Mikroökonomik B 6. Standardauktionen

Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Mikroökonomik B
6. Standardauktionen
Paul Schweinzer
9. Juni 2009.
1 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Literaturangaben
◮
Jehle und Reny (2001), Kapitel 9
◮
Varian (2007), Kapitel 17.
2 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Themen
So die Zeit ausreicht, werden wir folgende Themen behandeln
a Allgemeines
b Offenbarungsprinzip
c Myerson-Satterthwaite Theorem
d Erstpreis- (& Holländische) Auktion
e Zweitpreis- (& Englische) Auktion
f All-Pay Auktion
3 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Anwendungen von Auktionen
◮
Verkauf öffentlicher Ressourcen, zB FCC Spektrum Auktionen
◮
◮
◮
◮
◮
◮
◮
◮
◮
◮
“The government is smoking something to think they are
going to get $10 bn for these licenses.” [$20 bn were raised]
(MCI chairman Bert Roberts, 1993)
“The Greatest Auction in History” (New York Times, 1995)
“The Auction of the Century” (Liberation, 1995)
“The most dramatic example of game theory’s new power. It
was a triumph, not only for the FCC and the taxpayers, but
also for game theory (and game theorists).” (Fortune, 1995)
Privatisierungen
Aktienmärkte (‘request for quote’)
Immobilienverkauf
eBay, GoogleAds
US Treasury Bills
...
4 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Allgemeines
Was machen Verkäufer wenn sie, anders als bisher angenommen,
nur statistisch über die Wertschätzungen der Konsumenten
informiert sind?
Dies ist eine Neuinterpretation des Problems eines Monopolisten
aus dem ersten Teil der Vorlesung.
Die Frage nach dem für den Verkäufer optimalen
Verkaufsmechanismus ist generell nicht gelöst und (ua)
Gegenstand der Disziplin des Mechanismus Design. Die
analysierten Verkaufsmechanismen heißen Auktionen.
Wir werden uns hauptsächlich mit der Suche nach effizienten
Allokationsmechanismen beschäftigen.
5 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Ein-Gut-Standardauktionen
Wenn wir uns auf das Auktionieren eines einzigen Gutes
beschränken, gibt es—va unter der zusätzlichen Annahme von
unabhängig verteilten und privaten Wertschätzungen—eine Reihe
von einfachen aber mächtigen Ergebnissen für die 4
Standardauktionen:
1. Erstpreisauktion
2. Holländische Auktion
3. Zweitpreisauktion
4. Englische Auktion.
Unser Hauptkriterium zur Analyse dieser Auktionen ist Effizienz.
Def. Wir sprechen von einem ex-post effizientem Mechanismus,
wenn dieser das Gut an den Spieler mit der höchsten
Wertschätzung gibt.
6 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Unabhängig verteilte, private Wertschätzungen
◮
◮
◮
◮
◮
Ein Verkäufer verkauft ein unteilbares Objekt dessen Wert er
selbst mit Null bemisst.
Es gibt N risikoneutrale potentielle Käufer (‘Bieter’) mit vom
Intervall V ≡ [0, 1] unabhängig gezogegenen Wertschätzungen
vi , i = {1, . . . , N}, mit Verteilungsfunktion F (vi ) und
Dichtefunktion f (vi ). Wir missbrauchen diese Notation um
auch die Spielermenge mit N zu bezeichnen.
Da die Wertschätzungen der potentiellen Käufer alle der
gleichen Verteilungsfunktion F[0,1] folgen, spricht man von
ex-ante symmetrischen Käufern.
Jeder Käufer kennt seine eigene Wertschätzung vi (dh ist vom
Typ vi ), aber er kennt nur die Verteilung der Wertschätzungen
der anderen Käufer F[0,1] .
Der Verkäufer kennt nur die Verteilung der Wertschätzungen
der Käufer F[0,1] .
7 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Erstpreisauktion
Regel: Jeder Bieter übermittelt ein versiegeltes Gebot an den
Verkäufer. Dieser gibt das Objekt an den höchsten Bieter der sein
Gebot zahlt.
