1000
3
b) Die Integralfunktion von f(x)=x² mit der unteren Grenze 0 hat die Zuordnungsvorschrift
1
f ( x)  x ³ .
3
Die allgemeine Definition muss das Funktionszeichen f verwenden. Außerdem muss die
untere Grenze angegeben werden.
Definition:
x
Gegeben sei die Funktion f. Die Funktion x   f , welche jeder Stelle x den Wert des
a
x
f
Integrals
zuordnet, heißt Integralfunktion von f mit der unteren Grenze a.
a
x
Der Definitionsbereich der Integralfunktion x   f ist die Menge aller Zahlen, für die das
a
x
Integral
f
existiert.
a
b
c) Für das Integral  (2 x ³  4)dx gilt:
1
b
b
b
b4 1
1
7
 )  4(b  1)  b4  4b 
4 4
2
2
1
1
1
Die Integralfunktion von f(x)=2x³-4 mit der unteren Grenze 1 hat also die
1
7
Zuordnungsvorschrift f ( x)  x 4  4 x  .
2
2
 (2 x³  4)dx  2 x³dx  41dx  2(
Informationen:
x
f
ist der Term der Integralfunktion, f ist die Integrandenfunktion.
a
x
- Die Schreibweise
 x ² dx bzw. allgemeiner
a
x
 f ( x)dx
kann zur Verwirrung führen, da x in
a
x
zweierlei Bedeutung auftritt. Man schreibt daher:  t ² dt ...
a
- Als Abkürzung für die Integralfunktion einer gegebenen Funktion mit der unteren Grenze a
schreibt man : Ia .
x
x
a
a
I a ( x)   f   f ( z )dz
x
- Der Term
f
der Integralfunktion gibt die Summe der orientierten Flächeninhalte an.
a
Um diesen Sachverhalt etwas zu üben, bitte löst folgende Aufgaben:
x
1. Gib den Term
f
der Integralfunktion zu f an, skizziere den Graphen der Integralfunktion
1
x
x   f und der Funktion f. Markiere alle Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte.
1
Schreibe alle Paare sich entsprechender Punkte auf. Begründe jeweils den Zusammenhang.
a) f(t)=-t(t-2)
x
2. Gib zur Funktion f allgemein die Integralfunktion x   f an.
a
a) f(t)=3 b) f(t)=-3t-1 c) f(t)=3t²-1 d)n 2t³+2t-0,5
Lösungen:
1.
a)
f (t )  t (t  2)
1
I1 ( x)  ( x ³  3x ²  2)
3
Funktion f
Integralfunktion I1
Nullstellen:
0=-t(t-2)
0=-t²+2t=t(-t+2)
t=0; t=2
N(0; 0)
1
I1 ( x)  ( x ³  3 x ²  2)
3
2
x=0  y= 
3
2
T(0;  )
3
I’’1(x)=-2x+2
I1(2)=2>0:Tiefpunkt
Nullstellen:
0=-t(t-2)
0=-t²+2t=t(-t+2)
t=0; t=2
N(0; 2)
x=2  y=
I’’1(2)=-2 <0 : Hochpunkt
H(2 ;
f’(t)=-2t+2; f’’(t)=-2
0=-2t+2
t=1
f’’(1)=-2<0: Hochpunkt
2
)
3
x=1  I1(1)=0
I’’’1(x)=-2
I’’’1(1)=-2 ungleich0
W(1; 0)
t=1
H(1; 1)
2
3
2.
a ) f (t )  3  I a ( x)  3 x  3a
3
3
b) f (t )  3t  1  I a ( x)   x ²  x  a ²  a
2
2
c) f (t )  3t ²  1  I a ( x)  x ³  x  a ³  a
d ) f (t )  2t ³  2t 
1
1
1
1
1
 I a ( x)  x 4  x ²  x  a 4  a ²  a
2
2
2
2
2
2 Hauptsatz der Differential –und
Integralrechnung
Schaut euch bitte folgendes mal an:
x
x
x
0
0
I 0 ( x)   (4t  5)dt  4 tdt  5 1dt  4 
0
x
x
2
2
I 2 ( x)   4 zdz  4  zdz  4  (
x
x
2
2
x²
 5x  2 x²  5 x
2
x ² 2²
 )  2 x²  8
2 2
I 2 ( x)   4 z ² dz  4  z ² dz  4  (
x ³ 2³ 4
32
 )  x³ 
3 3
3
3
Was fällt euch auf? Kleiner Hinweis. Leitet doch mal die Integralfunktion wieder ab.
