11 Pythagoras
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Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer veränderten Aufgabenkultur (11) Zum Themengebiet Satzgruppe des Pythagoras (erstellt in Zusammenarbeit mit der Gesamtschule Guxhagen) Vorschlag 11.1: Biographisches zu Pythagoras .................................................... 3 In einem kurzen Text, der auf Kassette gesprochen werden sollte, stellt sich Pythagoras selbst den Schülern vor. Ein zusätzlicher Text enthält weiterführende Informationen Vorschlag 11.2: Pythagoras auf Hawaii ................................................................ 5 Für die Schwimmstrecke beim IronMan auf Hawaii werden günstige und ungünstige Routen erarbeitet Vorschlag 11.3: Pythagoras auf dem Sportplatz .................................................. 7 Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras können verschiedene Problemstellungen auf dem Sportplatz bearbeitet werden Vorschlag 11.4: Entfernungen auf dem Stadtplan............................................... 8 Längenberechnungen auf dem Stadtplan, die eine Berechnung im Koordinatensystem vorbereiten können Vorschlag 11.5: Wie weit kann man sehen? ......................................................... 9 Variation der bekannten Leuchtturm-Aufgabe, in der die Mathematisierung bewusst den Schülern überlassen wird Vorschlag 11.6: Beweise des Satzes des Pythagoras .......................................... 12 Vorgestellt werden vier Beweise, die die Schüler zur aktiven Auseinandersetzung mit dem Satz des Pythagoras anregen sollen Vorschlag 11.7: Pyramiden .................................................................................. 18 Die Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens soll durch Modelle unterstützt werden Vorschlag 11.8: Kürzeste Wege ........................................................................... 21 Eine Fliege und eine Spinne sitzen auf den Eckpunkten eines Quaders. Die Frage nach dem kürzesteten Weg ermöglicht zahlreiche Variationen Vorschlag 11.9: Die ägyptischen Seilspanner ..................................................... 22 Das Knotenseil steht repräsentativ für historische und aktuelle Anwendungen des Satz des Pythagoras. Durch Streichhölzer sollen die Schüler aktiv die Besonderheiten der pythagoreischen Zahlentripel erkunden Vorschlag 11.10: Der Satz von Fermat ............................................................... 23 Zeitungsartikel zum Beweis des Satzes, der Mathematiker Jahrhunderte beschäftigte Vorschlag 11.11: Aufgaben zur Anwendung des Satzes des Pythagoras......... 25 Sammlung verschiedener Aufgaben zur Anwendung des Satzes des Pythagoras Vorschlag 11.12: Pythagoras und Vernetzungen ............................................... 29 Kaum ein Themengebiet ermöglicht eine solche Fülle von Verknüpfungen zwischen früheren, aktuellen und zukünftigen Unterrichtsinhalten wie die Satzgruppe des Pythagoras Vorschlag 11.13: Das Tunnelproblem ................................................................. 31 Die Frage, ob ein LKW gefahrlos durch einen Tunnel fahren kann, dient zur Einführung des Höhensatzes Vorschlag 11.14: Eine Wandzeitung und andere Projekte ............................... 32 Kaum ein mathematisches Themengebiet bietet eine solche Materialfülle wie der Satz des Pythagoras. Hier werden verschiedene projekt- bzw. produktorientierte Zugänge vorgestellt Vorschlag 11.15: Vermischtes zur Satzgruppe des Pythagoras........................ 35 Vermischte, kürzere Anregungen zur Satzgruppe des Pythagoras Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms "Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird. 2 Vorschlag 11.1: Biographisches zu Pythagoras Ich heiße Pythagoras, eigentlich Pythagoras von Samos, und lebte wahrscheinlich von 580 bis 496 vor Christus. So genau kann ich das leider nicht sagen, da es doch schon sehr lange her ist. Wenn ich gewusst hätte, dass du dich heute noch für mich interessierst, hätte ich meine Daten aufzeichnen lassen. Ich glaube schon, dass ich von mir behaupten kann, ein vielseitiger Gelehrter zu sein. In Oberitalien habe ich die Schule der Pythagoreer gegründet. Meine Anhänger lebten nach strengen Vorschriften. Wir glaubten an die Unsterblichkeit der Seele und an Seelenwanderungen. Wir waren überzeugt, dass Gott die Welt nach Zahlen und Zahlverhältnissen geordnet hat! Von den Leuten aus unserer Umgebung wurden wir als eine Art "Hippies" angesehen. Der Nachwelt haben wir aber etwas sehr Bedeutsames hinterlassen: einen Satz, der Weltgeschichte schrieb. Vielleicht hast du schon von ihm gehört? Der Satz sagt Folgendes aus: Im rechtwinkeligen Dreieck haben die Quadrate über den Katheten zusammen den gleichen Inhalt wie das Quadrat über der Hypotenuse. Ich sehe ein, das sind jetzt zu viele Fremdwörter. Du musst verstehen, ich bin ein gehbürtiger Grieche und nenne deshalb die längste Seite in dem rechtwinkligen Dreieck Hypotenuse. Die beiden anderen Dreiecksseiten, die den rechten Winkel einschließen, werden Katheten genannt. Hast du alles behalten? Ich gebe dir eine Hilfe: Nimm ein Blatt und biege eine Ecke um! Streife die Faltkante aus! Weißt du, wie ich diese Seite genannt habe? Richtig, das ist die Hypotenuse! Nun muss ich aber Schluss machen. Die Seelen meiner Schüler warten schon auf mich. Sie knobeln noch immer an meinem Lehrsatz herum. Und du hoffentlich auch! Sollte er dir Probleme machen, musst du dich aber nicht zu mir in die Antike beamen. Du hast ja deine eigene Lehrerin oder deinen eigenen Lehrer! Quelle: mathematik lehren 97 (1999), S. 69 (leicht verändert). Biographisches zu Pythagoras: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Historische Einbettung des Satzes des Pythagoras Erleichterter und motivierender Zugang zu den (schwierigen) Begriffen des Satzes Eignung, (mögliche) Methoden: Als Einstieg oder kurz danach Bemerkungen: Eine Abwechslung im Mathematikunterricht erreicht man, wenn man den Gelehrten selbst zu Wort kommen lässt. Dazu müssen Sie eine männliche, interessante Stimme gewinnen, die den ersten Text pathetisch auf Tonband spricht. Alternativen: Ein weiterer Text zur Biographie von Pythagoras findet sich auf der folgenden Seite (vgl. auch Hinweise zu Vorschlag 11.13). Interessante Informationen zu Pythagoras finden sich auch in dem empfehlenswerten Buch von Simon Singh: Fermats letzter Satz, S. 31ff (als Taschenbuch 19,50 DM). Dort ist z.B. auch beschrieben, dass Pythagoras einen seiner Schüler ertränken ließ als dieser entdeckte, dass 2 nicht als Bruch dargestellt werden kann. Dies widersprach Pythagoras Vorstellung, dass alle natürlichen Phänomene mit einfachen Zahlen zu beschreiben wären (vgl. S. 75). Die biographischen Angaben sind allerdings in der Literatur sehr unterschiedlich. 