◮
Das optimale Bietverhalten hängt von den Geboten der
anderen Bieter ab. Diese sind aber nicht beobachtbar!
◮
Wie soll sich ein Bieter i in diesem Spiel mit unvollständiger
Information verhalten?
◮
Eine Strategie eines Bieters i ist es, ein Gebot für jede seiner
möglichen Wertschätzungen des Objektes vorzusehen.
◮
Eine derartige Strategie heißt Bietfunktion bi : [0, 1] 7→ R+ .
◮
Wir suchen ein (symmetrisches) Bayesianisches NGw
(SBNGw) dieser Bietfunktionen.
8 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Annahmen
Wir wissen nicht besonders viel über diese Bietfunktionen bi (vi ).
Die folgenden beiden Annahmen wirken aber natürlich.
Annahme 1: Bieter mit höheren Wertschätzungen geben höhere
Gebote ab, dh die Bietfunktion bi (vi ) ist streng monoton steigend
für alle Bieter i .
Annahme 2: Ex-ante symmetrische Bieter geben für gleiche
Wertschätzungen die gleichen Gebote ab, dh bi (vi ) = b(vi ), ∀i .
Annahme 2 bedeutet, daß wir nach symmetrischen BNGw suchen.
Die letzte Annahme machen wir nur um die Darstellung einfach zu
halten — sie ist im Gegensatz zu den ersten beiden Annahmen
unwesentlich.
Annahme 3: Wertschätzungen sind gleichverteilt, dh vi ∼ U[0,1]
für alle Bieter i .
9 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
BNGw
Basierend auf der allgemeinen Definition in Kapitel 6.2 definieren
∗)
wir ein symmetrisches BNGw als NGw Profil b ∗ = (b1∗ , . . . , bN
eines Spieles in dem für alle Spieler i ∈ N und alle vi ∈ V mit
v = v1 , . . . , vN gilt, daß
Z 1 Z 1
Z 1
···
f (v )ui (bi , b(v−i )∗ ) dvi dv−i .
bi∗ ∈ argmax
bi ∈[0,∞) 0
| 0 {z 0 }
v−i ∈V i −1
Da die Spieler private Typen haben, müssen sie Beliefs über die
Typen der Gegenspieler formen. Diese sind in den gegenständlichen
Auktionen unabhängig voneinander und für alle Spieler identisch
(iid) und deshalb gleich den allgemein bekannten ex-ante
Wahrscheinlichkeiten F (vi ).
10 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Exkurs 1
Offenbarungsprinzip (‘Revelation Principle’)
11 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Offenbarungsprinzip (‘Revelation Principle’)
Eine tatsächliche Bietstrategie kann ein kompliziertes Objekt sein,
das von vielen Dingen abhängt. Wenn wir also einen effizienten
(oder vielleicht sogar den besten) Mechanismus zum Verkauf eines
Gutes finden möchten, dann müssen wir potentiell eine große
Anzahl von verschiedenen Mechanismen untersuchen!
Glücklicherweise besagt das folgende Resultat, daß wir uns bei der
Suche nach der gewünschten Auktion auf ‘einfache’ Mechanismen
beschränken können mit Geboten der Form b(vi ).
Zu jedem BNGw eines Spieles mit unvollständiger Information gibt
es ein entsprechendes Spiel, in dem Strategien nur von den Spielertypen abhängen (‘direct revelation game’). In diesem Spiel ist
es ein BNGw seinen tatsächlichen Typ ‘bekanntzugeben.’ Es hat
die gleichen Auszahlungen wie das Originalspiel.
12 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Ein Stellvertreter-Beispiel
Nehmen wir an, wir hätten tatsächlich ein SBNGw b(v ) gefunden.
◮
Per Definition ist b(vi ) auszahlungsmaximierend für Spieler i
vom Typ vi , gegeben die Mitspieler bieten b(v−i ) unter
Benutzung der symmetrischen Bietfunktion.
◮
Bieter i kann an der Auktion nicht teilnehmen, schickt aber
einen Stellvertreter. Dieser kennt & benutzt zwar die
Gw-Bietfunktion der Spieler, kennt aber nicht i ’s Typ vi .