GENAU! Ihr erhaltet wieder die Integrandenfunktion. Daraus folgt:
Die Ableitung der Integralfunktion ist die Integrandenfunktion.
Satz:
x
Bildet man die Ableitung der Integralfunktion Ia mit I a ( x )   f , so erhält man die
a
Integrandenfunktion f, das heißt es ist: I’a(x)=f(x).
Dieser Hauptsatz der Differential –und Integralrechnung stellt den Zusammenhang zwischen
Differenzieren und Integrieren her:
x
x
a
a
Integriert man nämlich f :  f und differenziert man anschließend, (  f ) ' , so erhält man
wieder die Funktion f.
Das Differenzieren macht das Integrieren wieder rückgängig.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
x
Ist die Funktion f stetig, so ist die Integralfunktion x   f differenzierbar und die Ableitung
a
ist gleich der Integrandenfunktion f, das heißt es ist I’a(x)=f(x).
3 Die Stammfunktion
3.1 Der Begriff „Aufleiten“
Unser Ziel ist langfristig, ein einfacheres Berechnungsverfahren für Integrale zu entwickeln.
Dabei haben wir nun die Entdeckung gemacht, dass die Ableitung der Integralfunktion gleich
der Integrandenfunktion ist. Umgekehrt müsste man also zu einer vorgegebenen
x
Integrandenfunktion f eine Integralfunktion Ia mit I a ( x )   f finden, indem man den Prozess
a
des Ableitens in umgekehrter Richtung vollzieht.
Sprachlich folgerichtig wird dieser Prozess gelegentlich auch Aufleiten genannt.
3.2 Die Stammfunktion
Definition:
Eine differenzierbare Funktion F heißt Stammfunktion der Funktion f über dem Intervall
[a; b] bzw. über dem ganzen Definitionsbereich von f, falls ist:
F’(x)=f(x) für alle x aus dem Intervall [a; b] bzw. aus dem Definitionsbereich von f.
Nach dieser Definition und dem Hauptsatz der Differential –und Integralrechnung gilt somit:
Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion der Integrandenfunktion, sofern die
Integrandenfunktion stetig ist.
Der Begriff des Aufleitens einer Funktion f führt zu einer Stammfunktion der Funktion f.
(1) Regeln beim Aufsuchen einer Stammfunktion
Beim Aufsuchen einer Stammfunktion (Aufleiten) wendet man die Faktorregel und die
Summenregel der Differentialrechnung in umgekehrter Richtung an. Man bildet also eine
Stammfunktion einer Summe (einer Differenz) gliedweise und lässt beim Aufsuchen einer
Stammfunktion einen konstanten Faktor unberücksichtigt.
x  xn ; x 
1 n 1
x
n 1
(2) Die Gesamtheit der Stammfunktionen einer Funktion f
Wenn man eine Stammfunktion F von f gefunden hat, dann kann man sofort unendlich viele
angeben. Man braucht nur eine beliebige Zahl c addieren: F(x)+c und erhält wieder eine
Stammfunktion von f. Der Prozess des Aufleitens ist also im Gegensatz zum Ableiten nicht
eindeutig bestimmt.
Satz:
Zwei Stammfunktionen F1 und F2 von f über demselben Intervall [a; b] unterscheiden sich nur
um eine additive Konstante, das heißt es gibt eine Zahl c, so dass ist:
F1(x)=F2(x)+c
Tabelle
von
f(x)
x
x²
F(x)
½ x² 1/3
x³
Stammfunktionen
x³
1
xk
¼
x4
x
x  xn ; x 
F
wichtiger
1/x²
1 n 1 -1/x
x
n 1
Ausgangsfunktionen
1/Wurzel Sin
x
x
Cos
x
f:
x1/2
2*Wurzel -cos Sin x 2/3
x
x
x3/2
3.3 Berechnen von Integralen mit Hilfe einer Stammfunktion:
3
3³ 1
1
2
 x²dx  3  3  9  3  8 3 (alterWeg )