3 Pythagoras - sein Leben und Wirken Pythagoras wurde um 570 v. Chr. auf der griechischen Insel Samos als Sohn eines Goldschmieds geboren. Er hatte das Glück, von einem guten Lehrmeister, dem Pherekydes, unterrichtet und gefördert zu werden. Nach dessen Tod lebte Pythagoras geraume Zeit in Ägypten und beschäftigte sich mit den dortigen Wissenschaften, insbesondere der Mathematik und den Mysterien. Nach diesem Aufenthalt folgten ausgedehnte Reisen, u.a. zu den Persern und Phöniziern. Nach seiner Rückkehr auf die Insel Samos unterrichtete Pythagoras den Sohn des dort herrschenden Tyrannen Polykrates. Die Gründe, die Pythagoras dazu bewegten, seine Heimat um 532/531 v. Chr. - als Vierzigjähriger - endgültig zu verlassen und nach Unteritalien in den Ort Kroton (das heutige Crotone in Kalabrien) überzusiedeln, sind nicht mehr nachvollziehbar. Den Einwohnern von Kroton kam Pythagoras sehr gelegen, denn sie suchten jemanden, der die Kinder und Jugendlichen des Ortes in griechischer Weisheit unterrichten konnte. Er benutzte seine Lehrtätigkeit aber schon bald auch dazu, sich eine getreue Anhängerschaft heranzuziehen, was schließlich in der Gründung einer „Schule“ mündete. Ihre Mitglieder nannten sich „Pythagoreer“, und heute würde man diese „Schule“ wohl eher als Sekte bezeichnen. Zur Lebensweise der Pythagoreer Die Pythagoreer lebten - obwohl sowohl Männer als auch Frauen in ihren Bund aufgenommen wurden wahrscheinlich klosterartig in einer Gütergemeinschaft und fühlten sich als geistige Elite, die über ein Geheimwissen verfügte. Sie hatten ihre eigene, nur den Eingeweihten verständliche Sprache, die u.a. aus Zahlencodes und Symbolen bestand. Zu ihren Erkennungszeichen untereinander gehörten z.B. das Pentagramm und der Satz „Bleib gesund“. Bei ihrer Aufnahme mussten die Schüler/innen mehrere Dinge geloben: zum Beispiel Gehorsam, Verschwiegenheit, Enthaltsamkeit, Bescheidenheit und kein Tier zu töten, das den Menschen nicht angreift. Da die Lehre von der Seelenwanderung für die Pythagoreer eine ihrer esoterischen Basen war, der zufolge die Seelen verstorbener Menschen im Tier weiterleben, lebten sie als strenge Vegetarier. In der „Schule“ des Pythagoras herrschte das Führerprinzip, und er selbst lehrte jeden Abend in Form einer Vorlesung. Seine Zuhörerschaft, die oft von weit her angereist kam, teilte er in zwei Kategorien ein: Die „Mathematiker“ waren jene, die das Recht hatten, Wissen „mathematha", zu erwerben; die andere Gruppe, die „Akusmatiker“, durften nur zuhören. Pythagoras begann seine Reden stets mit dem Satz „Nein, bei der Luft, die ich atme, nein, bei dem Wasser, das ich trinke, ich gestatte keinen Widerspruch zu dem, was ich sage". Die Redewendung „autos epha“ („er hat es selbst gesagt“) führte auch in Diskussionen dazu, dass diesem Argument nicht widersprochen werden durfte. Bei seinen Vorträgen verbarg er sich stets hinter einem Vorhang. Nur wenige bekamen ihn je direkt zu Gesicht. Zur Lehre des Pythagoras Die geistigen Vorstellungen der Pythagoreer standen in einem Spannungsfeld, gebildet aus einem grundlegenden Ordnungsprinzip, magischen Vorstellungen, einer harmonischen Lebensführung sowie der Musik. Die Zahlen und die Mathematik stellten für Pythagoras dabei die Bausteine der Welt dar und dienten ihm als Erklärungsgrundlage aller Dinge, also als oberstes Ordnungsprinzip. Zahlenspielereien und deren postulierte Mystik bildeten infolge dieser grundlegenden Annahme somit einen Hauptpunkt der Esoterik seiner „Schule“. Entscheidend für das Gedankengebäude der Pythagoreer und ihre Esoterik war außerdem die Beziehung zwischen der Mathematik und der Musik. Sie waren wohl die ersten, die eine Harmonielehre betrieben. Die in der Musik offenbarte Harmonie verkörperte für sie wiederum die mathematische Grundlage allen Seins. Das Ende des Pythagoras Auf Grund des Selbstverständnisses der Pythagoreer - und ihres Absolutheitsanspruches - kam es um 497/496 v. Chr. zu einem tragischen Ende: Sie wurden in ihrem damaligen Haupthaus, das des Athleten Milon, eingeschlossen und verbrannt. Nur wenigen gelang die Flucht. Der 73jährige Pythagoras selbst soll in den Musentempel von Metapont geflüchtet sein, dann das Essen verweigert haben und schließlich verhungert sein. Quelle: Fraedrich, Rolf: Praxis Schule 5-10, 1 (1994), S. 8. 4 Vorschlag 11.2: Pythagoras auf Hawaii Mitte Oktober findet alljährlich die Weltmeisterschaft im Triathlon („IronMan“) auf Big Island (Hawaii) statt. Dabei müssen folgende Distanzen zurückgelegt werden: 3,8 km Schwimmen im Meer, 180,0 km Radfahren und 42,2 km Laufen (Marathon). Die Schwimmstrecke ist ein Rechteckkurs. Alle 1400 Teilnehmer starten gleichzeitig von der 70 m breiten Bucht. Nachdem sie die beiden Wendebojen passiert haben, gehen sie im Ziel wieder an Land. Boje Boje 200 m 1800 m Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht! Start in der Bucht 70 m Ziel 5 Pythagoras auf Hawaii: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Übung Vertikale Vernetzung Variationen der Aufgabe: Schüler entwickeln eigene Aufgabenstellungen. (1) Wie viele Teilnehmer stehen auf einem Meter, wenn sich beim Start alle gleichmäßig auf die Bucht verteilen? (2) Wie lang ist die Strecke auf der Ideallinie? Zeichne alternative Strecken und berechne deren Länge. (3) Welche Strecke legt ein Schwimmer zusätzlich zurück, der (linksstartend) zunächst 1500 m geradeaus schwimmt und dann Kurs auf die erste Wendeboje nimmt? (4) Wie viel Zeit verliert dieser Schwimmer wenn er 100m durchschnittlich in 1:30 min schwimmt? (5) Wie viel Prozent macht dieser Zeitverlust gegenüber seiner theoretisch erreichbaren Zeit (Schwimmen auf der Ideallinie) aus? (6) Wie groß ist der Zeitverlust, wenn ein Teilnehmer vom linken Rand der Bucht direkt die erste Boje ansteuert? (7) Wie wirkt sich das Gedränge auf einen Schwimmer aus? Oder: Finde mögliche mathematische Beschreibungen des Vorteils nicht im Gedränge schwimmen zu müssen (z.B. höhere konstante Geschwindigkeit oder prozentualer Vorteil) und berechne jeweils die Gesamtzeiten. (8) Wie viel schneller müsste der Schwimmer außerhalb des Gedränges mindestens sein, damit er den Nachteil der längeren Strecke ausgleichen kann? (Mögliche) Lösungen: (1) 20 Teilnehmer pro Meter bei gleichmäßiger Verteilung. Allerdings Häufung auf der rechten Seite zu erwarten. (2) Schwimmen auf der Ideallinie: