A = BBA BA

Logik
Warum ist die Tabelle schwer zu schlucken?
In der Umgangssprache benutzt man
daraus folgt, also, impliziert, wenn …dann,
nur für kausale Zusammenhänge
Implikation
Logik
A
B A
0
0
1
Ein kausaler Zusammenhang entspricht
einer speziellen wahren Implikation.
0
1
1
1
0
0
1
1
1
B
Eine Implikation der Form:
Wenn Konstanz eine Uni hat, dann ist Wasser nass.
ist im Sinne der Aussagenlogik wahr, gefühlsmäßig aber
nicht, da es keinen kausalen Zusammenhang gibt.
Logik
Implikation
Implikation
Beispiel:
Wenn es regnet, dann wird die Erde nass.
A
A
B A
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
B
B
Wenn A wahr ist dann ist B zwangsläufig auch wahr.
Wir sagen B ist notwendig für A und A ist hinreichend für B.
… es könnte ja noch andere Gründe für B geben.
Logik
Analyse einer Schlussregel
Die Argumentation des Technikers:
Zusammenfassung:
Aussagenlogik arbeitet unabhängig vom
Inhalt der Aussagen und muss deshalb
auch alltagssprachlich unübliche
Implikationen zulassen.
A
B A
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
B
Bei diesem Fehler liegt eine Taktstörung im zentralen
Celurgabuffer oder ein Kriechstrom in der Phylasensorik
vor.
Die Taktstörung ist es diesmal nicht.
Also haben wir einen Kriechstrom in der Sensorik.
entspricht der Verknüpfung: ( A ∨ B ) ∧ (¬A)
Die Wahrheitswerte sind aber so zugeordnet, dass
übliche Implikationen (kausale Zusammenhänge)
korrekt behandelt werden.
A = Es liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer vor.
Bem.: An und bzw. oder stellt die Alltagssprache weniger Anforderungen.
B = Es liegt ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor.
Logik
Logik
Analyse einer Schlussregel
( A ∨ B ) ∧ (¬A)
B
mit:
Analyse einer Schlussregel
( A ∨ B ) ∧ (¬A)
A( p) = Die Zahl p ist gerade.
A = Der Hund bellt.
B( p) = Die Zahl p ist eine Primzahl.
B = Die Karawane zieht weiter.
Wenn p eine gerade Zahl oder eine Primzahl ist
B
B
Da der Hund bellt oder die Karawane weiterzieht
und p ungeade ist,
und der Hund nicht bellt,
dann ist p eine Primzahl.
zieht die Karawane weiter.
1
Logik
Analyse einer Schlussregel
Wir empfinden ( A ∨ B ) ∧ (¬A)
unabhängig vom konkreten Inhalt
der Elementaraussagen A, B als korrekten Schluss.
( A ∨ B) ∧ ¬A
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
Logik
Tautologische Implikationen
B)
Analyse einer Schlussregel
B
Unsere Schlussregel ( A ∨ B ) ∧ (¬A)
ist eine Tautologie, d.h. eine Aussageverknüpfung, die
unabhängig vom Inhalt und den Wahrheitswerten der
beteiligten Elementaraussagen stets wahr ist.
B
0
Beispiel: A ∧ ( A
Logik
B
B
immer erst ausprobieren (experimentieren, spielen) …
Es zeigt sich:
korrekte logische Schlüsse entsprechen jeweils
tautologischen Implikationen.
Logik
Tautologische Implikationen
B ) B ein logisch korrekter Schluss ist,
Ob A ∧ ( A
lässt sich nachrechnen.
A = Das Seil reißt.
A
B = Armin fällt.
ergibt:
Das Seil reißt und wenn das Seil reißt, fällt Armin.
Also fällt Armin.
∧ (A
B)
B
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
korrekter Schluss?
