Aufgaben zur Pfadregel

Von der Pfadregel zur „Bernoulli-Formel“
Aufgabe 1: Basketball
Beim Basketball trifft Peter mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 %, Anne mit 70 %. Jeder wirft ein Mal.
a) Ist es wahrscheinlicher, dass sie zusammen 0 oder 2 Treffer erzielen ?
b) Kannst du die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer mit dem Ergebnis aus a) direkt angeben ?
Aufgabe 2: Rohe Eier
Doro hat in einen Korb mit 6 gekochten Eiern (schändlicherweise) 4 rohe dazugelegt. Ihre Schwester
nimmt für das Frühstück 3 Eier heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein
rohes Ei dabei ist ?
Aufgabe 3: Note würfeln
Stelle dir vor, dein Lehrer wirft zwei Würfel und gibt dir als Note die kleinere der Augenzahlen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du eine Eins bekommst ?
Aufgabe 4: Fehler im Buch
Bevor ein Buch gedruckt wird, werden die probeweise gedruckten Seiten auf Fehler durchgesehen.
Der erste Kontrolleur findet erfahrungsgemäß 70 % der Fehler und korrigiert sie. Bei den nächsten
beiden Kontrollen werden (von den übriggebliebenen Fehlern) 50 % bzw. 40 % entdeckt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Fehler, der ursprünglich in einem Drucktext vorhanden war,
auch nach diesen drei Kontrollen noch nicht entdeckt ?
b) Macht es Sinn, so lange zu kontrollieren, bis 99 % aller ursprünglichen Fehler entdeckt worden
sind ? (Nimm an, dass bei jeder weiteren Kontrolle 40 % der übriggebliebenen Fehler entdeckt
werden.)
Aufgabe 5: 6 Richtige im Lotto
Bei der Lottoziehung "6 aus 49" wird 6 mal hintereinander eine Kugel aus einer Lostrommel mit 49
nummerierten Kugeln gezogen und ihre Nummer notiert.
Begründe: Die Wahrscheinlichkeit, alle 6 Zahlen richtig vorherzusagen, beträgt:
6 5 4 3 2 1





49 48 47 46 45 44
Aufgabe 6: Blutgruppe A
In Deutschland haben 40 % der Einwohner Blutgruppe A. 5 Personen kommen zur Blutspende. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Personen Blutgruppe A haben ?
Zeichne ein vereinfachtes Baumdiagramm. Es soll nur die 10 Pfade enthalten, die zum gewünschten
Ereignis "zweimal Blutgruppe A" gehören.
Aufgabe 7: Vokabeltest
Frank hat nur 30 % der Vokabeln gelernt. Sein Lehrer fragt ihn 4 Vokabeln ab.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mehr als eine Vokabel kennt ?
Aufgabe 8: Schokoladen-Feinschmecker
Herr G. aus T. behauptet, bei Schokolade blind erkennen zu können, um welche Marke und Sorte es
sich handle. In einem Test werden vier Schokoladenproben blind verkostet.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Herr G. jedesmal die Marke und Sorte richtig erkennt,
wenn er eine Trefferwahrscheinlichkeit von 80 % hat ?
b) Hildegard behauptet, dass man dieses Ergebnis auch erzielen könnte, wenn man keine Kenntnis
habe, d.h. wenn man nur geraten hätte. Stimmt das ?
Aufgabe 9: Multiple-Choice-Test
In einem Multiple-Choice-Test werden 5 Fragen gestellt. Bei jeder Frage werden 3 Antwortalternativen
vorgegeben, und nur eine ist richtig.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man durch bloßes Raten alle Fragen richtig beantwortet?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, drei Fragen richtig zu beantworten ?
c) Wie lauten die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten, wenn man eine Frage mehr stellt ?
Steckbrief der Aufgabe
Inhaltliche Kurzbeschreibung:
In 9 Teilaufgaben kann die Pfadregel in vielfältigen Situationen eingesetzt und geübt werden.
Zudem bieten die Aufgaben Anlässe, Bernoulli-Ketten einzuführen.
Funktion der Aufgabe:
Zunächst bieten die Aufgaben die Möglichkeit, die Pfadregel in vielfältigen Situationen zu nutzen und
zu üben.
Darüber hinaus regen die Aufgaben an, die Darstellung des Lösungsweges mit der Pfadregel
schrittweise zu verändern und so zu Bernoulli-Ketten überzugehen. Dies wird dadurch erreicht, dass
man vom gesamten Baumdiagramm über einen Teilbaum und Ein-Pfad-Betrachtungen (hier auch
Anwenden der Gegenwahrscheinlichkeit) zur „Bernoulli-Formel“ gelangt.
Doppeljahrgangsstufe: 7/8 , ggf. auch 9/10
Die Aufgabensammlung geht über die Anforderungen der Kernlehrpläne hinaus, da mehr als
zweistufige Zufallsversuche thematisiert werden.
Schulformen, in denen entwickelt/ erprobt wurde:
Gymnasium, Klasse 8
Erforderliche Vorkenntnisse:
Laplace-Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramme, Pfadregel
Bezug zu den Kompetenzen des Kernlehrplans:
Stochastik
Auswerten
Kernlehrplan
bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei
zweistufigen Zufallsexperimenten mit
Hilfe der Pfadregeln
Hier speziell:
berechnen Wahrscheinlichkeiten
mit Hilfe der Pfadregel und mit
Bernoulli-Ketten
(Hinweis: die Teilaufgaben gehen
über zweistufige Zufallsexperimente hinaus)
Argumentieren / Kommunizieren
Kommunizieren
Kernlehrplan
vergleichen und bewerten
Lösungswege, Argumentationen und
Darstellungen
Hier speziell:
vergleichen die Darstellung von
Lösungswegen und verkürzen sie
Modellieren
Mathematisieren
Kernlehrplan
k. A.
Hier speziell:
verkürzen bei der Berechnung von
Wahrscheinlicheiten die Darstellung des Lösungsweges von
Bäumen zur „Bernoulli-Formel“
Mögliche Schülerlösungen:
Aufgrund der Vielzahl der Aufgaben können nur die Ergebnisse dargestellt werden.
1.a)
b)
P( 0 Treffer)  0,18 ;
P (2 Treffer)  0,28
P ( 1 Treffer)  1 - 0,46  0,54
2.
P (X  1)  1 - P (X  0)  1 -
3.
P (Note  1) 
4. a)
b)
P (Fehler nicht entdeckt)  0,3  0,5  0,6  0,09
Man muss sieben mal kontrollie ren. Dies ist wahrschei nlich zu kostspielig.
5.
Man hat 6 Zahlen getippt, die gezogen werden sollen. Man betrachtet also den Pfad
T - T - T - T - T - T . Die erste Kugel, die gezogen wird, soll eine von 6 gewünschte n aus
49 möglichen sein. Da man nicht zurücklegt , soll die zweite Kugel eine von 5 gewünschte n
aus 48 möglichen sein, usw.
6.
P (X  2)  10  0,4  0,4  0,6  0,6  0,6  34,56 %
Zusatzaspe kt : Es ist Ziehen mit Zurücklege n, sofern hinreichen d viele Menschen
im betroffene n Ort leben.
7.
P (X  1)  1 - P (X  0) - P (X  1)  1 - 0,7 4 - 4  0,3  0,7 3  34,83 %
8. a)
P (X  4)  0,8 4  40,96 %
b)
9. a)
b)
c)
6 5 4
1 5
   1- 
10 9 8
6 6
1 1 5 1 1
   
