MATLAB/Simulink – Übungen Mechatronik 3. Semester 2 CP, 2 SWS Sommersemester 2010 Helmut Scherf Fakultät für Maschinenbau und Mechatronik Prof. Helmut Scherf Mechatronik -1- MATLAB/Simulink – Übungen Aufgabe 1 2 4 Gegeben sind die Matrizen A 6 j 10 2 Führen Sie folgende Berechnung durch: a) A B b) A B c) A2 d) A' e) B 1 f) B ' A' g) A2 B 2 A B 6 j 13 . ,B j 16 Aufgabe 2 Polynominterpolation: Gegeben sind die Stützstellen x = [0:0.5:3] mit den Funktionswerten y = [1 1 0 0 3 1 2]. Berechnen Sie die Koeffizienten des Polynoms y p1 x n p2 xˆ n 1 .... pn xˆ pn 1 und plotten Sie das Ergebnis für n= 2 und n=6, mit x̂ =[0:0.05:3]; Verwenden Sie die MATLAB-Funktionen polyfit und polyval. Lösung: Polynominterpolation 4 Originalwerte n=2 n=6 3 y 2 1 0 -1 -2 0 0.5 1 1.5 x 2 2.5 3 Aufgabe 3 Lösen Sie die Differenzialgleichung T x x K u , AB: x (0) 0 für eine sprungförmige Anregung u = 1 für T = 2 und K = 5 a) Mit Hilfe der Symbolic MathToolbox Fakultät für Maschinenbau und Mechatronik Prof. Helmut Scherf Mechatronik -2- MATLAB/Simulink – Übungen b) Mit Simulink c) Vergleichen Sie die beiden Ergebnisse. Aufgabe 4 Lösen Sie das algebraische Gleichungssystem 3 x 7 y 15 5 x 3 y 1 a) mit Hilfe des inv-Befehls, b) mit Hilfe der Symbolic Math Toolbox. Aufgabe 5 Plotten Sie das Sinus-Signal x (t ) A sin( t ) mit der Amplitude A = 5,5 und der Frequenz f = 2 Hz. Bei t=0 ist x(0) = 4. Das Plotfenster soll 5 Perioden zeigen. Aufgabe 6 Der Zusammenhang zwischen Druck p und Volumen V der eingeschlossenen Gasmasse m mit der absoluten Temperatur T wird durch die ideale Gasgleichung p V m R T beschrieben. R ist die Gaskonstante. Plotten Sie das p-V-Diagramm für zwei Isothermen. Zahlenwerte: T1 = 293 K , T 2 = 450 K Volumenbereich 0,1 bis 1 m3 Gaskonstante R = 287 kJ/(kg K) Gasmasse m = 1 kg Lösung: 15 x 10 5 p-V-Diagramm 293 K 450 K Druck in Pa 10 5 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 3 Volumen V in m Fakultät für Maschinenbau und Mechatronik Prof. Helmut Scherf Mechatronik -3- MATLAB/Simulink – Übungen Aufgabe 7 Bild 1 zeigt den Aufbau zur Messung der Oberflächentemperatur eines Widerstandes mit Hilfe einer Diode. Meßsignal 10 K Messdatenerfassung 0V +10 V START Schalter 82 Bild 1: Aufbau zur Messung der Oberflächentemperatur mit einer Diode Bei einem konstanten Strom i besteht zwischen der Änderung der Durchlassspannung uD der Diode und der Änderung der Temperatur folgender Zusammenhang uD 2 mV / K . i const . Pro Kelvin Temperaturzunahme sinkt also die Spannung um 2 mV ab. Die Diode ist über einen 10 k-Vorwiderstand an eine Spannung von 10 V angeschlossen. Der Lastwiderstand ist an die gleiche Spannungsquelle angeschlossen. Es ergibt sich damit eine Heizleistung P =1,22 W. Ausgehend von einer Starttemperatur von 20 °C sinkt die Temperatur ab und erreicht einen Beharrungszustand. Bild 2 zeigt den zeitlichen Verlauf der Durchlassspannung der Diode bei einem Aufwärtssprung der Spannung am Lastwiderstand von 0 V auf 10 V. Dies entspricht einem