1
1
f ( x)  x ²; F ( x)  x ³  c
3
x
1
I1 ( x)   t ² dt  x ³  c
3
1
1. Zuerst bildet man also eine Stammfunktion der Funktion f.
2. Danach setzt man die Integralfunktion mit der Stammfunktion F(x) gleich.
Dieser Zusammenhang muss für jede beliebige obere Grenze sein, also auch für x=1:
1
1
 t ²dt  0  3 1³  c
1
1
0 c
3
1
c
3
Daraus ergibt sich für unsere Integral am Anfang:
3
1
1
2
I1 ( x)   t ² dt   3³   8 (neuerWeg )
3
3
3
1
Allgemeiner Weg:
Gegeben ist f(x) und F(x)+c ist irgendeine Stammfunktion von f. Unter diesen
Stammfunktonen wird diejenige gesucht, die gleich der Integralfunktion ist:
x
I a ( x)   f  F ( x)  c
a
Setzen von x=a liefert:
a
f
 0  F (a)  c
a
c   F (a )
Hier setzt man nun x=b:
b
f
b
 F (b)  F (a )  [ F ( x)]
a
a
Beispiel:
3
1
1
1
1
2
 x²dx  ( 3  3³  c)  ( 3 1³  c)  3  3³  3 1³  8 3
1
Vorgehensweise:
1. Zuerst berechnet man die Stammfunktion der Funktion f.
2. Danach wendet man entsprechend nach den Integralen die Formel an:
b

b
f  F (b)  F (a )  [ F ( x)]
a
a
4 Erste Anwendungen in der
Differentialrechnung
Wie ich schon erwähnt habe, kann man auch die Integralrechnung mit der
Differentialrechnung verknüpfen. Dazu ein paar Aufgaben mit Lösungen:
1. Aufgabe:
Für k>0 ist die Funktion fk gegeben durch fk(x)=k(-x³+3x+4).
Bestimme k so, dass der Graph von fk mit der Tangente im Hochpunkt eine Fläche mit dem
Inhalt von 45 einschließt.
Lösungen:
Hier benötigt man Kenntnisse aus der Differentialrechnung, im Bereich
„Funktionsuntersuchung“. Auch bei solchen Aufgaben kann man Schritt für Schritt vorgehen:
1. Bestimmung des Hochpunktes
f ( x)  k ( x ³  3 x  4); f '( x)  k ( 3 x ²  3); f ''( x)  6kx
NotwendigeBedingung : f '( x)  0
0  k (3 x ²  3) |: k
0  3 x ²  3
x   1
HinreichendeBedingung : f '( x)  0  f ''( x)  0 :
f ''(1)  6k  0 : Hochpunkt
f ''(1)  6k  0 : Tiefpunkt
An der Stelle x=1 liegt ein Hochpunkt vor.
H(1; 6k)
2. Bestimmung der Tangente im Hochpunkt
Dazu kann man sich erst mal für ein bestimmtes k eine Skizze anfertigen:
Wie man leicht sieht, verläuft die Tangente parallel zur x-Achse durch den Hochpunkt. Also
ist die Tangentengleichung t(x)=6k.
3. Bestimmung von k
Nun geht man ganz normal vor, wie ihr es in meinem ersten Artikel unter Abschnitt 5 gelernt
habt.
3.1 Gleichsetzen der beiden Gleichungen, um die Schnittpunkte zu bestimmen:
6k  k ( x³  3x  4)
6k   x³k  3kx  4k | 6k
0   x³k  3kx  2k
Nun bestimmt man mit Hilfe der Polynomdivision die Nullstellen dieser Gleichung bzw. die
Lösungsmenge dieser Gleichung.
So erhält man x1=1 und x2=-2
3.2 Aufstellen des Integrals
1
 t ( x)  f ( x)dx  45
2
1
 (6k  kx³  3kx  4k )dx  45
2
1
 (kx³  3kx  2k )dx  45
2
1 24
1 2²
k (  )  3k (  )  2k (1  ( 2))  45
4 4
2 2
6, 75k  45
k 6
2
3
Für k  6
2
schließt die Tangente im Hochpunkt von f(x) eine Fläche mit dem Flächeninhalt
3
45 ein.
2. Aufgabe:
Der Graph einer Funktion f mit f ( x)  x 4  ax³  bx²  cx  d hat den Punkt P(0; 1) als
Sattelpunkt. Der Flächeninhalt der Fläche, die die Tangente durch diesen Punkt und der
Graph von f einschließen, beträgt 5000. Wie heißt die Funktion.
Lösungen:
Diese Aufgabe erfordert weitere Kenntnisse aus der Sekundarstufe I. Ihr kennt bestimmt eine
Aufgabe, bei der man eine Funktion mit bestimmten Eigenschaften bestimmen sollte.
