Teil 1 Mathematische Grundlagen

Teil 1
Mathematische Grundlagen
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1.1
Aussagenlogik
Aussage und Axiom
Aussage: sprachlicher Ausdruck mit eindeutigem Wahrheitswert w ( wahr“) bzw. f ( falsch“)
”
”
A:
Beschreibung
Axiom: grundlegende nicht aus anderen Aussagen ableitbare Aussage
Logische Operationen
Negation
Konjunktion
Disjunktion
Implikation
Äquivalenz
¬A
A∧B
A∨B
A⇒B
A⇔B
nicht A
A und B
A oder B
aus A folgt B
A ist äquivalent zu B
Umformungsregeln für logische Operationen
Assoziativgesetze
(A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C),
(A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C)
Kommutativgesetze
A ∧ B = B ∧ A,
A∨B =B∨A
De Morgansche Regeln
¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B),
¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B)
Distributivgesetze
(A ∧ B) ∨ C = (A ∨ C) ∧ (B ∨ C),
(A ∨ B) ∧ C = (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)
äquivalente Darstellung der Implikation: ¬A ∨ B
Quantoren
Existenzquantor und Allquantor
∃: es gibt . . .“, ∀: für alle . . .“
”
”
Negation
Vertauschung der Quantoren
¬ ∃ p ∈ P : A(p) = ∀ p ∈ P : ¬A(p)
¬ ∀ p ∈ P : A(p) = ∃ p ∈ P : ¬A(p)
Direkter Beweis
Herleitung einer Behauptung B aus bekannten wahren Aussagen A
A =⇒ B
gegebenenfalls Berücksichtigung von Voraussetzungen
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Indirekter Beweis
Herleitung einer Aussage B aus Voraussetzungen V durch Folgern eines Widerspruchs aus der Annahme,
dass die Aussage B bei Gültigkeit der Voraussetzungen V falsch ist:
V ∧ (¬B) =⇒ F
mit einer falschen Aussage F , insbesondere F = ¬V oder F = B
Vollständige Induktion
Beweis von parameterabhängigen Aussagen A(n), n ∈ N
• Induktionsanfang: zeige A(1)
• Induktionsschluss: zeige A(n) =⇒ A(n + 1)
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1.2
Mengen
Menge
Menge mit Elementen ak bzw. a
A = {a1 , a2 , . . .},
a∈A
a∈
/A
A ⊆ B (⊂)
|A|
∅
A = {a : a besitzt die Eigenschaft E}
a ist Element von A
a ist nicht Element von A
A ist (echte) Teilmenge von B
Anzahl der Elemente in A
leere Menge
natürliche, ganze, rationale, relle und komplexe Zahlen
N, Z, Q, R, C
Mengenoperationen
Vereinigung
A∪B
Durchschnitt
A∩B
Differenz, Komplementärmenge A \ B
Regeln für Mengenoperationen
Assoziativgesetze
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Kommutativgesetze
A ∩ B = B ∩ A,
A∪B =B∪A
De Morgansche Regeln
C\(A ∩ B) = (C\A) ∪ (C\B),
C\(A ∪ B) = (C\A) ∩ (C\B)
Distributivgesetze
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Kartesisches Produkt
geordnete Paare von Elementen zweier Mengen
A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}
n-Tupel: (a1 , . . . , an ) ∈ A1 × · · · × An
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Relation
Beziehung zwischen Elementen zweier Mengen
a R b ⇔ (a, b) ∈ R ⊆ A × B
Eigenschaften von Relationen
reflexiv
symmetrisch
antisymmetrisch
transitiv
total
(a, a) ∈ R
(a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R
(a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b
(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R
(a, b) ∈ R ∨ (b, a) ∈ R
Äquivalenzrelation (a ∼ b): reflexiv, symmetrisch und transitiv
Partition der Grundmenge in disjunkte Äquivalenzklassen
Halbordnung (a ≤ b): reflexiv, antisymmetrisch und transitiv
Ordnung: zusätzlich total
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1.3
Abbildungen
Abbildung
eindeutige Zuordnung
f : A −→ B,
a 7→ b = f (a)
Bild: f (U ), Urbild: f −1 (V )
Eigenschaften von Abbildungen
injektiv
∀a 6= a0 ∈ A : f (a) 6= f (a0 )
surjektiv
∀b ∈ B ∃ a ∈ A : f (a) = b
bijektiv: injektiv und surjektiv
Verknüpfung von Abbildungen
Hintereinanderschaltung von f : A → B und g : B → C
a 7→ (g ◦ f )(a) = g(f (a))
assoziativ aber i.a. nicht kommutativ
Inverse Abbildung
Umkehrung f −1 einer bijektiven Abbildung f : A → B
b = f (a) ⇔ a = f −1 (b)
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1.4
Kombinatorik
Fakultät
Anzahl der Permutationen von n Elementen
n! = 1 · 2 · · · n
Stirlingsche Formel
n! =
n n
√
2πn
1 + O(1/n)
e
Binomialkoeffizient
Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer Menge mit n Elementen
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
n
n!