Logik
Tautologische Äquivalenzen
Beim Umformen von Aussagen helfen
tautologische Äquivalenzen
Logik
äquivalent-Verknüpfung
Die äquivalent-Verknüpfung:
Zwei Aussagen sind äquivalent, wenn sie den selben
Wahrheitswert haben
Beispiel:
A = Ich bin besoffen.
A⇔ B
B = Ich bin müde.
A
B
Dann sind:
0
0
1
¬( A ∧ B) Müde und besoffen bin ich nicht.
(¬A) ∨ (¬B) Ich bin nicht müde oder ich bin nicht besoffen.
0
1
0
1
0
0
1
1
1
sinngemäß identisch, d.h. äquivalent
(Regel von de Morgan)
2
Logik
Tautologische Äquivalenzen
Die intuitive Äquivalenz von:
¬( A ∧ B) Müde und besoffen bin ich nicht.
(¬A) ∨ (¬B) Ich bin nicht müde oder ich bin nicht besoffen.
Logik
Tautologische Äquivalenzen
Beispiel: A ⇔ ¬(¬A) ist stets wahr
also eine tautologische Äquivalenz
lässt sich durch Nachrechnen bestätigen:
¬ ( A ∧ B) ⇔
¬A ∨
¬B
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
Logik
Kontradiktion
Tautologie: Aussage die stets wahr ist.
A ∧ (¬A)
∧
¬A
0
0
1
1
0
0
Beispiel:
1
1
1
0
x ∉ [0,1] ⇔ x < 0 ∨ x > 1
ist stets wahr
¬( x ∈ [0,1])
[0,1] = { x
Aussageformen
x ∉ [0,1] ⇔ x < 0 ∨ x > 1
0
1
Aussageformen
benutzte Tautologie:
Logik
1
Logik
Beispiel:
(spielen … A = Ich mag Logik.)
A
⇔
0
Tautologien und Kontradiktionen lassen sich auch
auf Aussageformen anwenden, da sie unabhängig
vom Wahrheitswert der beteiligten Aussagen wahr
bzw. falsch sind.
Kontradiktion: Aussage die stets falsch ist.
Beispiel:
¬ ¬A
A
0 ≤ x ∧ x ≤ 1}
¬( A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B)
Logik
Aussageformen
ist stets wahr
hilfreiche Notation: Allquantor
∀x ∈ R : x ∉ [0,1] ⇔ x < 0 ∨ x > 1
Beispiele:
∀x : x = x ist wahr
∀x, y ∈ R : x + y = y + x
∀x, y ∈ R : x > y
∀n ∈ N : n gerade
ist wahr
ist falsch
n 2 gerade ist wahr
Lies: für alle x in der Menge R gilt …
generell: ∀x : A( x) ist eine Aussage, die wahr ist,
wenn A(x) für alle zuglässigen x wahr ist.
3
Logik
Aussageformen
Logik
Aussageformen
(
hilfreiche Notation: Existenzquantor
)
… also: ¬ ∃x ∈ R : x 2 = −1
∃x ∈ R : x = −1
2
… äquivalent formuliert:
ist wahr
∀x ∈ R : x 2 ≠ −1 ist wahr
tautologische Äquivalenz: ¬(∃x : A( x ) ) ⇔ ∀x : ¬A( x )
Lies: es existiert ein x in der Menge R so dass …
generell: ∃x : A( x) ist eine Aussage, die wahr ist,
wenn A(x) für ein zuglässiges x wahr ist.
genauso: ¬(∀x : A( x) ) ⇔ ∃x : ¬A( x)
experimentieren …!
Beispiel: ∃x ∈ R : x = −1 ist falsch
2
Logik
Aussageformen
A = Niemand mag mich.
… äquivalent formuliert mit:
Eine Folge
Vorsicht: Quantoren vertauschen nicht ohne weiteres
∀Männer M : ∃Frau F : A( F , M )
Frage: wann ist ( f n ) nicht gleichmäßig gleichgradig stetig?
