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Höhere Mathematik 1 /Stochastik 1 Master KI/PI Probeklausur WS 14/15
Prof. Dr. B. Grabowski
Dauer: 120 Minuten,
Name:
Matr. Nr.:
Lösen Sie 5 (beliebige) Aufgaben der folgenden 9 Aufgaben!
(Wenn Sie mehr Aufgaben lösen, werden die 6 in die Bewertung einbezogen, für die
Sie die meisten Punkte erhalten haben.)
Aufgabe 1) (Logik und Mengenlehre) (20 Punkte)
a) Bilden Sie die Negation der Aussage ∀x ∈ G∃y ∈ M : p ( y ) ⇒ ( q ( x ) ∨ ¬a ( x )) so, dass
kein Implikationszeichen mehr vorkommt.
b) Welche der drei folgenden Aussagen sind äquivalent zur Implikation:
„Wenn x2 < 1 ist, dann ist x keine ganze Zahl“ ?
1. Wenn x2 ≥ 1 ist, so ist x eine ganze Zahl
2. Wenn x eine ganze Zahl ist, so ist x2 ≥ 1
3. Wenn x keine ganze Zahl ist, so ist x2 < 1
c) Vereinfachen Sie unter Verwendung der Gesetze der Mengenalgebra die Darstellung
folgender Mengen! Begründen Sie jeden Umformungsschritt!
__________________________
_______________
(( A ∩ B) ∪ C ) ∩ B )
d) Seien A, B und C drei Teilmengen der Grundmenge Ω={1,3,4,5,6,7,8}.
A∩B={3}, A\B={1,7}, A∩C={ 1,7}, C={1,5,6,7,8}, A∪B = { 1,3,4,5,6,7}.
Geben Sie folgende Mengen an :
1. A \C
2. ( B ∩ C ) ∪ A
e) Stellen Sie das reelle Zahlen-Intervall (a,b] nur durch Anwendung der
Mengenoperationen ∩, ∪ und der Komplementbildung aus halboffenen Intervallen der
Form (-∞, x], x ∈R dar! (Kein \ verwenden!)
Aufgabe 2) (Klassische Wahrscheinlichkeit) (20 Punkte)
1
Aufgabe 3) (Stochastische Unabhängigkeit/Bool‘sche Zuverlässigkeit) (20 Punkte)
Gegeben Sie folgendes Gerät, welches aus 3 Teilsystemen besteht.
Dieses Gerät arbeitet wie eine Reihen- Parallelschaltung:
Das Gerät ist OK, wenn E1 und E2 OK sind, oder wenn E3 OK ist.
Alle 3 Teilsysteme E1, E2 und E3 arbeiten stochastisch unabhängig voneinander, bzw.
fallen unabhängig voneinander aus.
E1 und E2 fallen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit q=0.1 aus.
Das Gerät selbst fällt mit 1 % iger Wahrscheinlichkeit aus.
Wie groß ist dann die Ausfallwahrscheinlichkeit von E3?
Aufgabe 4) (Rechenregeln zum Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten) (20 Punkte)
Ein Student bewirbt sich bei zwei Firmen A und B. Es ist bekannt, dass die Chance, von
Firma A ein Einladungsgespräch zu bekommen gleich 30% ist und bei Firma B nur 10 % aller
Bewerber zu einem Gespräch eingeladen werden. Nur 4% aller Bewerber werden von beiden
Firmen eingeladen.
Berechnen Sie aus diesen Angaben die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bewerber
a)
b)
c)
d)
e)
Von mindestens einer der beiden Firmen eingeladen wird
Von höchstens einer der beiden Firmen eingeladen wird
Von nur einer der beiden Firmen eingeladen wird
Von keiner Firma eingeladen wird
Sind die Einladungschancen beider Firmen stochastisch unabhängig voneinander?
Aufgabe 5) (Satz von Bayes für n=2 oder n=3 ) (20 Punkte)
a)
b) Der Detektor gibt für eine Person aus der in a) genannten Gruppe ein grünes Signal.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Person schuldig?
2
Aufgabe 6) (Rechnen und Aufstellen diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen,
Berechnung von Erwartungswerten und Wahrscheinlichkeiten) (20 Punkte)
a) Ein Student wirft 5 mal einen Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass er mehr dabei mehr als eine ‚6‘ würfelt?
b) Ein Server fällt pro Jahr ab- und zu aus. Folgende Tabelle zeigt die
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl X der Ausfälle eines Servers pro Jahr.
Ausfälle
0
Wahrscheinlichkeit 0,8
1
0,15
2
0,05
>2
0
Bei jedem Ausfall entstehen Kosten in Höhe von 600 Euro. Wie hoch sind die
erwarteten (mittleren) Kosten pro Jahr, die durch die Serverausfälle entstehen?
Aufgabe 7) (Algorithmus zur Erzeugung von Zufallszahlen und stochastische
Integration) (20 Punkte)
Geben Sie einen Algorithmus an (Pseudosprache) mit welchem Sie mittels Zufallszahlen
(Monte-Carlo-Simulation) folgendes Integral ausrechnen können:
3
I = ∫ ( x 2 − 2)dx
2
Aufgabe 8) (Geometrische Verteilung)(20 Punkte)
Man würfelt mit 2 Würfeln. Sei X die Anzahl der Versuche, die notwendig sind, bis zum
ersten mal die Summe der Augenzahlen > 4 ist.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bereits im ersten Versuch X>4 ist?
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X!
c) Wieviele Versuche muss man im Schnitt machen, bis der Fall X> 4 zum ersten Mal
eintritt?
Aufgabe 9) (Aufstellen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (oder Binomialverteilung))
(20 Punkte)
Sei V der Versuch: „würfeln mit 2 Würfeln“. Sei X die Summe der Augenzahlen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 3 maliger Durchführung von V
kein mal X>4 ist?
b) Man führt den Versuch V drei mal durch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass 2 mal X>4 und 1 mal X≤ 4 ist?
3