Aufgaben

Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE
3. Jahrgang HUM
Rechnen mit Logarithmen
Wichtig: das Rechnen mit Logarithmen muss zuerst mit normalen Rechenaufgaben nach
den üblichen Lehrbuchaufgaben eingeübt werden!
Hier werden nun Anwendungen gezeigt, die diese Technik dann benötigen.
Logarithmische Rechengesetze, Theorie
a x = b  x = a log (b)
Basis 10 : 10 x = b  x = lg (b) Basis e: ex = b  x = ln (b)
Besonders hilfreich zu wissen, dass sich das Potenzieren mit einer variablen Hochzahl
( = exponieren) mit den Logarithmieren aufhebt, weil es Gegenrechenoperationen sind.
a log ( ax) = x
ln (ex) = x, lg (10x ) = x, eln(x) = x, 10 lg(x) = x
Umrechnung zwischen Logarithmen mit unterschiedlicher Basis e bzw. 10:
ln(x)=
lg(x)
lg(e)
und lg(x)=
ln(x)
ln(10)
Weil Logarithmen Hochzahlen sind, ergeben sich die Rechengesetze aus den Rechengesetzen für
Potenzen! Logarithmen aus negativen Zahlen sind nicht definiert!
a
log 1 = 0
a
log a = 1
a
log (x·y) = alog x + alog y (1)
a
log xn = n · alog x
a
log (x/y) = alog x – alog y (2)
a
1
log(n x)= a log(x)
n
(3)
(4)
4,B Evaluierung: Technik des Logarithmierens 1:
Zettel zu zweit ausfüllen, anschließend Kontrolle in der Klasse.
1. Schreibe als Summe oder Produkt mit « einfachen » Logarithmen.
a) lg(4x); lg(ac); lg(u3) ; lg(y²); lg(2ab2)
b) ln(5e); ln (uv/w); ln(x0,5) ; ln(3x) ; ln(b3/2)
Lösung: a) lg 4 + lg x, lg a + lg c, 3 lg u. 2 lg y, lg 2 + lg a + 2lg b
b) ln 5 + 1; ln u + ln v – ln w; 0,5 ln x; ln 3 + ln x; 3/2 ln b
c) -2/3 lg b; 3 – 0,5 ln z; 1/3 ·( lg q – 2 lg p); 4·(ln a – ln y); 1/3 (lg x + lg 4) – lg y
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4,B Evaluierung: Technik des Logarithmierens 2:
Zettel zu zweit ausfüllen, anschließend Kontrolle in der Klasse.
Formen Sie in einen logarithmischen Term um:
a) lg(x) + lg(3z); ln(y²) - ln(y)
b) lg(10b) - lg(100b); ln(e) - ln(e²)
3
2
1
c) lg(y); ln( ) - ln( )
4
x
x
1
d) 3lg( ) + lg(b²); ln(x) - 2ln(x)
b
Lösung:
a) lg ( 3xz) ; ln y
b) -lg (10) = -1; -ln e = -1
c) lg 4 y 3 ; ln2
d) ln(1/b); ln (1/x)
2, B Dateninformationen speichern
Ein Mikroprozessor im PC hat meist 8, 16, 32 oder 64 Leitungen, mit denen er eine Speicherzelle im
Speicher (RAM) ansteuert.
Jede Leitung kann 2 Zustände annehmen (Spannung ein - Spannung aus).
Bei n Leitungen können daher 2n Speicherzellen (s) im Speicher adressiert werden.
Berechne, wie viele Leitungen man braucht, um 65 536 Speicherzellen zu belegen.
Lösung:
2n = 65 536
n =
2
log(65536)
n = 16
Man braucht 16 Adressleitungen.
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2 B,C Lautstärke
Nach dem Gesetz von Weber-Fechner verhalten sich die subjektiven Sinneseindrücke wie
die Logarithmen der „objektiven“ Reizstärken.
Für die Lautstärke L (Einheit Dezibel, dB) gilt das folgende Gesetz:
L (I) = 10  lg
Io =
I
I0
I … Intensität des Schalls, angegeben in Einheit Watt pro Quadratmeter (W/m²)
W/m² … Intensität eines Tons, den man gerade noch wahrnehmen kann.
10 -12
a) Eine flüsternde Person erzeugt eine Schallintensität I = 102 10-12 W/m2 .
Berechne, um wie viele Einheiten sich die Lautstärke ändert, wenn 1, 2, 10, 20, 100, 200
bzw. 1000 Personen in einem ausreichend großen Saal flüstern.
Interpretiere, welche Aussage für die Verdopplung, bzw. die Verzehnfachung der
Schallintensität aus diesen Werten folgt.
b) Argumentiere, welche Lautstärken in dB zu den Schallintensitäten I gehören, wenn
I = I0, I = 2I0 bzw. I = 10Io.
c) Eine Pauke erzeugt eine Lautstärke von 110 dB. Berechne, wie viele Pauken mit jeweils
derselben Lautstärke gemeinsam gespielt werden müssten, damit die Schmerzgrenze von
130 dB erreicht wird?
d) Erkläre, welche Schallintensität I folgende Personen oder Gegenstände haben, deren
Lautstärke man kennt:
ein Flüsterer mit 20 dB, ein Motorrad mit 90 dB
ein Flugzeugmotor mit 125 dB, eine Rockband mit 130 dB?
e)Berechne wie viele Musiker es braucht um 3,8 dB mehr zu erzeugen, wenn 5 Musiker auf
120 dB kommen.