◮
i ’s Stellvertreter ruft Spieler i während der Auktion an und
fragt nach dessen Wertschätzung.
◮
Welche Wertschätzung wird Spieler i seinem Stellvertreter in
diesem (möglicherweise komplizierten) Spiel nennen?
Natürlich vi , seine tatsächliche Wertschätzung!
13 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Exkurs 2
Effiziente Handelsmechanismen:
Myerson-Satterthwaite Theorem
14 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Effizienter Handel: v > c
◮
Private Käufervaluation v ∼ U[0,1] .
◮
Private Kosten des Verkäufers c ∼ U[0,1] .
◮
Wir lassen keine Subventionen von Dritten zu.
◮
Wir suchen nach irgendeinem Mechanismus der freiwilligen
Handel zustande bringt, wann immer v > c.
15 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Effizienter Mechanismus
◮
Der Mechanismus
◮
◮
◮
◮
fragt Käufer & Verkäufer nach ihren Typen v & c,
verlangt vom Käufer p(v , c),
gibt an den Verkäufer p(v , c).
Wenn effizienter Handel stattfindet, dann ist der Überschuß
(gains from trade)
Z
0
1Z v
0
(v − c) dc dv =
Z
0
1
v2
1
dv = .
2
6
16 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Käufer
◮
◮
◮
◮
Niemand zwingt den Käufer dazu, dem Mechanismus seine
tatsächliche Valuation v mitzuteilen.
Betrachten wir also den Fall eines Käufers, der die tatsächliche
Valuation v hat, dem Mechanismus aber v̂ mitteilt.
Beachten sie, daß ein Käufer mit Mittelung v̂ den Zuschlag
mit Wahrscheinlichkeit v̂ erhält (Gleichverteilung).
Der Nutzen eines Käufers vom Typ v der v̂ mitteilt ist
argmaxv̂ u(v̂ , v ) = v v̂ − Ec p(v̂, c).
◮
Wenn die Bekanntgabe des tatsächlichen Typs für den Käufer
optimal sein soll, dann muß der Käufernutzen durch v̂ = v
maximiert werden
d
∂
∂
∂
u(v̂ , v ) =
u(v̂ , v ) + u(v̂, v ) =
u(v̂ , v ) = v̂ = v.
dv
∂v
v̂ =v
|∂v̂ {z } ∂v
foc=0
17 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Käufer
◮
Integrieren wir den Überschuß für alle Käufertypen auf, so
erhalten wir den durchschnittlichen Käuferüberschuß (durch
partielle Integration mit f = u(v , v ), g ′ = 1, g = (v − 1))
Z
0
1
u(v , v )dv
1
Z 1
d
= (v − 1)u(v , v ) −
(v − 1) u(v , v ) dv
dv
0
v =0
Z 1
1
=
(1 − v )v dv = .
6
0
(Ein Käufer mit Wertschätzung v = 0 sollte 0 erhalten.)
◮
Das bemerkenswerte Resultat ist, daß ein Käufer, der seinen
Typ wahrheitsgemäß mitteilen soll, den gesamten Überschuß
erhalten muß!
18 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Verkäufer
◮
Die Logik des Argumentes für den Verkäufer ist genau
symmetrisch: auch er muß den gesamten Überschuß erhalten
um seine Kosten wahrheitsgemäß mitzuteilen.
◮
Da beides gleichzeitig unmöglich ist, ist es nicht möglich einen
Mechanismus zu finden der effizienten Handel mit privater
Information organisiert!
◮
Intuition: Nur wenn der gesamte Überschuß einer einzelnen
Partei ‘gehört,’ dann wird sie durch ihre Handelsentscheidung
auch versuchen diesen Überschuß zu maximieren.
19 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Myerson-Satterthwaite Theorem
◮
Dieses Resultat ist unter dem Namen Myerson-Satterthwaite
Theorem bekannt.
◮
Es besagt, daß effizienter Handel mit privater Information und
überlappenden Typenräumen unmöglich ist.
◮
Käufer tendieren dazu, weniger als ihre tatsächliche
Wertschätzung zu ‘bieten.’
◮
Verkäufer tendieren dazu, ihre Kosten als höher als tatsächlich
vorhanden anzugeben.
