Musterlösungen Elementare Zahlentheorie Aufgabe 1 a) a ≡ b

Musterlösungen
Elementare Zahlentheorie
Aufgabe 1
a) a ≡ b (mod m) und c ≡ d (mod m) ⇒ ac ≡ bd (mod m) ist wahr.
b) a ≡ b (mod m) ⇒ ac ≡ bc (mod m) für alle c ∈ N ist wahr.
c) ad ≡ bd (mod m) ⇒ a ≡ b (mod m) für alle d ∈ N mit (d, m) = 1 ist
wahr.
d) ad ≡ bd (mod m) ⇒ a ≡ b (mod m) für alle a ∈ N mit (a, m) = 1 ist
falsch.
Aufgabe 2
a) x = 11, denn 14411 = 112 + 4 · 11 + 4 = 169.
b) x = 6, denn 1346 = 62 + 3 · 6 + 4 = 58.
c) x = 4, denn 3225 = 3 · 52 + 2 · 5 + 2 = 75 + 10 + 2 = 87 = 43 + 42 + 4 + 3 =
11134.
Aufgabe 3
a) Es gilt:
ggT(p2 q, p3 q 3 ) = p2 q
kgV(p2 q, p3 q 3 ) = p3 q 3
b) Es ist
i. 73543 · 215 = 15811745 aus Überlegungen zur Quersumme: 73543 ≡
22 ≡ 4 (mod 9) und 215 ≡ 8 (mod 9). Wegen 8 · 4 = 32 ≡ 5 (mod 9)
muss die Ziffer so gewählt werden, dass die entstehende Zahl kongruent zu 5 modulo 9 ist.
ii. Da 382 ≡ 13 ≡ 4 (mod 9) und 259 ≡ 16 ≡ 7 (mod 9) muss das
Produkt dieser Zahlen kongruent zu 28 bzw. 1 modulo 9 sein. Aber
98948 ≡ 38 ≡ 2 (mod 9).
iii. Wegen 382 ≡ 2 − 8 + 3 = −3 ≡ 8 (mod 11) und 259 ≡ 9 − 5 + 2 =
6 (mod 11) muss das Produkt beider Zahlen kongruent zu 48 bzw. 4
modulo 11 sein. Aber 98758 ≡ 8 − 5 + 7 − 8 + 9 = 11 ≡ 0 (mod 11).
Aufgabe 4
a) Sei n ∈ N und n = dk · 10k + dk−1 · 10k−1 + · · · + d1 · 10 + d0 die Zifferndarstellung in der Basis 10, d.h. 0 ≤ di ≤ 9. Wegen 10 ≡ 0 (mod 5)
folgt:
n ≡ d0 (mod 5)
Also ist n ≡ 0 (mod 5) genau dann, wenn d0 ≡ 0 (mod 5), was zu zeigen
war.
b) Die Menge dieser n ist genau die Menge der Teiler von 100, also
{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}
(Zur Begründung: dies sind genau diejenigen n, für die gilt: 102 ≡ 0 (mod n).)
Übungsklausur
1
Musterlösungen
Elementare Zahlentheorie
Aufgabe 5
√
Angenommen 2 ist rational. Dann gibt es natürliche Zahlen a, b mit ggT(a, b) =
1, so dass
√
a2
a
⇔ 2 = 2 ⇔ 2b2 = a2
2=
b
b
Es folgt 2|a2 , also 2|a, da 2 eine Primzahl ist. Also gibt es ein c ∈ N mit a = 2c.
Eingesetzt ergibt sich:
2b2 = (2c)2
⇔
2b2 = 4c2
⇔
b2 = 2c2
Daraus folgt 2|b2 und weil 2 eine Primzahl ist, folgt analog zu obigem Argument
2|b. Damit ist ggT(a, b) ≥ 2, was einen Widerspruch zu der Annahme darstellt,
dass a und b teilerfremd sind. E
Aufgabe 6
a) Der euklidische Algorithmus liefert
151 · 16 + 69 · (−35) = 1
Also sind alle Lösungen von der Form (16 − 69t, 151t − 35) mit t ∈ Z.
b) Druckfehler auf dem Zettel! Die Gleichung sollte lauten:
2754x + 99y = 244
(Die auf dem Zettel gegebene Gleichung kann analog zu a) gelöst werden.)
Da 2754 ≡ 0 (mod 9) und 99 ≡ 0 (mod 9), ist auch 2745x + 99y ≡
0 (mod 9). Da aber 244 ≡ 1 6= 0 (mod 9) hat diese Gleichung keine
Lösung.
Aufgabe 7
a) Behauptung: das Tripel a2 , 2b , 2c ist eine Lösung der unteren Gleichung.
Beweis:
a 2 b 2 c 2 a2 + b2 + c2
a b c 2abc
abc
=
=4
=4
+
+
=
2
2
2
4
4
8
2
2
2
b) Es gilt: n2 + (n + 1)2 = n2 + n2 + 2n + 1 = 2n2 + 2n + 1 ≡ 1 (mod 2),
d.h. die linke Seite der Gleichung ist immer ungerade, die rechte jedoch
nicht. Also gibt es keine Lösung.
Aufgabe 8
a) x = 4.
b) Es gibt keine Lösung.
c) x = 3 oder x = 7.
d) x = 7 oder x = 15 oder x = 23.
Übungsklausur
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