1 Prolog

Ergänzungen zur Theoretischen Informatik
Vorlesung 5 – 10.05.2013
Themen Prädikatenlogik erster Stufe, Formeln, Aussagen, Struktur, Modell, Überblick Unentscheidbarkeit, Herbrand–Universum und –Expansion, Endlichkeitssatz,
Algorithmus von Gilmore, Prolog
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Prolog
Prolog ist eine Logikbasierte Programmiersprache. Als Berechnungsmodell wird die
Prädikatenlogik herangezogen, um Probleme zu beschreiben, und dann automatisiert
Lösungen dafür zu finden.
Da die Prädikatenlogik bekanntermaßen unentscheidbar ist, muss man sich dabei
allerdings etwas beschränken; im Falle von Prolog auf Hornformeln. Diese Einschränkung ist zum Beispiel auch dafür verantwortlich, dass es keinen echten NegationsOperator gibt – dennoch kann man viele Probleme elegant Lösen.
1.1
Installation
Es gibt verschiedene Implementierungen der Sprache Prolog. Für unsere Zwecke gut
geeignet ist SWI-Prolog, alle folgenden Beispiele beziehen sich darauf. Auf den Poolrechnern ist es leider nicht installiert, aber auf dem Server marvin. Die Interpreter
Konsole swipl lässt sich auf ssh -X username@marvin öffnen. Die -X Option aktiviert das Tunneln von graphischen Fensterinhalten – gehen Sie bitte sparsam mit
Fenstern um.
Unter Ubuntu installiere apt-get install swi-prolog-x. Für andere Linuxe muss
man es evtl. selbst kompilieren, bei Arch Linux aus dem AUR als swi-prolog. Nach
erfolgreicher Installation startet der Befehl swipl den interaktiven Interpreter, in
dem die folgenden Beispiele ausgeführt werden.
Windows-Nutzer finden dort: http://www.swi-prolog.org/download/stable einen
Installer. Das Programm swipl-win.exe sollte ebenfalls einen interaktiven Interpreter öffnen.
Die Hilfe-Funktion lässt sich mittels Eingabe von apropos(Suchbegriff). verwenden.
1.2
Erste Abfragen
Dem interaktiven Interpreter können nun Fragen gestellt werden, die dieser zu
Beweisen versucht. Als sog. Zielklauseln wird direkt die Matrix einer Skolemform
eingegeben. Daher sind Variablen (Großbuchstaben) All–quantifiziert. Möchte man
Konstanten des Universums in einer Eingabe spezifizieren sind Kleinbuchstaben zu
verwenden (z.B. eva, green oder null).
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Für die Eingabe von Zielklauseln steht schon eine gewisse Auswahl an vordefinierten
Prädikaten mit fester Interpetation zu verfügung (z.B. über Zahlen). Man kann den
Interpreter als Taschenrechner verwenden:
?− X i s 6 ∗ 7 .
Als Ausgabe erhält man eine Unifikation, der All-quantifizierten Variablen X unter
der die Abfrage wahr wird. Das liegt daran, dass der Interpreter bei der Eingabe
von ∀X(falsch ⇐= Is(X, 6 ∗ 7) durch Resolution unter Verwendung der Unifikation
X = 42 die leere Klausel herleiten kann.
Nun eine etwas komplexere Abfrage: Gibt es Zahlen 5 ≤ X ≤ 50, 10 ≤ Y ≤ 50,
deren Summe kleiner als 20 ist? Kommata zwischen Zielklauseln sind ein logisches
und.
?− between ( 5 , 5 0 , X) , between ( 1 0 , 5 0 , Y) , Z i s X + Y, Z < 2 0 .
Wieder erhält man als Antwort eine mögliche Kombination von Werten. Nun gibt
es aber mehrere Lösungen – weitere erhält man mit ;.
?− between ( 5 , 5 0 , X) , between ( 1 0 , 5 0 , Y) , Z i s X + Y, Z < 1 2 .
Für diese Abfrage findet Prolog keine passende Unifikation, und antwortet false..
Dies heißt aber noch nicht, das die Abfrage nachweislich falsch war! (Vgl. Nur ein
Semi–Entscheidungsverfahren) In diesem Falle ist sie es aber.
1.3
Erste Programme
Für komplexere Probleme muss man Prolog neue Aussagen, aus denen gefolgert
werden kann, in die Wissensdatenbank eingeben.
?− c o n s u l t ( u s e r ) .
| : g g t (A, 0 , A ) .
| : g g t (A, B, X) :− between ( 1 , i n f , B) , C i s A mod B, g g t (B, C, X ) .
consult(user). wechselt in einen anderen Eingabemodus, in dem Informationen für die
Wissensdatenbank angenommen werden – In diesem Beispiel die, das der ggT einer Zahl
und 0 die Zahl selbst ist, und das eine Zahl X der ggT vom A und B ist, wenn B eine
positve Zahl ist und X der ggT von A und A mod B ist. (Dies ergibt den euklidischen
Algorithmus bei Verwendung der Resolution).
Nachdem man die Eingabe mit Ctrl-D beendet hat, werden die Klauseln kompiliert und
stehen für Abfragen zur Verfügung.
Nicht nur das Berechnen des ggT (ggt(123456789,987654321, X).), sondern auch das
finden von Zahlen mit einem bestimmten ggT (ggt(35, X, 7).) ist möglich.
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1.3.1
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Klauselform
Die Prolog-Klauseln erinnern nur entfernt an prädikatenlogische Klauseln: es tauchen beispielsweise keine Quantoren auf. Dies ist der Tatsache geschuldet, das Prolog die Eingabe
von Hornklauseln erzwingt, in dem eine geeignete Normalform gewählt wird.