Strecke = 3800 m. (3) Länge der Alternativroute: 70 2 300 2 308,1 ; also zusätzliche Strecke von ca. 8,1 m. (4) Zeitverlust: 90 0,081 7,29 ; also rund 7 Sekunden. (5) Insgesamt benötigte Zeit = 1,5 38 57 (min). Damit ein Zeitverlust von ca. 0,2%. (6) Zusätzliche Strecke: 1,36 m; dies entspricht einem Zeitverlust von ca. einer Sekunde. Es stellt sich allerdings die Frage, ob die Diagonalstrecke frei ist. (7) z.B.: Die Geschwindigkeit des Schwimmers verringert sich im Gedränge so, dass er durchschnittlich für 100m 1: 40 min braucht. Dann benötigte Zeit auf Ideallinie (nur bis zur ersten Boje): 53 18 30 ; also 30 Minuten. Benötigte Strecke bis zur ersten Boje mit Umweg (wie 3): 1808,1m; also Zeit: 1,5 18,081 27,1 ; also 27 Minuten und 7 Sekunden. (8) z.B.: Die Geschwindigkeit des Schwimmers, der den Umweg schwimmt sei x. Der Schwimmer auf der Ideallinie legt 100m in 90 sek zurück. Dann gilt: 90 18 x 18,081 x 89,6 ; also ungefähr genauso lange, falls der Schwimmer 100 m durchschnittlich in 89,6 sek zurücklegt. Bemerkungen: Kleiner Aussprachehinweis: Das „r“ in IronMan wird nicht ausgesprochen (also so ähnlich wie „Eienmän“). Die Angaben für die verschiedenen Geschwindigkeiten im Beispiel sind recht ungewöhnlich und könnten zu Missverständnissen führen. 6 Vorschlag 11.3: Pythagoras auf dem Sportplatz Ein rechteckiger Sportplatz ist 100 m lang und 50 m breit. Ulli startet direkt zur gegenüberliegenden Ecke. Frank läuft an der Außenlinie entlang. Pythagoras auf dem Sportplatz: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Übung Vertikale Verknüpfungen Variationen der Aufgabe: Schüler entwickeln eigene Aufgabenstellungen. (1) Wie viel Prozent des Weges spart Ulli? (2) Wie viel m ist Frank noch vom Ziel entfernt, wenn Ulli ankommt? (Was muss man hierbei voraussetzen? Gleiche Geschwindigkeit) (3) Mit welcher Geschwindigkeit muss Frank laufen, um gleichzeitig mit Ulli anzukommen? (4) Wann treffen sie sich wieder, wenn sie auf ihren Wegen dauernd hin- und herlaufen? (5) Wo begegnen sie sich, wenn Ulli Frank entgegenläuft? (Mögliche) Lösungen: (1) Diagonale: 100 2 50 2 111,8 74,5% des Außenweges. (2) Entfernung: 150 – 111,8 = 38,2m. (3) Frank muss ca. 1,34 mal so schnell laufen wie Ulli. (4) Nach 900 bzw. 894,4m wird es relativ knapp. Gilt das als Treffpunkt? (5) Begegnung ca. 19,1m von der Eckfahne entfernt. 7 Vorschlag 11.4: Entfernungen auf dem Stadtplan Ein Kästchen auf der Karte entsprechen 100 m in der Realität. Berechne die Luftlinienentfernungen. Quelle: Mat(h)erialien 7 - 10 Geometrie, Schroedel (1996), S. 118 (leicht abgewandelt). Entfernungen auf dem Stadtplan: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Einführung in die Längenberechnung im Koordinatensystem Variationen der Aufgabe: Verwendung eines lokalen Stadtplans Vorgabe markanter Punkte durch Koordinaten. Wie könnte ein Computer-Programm aussehen, das die Luftlinienentfernung zweier vorgegebener Punkte bestimmt? (Mögliche) Lösungen: Schule – Bahnhof: 640,31 m Schule – Schloss: 781,02 m Schule – Museum: 447,21 m Rathaus – Museum: 1208,30 m Rathaus – Bahnhof: 223,61 m Bahnhof – Museum: 1081,67 m Bahnhof – Schloss: 1104,54 m Bahnhof – Denkmal: 1118,03 m Bemerkungen: Da die Kästchenlänge gerade 1 cm beträgt, werden die Schüler zunächst versuchen zu messen. Dies ergibt hinreichend genaue Ergebnisse. Die Aufgabe ist recht unrealistisch, da die Punkte nur „zufällig“ auf dem Gitter liegen. Ist dies nicht der Fall, kann die rechnerische Methode nicht angewendet werden. Andererseits liegt der Übergang zum Koordinatensystem nahe. Alternativen: Ein alternatives (bzw. vorbereitendes) Arbeitsblatt zum Hinkelsteinweitlauf findet sich in den MAT(H)ERIALIEN 7-10 Geometrie, S. 119 (liegt jeder Modellversuchsschule vor). Hier sind die Unterschiede so gering, dass eine Berechnung der Längen sinnvoll erscheint. 8 Vorschlag 11.5: Wie weit kann man sehen? In zahlreichen Schulbüchern finden sich Aufgaben der folgenden Art: Quelle: Schnittpunkte 9 (1995), S. 130. Wie weit kann man sehen?: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Modellbildung Anwendung des Satzes des Pythagoras Variationen der Aufgabe: Bewusst auf die Vorgabe der Zeichnung verzichten. Statt dessen: Nicole und Patrick besuchen in den Ferien in der Bretagne einen Leuchtturm. Verträumt schaut Nicole aufs unendliche Meer hinaus. „Wie weit“, fragt sie nachdenklich, „sehen wir wohl?“ (vgl. mathematik lehren 86 (1998), S. 58) Mögliche Fortführung durch den Leuchtturm von Alexandria (siehe übernächste Seite) (Mögliche) Lösungen: Annahmen: Die Sichtweite sei L; der Betrachter hat die Augenhöhe h und der Erdradius r sei 6360 km. Dann lässt sich die Aufgabe auf verschiedene Weisen lösen (vgl. PM 33 (1991) H. 3, S. 136-138): Halbkreisdurchmesser Angewendeter Satz Höhensatz 2h 2r Führt zur Gleichung L2 hh 2r L2 hh 2r 1h 2r Euklid 0h 2r Sek.-Tang.-Satz L2 hh 2r 1h 1r Pythagoras L2 h r r 2 2 9 Eine interessante Anmerkung zu dieser Lösung findet sich bei Kirsch (vgl. PM 34 (1991) H. 3, S. 136-138): In der Ergebnisformel L 2rh h 2 verhält sich der zweite Summand im Radikanden zum ersten wie h zu 2r; er beträgt also, wenn h 125 m angenommen wird, höchstens 0,125/12720 <10-5, d.h. weniger als ein Tausendstel Prozent des ersten Summanden. Seine Streichung bewirkt, da noch die Wurzel zu ziehen ist, im Ergebnis einen Fehler kleiner als 1/2000 %. Angesichts der naturgemäßen Ungenauigkeit ist somit sinnvollerweise als Lösung L 2rh anzugeben. Der Taschenrechner liefert mit h = 0,125 km die Ergebnisse 2rh h 2 39,875000 km 2rh 39,874804 km . Selbst bei hundertfacher Höhe unterscheiden sich die und Ergebnisse um weniger als 200 m. Bemerkungen: Walter Bächtold plädiert (vgl. mathematik lehren 86 (1998), S. 58) nachdrücklich für den Verzicht auf die Zeichnung: In einer Klasse (in der der Satz des Pythagoras bekannt sein muss) beginnt die Suche nach der Antwort meist mit einer Diskussion über Sichtweite aufgrund atmosphärischer Gegebenheiten (Tageszeit, Luftfeuchtigkeit, Luftverschmutzung) und die Grundgesetze des Sehens. Allmählich kommt dann die Frage nach der Entfernung des Horizontes ins Spiel, und nach und nach entsteht eine geeignete Zeichnung zur Beschreibung der Situation: das Wesentliche überzeichnend-hervorhebend und ganz und gar nicht maßstabsgerecht - und zwar als Blick „aus dem Weltraum“, denn aus der Sicht des Menschen „vom Leuchtturm aus“ lässt sich die Aufgabe wohl kaum lösen. Genau diese alles erklärende Figur mit Erde, Turm, Sehlinie und Horizont findet sich bereits in der Aufgabenstellung des Schulbuches. Natürlich kann man Aufgaben so stellen, aber gerade dieses Problem ist zu faszinierend, als dass es so gleichsam ‚verheizt‘ werden sollte! Da in den meisten Klassen noch unbekannt sein dürfte, dass die Tangente an einen Kreis immer senkrecht auf dem Radius steht, muss dieser Zusammenhang der Anschauung entnommen werden. Erarbeitung der „Faustformel“: Sichtweite (in km) 3,5 Höhe (in m) . Dazu setzt man den Erdradius in die Ergebnisformel ein und nutzt den Faktor 1000 um die Höhe in Metern angeben zu können: L 2rh 2 6,360 1000 h 3,5 1000 h . 