; der zweite Würfel ist also überflüssi g.
6 6 6 6 6
P (X  4)  p 4 , wobei p 4  0,8 4 für jedes p  0,8
Zwar ist die Gewinnwahr scheinlichkeit für Herrn G. nur etwa 41 %,
aber beim Raten mit p  0,8 schneidet man noch schlechter ab.
 
P (X  3)  10  1   2 
3
3
P (X  6)  1   0,14 %
3
5
P (X  5)  1
 0,4 %
3
3
6
2
 16,5 %
   
3
3
; P (X  3)  20  1
 2
 21 ,95 %
3
3
Mögliche, ggf. erprobte Unterrichtsorganisation:
Die Aufgaben können zunächst eingesetzt werden, um die Pfadregel in vielfältigen Situationen zu
benutzen und zu üben.
Zudem bieten die Aufgaben die Möglichkeit, schrittweise zu Bernoulli-Ketten und zur Berechnung von
Wahrscheinlichkeiten mit der Bernoulli-Formel überzugehen. Dazu müssen die Aufgaben möglichst in
der vorgeschlagenen Reihenfolge von den Schülern bearbeitet werden.
In den Aufgaben 1 bis 3 werden die Schüler für die Lösung oft noch einen vollständigen Ergebnisbaum anfertigen. Jedoch wird hier eine Abstraktion zu den Ergebnissen „Treffer“ und „Niete“ angeregt,
also ein Übergang zur Darstellung als Bernoulli-Experiment.
In den Aufgaben 4 bis 6 werden die Schüler dazu aufgefordert, die Darstellung der Lösung nur auf die
gewünschten Pfade zu reduzieren. So ist der Baum in Aufgabe 4 ohnehin unvollständig, und in den
Aufgaben 5 und 6 ist es ökonomischer, nur die gewünschten Pfade darzustellen. Auch sollte der
Lehrer bei Aufgabe 6 darauf hinwirken, dass es genügt nur die Wahrscheinlichkeit für einen Pfad
auszurechnen (Kommutativität der Multiplikation).
In den Aufgaben 7 bis 9 liegen Bernoulli-Ketten vor. In Aufgabe 7 liegt eine kurze, vierstufige Kette
vor. Da auch in Aufgabe 8 eine vierstufige Kette vorliegt und nur die Einzelwahrscheinlichkeit variiert
wird, wird eine weitere Abstraktion der Lösung angeregt. Die Lösung kann als Term und braucht nicht
mehr zeichnerisch als Bernoulli-Kette dargestellt zu werden. (Dabei ist die Ratewahrscheinlichkeit in
Aufgabe 8b offen; die Schüler können verschiedene Wahrscheinlichkeiten annehmen z.B. in
Abhängigkeit von der Anzahl der Schokoladensorten.)
Zur Aufgabe 9 hin wird nicht nur die Wahrscheinlichkeit p verändert, auch die Kettenlänge variiert.
Dies kann zur Formulierung der Bernoulli-Formel führen. An dieser Stelle ist eine Vertiefung durch
einen Exkurs (Aufgabe „Multiple-Choice“) möglich. Die Aufgabe 9c regt an, den Binomial-Koeffizienten
einzuführen. Daher sollte man diese Aufgabe nur dann stellen, wenn man ihn einführen möchte.
Mögliche Variationen der Aufgabe und des Aufgabenniveaus:
Sofern die Schüler bei der Darstellung ihrer Lösungen nicht von selbst zur Bernoulli-Formel
übergehen, können die Parameter bei Aufgabe 9 (Multiple-Choice-Test) mehrfach variiert werden, um
eine Verkürzung des Lösungsweges anzuregen. Vgl. dazu auch die eigenständige Aufgabe „Multiple –
Choice“.
Erstellt von: Sinus-Transfer Set 1-w, Untergruppe Südlicher Niederrhein