7. ¨Ubungsblatt f¨ur die ¨Ubungen vom 28.11.-2.12.2016

Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Algebra
Dr. J. Zumbrägel, Dr. C. Zschalig
Mathematik für Informatiker, Teil Diskrete Strukturen, Wintersemester 2016/17
7. Übungsblatt für die Übungen vom 28.11.-2.12.2016
Rechnen in Zn
V47. Vorbereitungsaufgabe: Bitte bereiten Sie diese Aufgabe zur Übung vor.
(a) Zeigen Sie, dass in Z8 jedes Element, das ein multiplikativ Inverses besitzt, invers zu
sich selbst ist, dass also folgende Eigenschaft in Z8 gilt:
∀x ∈ Z8 : x−1 existiert =⇒ x−1 = x
(b) Eine natürliche Zahl n ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (in
Dezimaldarstellung) durch 3 teilbar ist. Beweisen Sie diese Aussage.
Finden Sie ähnliche Teilbarkeitsregeln für die Division durch 9 und durch 11.
Hinweis: Eine Zahl mit der Ziffernfolge . . . a2 a1 a0 kann als . . . + 102 · a2 + 101 · a1 + 100 · a0
geschrieben werden. Betrachten Sie diese Darstellung modulo 3, 9 bzw. 11.
Ü48. Geben Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen an!
(i) 5x ≡ 1 (mod 7)
(ii) 10x ≡ 9 (mod 25)
(iii) 32x ≡ 14 (mod 82)
Hinweis zu (iii): Es gibt eine Regel zur Modulo-Rechnung, mit deren Hilfe die Gleichung geeignet
umgeformt werden kann!
Ü49. (a) Berechnen Sie zu den folgenden natürlichen Zahlen n den Wert ϕ(n) der Eulerschen
Funktion.
(i) n = 30,
(ii) n = 60,
(iii) n = 100,
(iv) n = 2520.
(b) Zeigen Sie: Ist n eine ungerade Zahl, dann gilt ϕ(n) = ϕ(2n).
(c) Berechnen Sie die folgenden Potenzen. Benutzen Sie den Satz von Euler, falls möglich:
(i) 19289 (mod 21),
(ii) 1354 (mod 32),
(iii) 727 (mod 36),
(iv) 1513 (mod 18).
Ü50. Die Restklassengruppe Z∗n besteht aus allen Einheiten der Menge Zn zusammen mit der
Multiplikation modulo n. Stellen Sie die Gruppentafel auf und bestimmen Sie alle Untergruppen für:
(a)
n = 10,
(b)
n = 12.
A51. Hausaufgabe, bitte zu Beginn der 8. Übung oder im Lernraum unter Angabe
von Name, Matrikelnr. und Übungsgruppe abgeben.
(a) Bestimmen Sie mit square & multiply 7x (mod 17). Dabei ist x Ihre Matrikelnummer
(als 7-stellige Zahl gelesen). Das Ergebnis sollte eine Zahl aus der Menge {0, . . . , 16}
sein.
(b) Beweisen Sie, dass für beliebige a, b ∈ Z die Gleichung (a + b)5 = a5 + b5 (mod 5)
gilt.
1
0 1
0 i
2×2
H52*. Zeigen Sie, dass die Matrizen A =
∈ C
und B =
∈ C2×2
−1 0
i 0
bezüglich der Matrixmultiplikation eine Gruppe der Ordnung 8 (Quaternionengruppe Q8 )
erzeugen:
(a) Bestimmen Sie die Ordnungen von A und B.
(b) Zeigen Sie, dass es nur 8 verschiedene Produkte, die Potenzen von A und B als
Faktoren enthalten, gibt.
Überlegen Sie dazu, dass sich alle Produkte so darstellen lassen, dass niemals ein A
nach einem B folgt, d.h. alle 8 Produkte lassen sich in der Form Ai B j schreiben.
H53. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme:
(i)
x
4x
+
+
2y
3y
≡
≡
4
4
(mod 7)
(mod 7)
(ii)
3x
10x
+
−
7y
8y
≡
≡
10
6
(mod 14)
(mod 14)
Hinweise:
• Wie beim Lösen linearer Gleichungssysteme üblich kann die Koeffizientenmatrix aufgestellt
und die Lösung mit dem Gauß-Algorithmus gefunden werden. Sie müssen allerdings alle
Rechnungen bezüglich des jeweiligen Moduls durchführen!
• Alternativ kann man die Lösungen solcher Gleichungssysteme (mit kleinem Modul!) auch
durch Probieren (d.h. Einsetzen aller möglichen Werte für x und y) finden.
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