Aufgabe 2 - Cal Poly

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MATLAB/Simulink – Übungen
Mechatronik 3. Semester
2 CP, 2 SWS
Sommersemester 2010
Helmut Scherf
Fakultät für Maschinenbau und Mechatronik
Prof. Helmut Scherf
Mechatronik
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MATLAB/Simulink – Übungen
Aufgabe 1
2
4
Gegeben sind die Matrizen A  
6 j 10  2 
Führen Sie folgende Berechnung durch:
a) A  B
b) A  B
c) A2
d) A'
e) B 1
f) B ' A'
g) A2  B 2  A  B

6 j  13 
.
,B  

j
16 

Aufgabe 2
Polynominterpolation: Gegeben sind die Stützstellen x = [0:0.5:3] mit den
Funktionswerten y = [1 1 0 0 3 1 2].


Berechnen Sie die Koeffizienten des Polynoms y  p1  x n  p2  xˆ n 1  ....  pn  xˆ  pn 1
und plotten Sie das Ergebnis für n= 2 und n=6, mit x̂ =[0:0.05:3];
Verwenden Sie die MATLAB-Funktionen polyfit und polyval.
Lösung:
Polynominterpolation
4
Originalwerte
n=2
n=6
3
y
2
1
0
-1
-2
0
0.5
1
1.5
x
2
2.5
3
Aufgabe 3
Lösen Sie die Differenzialgleichung T  x  x  K  u , AB: x (0)  0 für eine
sprungförmige Anregung u = 1 für T = 2 und K = 5
a) Mit Hilfe der Symbolic MathToolbox
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MATLAB/Simulink – Übungen
b) Mit Simulink
c) Vergleichen Sie die beiden Ergebnisse.
Aufgabe 4
Lösen Sie das algebraische Gleichungssystem
3  x  7  y  15
 5  x  3  y  1
a) mit Hilfe des inv-Befehls,
b) mit Hilfe der Symbolic Math Toolbox.
Aufgabe 5
Plotten Sie das Sinus-Signal x (t )  A  sin(   t   ) mit der Amplitude A = 5,5 und der
Frequenz f = 2 Hz. Bei t=0 ist x(0) = 4. Das Plotfenster soll 5 Perioden zeigen.
Aufgabe 6
Der Zusammenhang zwischen Druck p und Volumen V der eingeschlossenen
Gasmasse m mit der absoluten Temperatur T wird durch die ideale Gasgleichung
p  V  m  R  T beschrieben. R ist die Gaskonstante.
Plotten Sie das p-V-Diagramm für zwei Isothermen.
Zahlenwerte:
T1 = 293 K , T 2 = 450 K
Volumenbereich 0,1 bis 1 m3
Gaskonstante R = 287 kJ/(kg K)
Gasmasse m = 1 kg
Lösung:
15
x 10
5
p-V-Diagramm
293 K
450 K
Druck in Pa
10
5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
3
Volumen V in m
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Aufgabe 7
Bild 1 zeigt den Aufbau zur Messung der Oberflächentemperatur eines Widerstandes
mit Hilfe einer Diode.
Meßsignal
10 K
Messdatenerfassung
0V
+10 V
START
Schalter
82 
Bild 1: Aufbau zur Messung der Oberflächentemperatur mit einer Diode
Bei einem konstanten Strom i besteht zwischen der Änderung der
Durchlassspannung uD der Diode und der Änderung der Temperatur  folgender
Zusammenhang
uD