10 1. Lies dir zunächst den nebenstehenden Text durch. 2. Im Text sind falsche Werte für die Sichtweiten von diversen Türmen angegeben worden. Korrigiere sie! Der Leuchtturm von Alexandria Im Altertum gab es sieben Bauwerke, die man als »Weltwunder« bezeichnete. Eines dieser sieben Weltwunder war der Leuchtturm von Alexandria. Alexandria ist eine Hafenstadt in Ägypten, sie wurde 331 v. Chr. von Alexander dem Großen gegründet und war eine der bedeutendsten Großstädte der alten Welt. Damals gehörte Ägypten zum griechischen Weltreich, das sich über Persien bis Indien erstreckte. Der berühmte Leuchtturm stand auf einer kleinen Felsinsel vor der Hafeneinfahrt, die Insel nannte sich Pharos. Mit der Zeit hat sich der Name der Insel so mit dem Turm verknüpft, dass man von dem Bauwerk selbst als dem »Pharos von Alexandria« sprach. Das französische Wort »Phare« für Leuchtturm kommt daher. Gebaut wurde der Turm ab 290 v. Chr., 279 wurde er dann feierlich eingeweiht. Ursprünglich war das Bauwerk allerdings gar nicht als Leuchtturm gedacht, sondern als Wahrzeichen der neuen Stadt, als Künder der Weltmacht des griechisch-morgenländischen Reiches. Seine enorme Höhe deutet das an, er war mehr als 120 m hoch. Schon im Altertum war bekannt, dass die ideale Höhe eines Leuchtturms bei etwa 40 m liegt. Sein Leuchtfeuer hat nämlich durch die Erdkrümmung nur eine begrenzte Reichweite. Ein Feuer auf der Spitze eines 10m hohen Turms leuchtet 20km weit. Baut man ihn doppelt so hoch, leuchtet das Feuer nicht etwa doppelt so weit: Die Sichtweite eines in 20 m Höhe angebrachten Lichts beträgt nur 25 km. Und ein Turm von 110 m Höhe strahlt nicht einmal 1 km weiter als einer von 100 m. Der Bau eines allzu hohen Leuchtturms bedeutet folglich nur Verschwendung von Zeit und Material. Da der riesige Turm aber nun schon mal stand, ging man um das Jahr 150 (also rund 400 Jahre nach seiner Vollendung) dazu über, auf der Turmspitze ein nächtliches Feuer zu schüren und das Bauwerk fortan auch als Leuchtturm zu benutzen. Nach der Vermutung und Berechnung von August Thiersch sah der Pharos so aus. 11 Vorschlag 11.6: Beweise des Satzes des Pythagoras (1) Tischlein deck dich Problemstellung Da die Kinder von Familie Schneider häufig ihre Freunde einladen, wurde ein neuer quadratischer Tisch angeschafft, der doppelt so groß ist wie der alte, der ebenfalls quadratisch war. Da neue Tischdecken teuer sind, beschließt Familie Schneider, aus je zwei alten Tischdecken eine neue zu nähen. Stationen auf dem Weg zum Satz des Pythagoras 1. Da die alten Tischdecken für denselben Tisch bestimmt waren, geht man davon aus, dass beide die gleiche Größe hatten. Man zerschneidet beide Tischdecken längs einer Diagonalen und setzt die vier rechtwinkligen Dreiecke so zusammen, dass sich ihre rechten Winkel zu 360° ergänzen. Begründung: Alle Teildreiecke sind rechtwinklig-gleichschenklig und zueinander kongruent. Deshalb entsteht ein Viereck mit rechten Winkeln und gleichlangen Seiten, also ein Quadrat. 2. Wenn nun aber die eine Tischdecke einen größeren Überhang hat als die andere, die Tischdecken also nicht gleich groß sind, muss man anders zuschneiden. Aber wie? Das Verfahren von 1. führt zu einer Tischdecke, die nicht quadratisch ist. Es gibt mehrere Möglichkeiten, diesen Missstand zu beheben. Möglichkeit 1: Es stört, dass H1 und H2 nicht zusammenfallen. Das Dreieck CDH1 ist zu groß und das Dreieck FEH2 zu klein. Das große Dreieck muss zu Gunsten des kleinen verkleinert werden. Man kann das Dreieck CDH1 verkleinern, indem man von C aus zu einem Punkt X auf AB schneidet, der zwischen A und B liegt. Systematisches Probieren kann zu dem gesuchten Punkt X führen. Möglichkeit 2: Clevere Schülerinnen und Schüler werden zunächst einmal ausrechnen, wie lang die Seite des neuen Quadrats werden wird und dann diese Seite von C aus so einfluchten, dass ihr Endpunkt auf AB liegt. So finden sie experimentell den Punkt X. Möglichkeit 3: Da die neue Tischdecke quadratisch sein soll, muss bei X ein rechter Winkel auftreten. Durch Probieren, z.B. mit dem Geodreieck, oder mit Hilfe des Thalessatzes wird der Punkt X gefunden. 12 3. Dass der gefundene Punkt X wirklich zum Ziel führt, muss jetzt begründet werden. Im Einzelnen ist zu zeigen: (1) BX b (2) CHFX ist ein Quadrat. (1) Zu zeigen: BX b H1 ist Bildpunkt von X bei einer Drehung von Dreieck CXB um -90° um C. => AH 1 a BX H2 ist Bildpunkt von X bei einer Drehung von Dreieck XFG um +90° um F. => AH 2 b XG H1 = H2 gilt nur dann, wenn a BX b XG Mit BX XG a b folgt daraus: a BX b a b BX BX b (2) Zu zeigen: CHFX ist ein Quadrat. Da sich die beiden spitzen Winkel jedes rechtwinkligen Dreiecks zu 90° ergänzen, folgt die Rechteckseigenschaft aus der Konstruktion (Drehungen). Nach Konstruktion sind die Strecken CX und CH gleich lang, analog FX und FH . Aus XB b und XG a folgt CX FX . 4. Übergang zum Satz des Pythagoras Möglichkeit 1: Man lässt die Schülerinnen und Schüler die Tischdeckenfigur mit einer vorgegebenen "PythagorasFigur" vergleichen. Möglichkeit 2: Im Zusammenhang mit der Beweisführung von (2) werden die Seitenlängen der 4 kongruenten rechtwinkligen Dreiecke, die beim Beweis eine zentrale Rolle spielen, bewusst gemacht und aus der Figur die Beziehung a 2 b 2 c 2 abgelesen. Quelle: Modellversuchsband Rheinland-Pfalz (1999), S. 25ff (liegt jeder Modellversuchsschule vor). Auch unter http://berater.bildung-rp.de/reichelstein/sinus/unterrichtsreihen.htm. Dort finden sich jeweils auch weitere Anregungen zum Satz des Pythagoras. 13 (2) Ein Pythagoras Puzzle Quelle: Steudel, H: Der Satz des Pythagoras - ein Legespiel. In: mathematik lehren (1994) H. 62. S. 66f. 14 (3) Und er sagte sein einziges Wort... Quelle: Fraedrich, A.M.: Die Satzgruppe des Pythagoras. BI-Wiss.