=
=
(n − k)!k!
1 · · · (k − 2)(k − 1)k
k
Pascalsches Dreieck
Rekursion für Binomialkoeffizienten
n+1
k
=
n
n
+
k−1
k
Dreiecksschema
0
k
1
1
k
1
2
k
1
1
3
k
1
4
k
2
3
1
3
1
&+.
&+.
&+.
4
6
4
..
.
..
.
..
.
1
1
Binomischer Satz
n
(a + b)
n n−1
n
= a +
a b + ··· +
abn−1 + bn
1
n−1
n X
n n−k k
=
a b
k
k=0
n
Identitäten für Binomialkoeffizienten
12
n
2
=
n X
n
k=0
n X
k
n
0 =
(−1)k , n ≥ 1
k
k=0
k X
n
n−k−1+i
=
, k<n
k
i
i=0
n−k X
n
k−1+i
=
, k>0
k
k−1
i=0
Auswahl von Teilmengen
Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge mit n verschiedenen Elementen k Elemente auszuwählen
nicht sortiert
ohne Wiederholungen
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
mit Wiederholungen
nk
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sortiert
n
k
n+k−1
k
1.5
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
imaginäre Einheit: i2 = −1
C = {z = x + iy,
x, y ∈ R}
Real- und Imaginärteil
x = Re z,
y = Im z
Komplexe Konjugation
konjugiert komplexe Zahl
z̄ = x − iy
verträglich mit den arithmetischen Operationen
z1 ◦ z2 = z̄1 ◦ z̄2 ,
◦ = +, −, ∗, /
Betrag komplexer Zahlen
|z| =
Positivität
|z| ≥ 0,
p
√
x2 + y 2 = z z̄
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0
Multiplikativität
|z1 z2 | = |z1 | |z2 |,
Dreiecksungleichung
|z1 /z2 | = |z1 |/|z2 |, z2 6= 0
|z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
Formel von Euler-Moivre
cos t + i sin t = exp(it),
t∈R
Sinus und Kosinus: Real- und Imaginärteil komplexer Zahlen mit Betrag 1
1 it
e + e−it
2
1 it
it
sin t = Im e =
e − e−it
2i
cos t = Re eit =
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Gaußsche Zahlenebene
Im(z)
Im(z)
x
z = reiϕ
z = x + iy
r
y
|z|
ϕ
−ϕ
Re(z)
Re(z)
z = re−iϕ
z = x − iy
Darstellung in Polarkoordinaten
z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = r exp(iϕ)
mit
r = |z| =
σ = 0 für x ≥ 0, σ = ±π für x < 0
z
r
ϕ
p
x2 + y 2 ,
ϕ = arg(z) = arctan y/x + σπ
Standardbereich ϕ ∈ (−π, π]
1 −1
±i
1ñ i
1 1
1
2
0 π ±π/2 ±π/4
√
√
3 ± i 1 ± 3i
2
2
±π/6
±π/3
Multiplikation komplexer Zahlen
zk = xk + iyk = rk exp(iϕk )
z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 )i = r1 r2 exp(i(ϕ1 + ϕ2 ))
Division komplexer Zahlen
zk = xk + iyk = rk exp(iϕk )
x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2
r1
z1
=
+
i = exp(i(ϕ1 − ϕ2 ))
2
2
2
2
z2
x2 + y 2
x2 + y 2
r2
Kehrwert
1
1
1
x
y
= 2 z̄ = exp(−iϕ) = 2 − 2 i
z
r
r
r
r
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Komplexe Einheitswurzeln
zn = 1
zk = wnk ,
k = 0, . . . , n − 1
wn = exp(2πi/n),
Im z
wn1
wn0 = 1
Re z
wnn−1
Potenzen einer komplexen Zahl
ganzzahlige Exponenten m ∈ Z
z m = rm eimϕ ,
z = reiϕ
rationale Exponenten p/q ∈ Q
z p/q = rp/q exp (ipϕ/q) wqkp ,
k = 0, . . . , q − 1
mit wqk = exp (2πi/q)k den q-ten Einheitswurzeln
Kreis in der Gaußschen Zahlenebene
|z − a| = s|z − b|,
Mittelpunkt
w=
Radius
s 6= 1
s2
1
a
−
b
1 − s2
1 − s2
r=
s
|b − a|
|1 − s2 |
Parameterform des Kreises
w + reit ,
t ∈ [0, 2π)
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