Lösungen Serie 1 (Einführung komplexe Zahlen)

Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Geistes- und Naturwissenschaft
Lösungen Serie 1 (Einführung komplexe Zahlen)
Dozent: Roger Burkhardt
Klasse: Studiengang ST
Büro: 4.613
Semester: 2
Modul: Algebra 1
Datum: FS2010
1. Aufgabe
Vereinfache:
(a)
i141 =?
Lösung:
i141 = i4∗35+1 = i4
35
∗ i1 = i
(b)
(−i)171 =?
Lösung:
(−i)171 = (−1)171 ∗ i171 = (−1) ∗ i4∗42+3 = −i3 = − (−i) = i
(c)
−i−201 =?
Lösung:
−i−201 = −i−201+51∗4 = −i−201+204 = −i3 = − (−i) = i
(d)
(2i)7 (−i)3 =?
Lösung:
(2i)7 (−i)3 = 27 ∗ i7 ∗ (−1)3 ∗ i3 = −128 ∗ i10 = −128 ∗ i2 = (−128) (−1) = 128
(e)
i−51 + i−71 =?
Lösung:
i−51 + i−71 = i−51+52 + i−71+72 = i + i = 2i
2. Aufgabe
Berechne für die folgenden komplexen Zahlen die arithmetische Form a + ib:
(a)
(2 + 3i) (3 − i) (4 + 3i) − (5 − i)2 (4 + 3i) − 12 (4 − i) − (3 − i)
Lösung:
= 6 + 9i − 2i − 3i2 (4 + 3i) − 25 − 10i + i2 (4 + 3i) − 48 + 12i − 3 + i
= (9 + 7i) (4 + 3i) − (24 − 10i) (4 + 3i) − 51 + 13i
= 36 + 27i + 28i + 21i2 − 96 + 72i − 40i − 30i2 − 51 + 13i
= 15 + 55i − 126 − 32i − 51 + 13i = −162 + 36i
Algebra 1
Lösungen Serie 1 (Einführung komplexe Zahlen)
FS 2010
(b)
1+i
+ 5 − 3i
1−i
Lösung:
=
1 + 2i + i2
(1 + i) (1 + i)
+ 5 − 3i =
+ 5 − 3i
(1 − i) (1 + i)
2
= i + 5 − 3i = 5 − 2i
(c)
4 − 3i
− (3 + 2i)2
4 + 3i
Lösung:
=
16 − 24i + 9i2
(4 − 3i) (4 − 3i)
− 9 + 12i + 4i2 =
− (5 + 12i)
(4 + 3i) (4 − 3i)
16 + 9
=
7 − 24i − 125 − 300i
118 324
7 − 24i − 25 (5 + 12i)
=
=−
−
i
25
25
25
25
(d)
(2 + 3i) (−2 − i)
(3 + i) (4 − 4i)
Lösung:
=
−4 − 2i − 6i − 3i2
−1 − 8i
(−1 − 8i) (16 + 8i)
=
=
2
12 − 12i + 4i − 4i
16 − 8i
(16 − 8i) (16 + 8i)
=
−16 − 8i − 128i − 64i2
48
136
=
−
i
256 + 64
320 320
(e)
(3 + 2i)2 (2 − i)
(−1 + 3i)2
Lösung:
(9 + 12i + 4i2 ) (2 − i)
(5 + 12i) (2 − i)
=
2
1 − 6i + 9i
−8 − 6i
2
(10 − 5i + 24i − 12i )
(22 + 19i) (−8 + 6i)
=
=
−8 − 6i
(−8 − 6i) (−8 + 6i)
2
290
20
29 1
−176 + 132i − 152i + 114i
=−
−
i=− − i
=
64 + 36
100 100
10 5
=
(f)
2−i
1+i
1
−
−
5 + i 1 + 5i
i
Lösung:
(2 − i) (5 − i)
(1 + i) (1 − 5i)
−i
−
−
(5 + i) (5 − i) (1 + 5i) (1 − 5i) i (−i)
10 − 2i − 5i + i2 1 − 5i + i − 5i2 −i
9 − 7i 6 − 4i 26i
=
−
−
=
−
+
25 + 1
1 + 25
1
26
26
26
9 − 7i − 6 + 4i + 26i
3
23
=
=
+ i
26
26 26
=
Seite 2 / 9
Algebra 1
Lösungen Serie 1 (Einführung komplexe Zahlen)
FS 2010
(g)
√
1√
2+
2i
2
−2
Lösung:
= √
3
− 2i
1
2 =
=
√
1
2
3
2
2 + 2i + 2 i
+ 2i 32 − 2i
2 + 12 2i
2
3
− 2i
4 3
6
8
2
=
− 2i =
− i
= 9
25 2
25 25
+4
4
1
3. Aufgabe
Berechne die folgenden Potenzen:
(a)
(2 + 2i)6 =?