-Ver., 1995, S. 251f. (4) Wie lang ist die Diagonale im Rechteck Zunächst wird an die vorangegangene Unterrichtseinheit angeknüpft und die Länge der Diagonalen im Quadrat bestimmt. (Teilen von zwei identischen Quadraten durch Diagonalschnitt). Wichtig ist, dass die Schüler begründen, warum beim Zusammenlegen alles passt. Nun kann die Frage gestellt werden, ob sich zur Bestimmung der Diagonalenlänge im Rechteck nicht analog zwei kongruente Rechtecke zerlegen lassen. Die Schülerinnen und Schüler erhalten dazu Papier und Schere, damit sie experimentieren können. Die naheliegende Figur (die Raute) löst das Problem nicht, aber weiteres Probieren dürfte mit ziemlicher Sicherheit in jeder Klasse auf die dem indischen Mathematiker 15 Bhaskara (12 Jh.) zugeschriebene Konfiguration führen: Die vier rechtwinkligen Teildreiecke bilden ein Quadrat mit einem quadratischen Loch. Das Quadrat hat die Seitenlänge c, das Loch die Seitenlänge (a - b). 2 Damit lässt sich die Gleichung c 2 4 12 ab a b aufstellen und unter Benutzung der zweiten binomischen Formel in den Satz des Pythagoras umformen. Die Beweislast liegt im Nachweis, dass wirklich Quadrate entstehen. Hierzu muss man wie im Spezialfall die Kongruenz der Teildreiecke, den rechten Winkel in jedem Teildreieck und die Tatsache heranziehen, dass die restlichen Winkel jedes Teildreiecks zusammen einen rechten Winkel bilden. Kritisch ist die Stelle, wo drei rechtwinklige Dreiecke bereits zusammengesetzt sind und bewiesen werden muss, dass das vierte Dreieck wirklich eingepasst werden kann. Quelle: Wittmann, E.: Vom Tangram zum Satz des Pythagoras. In: mathematik lehren (1997) H. 83. S. 18ff (leicht verändert). Beweise des Satzes des Pythagoras: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Variationen der Aufgabe: (1) Einkleidung mit Tischdecken weglassen und rein geometrisch vorgehen. Mögliche Alternative für Quadratverdopplung: Einkleidung als Amasis Problem (siehe folgende Seite). (2) Arbeitsauftrag: „Lege die weißen und die schwarzen Puzzleteile jeweils zu Quadraten zusammen. Was fällt dir auf?“ Beim Legen sollte die Frage diskutiert werden, warum die Teile zusammenpassen müssen (gleiche Längen und rechte Winkel). (3) Die Überschrift „Und er sagte kein einziges Wort...“ ist irreführend, da sehr wohl einige Erläuterungen erforderlich sind. So muss begründet werden, warum die Höhe der schraffierten Fläche (z.B. Bild 4) gerade gleich der Quadratseitenlänge ist. Bemerkungen: (2) Ein ähnliches Puzzle und zwei weitere finden sich auch in den MAT(H)ERIALIEN 7-10 Geometrie, S. 115ff. Weitere Beweise und viele andere wertvolle Hinweise finden sich bei: Fraedrich, A.M.: Die Satzgruppe des Pythagoras. BI-Wiss.-Ver., 1995 und Baptist, P: Pythagoras und kein Ende. Klett, 1998. Das Thema Satz des Pythagoras bietet auch gute Möglichkeiten mehrere (voneinander unabhängige) Zugänge nacheinander zu bearbeiten. Neben dem Vorteil so verschiedenen Lerntypen gerecht werden zu können, besteht so auch die Möglichkeit, mehrere Beweise zu behandeln und diese miteinander zu vergleichen. Positive Rückmeldungen aus dem gymnasialen Bereich liegen bereits vor. 16 Amasis' Problem Es begab sich im alten Ägypten, dass der reiche Kaufmann Potiphar nach reiflicher Überlegung der Vermählung seiner Tochter zugestimmt hatte. Nun wollte er dieses große und wunderbare Ereignis in der ganzen Stadt bekannt geben. Sein Schreiber sollte die freudige Neuigkeit in schönsten Hieroglyphen auf feines Papyrus schreiben. Zu diesem Zwecke benötigte Potiphar Papyrusrollen der besten Qualität. So ging er zu dem Papyrushändler Amasis und erklärte ihm sein Anliegen. Amasis zeigte ihm die feinsten Papyrusblätter, die alle von quadratischer Form waren. Sie gefielen Potiphar durchaus, jedoch war ihm seine Tochter sehr kostbar, und deshalb wünschte er sich für die Bekanntgabe ihrer Vermählung noch größere Papyrusblätter. So sprach er: „Edler Amasis, du wirst doch gerühmt für deine geometrischen Fähigkeiten. Könntest du nicht Papyrusblätter konstruieren, deren Fläche jeweils genau doppelt so groß ist wie die des hier vorliegenden Papyrus, und die ebenso quadratisch sind?" „Aber selbstverständlich, guter Potiphar", antwortete Amasis sichtlich geschmeichelt. „Ich werde gerne quadratische Papyrusblätter nach deinen Wünschen konstruieren. Das ist für mich eine der leichteren Übungen. Gib mir einen Tag Zeit. Morgen um die gleiche Stunde kannst du die Papyrusblätter abholen." Worauf Potiphar sich gebührend bedankte und ging. Zurück blieb der arme Amasis, der in jener Nacht viele Stunden schwitzend über Papyrusrollen gelehnt zubrachte. Sein leichtfertig gegebenes Versprechen war doch nicht so einfach einzuhalten, wie er zunächst geglaubt hatte. Ihm wollte keine Lösung zur Konstruktion von Papyrusblättern in der von Potiphar gewünschten Größe einfallen. Vielleicht kannst du ihm helfen. 17 Vorschlag 11.7: Pyramiden Wie viel Zeltstoff benötigt man für die Herstellung des Zeltes? Quellen: Abbildung rechts: Mathematik Heute 9 (1996), S. 116 (leicht verändert), Abbildung unten: Wir basteln geometrische Körper, Verlag an der Ruhr, S. 31. 18 19 Pyramiden: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Längenberechnungen im Raum Schulung des räumlichen Vorstellungsvermögen Variationen der Aufgabe: Schüler entwickeln eigene Aufgabenstellungen. (1) Wie kann man die Nahtzugabe berücksichtigen? (2) Wie lang ist jeder der vier Zeltstäbe? Bezeichnungen am Pyramidenmodell weglassen und zusammen mit den Schülern geeignet beschriften (z.B. „s“, „hs“ und „h“). (Mögliche) Lösungen: Stoffbedarf 15m2 (ohne Berücksichtigung der Bodenfläche und einer Nahtzugabe) (2) Länge eines Zeltstabs: 2,92 m Bemerkungen: Die Pyramidenmodelle gibt es auch mit rechteckiger Grundfläche (liegt im Modellversuchsraum vor) (Noch) schönere Pyramidenmodelle gibt es z.B. bei: Arnulf Betzold GmbH, Lehrmittelverlag, Schulversand, 73479 Ellwangen, Tel.: 0130-73 45 41. 