◮
Das Result ist Ineffizienz.
◮
Die Auswirkungen sind schwach in großen Märkten, aber
potentiell stark in kleinen Märkten (1:1 Verhandlungen).
20 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Erstpreisauktion
Zurück zur Erstpreisauktion.
(Wir werden keine strategischen Verkäufer betrachten.)
21 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Maximierungsproblem
Wie immer ist die Bedingung für ein BNGw, daß die Gebote
gegenseitig beste Antworten sind. Formell ist das Strategienprofil
b(v ) ein BNGw der Erstpreisauktion (EPA) wenn gilt, daß b(vi ) für
jede Wertschätzung vi
argmax (vi − bi ) pr(bi ≥ b(vj ))∀j6=i .
bi
Wir vereinfachen die Analyse indem wir nach linearen und
symmetrischen Bietfunktionen b(vi ) = α + γvi suchen.
(Sollten wir damit Erfolg haben, dann ist dies keine Annahme!)
Wenn wir weiters erkennen, daß es sich beim zufälligen Ziehen
zweier (oder mehrerer) gleicher Wertschätzungen um ein Ereignis
mit Wahrscheinlichkeit Null handelt, dann können wir schreiben
argmax (vi − bi ) pr(bi > α + γvj )∀j6=i .
bi
22 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Wahrscheinlichkeiten
Die Wahrscheinlichkeit ein höheres Gebot als j abzugeben ist
bi − α
pr(bi > α + γvj ) = pr vj <
γ
v <
was, da die Wertschätzungen der
Bieter gleichverteilt sind, gegeben
0
1
ist durch
bi − α
bi − α
=
.
pr vj <
γ
γ
Da wir N − 1 unabhängig gezogene Wertschätzungen betrachten,
gilt
bi − α bi − α
bi − α
bi − α N−1
pr(bi > α + γvj )∀j6=i =
···
=
.
γ
γ
γ
γ
|
{z
}
j
bi −α
γ
für alle j6=i , dh N−1 mal
23 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Nehmen wir mit Nash an, daß im Gleichgewicht alle Gegenspieler
von i ihre Gleichgewichtsstrategie b(vj ) = α + γvj verwenden.
Was ist Bieter i ’s beste Antwort?
argmax u(vi , bi ) = (vi − bi )
bi
bi − α
γ
N−1
.
Bieter i wählt sein optimales Gebot bi indem er
∂u(vi , bi )
bi − α N−2 1
bi − α N−1
= 0 : (N−1)(vi −bi )
−
= 0.
∂bi
γ
γ
γ
Da ein Bieter mit Wertschätzung 0 ein Gebot von 0 abgeben wird,
gilt α = 0 und wir erhalten
bi =
vi (N − 1) − α
N −1
= vi
= b ∗ (vi ).
N
N
Dh unsere Suche nach einer linearen Bietfunktion ist bestätigt.
24 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Ertrag
Welchen Ertrag wirft eine EPA für den Verkäufer ab?
Mit über [0,1] gleichverteilten Typen ist der Ertrag
E[ΠE ] =
=
Z
Z
1
b(v ) pr(höchster Typ) dv
0
1
0
n−1
n−1
vnv N−1 dv =
.
n
n+1
25 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Besprechung
Es kann gezeigt werden, daß es sich beim eben erlangten Resultat
um das einzige symmetrische Gleichgewicht der EPA handelt.
Unter Verwendung dieser Bietfunktion geht das Objekt immer an
den Bieter mit der höchsten Wertschätzung (siehe Annahme 1):
wir sagen, die EPA ist ex-post effizient.
Ein Bieter wird in der EPA also nicht seine tatsächliche
Wertschätzung bieten, sondern einen geringeren Wert.
Bei diesem geringeren Wert handelt es sich um die erwartete
zweithöchste Wertschätzung, gegeben den Gewinn der Auktion.
Dies ist intuitiv: Das optimale gewinnende Gebot sollte gerade über
dem zweithöchsten Gebot liegen.