 2 mV / K .
i  const .
Pro Kelvin Temperaturzunahme sinkt also die Spannung um 2 mV ab. Die Diode ist
über einen 10 k-Vorwiderstand an eine Spannung von 10 V angeschlossen. Der
Lastwiderstand ist an die gleiche Spannungsquelle angeschlossen. Es ergibt sich
damit eine Heizleistung P =1,22 W. Ausgehend von einer Starttemperatur von 20 °C
sinkt die Temperatur ab und erreicht einen Beharrungszustand. Bild 2 zeigt den
zeitlichen Verlauf der Durchlassspannung der Diode bei einem Aufwärtssprung der
Spannung am Lastwiderstand von 0 V auf 10 V. Dies entspricht einem
Leistungssprung von 0 W auf 1,22 W.
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MATLAB/Simulink – Übungen
0.62
0.61
0.6
Diodenspannung in V
0.59
0.58
0.57
0.56
0.55
0.54
0.53
0
50
100
150
200
250
t in s
300
350
400
450
500
Bild 2: Verlauf der Durchlassspannung uD
Der Zusammenhang zwischen der Temperatur  und der Diodenspannung ist
C
( uD  0,538 V )  58  C .
V
Die Messwerte sind mit Hilfe einer AD-Karte aufgenommen worden (Abtastzeit 0,1 s)
und befinden sich in der Datei uaufdiod.txt.
Plotten der Diodenspannung und die Temperatur als Funktion der Zeit.
Laden Sie hierzu die Messwertdatei uaufdiod.txt und generieren Sie einen Zeitvektor.
Die Skalierung des Temperatur-Plots soll bei 0 °C beginnen.
Lösung:
 ( uD )  500
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60
50
Temperatur in °C
40
30
20
10
0
0
50
100
150
200
250
Zeit in s
300
350
400
450
500
Aufgabe 8
Ein Verbrennungsmotor wird auf einem Motorprüfstand getestet. Dabei werden
folgende Daten aufgenommen:
 Motordrehmoment M
 Motordrehzahl n
 Zeit t für 100 cm3 Kraftstoffverbrauch
M in
Nm
n in
1/min
t in s
64.9
68.3
70.7
70.7
69.7
68.3
65.9
64.3
62
60.2
56.3
51.1
44.4
1396
1598
1796
2012
2211
2404
2609
2798
2988
3189
3380
3607
3823
57,23
50,7
47,33
45,76
43,72
40,66
39,6
37,9
37,6
34,88
32,97
32,4
31,5
a) Berechnen Sie die effektive Motorleistung Pe  M    M  2    n in kW.
 V
b) Berechnen Sie den spezifischen Kraftstoffverbrauch be 
in g/kWh
Pe
Pe
c) Berechnen Sie den effektiven Wirkungsgrad e 
.
  V  H u
d) Plotten Sie die effektive Motorleistung, das Drehmoment, den spezifischen
Kraftstoffverbrauch und den effektiven Wirkungsgrad als Funktion der
Motordrehzahl in ein Diagramm mit vier Fenstern. Verwenden Sie hierzu den
subplot-Befehl.
Zahlenwerte:
Kraftstoffdichte  = 0,731 g/cm3
Heizwert HU = 42 MJ/kg
Lösung:
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MATLAB/Simulink – Übungen
20
15
10
5
0
1000
2000
3000
Drehzahl in 1/min
500
40
20
2000
3000
Drehzahl in 1/min
4000
2000
3000
Drehzahl in 1/min
4000
30
400
300
200
100
0
1000
60
0
1000
4000
effektiver Wirkungsgrad in %
spezifischer Verbrauch in g/kWh
80
Drehmoment in Nm
effektive Leistung in kW
25
2000
3000
Drehzahl in 1/min
4000
25
20
15
10
5
0
1000
Aufgabe 9
Plotten Sie das Bodediagram eines RC-Tiefpasses mit R = 5,6 k und C = 1 F. Im
oberen Plotfenster soll der Betragsgang in dB dargestellt werden, im unteren der
Phasengang in ° als Funktion der Frequenz f. Die 20 Frequenzwerte im Bereich 1 Hz
bis 2 kHz sollen logarithmisch gleich verteilt sein (-> logspace).
Skalierung Abszisse: 1 Hz bis 2000 Hz
Skalierung Ordinate Betragsgang: -40 dB bis 10 dB
Lösung:
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10
G in dB
0
-10
-20
-30
-40
0
10
10
1
10
2
10
3
f in Hz
0
Phase in °
-20
-40
-60
-80
-100
0
10
10
1
2
10
f in Hz
10
3
10
4
Aufgabe 10
Eine Windkraftanlage (WKA) liefert bei einer Windgeschwindigkeit von 18 km/h eine
Leistung von 250 kW. Die Leistung einer WKA ist proportional zur dritten Potenz der
Windgeschwindigkeit.
a) Bestimmen Sie den Proportionalitätsfaktor k.
b) Der Vektor v  [1 2.5 3 2 7 5] beinhaltet die gemessenen Windgeschwindigkeiten in m/s. Schreiben Sie eine Funktion, die die mittlere Leistung
PMittel  mittlereLeistung (v ) in Watt liefert. Eingangsvariable ist der
Windgeschwindigkeitsvektor v.
Aufgabe 11
Abschätzung der Leistung einer WKA:
Quelle:http://www.uni-muenster.de/Physik.TD/leistungsbeiwert_windkraftanlage.html
Die vom Wind auf Rotor ausgeübte Kraft erhält man aus dem Impulssatz (Produkt
aus Luftmassenstrom und Differenzwindgeschwindigkeit vor und hinter dem Rotor)
  v1  v2 
F m
Der Luftmassenstrom ist m    A  v (Luftdichte mal Rotorfläche mal Geschwindigkeit
in Rotorebene)
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Die Leistung ist die Kraft mal der Geschwindigkeit PN  F  v  m  v1  v2   v oder man
erhält die Leistung aus der zeitbezogenen Abnahme der kinetischen Energie des
1
1
Windes vor und hinter dem Rotor PN   m  v12   m  v22 .
2
2
Gleichsetzen liefert die Windgeschwindigkeit v in der
1
1
v v
Rotorebene: PN  m  v1  v2   v   m  v12   m  v22  v  1 2
2
2
2
A
2
PN  F  v  m  v1  v2   v    A  v 2  v1  v2  
 v1  v2   v1  v2 
4
Dies bedeutet, dass die Leistung einer WKA eine Funktion der
Abströmgeschwindigkeit ist.
a) Berechnen Sie das Leistungsmaximum aus dPN/dv2=0 mit Hilfe der SymbolicToolbox.
Aufgabe 12
Das dynamische Verhalten eines DC-Motors wird durch folgende Differenzialgleichungen
beschrieben:
di
u  R  i  L   kG  
dt
M  kG  i
M  M L  J  
Es bedeuten:
u
Motorspannung
i
Ankerstrom
    2    n Winkelgeschwindigkeit
R
Ankerwiderstand
n
Drehzahl
L
Ankerinduktivität
kG
Generatorkonstante
M
Motormoment
ML
Lastmoment
J
Massenträgheitsmoment
Erstellen Sie das Blockschaltbild des DC-Motors unter Verwendung geeigneter SimulinkBlöcke. Die Eingangsgröße ist die Motorspannung, die sprungförmig geändert werden soll.
Das Lastmoment soll ebenfalls sprungförmig aufgeschaltet werden. Die Ausgangsgrößen sind
die Drehzahl (Einheit: min-1) und der Motorstrom (Einheit: mA), die als Funktion der Zeit
dargestellt werden sollen.
Zahlenwerte:
u=5V
Motorspannung
Ankerwiderstand
R = 10 
L= 10 mH
Ankerinduktivität
kG = 0,02 Vs
Generatorkonstante
ML = 3 mNm
Lastmoment
J = 110-6 kgm2 Massenträgheitsmoment
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MATLAB/Simulink – Übungen
Aufgabe 13
Ein Durchflusssensor liefert eine Rechteckspannung (Amplitude 2, 5 V, Offset 2,5 V,
Frequenz 10 Hz)
a) Simulieren Sie den Sensor mit Hilfe eines geeigneten Simulink-Blocks.
b) Erzeugen Sie bei jeder Aufwärtsflanke einen Impuls der Höhe 1 und der Breite
1 msec. Geben Sie die Impulse auf eine Tiefpass mit der Zeitkonstanten T=1
sec.
c) Im Datenblatt des Sensors steht: 65 Impulse = 1 Liter. Berechnen Sie den
Volumenstrom in Liter pro Minute.
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