Leistungssprung von 0 W auf 1,22 W. Fakultät für Maschinenbau und Mechatronik Prof. Helmut Scherf Mechatronik -4- MATLAB/Simulink – Übungen 0.62 0.61 0.6 Diodenspannung in V 0.59 0.58 0.57 0.56 0.55 0.54 0.53 0 50 100 150 200 250 t in s 300 350 400 450 500 Bild 2: Verlauf der Durchlassspannung uD Der Zusammenhang zwischen der Temperatur und der Diodenspannung ist C ( uD 0,538 V ) 58 C . V Die Messwerte sind mit Hilfe einer AD-Karte aufgenommen worden (Abtastzeit 0,1 s) und befinden sich in der Datei uaufdiod.txt. Plotten der Diodenspannung und die Temperatur als Funktion der Zeit. Laden Sie hierzu die Messwertdatei uaufdiod.txt und generieren Sie einen Zeitvektor. Die Skalierung des Temperatur-Plots soll bei 0 °C beginnen. Lösung: ( uD ) 500 Fakultät für Maschinenbau und Mechatronik Prof. Helmut Scherf Mechatronik -5- MATLAB/Simulink – Übungen 60 50 Temperatur in °C 40 30 20 10 0 0 50 100 150 200 250 Zeit in s 300 350 400 450 500 Aufgabe 8 Ein Verbrennungsmotor wird auf einem Motorprüfstand getestet. Dabei werden folgende Daten aufgenommen: Motordrehmoment M Motordrehzahl n Zeit t für 100 cm3 Kraftstoffverbrauch M in Nm n in 1/min t in s 64.9 68.3 70.7 70.7 69.7 68.3 65.9 64.3 62 60.2 56.3 51.1 44.4 1396 1598 1796 2012 2211 2404 2609 2798 2988 3189 3380 3607 3823 57,23 50,7 47,33 45,76 43,72 40,66 39,6 37,9 37,6 34,88 32,97 32,4 31,5 a) Berechnen Sie die effektive Motorleistung Pe M M 2 n in kW. V b) Berechnen Sie den spezifischen Kraftstoffverbrauch be in g/kWh Pe Pe c) Berechnen Sie den effektiven Wirkungsgrad e . V H u d) Plotten Sie die effektive Motorleistung, das Drehmoment, den spezifischen Kraftstoffverbrauch und den effektiven Wirkungsgrad als Funktion der Motordrehzahl in ein Diagramm mit vier Fenstern. Verwenden Sie hierzu den subplot-Befehl. Zahlenwerte: Kraftstoffdichte = 0,731 g/cm3 Heizwert HU = 42 MJ/kg Lösung: Fakultät für Maschinenbau und Mechatronik Prof. Helmut Scherf Mechatronik -6- MATLAB/Simulink – Übungen 20 15 10 5 0 1000 2000 3000 Drehzahl in 1/min 500 40 20 2000 3000 Drehzahl in 1/min 4000 2000 3000 Drehzahl in 1/min 4000 30 400 300 200 100 0 1000 60 0 1000 4000 effektiver Wirkungsgrad in % spezifischer Verbrauch in g/kWh 80 Drehmoment in Nm effektive Leistung in kW 25 2000 3000 Drehzahl in 1/min 4000 25 20 15 10 5 0 1000 Aufgabe 9 Plotten Sie das Bodediagram eines RC-Tiefpasses mit R = 5,6 k und C = 1 F. Im oberen Plotfenster soll der Betragsgang in dB dargestellt werden, im unteren der Phasengang in ° als Funktion der Frequenz f. Die 20 Frequenzwerte im Bereich 1 Hz bis 2 kHz sollen logarithmisch gleich verteilt sein (-> logspace). Skalierung Abszisse: 1 Hz bis 2000 Hz Skalierung Ordinate Betragsgang: -40 dB bis 10 dB Lösung: Fakultät für Maschinenbau und Mechatronik Prof. Helmut Scherf Mechatronik -7- MATLAB/Simulink – Übungen 10 G in dB 0 -10 -20 -30 -40 0 10 10 1 10 2 10 3 f in Hz 0 Phase in ° -20 -40 -60 -80 -100 0 10 10 1 2 10 f in Hz 10 3 10 4 Aufgabe 10 Eine Windkraftanlage (WKA) liefert bei einer