26 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Holländische Auktion
Regel: Der Verkäufer beginnt mit einem sehr hohen Preis und
senkt diesen kontinuierlich. Der erste Bieter der sein Einverständnis
signalisiert, erhält den Zuschlag zum aktuellen Preis.
Satz. Mit unabhängig von der Gleichverteilung gezogenen
Wertschätzungen ist es ein symmetrischen BNGw der
Holländischen Auktion sein Einverständnis zu zeigen, sobald der
Preis
N −1
vi
erreicht.
N
Beweis. Das Optimierungsproblem der Bieter ist identisch zu dem
in der EPA wenn die Worte Preis und Gebot ausgetauscht werden.
27 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Zweitpreisauktion
Regel: Jeder Bieter übermittelt ein versiegeltes Gebot an den
Verkäufer. Dieser gibt das Objekt an den höchsten Bieter. Dieser
zahlt aber bloß das zweithöchste Gebot.
Wir betrachten eine 2-Spieler Variante des gleichen Modells mit
privaten und unabhängigen Wertschätzungen wie zuvor.
Insbesondere gelten die bei der Besprechung der EPA gemachten
Annahmen 1–3.
Das Maximierungsproblem eines Bieters i in der Zweitpreisauktion
(ZPA) ist, für Wertschätzungen v = v1 , . . . , vN , strikt monoton
steigender symmetrischer Gw-Bietfunktion b(vj ) und j = 3 − i
gegeben durch
argmax (vi − b(vj )) pr(bi ≥ b(vj )).
bi
28 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Der Erwartungsnutzen für Bieter i mit Wertschätzung vi nach
Abgabe eines Gebotes b̂ ist, für j = 3 − i ,
Z v̂i =b−1 (b̂)
ui (vi , b̂) = (vi − b(vj )) f (vj )dvj .
|0
{z
}
vj ≤v̂i
Die Ableitung nach b̂ gibt — unter Verwendung der Leibnitzschen
Regel und Ausnützung der Symmetrie der Bieter — die beo



 db −1 (b̂) −1
=0
vi − b(b (b̂))
| {z }
d b̂ vi =b−1 (b̂)
=b̂
oder
vi = b̂ = b ∗ (vi ).
Es ist ein BNGw die tatsächliche Wertschätzung zu bieten!
29 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Schwach dominante Strategien
Wir werden nun zeigen, daß es sich beim eben hergeleiteten
Resultat auch um ein Gw in schwach dominanten Strategien
handelt. Dieses Resultat ist viel robuster als das eben hergeleitete
BNGw (oder jenes für die EPA), da es nicht von den ‘Beliefs’ der
Spieler, dh der Typverteilung, abhängt.
Satz. In der ZPA ist es eine schwach dominante Strategie, die
tatsächliche Wertschätzung bi∗ = vi zu bieten.
Beweis. Wie zuvor sei i = 1, 2 und j = 3 − i .
Sollte Spieler i gewinnen, dann hat sein Gebot b̂i keinen Einfluß
auf den Preis den er bezahlt; dieser wird ausschließlich von
bj = b(vj ) bestimmt. Das eigene Gebot b̂i bestimmt ‘bloß,’ ob
Spieler i gewinnt oder nicht.
30 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Beweis: bi > vi
vi
bi
b(vj )
b(vj ) : 1
b(vj ) : 2
b(vj ) : 3
1. ui (vi , b(vj )) = vi − b(vj ),
ui (bi , b(vj )) = vi − b(vj ).
2. ui (vi , b(vj )) = 0,
ui (bi , b(vj )) = vi − b(vj ) < 0.
3. ui (vi , b(vj )) = 0,
ui (bi , b(vj )) = 0.
31 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Ein formaler Beweis
1. Angenommen bj < vi = bi∗
◮
◮
wenn b̂i > bj , dann ergeben beide Gebote das gleiche.
Wenn b̂i ≤ bj , dann ist bi∗ = vi besser als b̂i 6= vi da es einen
höheren Gewinn erzielt.
2. Angenommen bj > vi = bi∗
◮
◮
wenn b̂i ≥ bj , dann ist bi∗ = vi besser als b̂i 6= vi da es einen
Verlust vermeidet,
wenn b̂i < bj , dann ergeben beide Gebote das gleiche.