Diese ist hier die Matrix der Skolemform einer Hornklausel. Das obige ggT-Beispiel würde
also in etwas ausführlicherer Notation etwa so aussehen:
∀A ∀B ∀X ∀C between(1, ∞, B) ∧ C = A mod B ∧ ggT (B, C, X) ⇒ ggT (A, B, X)
1.3.2
Universum und Strukturen
In welchem Universum sucht Prolog eigentlich nach der ¨ Lösung¨ ? Um das herauszufinden, verlassen wir kurz die vordefinierten Prädikate, und verwenden nur selbst definierte
Logik. Wir definieren ein Zahlensystem ähnlich N und eine <-Relation. Dazu benutzen
wir die selbst definierte Successor -Funktion s(...), die je die nächsthöhere Zahl liefern
soll.
zahl ( null ) .
z a h l ( s (X) ) :− z a h l (X ) .
k l e i n e r ( n u l l , X) :− z a h l (X ) .
k l e i n e r ( s (X) , s (Y) ) :− k l e i n e r (X, Y ) .
%
%
%
%
%
N u l l i s t e i n e Zahl .
F a l l s X Zahl , dann auch X+1
N u l l i s t <= j e d e r Zahl .
Falls X < Y ,
dann auch X+1 < Y+1.
Nun ist nicht einmal klar, wie unsere Zahlen ausschauen. Aber wir können ja ein paar
Zahlen ausgeben lassen: ?- zahl(X). (und ein paar mal ;).
Prolog verwendet also das Herbrand–Universum. Denn falls es eine Struktur geben sollte,
die Modell ist, so ist diese dort auf jeden Fall zu finden – und es sind keinerlei weitere
Informationen über Konstanten und Funktionen nötig.
Das für eine Struktur nötige Universum und die Interpretation der Funktionen sind damit also schon bekannt, offen bleibt noch, welche Bedeutungen den Prädikten zugeordnet
wurden. Tatsächlich ist das aber gar nicht bekannt; Prolog stellt mit Resolution fest, ob
eine Aussage erfüllbar ist, ohne die bedeutung der Prädikte zu kennen. Die Bedeutung
ergibt sich aus den Beziehungen zueinander, die als Klauseln angegeben wurden.
Wenn Prolog durch Resolution zu einer Lösung gekommen ist, werden die dazu verwendeten Unifikationen ausgegeben. Durch Anwenden der Unifikationen auf die Klauseln erhält
man die Teilmenge der Herbrand-Expansion, bei der Prolog die Unerfüllbarkeit festgestellt
hat, und so die Wahrheit der Abfrage beweisen konnte.
Man kann beobachten, wie Prolog verschiedene Elemente der Herbrand-Expansion testet,
indem man mit gtrace. den grafischen Debugger aktiviert und dann eine Abfrage (z. B.
kleiner(X, s(s(null))), kleiner(s(null), X).) durchführt.
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1.4
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Was kann man damit tun?
Zum Abschluss ein richtiges Prolog-Programm, das Sudokus löst. Es verwendet eine Library für Constraint Logic Programming over Finite Domains – diese enthält einige vordefinierte Prädikate, mit denen Prolog sehr effektiv arbeiten kann (Denn ohne diese ist es
einfach, in Prolog korrekte Programme zu schreiben, die sehr langsam sind.) Ansonsten
ändert sich nichts am Prinzip der Programmierung.
sudoku ( Rows ) :−
l e n g t h ( Rows , 9 ) , m a p l i s t ( l e n g t h ( 9 ) , Rows ) ,
append ( Rows , Vs ) , Vs i n s 1 . . 9 ,
m a p l i s t ( a l l d i s t i n c t , Rows ) ,
t r a n s p o s e ( Rows , Columns ) , m a p l i s t ( a l l d i s t i n c t , Columns ) ,
Rows = [ A, B, C, D, E , F ,G, H, I ] ,
b l o c k s (A, B, C) , b l o c k s (D, E , F ) , b l o c k s (G, H, I ) ,
m a p l i s t ( w r i t e l n , Rows ) .
l e n g t h (L , Ls ) :− l e n g t h ( Ls , L ) .
blocks ( [ ] , [ ] , [ ] ) .
b l o c k s ( [ A, B, C| Bs1 ] , [ D, E , F | Bs2 ] , [G, H, I | Bs3 ] ) :−
a l l d i s t i n c t ( [ A, B, C, D, E , F ,G, H, I ] ) ,
b l o c k s ( Bs1 , Bs2 , Bs3 ) .
Der komplette Code kann von der Veranstaltungswebseite heruntergeladen und mit
consult(’sudoku.prolog’). geladen werden. Das Programm verwendet Listen von Variablen, über die rekursive Aussagen gemacht werden können. Anders als bisher wird das
Ergebnis mit dem Prädikat writeln ausgeben, die unbenannten Variablen können dann
alle mit _ bezeichnet werden, dadurch werden ihre Unifikationen nicht ausgegeben.
Die Datei enthält auch ein Prädikat, das ein Sudoku definiert und die Lösung ausgibt, es
kann mit test. ausgeführt werden.
Aufgaben
1. Suchen Sie ein Sudoku online und lößen Sie es mit diesem Programm.
2. Verwenden Sie die Hilfe von swipl um die Funktionsweise des Sudoku–Prädikates nachzuvollziehen. Kommentieren Sie jede Zeile.
3. Schreiben Sie ein eigenes Prädikat welches das folgende 4 × 4–Sudoku lößt.
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3
4
2
4
2
4. Erkennen Sie eine besondere Form in den Zeilen der Lösung?
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