Windgeschwindigkeit von 18 km/h eine Leistung von 250 kW. Die Leistung einer WKA ist proportional zur dritten Potenz der Windgeschwindigkeit. a) Bestimmen Sie den Proportionalitätsfaktor k. b) Der Vektor v [1 2.5 3 2 7 5] beinhaltet die gemessenen Windgeschwindigkeiten in m/s. Schreiben Sie eine Funktion, die die mittlere Leistung PMittel mittlereLeistung (v ) in Watt liefert. Eingangsvariable ist der Windgeschwindigkeitsvektor v. Aufgabe 11 Abschätzung der Leistung einer WKA: Quelle:http://www.uni-muenster.de/Physik.TD/leistungsbeiwert_windkraftanlage.html Die vom Wind auf Rotor ausgeübte Kraft erhält man aus dem Impulssatz (Produkt aus Luftmassenstrom und Differenzwindgeschwindigkeit vor und hinter dem Rotor) v1 v2 F m Der Luftmassenstrom ist m A v (Luftdichte mal Rotorfläche mal Geschwindigkeit in Rotorebene) Fakultät für Maschinenbau und Mechatronik Prof. Helmut Scherf Mechatronik -8- MATLAB/Simulink – Übungen Die Leistung ist die Kraft mal der Geschwindigkeit PN F v m v1 v2 v oder man erhält die Leistung aus der zeitbezogenen Abnahme der kinetischen Energie des 1 1 Windes vor und hinter dem Rotor PN m v12 m v22 . 2 2 Gleichsetzen liefert die Windgeschwindigkeit v in der 1 1 v v Rotorebene: PN m v1 v2 v m v12 m v22 v 1 2 2 2 2 A 2 PN F v m v1 v2 v A v 2 v1 v2 v1 v2 v1 v2 4 Dies bedeutet, dass die Leistung einer WKA eine Funktion der Abströmgeschwindigkeit ist. a) Berechnen Sie das Leistungsmaximum aus dPN/dv2=0 mit Hilfe der SymbolicToolbox. Aufgabe 12 Das dynamische Verhalten eines DC-Motors wird durch folgende Differenzialgleichungen beschrieben: di u R i L kG dt M kG i M M L J Es bedeuten: u Motorspannung i Ankerstrom 2 n Winkelgeschwindigkeit R Ankerwiderstand n Drehzahl L Ankerinduktivität kG Generatorkonstante M Motormoment ML Lastmoment J Massenträgheitsmoment Erstellen Sie das Blockschaltbild des DC-Motors unter Verwendung geeigneter SimulinkBlöcke. Die Eingangsgröße ist die Motorspannung, die sprungförmig geändert werden soll. Das Lastmoment soll ebenfalls sprungförmig aufgeschaltet werden. Die Ausgangsgrößen sind die Drehzahl (Einheit: min-1) und der Motorstrom (Einheit: mA), die als Funktion der Zeit dargestellt werden sollen. Zahlenwerte: u=5V Motorspannung Ankerwiderstand R = 10 L= 10 mH Ankerinduktivität kG = 0,02 Vs Generatorkonstante ML = 3 mNm Lastmoment J = 110-6 kgm2 Massenträgheitsmoment Fakultät für Maschinenbau und Mechatronik Prof. Helmut Scherf Mechatronik -9- MATLAB/Simulink – Übungen Aufgabe 13 Ein Durchflusssensor liefert eine Rechteckspannung (Amplitude 2, 5 V, Offset 2,5 V, Frequenz 10 Hz) a) Simulieren Sie den Sensor mit Hilfe eines geeigneten Simulink-Blocks. b) Erzeugen Sie bei jeder Aufwärtsflanke einen Impuls der Höhe 1 und der Breite 1 msec. Geben Sie die Impulse auf eine Tiefpass mit der Zeitkonstanten T=1 sec. c) Im Datenblatt des Sensors steht: 65 Impulse = 1 Liter. Berechnen Sie den Volumenstrom in Liter pro Minute. Fakultät für Maschinenbau und Mechatronik Prof. Helmut Scherf Mechatronik -10-