3. Angenommen bj = vi = bi∗
◮
◮
wenn b̂i > bj , dann ist bi∗ = vi besser als bi 6= vi da es einen
Verlust vermeidet,
wenn b̂i ≤ bj , dann ergeben beide Gebote das gleiche.
In allen möglichen Fällen ergibt bi∗ = vi zumindest den gleichen
Payoff wie eine Abweichung. Dh bi∗ ist eine schwach dominante
Strategie.
32 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Ertrag
Welchen Ertrag wirft eine ZPA für den Verkäufer ab?
Mit über [0,1] gleichverteilten Typen ist der Ertrag
E[ΠZ ] =
Z
Z
1
b(v ) pr(zweithöchster Typ) dv
0
1
vn
v n+1
=
n(n − 1)(v
− v )dv = n(n − 1)
−
n
n+1
0
n+1−n
n−1
=n(n − 1)
=
.
n(n + 1)
n+1
n−1
n
1
0
(Um Komplikationen zu vermeiden, schlagen pr(zweithöchster Typ)
einfach in einer der auf Seite 37 genannten Referenzen nach.)
33 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Besprechung
Unter Verwendung der hergeleiteten Bietfunktion geht das Objekt
immer an den Bieter mit der höchsten Wertschätzung (siehe
Annahme 1): dh auch die ZPA ist ex-post effizient.
Da ein Bieter in der ZPA seine tatsächliche Wertschätzung bietet,
haben wir einen Mechanismus gefunden, unter dem die Agenten
ihre private Information freiwillig offenbaren. Dies hat immense
Bedeutung in der ökonomischen Theorie.
Der intuitive Grund für dieses Resultat ist, daß der vom Gewinner
zu zahlende Preis nicht von dessen Gebot abhängt: der Preis wird
nur durch die anderen Spieler bestimmt.
34 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Englische Auktion
Regel: Der Verkäufer beginnt mit einem Preis von Null und hebt
diesen kontinuierlich. Anfangs nehmen alle Bieter teil, können die
Auktion aber zu jedem Zeitpunkt verlassen. Wenn nur ein Bieter
übrig ist (dh der vorletzte Bieter die Auktion verlässt), erhält dieser
den Zuschlag zum aktuellen Preis.
Satz. Mit unabhängig von der Gleichverteilung gezogenen
Wertschätzungen ist es ein symmetrischen BNGw der Englischen
Auktion die Auktion zu verlassen, sobald der Preis die eigene
Wertschätzung erreicht.
Beweis. Das Optimierungsproblem der Bieter ist identisch zu dem
in der ZPA wenn die Worte Preis und Gebot ausgetauscht werden.
35 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
All-Pay Auktion
Regel: Jeder Bieter übermittelt & bezahlt ein versiegeltes Gebot
an den Verkäufer. Dieser gibt das Objekt an den höchsten Bieter.
Anwendung: Abnützungskriege (‘Wars of Attrition’) wie zum
Beispiel Innovations- oder Patentrennen, Lobbying &c.
Wir betrachten wiederum eine Variante des eingangs vorgestellten
Modells mit privaten und unabhängigen Wertschätzungen.
Insbesondere gelten die bei der Besprechung der EPA gemachten
Annahmen 1–3.
36 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
All-Pay Auktion: Gw-Check
Am Beginn des Spieles werden die Typen vi , i = 1, . . . , N aller
Bieter unabhängig voneinander gezogen. Unter der Annahme von
streng monoton steigenden, symmetrischen Bietfunktionen b(vi ),
kommt das höchste Gebot vom Bieter mit dem höchsten Typ.
Gw-Check: Gegeben, daß die Mitspieler ihre GW-Strategien
b(v−i ) bieten, ist es für Spieler i profitabel von seiner Strategie
b(vi ) zu einem Gebot b̂ abzuweichen?