∃ε > 0 : ∀δ > 0 : ∃x0 ∈ ( a, b) : ∃x ∈ (a, b), x − x0 < δ : ∃n ∈ N : f n ( x ) − f n ( x0 ) ≥ ε
Aussageformen
A( F , M ) = F hat was mit M.
von Funktionen f n : ( a, b) → R
∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x0 ∈ ( a, b) : ∀x ∈ ( a, b), x − x0 < δ : ∀n ∈ N : f n ( x ) − f n ( x0 ) < ε
¬A ⇔ ∃Person x : M ( x)
Logik
( fn )
heißt gleichmäßig gleichgradig stetig, wenn
A ⇔ ∀Personen x : ¬M ( x)
Achtung: die Negation von A ist nicht gleichbedeutend
mit der Aussage „Alle mögen mich.”, sondern
Beispiel:
Aussageformen
Beispiel: gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit
M(x) = x mag mich
A ⇔ ¬(∃Person x : M ( x))
bzw.
Logik
Logik
Zusammenfassung
Eine Aussage ist ein Sachverhalt, der entweder wahr oder
falsch ist.
Durch Verknüpfung von Aussage(forme)n mit Junktoren
entstehen weitere Aussage(forme)n.
Durch Quantoren werden Aussageformen zu Aussagen.
ist nicht äquivalent mit
Der Wahrheitswert einer Verknüpfung folgt aus der
entsprechenden Wahrheitstabelle.
∃Frau F : ∀Männer M : A( F , M )
Logische Schlussfolgerungen entsprechen tautologischen
Implikationen.
Aussage(forme)n lassen sich umformen mit Hilfe von
tautologischen Äquivalenzen.
4
Mengentheorie
µ
ϑ
ε
γ
⇔
∇
Mengentheorie
Φ
Σ
δ
Ψ
⊆
Menge und Element sind Grundbegriffe der Theorie.
∞
Die Fragen: „Was ist eine Menge?“
„Was ist ein Element?“
β
werden nicht diskutiert. Statt dessen wird spezifiziert,
wie man mit Mengen und Elementen arbeitet.
∀
ξ
Analog:
Reelle Zahlen (Analysis)
Kurzer Ausflug
Masse, Gravitation (klassische Mechanik)
Mengentheorie
Arbeitsanweisungen in Form von Axiomen:
{
}
Schreibweise: B = x ∈ M A( x )
M1: Es gibt eine Menge.
vereinbarungsgemäß
wahre Aussagen
{x∈M
M3: Zu jeder Menge M und jeder Aussageform A(x) gibt
es eine Menge B, die genau jene Elemente enthält,
für welche die Aussage A(x) wahr ist.
Mengentheorie
A( x) = ( x ≠ x)
Beispiel:
M2: Zwei Mengen sind genau dann gleich,
wenn sie die gleichen Elemente haben.
M Menge
x ≠ x } ist eine Menge ohne Elemente
die sogenannte leere Menge
{}
Kurzer Ausflug
µ
A( x) = ( x > 0 ∧ x < 1)
{x∈R
A(x) } = (0,1)
offenes Intervall (ohne Endpunkte)
Beispiel:
Kurzer Ausflug
M3 heißt Aussonderungsaxiom.
Auszug:
Beispiel:
Punkte, Geraden,… (Geometrie)
Wahscheinlichkeit (Wahrscheinlichkeitstheorie)
Ω
Mengentheorie
Kurzer Ausflug
A( n) = ∃k ∈ N : n = 2k
{n∈ N
A( n) } Menge der geraden Zahlen
ϑ
Φ
γ
⇔
∇
∞
Beweise
ε
Σ
δ
Ψ
⊆
β
ξ
∀
Ω
5
Beweise
Einführung
Als Beweis einer Aussage bezeichnet man eine Folge von
logischen Schlüssen, die zeigt, dass die Aussage wahr ist.