20 Informationen: Pyramiden (Bauwerke) Monumentalbauten einiger früher Hochkulturen, die man in ihrer idealtypischen Form in Ägypten, aber ganz ähnlich auch bei den Maya- und Azteken-Kulturen Mesoamerikas findet. Die Pyramiden des alten Ägypten stehen jedoch in keinem Bezug zu den Bauten in Mittelund Südamerika, obgleich es Theorien gab, die versuchten, aus der Ähnlichkeit ihrer Funktion ägyptische Einflüsse bei der Entstehung der Hochkulturen der Neuen Welt abzuleiten. Ägypten Die ägyptischen Pyramiden entstanden seit der dritten Dynastie des Alten Reiches, etwa zwischen 2700 v. Chr. und 1000 v. Chr., als massiv ausgeführte Grabbauten für die Pharaonen und den damit verbundenen aufwendigen Totenkult. Ihre Errichtung war mit einem ungeheuren Aufwand an Arbeitskräften und Material verbunden, das Hantieren mit den gewaltigen Steinblöcken kostete zahlreiche Menschenleben. Mit dem Übergang in das Neue Reich wurden Felsengräber bevorzugt, doch Nubier und Ptolemäer griffen diese Bauform – allerdings in erheblich verkleinerten Ausführungen – später wieder auf. Bestimmendes Merkmal der ägyptischen Pyramiden ist eine streng geometrische Form (Pyramidenform) mit anfänglich rechteckiger, später quadratischer Grundfläche. Die vier dreieckigen Seitenflächen treffen sich in einer gemeinsamen Spitze. Die berühmteste und am besten erhaltene Pyramide, die im Gegensatz zur späteren klassischen Pyramidenform noch auf einer rechteckigen Grundfläche errichtet wurde, ist die Stufenpyramide des Königs Djoser in Sakkara bei Kairo aus der Zeit um 2700 v. Chr. Die ungewöhnlichste Anlage findet sich bei Gise in der Nähe von Kairo. Die größte ihrer drei Pyramiden beherbergt die Grabkammer des Pharaos Cheops und wurde in der Antike zu den Sieben Weltwundern gezählt. Diese so genannte „Große Pyramide“ war ursprünglich 147 Meter hoch, ihr Grundriss maß etwa 230 × 230 Meter. Im Inneren der ägyptischen Pyramiden befand sich meist ein labyrinthisches System aus verwinkelten Gängen, das den Zugang zu den mit reichhaltigen Schätzen ausgestatteten Grabkammern erschweren sollte. Nicht selten wurden auch Blindwege, Fallgruben und Geheimtüren angelegt. Selbst die überlieferte Androhung eines Fluches, der ungebetene Besucher treffen sollte, konnte in den folgenden Jahrhunderten jedoch nicht verhindern, dass das wertvolle Innere der Pyramiden nahezu vollständig ausgeplündert wurde. Nicht wenige der geraubten Kunstschätze landeten in europäischen Museen. Im Innern einer Pyramide Die Grabkammern im Innern einer Pyramide enthielten den Sarkophag des Pharaos und reiche Grabbeigaben für sein Leben nach dem Tod. Die Kammern befinden sich am Ende langer Korridore, die verschlossen werden konnten oder auch in einer Weise angelegt wurden, die Grabräuber verwirren sollte. Dieser Schnitt durch die Große Pyramide von Gise zeigt die Anordnung von Gängen und Grabkammern beispielhaft. Quelle: Microsoft Encarta 21 Vorschlag 11.8: Kürzeste Wege Gegeben sei ein quaderförmiger Körper mit a = 20cm, b = 10cm und c = 15 cm. Auf dem Eckpunkt S sitzt eine Spinne, auf F eine Fliege. Die Spinne will auf kürzestem Weg - auf den Begrenzungsflächen des Körpers laufend - zur Fliege gelangen. Quelle: Walsch, W: „Aufgabenfamilien 9“ /1/. In: MiS 33 (1995) H. 3, S. 142 (leicht verändert). Kürzeste Wege: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Variationen der Aufgabe: (1) Angenommen, die Kantenlängen seien verschieden und es gilt a > b > c. Wie ist dann der kürzeste Weg? (2) Zwei Kantenlängen seien gleich, etwa a = b. (3) Alle Kantenlängen seien gleich a. (4) Übertragung auf Kreiskegel bzw. Kreiszylinder (Mögliche) Lösungen: Sicher muss man irgendwie „schräg“ über jeweils zwei Begrenzungsflächen laufen. Um die genaue Lage dieses Weges zu ermitteln, kann man die Seitenflächen geklappt vorstellen. Für die Abbildung ergibt sich so: l1 a b c 2 ; l1 33,5cm . Damit ist die Aufgabe aber noch nicht gelöst, da die Spinne ja auch über andere Begrenzungsflächen laufen kann. So findet man 2 a c2 b 2 ; l2 36,4cm und l3 b c2 a 2 ; l3 32,0cm . 2 (1) Dann ist stets: l b c a 2 die Länge des kürzesten Wegs. 2 (2) Dann ist l1 4a 2 c 2 , wenn c a bzw. l 2 a c c 2 , wenn c a . hier: l 2 (3) Kürzester Weg = 5a Eignung, (mögliche) Methoden: Für leistungsstärkere Schüler Bemerkungen: Mit einem Holzquader bzw. einer Pappschachtel und einer Schnur lassen sich sehr schön experimentell Wege ermitteln. 22 Vorschlag 11.9: Die ägyptischen Seilspanner Die ägyptischen Seilspanner (um 2000 v. Chr.) hatten eine sehr genaue Methode um rechte Winkel zu konstruieren. Sie benutzten dazu ein Seil mit Knoten in gleichen Abständen. 1. Warum soll es wichtig sein, genau rechte Winkel konstruieren zu können? Hast du eine Idee, wie das heute die Maurer machen? 2. Nimm ein langes Stück Bindfaden und markiere darauf 12 gleich große Abschnitte. Finde möglichst viele Dreiecke, so dass jeder der drei Eckpunkte genau bei einem Knoten liegt. Welches haben wohl die ägyptischen Seilspanner benutzt und warum gerade dieses? Quelle: MUED: Materialien für den Mathematikunterricht in der Sek. I – Nr. 5, S. 40. Die ägyptischen Seilspanner: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Einführung der Umkehrung des Satzes des Pythagoras Auch: Einführung des Satzes des Pythagoras Variationen der Aufgabe: Selbst eine Schnur herstellen und Schülern nur sagen, dass dies im alten Ägypten benutzt wurde. Dann Schüler weitere pythagoreische Tripel finden lassen. „Warum nimmt man gerade ein Seil mit 12 Knoten? Geht es nicht mit weniger (mehr) Knoten?“ Schüler alle 15 Knoten-Dreiecke finden lassen, die man mit weniger als 12 Knoten legen kann. Erst dann weitere pythagoreische Tripel sammeln. Statt durch Knoten kann man die Abschnitte auch durch Isolierband oder mit Farbstiften markieren. Sehr gut geeignet sind auch Streichhölzer und Nagelbretter. (Mögliche) Lösungen: (1) Neueinteilung der Felder nach der jährlichen Nilschwemme. Maurer nutzen oft eine analoge Lattenkonstruktion. (2) 12 verschiedene Tripel. Bemerkung: Wird der Satz des Pythagoras auf diesem Wege eingeführt, besteht die Gefahr, dass die Schüler Satz und Umkehrung nicht klar voneinander trennen (können). Interessante Informationen zur Geschichte dieser Tripel finden sich auch in mathematik lehren (1996), H. 74, Beilage Mathe-Welt (liegt im Modellversuchs-Raum vor). Eine ausgearbeitete Unterrichtseinheit ist im Modellversuchsband Rheinland-Pfalz abgedruckt. Auch im Internet unter http://berater.bildung-rp.de/reichelstein/sinus/unterrichtsreihen.htm. 23 Vorschlag 11.10: Der Satz von Fermat Lies die folgenden Zeitungsartikel. Erkläre, worum es geht. Ein Artikel enthält Fehler. 24 Der Satz von Fermat: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Mathematik als kulturhistorische Errungenschaft Spannendes und Unerforschtes in der Mathematik Variationen der Aufgabe: Schüler zunächst selbst (ganzzahlige) Tripel für den dreidimensionalen Fall finden lassen. (Mögliche) Lösungen: In der HNA vom 11.7.93 wird der Satz auf den dreidimensionalen Fall beschränkt. Eignung, (mögliche) Methoden: Als kleines Projekt, im Rahmen der Wandzeitung oder für interessierte als Lesetext. Die zum Fermat-Problem erschienenen Taschenbücher sind relativ preiswert und auch für Schüler geeignet. Gerade mathematisch weniger Interessierte empfinden das Buch oft als spannend und willkommene Abwechslung von der Schulmathematik: Simon Singh: Fermats letzter Satz (19,50 DM) oder Amir D. Aczel: Fermats dunkler Raum (15 DM). 