Lösung:
= (2 (1 + i))6 = 26 (1 + i)6
= 1 ∗ 16 ∗ i0 + 6 ∗ 15 ∗ i1 + 15 ∗ 14 ∗ i2 + 20 ∗ 13 ∗ i3 + 15 ∗ 12 ∗ i4 + 6 ∗ 11 ∗ i5 + 1 ∗ 10 ∗ i6
= 26 1 + 6i + 15i2 + 20i3 + 15i4 + 6i5 + i6
= 26 (1 + 6i − 15 − 20i + 15 + 6i − 1) = 26 (−8i) = −29 i
(b)
(1 + i)5 − (1 − i)5 =?
Lösung:
= (1 + 5i − 10 − 10i + 5 + i) − (1 − 5i − 10 + 10i + 5 − i)
= 1 + 5i − 10 − 10i + 5 + i − 1 + 5i + 10 − 10i − 5 + i = −8i
(c)
√
√ 4
2 − 3i =?
Lösung:
√ 3 √ √ 2 √ 2
√ √ 3 √ 4
√ 4
=
2 −4
2
3i + 6
2
3i − 4
2
3i +
3i
√
√
√
= 4 − 8 6i − 36 + 12 6i + 9 = −23 + 4 6i
(d)
(1 + i)20 =?
Lösung:
= 1+20i−190−1140i+4845+15504i−38760−77520i+125970+167960i−184756−167960i...
+125970 + 77520i − 38760 − 15504i + 4845 + 1140i − 190 − 20i + 1
= −1024
Seite 3 / 9
Algebra 1
Lösungen Serie 1 (Einführung komplexe Zahlen)
FS 2010
4. Aufgabe
Bilde die Summenformel von (a + ib)−n , n ∈ N0 .
Lösung:
n
1
−n
(a + ib) =
a + ib
n
a − ib
=
a2 + b2
1
n
n (a − ib)
2
+b )
n X
1
n
an−k (ib)k
= 2
k
(a + b2 )n
=
(a2
k=0
5. Aufgabe
Für welche Werte für b ∈ R gilt:
(a)
|3 + bi − 4i| = 4
Lösung:
q
32 + (b − 4)2 = 4
9 + b2 − 8b + 16 = 16
b2 − 8b + 9 = 0
q
− (−8) ± (−8)2 − 4 ∗ 1 ∗ 9
b1,2 =
2∗1
√
√
√
8 ± 28
8 ± 64 − 36
=
=4± 7
=
2
2
(b)
|b + 2i| + |8 − 4i| = 30
Lösung:
q
√
2
2
b + 2 + 82 + (−4)2 = 30
√
√
b2 + 4 = 30 − 80
√
b2 + 4 = 900 − 60 80 + 80
√
b2 = 976 − 240 5
q
√
b1,2 = ± 976 − 240 5
6. Aufgabe
Gegeben sei die komplexe Zahl z = 3 + 2i. Stelle die nachfolgenden komplexen
Zahlen in der Gauss’schen Zahlenebene dar:
(a)
z
Seite 4 / 9
Algebra 1
Lösungen Serie 1 (Einführung komplexe Zahlen)
(b)
−z
(c)
z
(d)
−z
(e)
z
(f)
iz
(g)
z
i
Lösung:
iz=−23i
−z =−32i
z=32i=z
−z =−3−2i
z =3−2i
z
=2−3i
i
7. Aufgabe
Beweise die folgenden Aussagen:
(a)
|z|2 = z 2 = zz
Lösung:
p
2
2
2
|z| =
< (z) + = (z) = <2 (z) + =2 (z)
2
Seite 5 / 9
FS 2010
Algebra 1
Lösungen Serie 1 (Einführung komplexe Zahlen)
FS 2010
2 2
z = < (z) − =2 (z) + i2< (z) = (z)
q
= (<2 (z) − =2 (z))2 + 4<2 (z) =2 (z)
p
= <4 (z) + 2<2 (z) =2 (z) + =4 (z)
q
= (<2 (z) + =2 (z))2
= <2 (z) + =2 (z)
zz = (< (z) + i= (z)) (< (z) − i= (z))
= <2 (z) + =2 (z)
(b)
< (z) =
1
(z + z)
2
Lösung:
< (z) =
1
1
(z + z) = (< (z) + i= (z) + < (z) − i= (z))
2
2
=
1
(2< (z)) = < (z)
2
(c)
z1 + z2 = z1 + z2
Lösung:
z1 + z2 = < (z1 ) + i= (z1 ) + < (z2 ) + i= (z2 )
= (< (z1 ) + < (z2 )) + i (= (z1 ) + = (z2 ))
= < (z1 ) + < (z2 ) − i= (z1 ) − i= (z2 )
= < (z1 ) − i= (z1 ) + < (z2 ) − i= (z2 )
= < (z1 ) + i= (z1 ) + < (z2 ) + i= (z2 )
= z1 + z2
(d)
1
d (z1 , z2 ) = |z1 − z2 |
Lösung:
Den Abstand erhalten wir mit dem Pythagoras:
q
d (z1 , z2 ) = (∆<)2 + (∆=)2
q
= (< (z1 ) − < (z2 ))2 + (= (z1 ) − = (z2 ))2
= |z1 − z2 |
8. Aufgabe
Skizziere die nachfolgenden Punktemengen in der Gauss’schen Zahlenebene:
1
d (z1 , z2 ) bezeichnet den Abstand zwischen z1 und z2 .