Beweise
Beispiel
Satz: Sei n eine gerade Zahl.
Dann ist auch n 2 gerade.
Eine wahre Aussage heißt auch Satz oder Theorem.
äquivalente Formulierung mit
Ein Hauptsatz ist ein besonders bedeutender Satz.
G = { n ∈ N ∃k ∈ N : n = 2k }
Ein Lemma ist ein Hilfssatz in einem längeren Beweis.
Satz:
Ein Korollar ist eine Folgerung aus einem zuvor
bewiesenen Satz.
Beweise
Beispiel
∀ n : n ∈G
n2 ∈ G
Beweise
Diskussion
Diskussion: Die Aussage ist von der typischen Form:
∀x ∈ M : A( x )
Beweis: Sei n ∈ G.
Dann gibt es ein k ∈ N mit n = 2k .
Zu zeigen:
A( x )
B ( x)
B( x ) ist wahr für alle x ∈ M
2
2
Also ist n = ( 2k )( 2k ) = 2( 2k ) ,
d.h. mit m = 2k 2 ∈ N ,
folgt n 2 = 2m ∈ G.
A
B A
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
B
Beweisende
Es genügt zu zeigen, dass
B(x) nicht falsch ist,
wenn A(x) wahr ist.
bzw. dass B(x) wahr ist, wenn A(x) wahr ist.
Beweise
Diskussion
Beweise
Diskussion
Der Nachweis wird in geeignete Beweisschritte zerlegt.
Wenn A(x) und die Implikation A( x)
Jeder Schritt hat die Form einer wahren Implikation.
dann zeigt die Tabelle, dass Z1 ( x) wahr ist.
A( x )
Z1 ( x ), Z1 ( x )
Z 2 ( x),
, Z m ( x)
B ( x)
Mehrfache Anwendung ergibt, dass
Z 2 ( x), Z 3 ( x),
Als wahre Implikationen dienen Definitionen und Sätze.
, Z m ( x), B( x)
Z1 ( x) wahr sind,
A
B A
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
B
wahr sind.
6
Beweise
Direkter Beweis
Kontraposition
Weitere Strategie: Beweis durch Kontraposition
Benutzte Strategie: direkter Beweis
zum Beweis von ∀x ∈ M : A( x )
Beweise
Benutzt die Tautologie ( A
B ( x)
B ) ⇔ (¬B
¬A)
nimm an, dass A(x) wahr ist und zeige,
Beispiel:
mit geeigneten Beweisschritten,
Wenn der Schalter schließt, dann leuchtet die Lampe.
dass B(x) wahr ist.
Kontraposition:
Wenn die Lampe aus ist, dann ist der Schalter offen.
Beweise
Beispiel
Satz: Sei n 2 eine gerade Zahl.
Dann ist auch n gerade.
Dann gibt es ein k ∈ N mit n = 2k − 1.
2
2
2
Also ist n = ( 2k − 1) = 2( 2k − 2k ) + 1,
G = { n ∈ N ∃k ∈ N : n = 2k }
∀ n : n2 ∈ G
d.h. mit m = 2k 2 − 2k ∈ N ,
n∈G
Kontraposition: ∀ n ∈ N : n ∉ G
Beispiel
Beweis: Sei n ∉ G , also ungerade.
äquivalente Formulierung mit
Satz:
Beweise
Folgt n 2 = 2m + 1 ∉ G .
n2 ∉ G
Beweise
w.z.b.w.
was zu beweisen war
Kontraposition
Diskussion: Ein direkter Beweis wäre hier schwieriger
da n 2 ∈ G also n 2 = 2k
nicht direkt etwas über n aussagt.
Andererseits haben wir eine genaue
Charakterisierung der Zahlen n ∉ G
so dass wir eine Argumentationskette
starten können.
Bem.: Welche Strategie zum Erfolg führt muss ausprobiert werden!
7