Dieses eventuell vorhandene Wissen müsst ihr bei dieser Aufgabe mit einfließen lassen.
1. Bestimmung der Ableitungen
f ( x)  x 4  ax ³  bx ²  cx  d ; f '( x)  4 x ³  3ax ²  2bx  c; f ''( x)  12 x ²  6ax  2b;
f '''( x)  24 x  6a
2. Bedingungen aufstellen
Aus der Information, dass P(0; 1) ein Sattelpunkt ist, können wir drei Bedingungen aufstellen:
1. f '(0)  0
2. f ''(0)  0
3. f (0)  1
Daraus folgt:
1. f '(0)  0  c  0
2. f ''(0)  0  b  0
3. f (0)  1  d  1
Somit bleibt folgende Funktion übrig:
f ( x)  x 4  ax³  1
Nun fehlt uns eine 4. Bedingung, um den Parameter a zu bestimmen und diese Bestimmung
steht im Aufgabentext „Der Flächeninhalt der Fläche, die die Tangente durch diesen Punkt
und der Graph von f einschließen, beträgt 5000. Wie heißt die Funktion.“
Nun benötigen wir das Wissen aus meinem ersten Artikel über die Einführung in die
Integralrechnung.
3. Berechnung der Tangente
f’(0)=m=0
m=0; P(0;1)
t(x)=1
4. Berechnung der Schnittpunkte von f(x) und t(x): f(x)=t(x)
x 4  ax ³  1  1
x 4  ax ³  0
x ³( x  a )  0
x  0  x  a
5. Aufstellen einer Skizze
Die schwarze Fläche hat den Flächeninhalt 5000.
6. Aufstellen des entsprechenden Integrals
0
|  t ( x)  f ( x)dx | 5000
a
0
|  (1  x 4  ax ³  1)dx | 5000
a
0
|  ( x 4  ax ³)dx | 5000
a
05 (  a ) 5
a4

)  a(0  ) | 5000
5
5
4
1
1
|  a 5  a 5 | 5000
5
4
5
| a | 0, 05  5000 |: 0, 05
| (
| a 5 | 10000
a  10  a  10
Es gibt zwei Lösungen, da wir nicht wissen, ob a negativ oder positiv ist.
Bei den Funktion f ( x)  x 4  10 x³  1undf ( x)  x 4  10 x³  1 wird mit der Tangente im Punkt
P(0; 1) eine Fläche von 5000 FE eingeschlossen.
5 Zusammenfassung Teil II
Definition:
x
Gegeben sei die Funktion f. Die Funktion x   f , welche jeder Stelle x den Wert des
a
x
f
Integrals
zuordnet, heißt Integralfunktion von f mit der unteren Grenze a.
a
x
Der Definitionsbereich der Integralfunktion x   f ist die Menge aller Zahlen, für die das
a
x
Integral
f
existiert.
a
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
x
Ist die Funktion f stetig, so ist die Integralfunktion x   f differenzierbar und die Ableitung
a
ist gleich der Integrandenfunktion f, das heißt es ist I’a(x)=f(x).
Definition:
Eine differenzierbare Funktion F heißt Stammfunktion der Funktion f über dem Intervall
[a; b] bzw. über dem ganzen Definitionsbereich von f, falls ist:
F’(x)=f(x) für alle x aus dem Intervall [a; b] bzw. aus dem Definitionsbereich von f.
Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion der Integrandenfunktion, sofern die
Integrandenfunktion stetig ist.
Neuer Berechnungsweg von Integralen mit Hilfe der Stammfunktion:
b

a
b
f  F (b)  F (a )  [ F ( x)]
a
6 Abschluss
So das war nun der zweite Teil. Ich hoffe ich konnte euch das Verfahren, um Integrale mit
Hilfe der Stammfunktion zu berechnen, ausführlich und verständlich erklären.
Es gibt noch viel mehr, dass man mit der Integralrechnung machen kann. Zum Beispiel eine
Anwendung, mit der man Rotationskörper berechnen kann.
Darüber erscheint auf jeden Fall noch ein Artikel.
Aber das kann dann noch etwas dauern, da die Schule jetzt wieder los geht.
7 Quellenangabe
Ich habe mich sehr an mein wunderschönes, ausführliches und verständlich Schulbuch
gehalten. Hier zu kaufen:
Florian Modler