Formeller ist das Maximierungsproblem von Spieler i unter Abgabe
von Gebot b̂
max vi pr(b̂ > b(vj ))∀j6=i − b̂
b̂
und da b(vi ) invertierbar ist (b ′ > 0!), entspricht dies
max vi pr(vj < b −1 (b̂))∀j6=i − b̂.
b̂
37 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Ordnungsstatistiken
Wie bestimmen wir pr(vj < b −1 (b̂)) für unabhängig gezogene vi ,
i = 1, . . . , N? Beachten sie, daß diese Wahrscheinlichkeit nur von
der Typverteilung abhängt!
Generell schlägt man derartige Wahrscheinlichkeiten in einem Buch
über Ordnungsstatistiken nach:
◮ Krishna, V., “Auction Theory,” App C, Academic Press, 2002,
◮ David, H. and H. Nagaraja, “Order statistics,” Wiley, 2003.
Definition. X := X1 , X2 , . . . , Xn seien n unabhängige Ziehungen
aus der gleichen Wahrscheinlichkeitsverteilung mit stetiger
Verteilungsfunktion F (x) und Dichtefunktion f (x). Dann heißen
die geordneten Zufallsvariablen Y(1:n) ≥ Y(2:n) ≥ . . . ≥ Y(n:n) die
Ordnungsstatistiken der Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . , Xn .
Y(k:n) ist also der k-größte Wert unter den Zufallsvariablen
X1 , X2 , . . . , Xn .
38 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Gewinnwahrscheinlichkeit
Hier ist die Bestimmung aber so einfach, daß wir sie selbst
vornehmen. Das Verfahren zur Bestimmung der Gw-Strategien in
dieser Auktion ist allgemein verwendbar, sie können es auch zur
Lösung der EPA verwenden.
Allgemein gilt, daß
F(1:n) (y ) = Pr(max X ≤ y ) = Pr(X1 ≤ y , X2 ≤ y , . . . , Xn ≤ y )
= F1 (y ) F2 (y ) · · · Fn (y )
= (F (y ))n .
also ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Typen aller N − 1
Gegenspieler kleiner als b −1 (b̂) sind gleich
pr(vj < b −1 (b̂)) = (F (b −1 (b̂)))N−1 = (b −1 (b̂))N−1
wobei der letzte Schritt die Gleichverteilung der Typen ausnutzt.
39 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Symmetrisches Gw
Das Maximierungsproblem von Spieler i vereinfacht sich also zu
max vi (b −1 (b̂))N−1 − b̂
b̂
mit beo
∂ui (b̂, vi )
∂ b̂
−1
= 0 : (N − 1)vi (b (b̂))
| {z }
N−2
=viN−2
db −1 (b̂) = 1.
| d{zb̂ } vi =b−1 (b̂)
=1/b′ (vi )
Im Symmetrischen Gw gilt b̂ = b(vi ) oder b −1 (b̂) = vi und somit
(N − 1)vi viN−2 = b ′ (vi ).
40 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Die Bietfunktion
Diese Differenzialgleichung integrieren wir einfach auf
Z vi
Z vi
(N − 1)
ṽ N−1 d v˜i =
b ′ (ṽ )d ṽ = b(vi )
0
0
und erhalten
1 n vi n − 1 n
(N − 1) ṽ =
v = b ∗ (vi ).
n 0
n i
Der erwartete Ertrag dieser Auktion mit gleichverteilten Typen ist
Z 1
Z 1
n−1 n
n−1
E[ΠA ] = n
b(v )dv = n
vi dv =
.
n
n+1
0
0
Dies ist der gleiche Ertrag, den wir auch für die EPA & ZPA
hergeleitet haben. Die 4 Standardauktionen und dieser
Mechanismen liefern also völlig identische Erträge.
41 / 41
Mikro B
-
6. Standardauktionen
Allgemeines Offenbarungsprinzip Myerson-Satterthwaite Erstpreisauktion Zweitpreisauktion All-Pay Auktion
Warum?
Diese und eine Fülle anderer faszinierender Fragen werden im Kurs
◮
Auktionen & Märkte
besprochen. Der zuletzt behandelte Auktionstyp wird im Seminar
◮
Tournaments und Contests
weiter erläutert (beide im kommenden Herbstsemester).
Bis dahin bitte ich um etwas Geduld.
Danke für ihre Aufmerksamkeit!
42 / 41