25 Vorschlag 11.11: Aufgaben zur Anwendung des Satzes des Pythagoras (1) Anwendungen des Satzes des Pythagoras 1 Gib für die rechtwinkligen Dreiecke jeweils die Gleichung nach dem Satz des Pythagoras an. 2 Berechne die Länge der Diagonalen des Rechtecks ABCD. 3 Berechne bei den rechtwinkligen Dreiecken die fehlenden Seitenlängen. 4 Bei der Festlegung der Bestellmaße für eine rechtwinkligdreieckige Isolierglasscheibe wurde vergessen, das Maß einer Seitenlänge anzugeben. 5 6 Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Kathete r = 6 cm und die Hypotenuse t = 15 cm. Berechne die Länge der anderen Kathete s und den Flächeninhalt des Dreiecks. In einem Dreieck ABC sind gegeben: a) a = 10 dm c = 6 dm = 90° b) a = 8 m b = 12 m = 90° Berechne die dritte Dreiecksseite. 7 In einem Wohnraum werden Fußsockelleisten montiert. Wie viele Meter dieser Leisten werden in der Kalkulation verrechnet, wenn die beiden Türen ausgespart werden und ein Verschnittzuschlag von 15 % einbezogen wird? 26 (2) Anwendungen des Satzes des Pythagoras 1 Elfmeter! Olaf knallt den Ball in einer Höhe von 1,50 m an den Pfosten. Welche Strecke legt der Ball dabei mindestens zurück? Das Tor ist 7,32 m breit und 2,44 m hoch. 2 a) Die steilste Zahnradbahn der Welt fährt auf den Pilatus (Schweiz). Auf einem Streckenabschnitt von 1130 m Länge überwindet sie gleichmäßig einen Höhenunterschied von 489 m. Wie lang erscheint dieser Steckenabschnitt auf einer Karte im Maßstab 1 : 25 000? b) Eine andere Zahnradbahnstrecke erscheint auf einer Karte 12 cm lang (Maßstab 1 : 10 000). Die wirkliche Streckenlänge beträgt 1 250 m. Wie groß ist der Höhenunterschied? Wie lang muss die Feuerwehrleiter sein, falls es im obersten Stockwerk des Hochhauses brennen sollte? 3 4 5 6 Beim großen Brand von London im September 1666 wurden 54 der City vernichtet. Als Mahnmal wurde ein Säule (genannt Monument) errichtet, deren Höhe genau der Entfernung vom Fuß der Säule zu der Stelle entspricht, an der das Feuer ausbrach (einer Bäckerei in der Pudding Lane). Ein Londonbesucher misst die noch zugänglichen Strecken. Bestimme damit die Höhe der Säule. Man benutzt das Echolot, um die Meerestiefe zu messen. Das funktioniert folgendermaßen: In A wird ein Schallsignal erzeugt. Dieses breitet sich aus und wird am Meeresboden zurückgeworfen. In B wird der reflektierte Schall nach einiger Zeit wieder empfangen. Aus der Schalldifferenz zwischen Schallempfang in B und Schallerzeugung in A rechnet man die Tiefe t aus. Bestimme die Meerestiefe für den vorliegenden Fall: Das Schiff ist 16 m breit. Der Schall legt in einer Sekunde 1510 m im Wasser zurück. Die Schalldifferenz an der Stelle sei 0,4 Sekunden. Ergänze und beschrifte die Skizze so, dass dein Rechenweg erkennbar wird. Eine Boje kann 0,5 m senkrecht über die Wasseroberfläche emporgehoben oder 2 m zur Seite bewegt werden, bis das Halteseil straff gespannt ist. Wie tief ist das Wasser? 27 (3) Anwendungen des Satzes des Pythagoras 1 Ein 3,40 m hoher Baum ist umgeknickt. Er ragt jetzt genau über den 2 m breiten Fluss. In welcher Höhe ist der Baum umgeknickt? 2 Kann das mittlere Auto noch ausparken? Es ist 4,80 m lang und 1,80 m breit; der Abstand zum vorderen und hinteren Fahrzeug beträgt jeweils 30 cm. 3 Zwischen zwei Pfählen mit einem Abstand von 3,80 m ist waagerecht eine dehnbare Wäscheleine straff gespannt. a) Hängt man z.B. in die Mitte der Leine einen Bügel mit einem nassen Wäschestück, senkt sich die Wäscheleine um 20 cm. Wie stark hat sich die Wäscheleine gedehnt? b) Die Wäscheleine ist bis zu 8% ihrer Länge dehnbar. Um wie viel cm dürfte sich die Wäscheleine höchstens senken, ohne zu zerreißen? 4 Berechne für jedes abgebildete Gebäude die Länge eines Dachsparren. Jeder Dachsparren soll dabei 40 cm überstehen. 5 Wie hoch darf der Schrank höchstens sein, damit man ihn wie angegeben aufstellen kann? 6 7 Auf einem ebenen Feld stehen zwei Türme, einer 60 Fuß hoch, der andere 80 Fuß hoch. Ihr Abstand beträgt 100 Fuß. Für die beiden Vögel ist der Weg von der Turmspitze bis zu einem Brunnen zwischen den Türmen gleich weit. Wie weit ist der Brunnen von den Türmen entfernt? Eine Schnur ist symmetrisch um einen Stab gewickelt. Die Schnur windet sich genau 4 mal um den Stab. Der Umfang des Stabes ist 4 cm und die Länge des Stabes ist 12 cm. Wie lang ist die Schnur? 28 Quellen: Welt der Mathematik 9 (1990); Mathematik Heute 9 (1996); Lambacher Schweizer 9 (1997); Schnittpunkt 9 (1995); Unterlagen der MUED;TIMSS (POP 3). Aufgaben zur Anwendung des Satzes des Pythagoras: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Übung / Anwendung Vertikale Vernetzung (Mögliche) Lösungen: Blatt (1): (2) Diagonale = 13cm (3) a) x 9,43cm; b) y 9,22cm; c) z 11,18cm; d) u 35,23cm; e) v 8,94cm (4) Maß 978,27 (5) Kathete s 13,75 cm; Flächeninhalt 41,24cm2 (6) a) b = 8dm; b) c 8,94 m (wie 3e) (7) U 17633,26; Mit Verschnitt 20278,25 Blatt (2): (1) Strecke (min.) 11,69m (2) a) Strecke 1018,71m; Auf der Karte 4,07 cm; b) Höhenunterschied =350m (3) Feuerleiter 25,71m (4) Höhe der Säule 61,59m (5) Meerestiefe 301,89m (6) Wassertiefe = 3,75m Blatt (3): (1) Knick in Höhe 1,11m (Voraussetzung: Baum steht direkt am Fluss) (2) Diagonale 5,13m; das klappt schon... (3) a) Dehnung 2,1cm; b) Senkung (max.) 60cm (4) Sparrenlängen a) = 5,4m; b) 9,05m; c) 9,67 m (5) Schrankhöhe (max.) 2,32m (6) Entfernung Brunnen - Turm = 64m bzw. 36m (7) Handlungsvorstellung: Küchenpapierrolle längs aufschneiden; Schnur = 20cm 29 Vorschlag 11.12: Pythagoras und Vernetzungen 30 Pythagoras und Vernetzungen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Vertikale Vernetzungen Bemerkungen: Kaum ein Themengebiet bietet eine solche Fülle von Verknüpfungen zwischen früheren, aktuellen und zukünftigen Unterrichtsinhalten wie die Satzgruppe des Pythagoras. So finden sich im Vorschlag 11.11 schon mehrere Aufgaben, die Vernetzungsmöglichkeiten zur Prozentrechnung und der Arithmetik aufweisen. Einen guten Überblick über die Vielfalt des Stoffgebiets gibt der Artikel von Winter (Winter, H.: Satzgruppe des Pythagoras. In: mathematik lehren (1984) H. 2, S. 42-48). Neben einer theoretischen Auseinandersetzung, bietet der Artikel praktische Anwendungsübungen. In der ursprünglichen Version war an dieser Stelle auch der Artikel abgedruckt. Hier haben wir und auf ein Arbeitsblatt beschränkt. (Mögliche) Lösung: 31 Vorschlag 11.13: Das Tunnelproblem Unterwegs nach Hamburg: Das Tunnelproblem 1,1 m Gehsteig 6m Straße 1,1 m Gehsteig Stellt euch vor, ihr seid mit einem Transporter auf dem Weg nach Hamburg. Immer auf der A7 Richtung Norden. Kurz hinter Göttingen geratet ihr