Komplexe Zahlen: Kurze Wiederholung

Komplexe Zahlen: Kurze Wiederholung
Dipl.-Math. Dimitri Ovrutskiy
HTW des Saarlandes
4. November 2010
Sei j =
√
−1 die komplexe Einheit. Die Zahl wird oft auch als i bezeichnet.
Rechnen in C
Aufgabe 1 Für z1 = 2 − 2j und z2 = 1, 5e1,5πj berechne
−
z1
z2∗
und
z1 − z2∗
und stelle die Ergebnisse jeweils in NF und EF dar.
Bemerkung 2 Formel von Moivre zur berechnung der komplexen Wurzeln:
Sei z = rejφ gegebene komplexe
√ Zahl. Dann ∀n ∈ N mit k = 0, 1, ..., n−
1 gibt es genau n verschiedene n z, und diese werden wie folgt bestimmt:
√
φ
2π
φ
2π
n
r(cos( + k ) + j sin( + k )) =
n
n
n
n
√ φ 2π
√
φ
2π
= n rej( n +k n ) = n rej n ejk n ,
k = 0, 1, ..., n − 1.
zk =
Aufgabe 3 Berechne alle Nullstellen z ∈ C des Polynoms P (z) = z 4 +81.
Zeichne die Lösungen als Zeiger!
Überlagerung von Schwingungen
Bemerkung 4 Addition (Überlagerung) von Schwingungen:
Seien zwei Sinus-Schwingungen mit der gleichen Frequenz gegeben: y1 (t) =
A1 sin(ωt + φ1 ) und y2 (t) = A2 sin(ωt + φ2 ). Gesucht wird die resultierende
Schwingung y(t) = y1 (t) + y2 (t).
Wie geht man vor?
Der Fall mit φ1 = φ2 läßt sich direkt berechnen. Im Allgemeinen aber
kommen die komplexe Zahlen zum Einsatz.
1
Man merkt, daß
y(t) = A sin(ωt + φ) = Im[A(cos(ωt + φ) + j sin(ωt + φ)] = Im[Aej(ωt+φ) ],
√
wobei j = −1 die komplexe Einheit ist.
Also
y1 (t) = Im[z1 (t)] := Im[A1 ej(ω1 t+φ1 ) ] = Im[(A1 ejφ1 )eiωt ],
y2 (t) = Im[z2 (t)] := Im[A2 ej(ω2 t+φ2 ) ] = Im[(A2 ejφ2 )eiωt ]
und
y(t) = y1 (t)+y2 (t) = Im[z1 (t)+z2 (t)] =: Im[z(t)] = Im[(A1 ejφ1 +A2 ejφ2 )ejωt ].
Anderseits (Tafelbild: Interpretation einer Sin-Schwingung als Zeigerumdrehung in der komplexen Ebene → Frequenzerhaltung (Diese folgt direkt
aus der obigen Formel!))
y(t) = Bsin(ωt + ψ) = Im[(Bejψ )ejωt ].
Man muß nun die Amplitude B und die Phase ψ finden:
(Bejψ )ejωt = (A1 ejφ1 + A2 ejφ2 )ejωt ,
also gilt
Bejψ = A1 ejφ1 + A2 ejφ2 .
Dann (unter Verwendung der trigonometrischen und eulerischen Formen einer komplexen Zahl und geometrischen Überlegungen in der komplexen Ebene (Satz von Pythagoras)) gilt:
p
B = (A1 cos φ1 + A2 cos φ2 )2 + (A1 sin φ1 + A2 sin φ2 )2 ,
A1 sin φ1 + A2 sin φ2
.
A1 cos φ1 + A2 cos φ2
Bei Feststellung von ψ muß man den richtigen Quadrant beachten!
ψ̃ = arctan
Aufgabe 5 Berechne die resultierende Schwingung, die bei der Überlagerung von u1 = 2 sin(3t − π2 ) und u2 = 4 cos(3t + π4 ) entsteht, und zeichne
das Ergebnis.
Aufgaben 6 Berechne die Überlagerung von folgenden Schwingungen:
1. y1 = −4 sin(2, 45t + 0, 75π), y2 = 2, 5 sin(2, 45t − 0, 125π)
2. y1 = 6, 3 cos(220t + π), y2 = 5, 6 sin(220t − 0, 6π)
3. y1 = 0, 5 cos(12t + 65 π), y2 = 5, 6 sin(12t − 23 π)
Bemerkung 7 B sin(ωt + φ) = A1 sin(ωt + φ1 ) + A2 sin(ωt + φ2 ). Dann
gilt auch:
q
B = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(φ1 − φ2 )
tan φ =
A1 sin φ1 + A2 sin φ2
(Quadranten beachten!)
A1 cos φ1 + A2 cos φ2
2