Lösung:
a) 1 Person flüstert:
L = 20 dB
2 Personen flüstern:
L ≈ 23 dB (1 Person = 1 P; 1 P + 3 dB)
10 Personen flüstern:
L = 30 dB (1 P + 10 dB)
20 Personen flüstern:
L ≈ 33 dB (10 P + 3 dB)
100 Personen flüstern: L = 40 dB (10 P + 10 dB)
200 Personen flüstern: L ≈ 43 dB (100 P + 3 dB)
1000 Personen flüstern: L= 50 dB (100 P + 10 dB)
Jeder Verdoppelung der Schallintensität entspricht eine Zunahme der Lautstärke um 3 dB,
jeder Verzehnfachung der Schallintensität eine Zunahme der Lautstärke um 10 dB.
b) Bei I = I0 ist die Lautstärke L = 0.
Doppelte Intensität I0 bedeutet ca. 3 dB, weil L = 10 · lg(2) ist.
Zehnfache Intensität I0 bewirkt die Lautstärke L = 10 dB, weil E(L) = 10 · lg(10) = 10 ist.
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c)
I
110  10  lg  
 I0 
 nI 
I
130  10  lg    10  lg n   10  lg    10  lg n   110
 I0 
 I0 
lg(n)  2
n  100
Es müssten 100 Pauken mit der Lautstärke von 110 dB gleichzeitig geschlagen werden, damit
die Schmerzgrenze erreicht wird.
d) Schallintensität I: man dividiert durch 10, diese Zahl wird auf die Basis 10 gesetzt und
ergibt das Vielfache der Intensität I0 .
ein Flüsterer mit 20 dB  I = 10² I0 W/m²
ein Motorrad mit 90 dB I = 109 I0 W/m²
ein Flugzeugmotor mit 125 dB  I = 1012.5 I0 W/m²
eine Rockband mit 130 dB  I = 1013 I0 W/m²
e) 5 Musiker 120…. 123,8 dB?
I
I
12,38 = lg(n)+lg( ) und 12 = lg(5)+lg( )
I0
I0
12,38-lg(n)=12-lg(5)
n=12
Man benötigt um 7 Musiker mehr, also insgesamt 12 Musiker.
(Andere Ansätze sind auch möglich….)
2, B Erdbeben
Erdbeben werden mit der „Richterskala“ gemessen. Der Richterskalenwert R hängt mit der
Intensität I von Erdstößen nach der folgenden Formel zusammen:
R  lg
I
I0
I0 ist die Intensität der normalen Erdvibrationen.
Berechne, um welchen Faktor die Intensität eines Erdbebens mit R = 3,6 größer ist als die
eines Erdbebens mit R = 2,4. Die Intensität von normalen Erdvibrationen nehmen wir mit der
Intensität 1 ( = 100%) an.
Lösung:
2,4 = lg(I)
I = 10 2,4 = 251,19
3,6 = lg(I)
I = 103,6 = 3981,07
Verhältnis der beiden: 15,85
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Das Erdbeben der Stärke 3,6 nach Richter ist ungefähr 16-mal stärker als ein Beben der
Stärke 2,4 nach Richter.
2 B,C,D pH = Säurewert von chemischen Lösungen
In der Chemie ist der pH-Wert definiert als der negative dekadische Logarithmus der
Oxonium-Konzentration [H3O+] in Mol pro Liter (mol/l).
Je kleiner der pH-Wert einer Flüssigkeit unter 7 ist, desto saurer ist eine Lösung.
Wasser mit pH_Wert = 7 ist neutral.
Flüssigkeiten mit einem pH-Wert über 7 sind zunehmend basisch (alkalisch).
a) Zeige allgemein, was mit dem pH-Wert einer Flüssigkeit passiert, wenn c =[H3O+] um den Faktor
100 erhöht wird. Veranschauliche dies anschließend an Wasser mit pH = 7.
b) Lackmus-Tinktur wird als Indikator für den pH-Wert verwendet. Eine damit gefärbte Flüssigkeit
erscheint im pH-Wert-Bereich bis 4,5 rot, ab 4,5 bis 8,3 violett und ab 8,3 blau.
Argumentiere, ob die Konzentration c von H3O+ größer oder kleiner wird, wenn ein Farbumschlag auf
blau eintritt, also von pH = 8,3 auf pH > 8,3.
Lösung:
a) c = [H3O+]
pH1 = - lg c
pH2 = -lg(100c) = - lg(100) - lg(c) = -2 + pH1
Der pH Wert sinkt um 2, die Lösung wird saurer.
Wasser
pH1 = 7  c1 = 10 -7 mol/l
c2 = 100c1 = 10 -5 mol/l
pH2 = 5
b)
pH = 8,3  c = 10 -8,3 mol/l
Der Farbumschlag nach blau tritt ein, wenn pH > 8,3 also zu pH = 9  c = 10 -9 mol/l
Die Konzentration von H3O+ muss verringert werden.
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