in einen langen Stau und entscheidet euch deshalb, bei der nächsten Abfahrt die Autobahn zu verlassen. Weiter geht's auf der Landstraße. In einer kleinen Ortschaft stellt sich euch allerdings ein schwieriges Problem: die Straße, auf der ihr euch befindet, führt durch einen Tunnel, der euch sehr, sehr niedrig erscheint. Ob der Transporter hindurchpassen wird? Leider haben böse Buben, die in der Gegend ihr Unwesen treiben, das Verkehrsschild zur Höhenbegrenzung, das normalerweise über jeder Straßenunterführung oder Brücke befestigt ist, entwendet. Ein Blick in die Wagenpapiere bringt keine Erleichterung, denn es stellt sich heraus, dass der Transporter 2,70 m hoch ist. Ganz schön hoch! Das Risiko, auf gut Glück loszufahren, erscheint euch zu groß, zumal das Verkehrsaufkommen auf der Gegenspur sehr groß ist, ihr also auf eurer Fahrspur bleiben müsst. Aber schließlich erinnert ihr euch an den Matheunterricht. Wenn sich die Höhe der Tunneldurchfahrt an der kritischen Stelle berechnen ließe, hättet ihr ja tatsächlich etwas Nützliches gelernt! Immerhin wisst ihr, dass der Querschnitt des Tunnels halbkreisförmig ist. Außerdem habt ihr ein einfaches Maßband bei euch, mit dem ihr zumindest die Breite der Straße und des schmalen Gehsteigs messen könnt (Maße siehe Zeichnung). Quelle: Ursprüngliche Aufgabe: Mathematik Heute (1996), S. 122; Text: Dagmar Seuberlich: Staatsexamensarbeit (1997) (verändert). Das Tunnelproblem: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Einführung bzw. Anwendung des Höhensatzes Variationen der Aufgabe: Aufgabe auf aktuellen Ausflug der Klasse umschreiben. (Mögliche) Lösungen: 32 Aufstellen von drei Gleichungen nach Satz des Pythagoras. Lösung des linearen Gleichungssystems. Allgemeine Lösung liefert Höhensatz. Kritische Höhe 2,79m; Durchfahrt möglich. 33 Vorschlag 11.14: Eine Wandzeitung und andere Projekte Quelle: Melani Geyer: Staatsexamensarbeit (1999) (verändert). 34 Eine Wandzeitung und andere Projekte: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Produktorientierung Selbständige Sicherung der Inhalte Eignung, (mögliche) Methoden: Gruppenarbeit Am Ende der Einheit, insbesondere zur Vorbereitung der Klassenarbeit Bemerkungen: Aufgrund seiner großen Vielfältigkeit eignet sich das Thema Satzgruppe des Pythagoras besonders für projekt- bzw. produktorientierte Zugänge. Interessant erscheint insbesondere die gemeinsame Herstellung einer Wandzeitung, durch die die Schüler ihre Ergebnisse präsentieren können und die gleichzeitig eine sinnvolle Übung und eine gute Vorbereitung der Klassenarbeit ermöglicht. Mögliche Themen der Wandzeitung: Koordination – Übergeordnete Gestaltung der Wandzeitung Das Leben des Pythagoras Satzfindung Beweis(e) Pythagoraspuzzle Darstellung des Satzes des Pythagoras Anwendungsaufgaben Historische Anwendungsaufgaben Lustige und kuriose Pythagorasfiguren Berechnungen in räumlichen Figuren Die ägyptischen Seilspanner Der Satz von Fermat Das Tunnelproblem Alternativen: Arbeitsblätter zum Lernen an Stationen für das Thema Satz des Pythagoras gibt es von der MUED und vom Verlag an der Ruhr (im Modellversuchsraum vorhanden). Ein Theaterstück über Pythagoras und die Irrationalzahlen findet sich bei Mattheis, M. In: Praxis Schule 5-10, 9 (1998), H. 5, S. 53-57 (liegt leider nicht im Modellversuchs-Raum vor). Ein Märchen „Wie Pythagoras seinen Lehrsatz entdeckte“ findet sich bei Hauck, G. In: mathematik lehren (1993), H. 61, S. 76-77 (liegt im Modellversuchs-Raum vor). Fast schon ein kleines Projekt wäre die Planung einer Seilbahn in der näheren Umgebung. Dabei müssen sich die Schüler zunächst mit der Landkarte vertraut machen, die Höhenverläufe erkennen und sich für einen möglichen Verlauf in der Horizontalaufsicht entscheiden. Danach müssen sie eine Vertikalschnitt der Trasse entwickeln, den entstehenden Polygonzug triangulieren und dessen Länge mittels des Satzes des Pythagoras bestimmen (vgl. Köhler, R.: TIMSS und die Folgen: Was kann man in der Praxis ändern? In: TIMSS und der Mathematikunterricht. Schroedel (1998), S. 40-45. Ein Vorschlag den Satz des Pythagoras von Schülern selbständig als Internet Recherche zu erarbeiten, stammt von Eckhard Müller (GCLS). Eine mögliche Arbeitsanweisung ist auf der folgenden Seite abgedruckt. Interessante Internetseiten zum Thema Satz des Pythagoras sind leicht zu finden. Eine Zusammenstellung findet sich aber auch bei Schwarze, M. In: mathematik lehren (1998), H. 92, S. 52-54. Auch unter: http://www.ham.nw.schule.de/projekte/swmathe/Uonline/material/mat.htm 35 Geometrieprogramme und Java-Applets bieten gute Veranschaulichungsmöglichkeiten. Angeführt seien hier die Megallan Demo CD-Rom von Klett sowie das Programm Euklid, das als Shareware erhältlich ist. Eine Fülle von Informationen und Anregungen rund um die Satzgruppe des Pythagoras (insbesondere Biographie, Harmonielehre und verschiedene Beweise) finden sich auch bei Schwengeler, C.: Geometrie experimentell, Orell Füssli, S. 103-116 (liegt im Modellversuchs-Raum vor). Internet Recherche zum Satz des Pythagoras Ihr sollt in Zweiergruppen eine Recherche im Internet zum Satz des Pythagoras machen und eure Ergebnisse dokumentieren. Die Dokumentation wird bewertet. Die folgenden Aufgaben geben eine Leitlinie für Recherche und Dokumentation. Die Dokumentation kann handschriftlich erfolgen. 1. Benutzt eine deutsche Suchmaschine, z.B. www.altavista.de oder www.fireball.de um geeignete Webseiten zu finden. Hinweis: Verwendet das Zeichen + und Anführungszeichen z.B. bei "Satz des Pythagoras" (warum?). 2. Was besagt der Satz des Pythagoras? Gebt drei unterschiedliche von euch gefundene Formulierungen an. Formuliert den Satz auch in euren eigenen Worten. 3. Schwerpunkt: Findet Beweise zum Satz des Pythagoras und vollzieht sie für euch selbst nach (Mitschrift, Zeichnungen ins Matheheft) Dokumentiert zwei unterschiedliche Beweise (es gibt z.B. arithmetische, Zerlegungs-, Ergänzungs- oder Scherungsbeweise). 4. Was besagt die Umkehrung des Satzes des Pythagoras? (Zusatz: Warum muss man die Umkehrung extra beweisen?) 5. Dokumentiert einige unterschiedliche Anwendungen des Satzes des Pythagoras und dessen Umkehrung. 6. Findet biografische Daten über Pythagoras und dokumentiert Wesentliches. 7. Gebt maximal drei Webadressen (URL) an, bei denen das Thema eurer Meinung nach am besten dargestellt wird. 8. Zusatz: Findet Anekdoten, Witze, Cartoons und sonstiges „Schräges" zum Thema und dokumentiert diese. 36 Vorschlag 11.15: Vermischtes zur Satzgruppe des Pythagoras Quelle: Baptist, P.: Pythagoras und kein Ende, S. 26. 37