Seite 6 / 9
Algebra 1
Lösungen Serie 1 (Einführung komplexe Zahlen)
FS 2010
(a)
|z| = 1
Lösung: Alle Punkte in der Gauss’schen Zahlenebene die den Abstand Eins
vom Ursprung haben - also alle Punkte auf dem Einheitskreis!
(b)
|z − i| < 10
Lösung: Alle Punkte in der Gauss’schen Zahlenebene die von der komplexen
Zahl z0 = i einen Abstand kleiner als Zehn haben - also alle Punkte innerhalb
des Kreises mit Mittelpunkt z0 und dem Radius r = 10.
(c)
|z + 1| = |z − 1|
Lösung: Alle Punkte in der Gauss’schen Zahlenebene die von der komplexen
Zahl z1 = −1 und der komplexen Zahl z2 = 1 den gleichen Abstand haben also alle Punkte auf der imaginären Achse!
(d)
< (z) ≥ 0
Lösung: Alle Punkte in der Gauss’schen Zahlenebene deren Realteil grösser
gleich Null ist - also alle Punkte in der rechten Halbebene!
9. Aufgabe
Schreibe folgende komplexen Zahlen in goniometrischer Form (Hauptwert):
(a)
−1 +
√
3i
Lösung:
r
√ 2 √
|z| = (−1) +
3 = 1+3=2
√ !
3
π
2π
arg (z) = π + arctan
=π− =
−1
3
3
√
2π
2π
2π
−1 + 3i = 2 cos
+ i sin
= 2cis
3
3
3
2
(b)
5i
Lösung:
|z| = 5
π
arg (z) =
2
π 5i = 5cis
2
Seite 7 / 9
Algebra 1
Lösungen Serie 1 (Einführung komplexe Zahlen)
(c)
√
FS 2010
3+i
2
Lösung:
v
u √ !2 2 r
u
3
3 1
1
|z| = t
=
+ =1
+
2
2
4 4
!
1
π
1
2
=
arg (z) = arctan √
= arctan √
3
6
3
2
√
π π π 3+i
= 1 cos
+ i sin
= cis
2
6
6
6
(d)
r cos (ϕ) − r sin (ϕ)
Lösung:
|z| =
q
q
(r cos (ϕ)) + (−r sin (ϕ)) = r2 cos2 (ϕ) + sin2 (ϕ) = r
2
arg (z) = arctan
2
−r sin (ϕ)
r cos (ϕ)
= arctan (− tan (ϕ)) = arctan (tan (−ϕ)) = −ϕ
r cos (ϕ) − r sin (ϕ) = rcis (−ϕ)
10. Aufgabe
Gegeben sind die komplexen Zahlen
π π z1 = 2 cos
+ i sin
6 6 5π
5π
+ i sin
z2 = 6 cos
6
6
3π
3π
z3 = 5 cos
+ i sin
2
2
Berechne:
(a)
z1 z2 z3
Lösung:
5π
3π
6cis
5cis
z1 z2 z3 = 2cis
6
6
2
π 5π 3π
5π
= 60cis
+
+
= 60cis
6
6
2
2
π = 60cis
= 60i
2
π Seite 8 / 9
Algebra 1
Lösungen Serie 1 (Einführung komplexe Zahlen)
(b)
FS 2010
z1
z2 z3
Lösung:
2cis π6
z1
=
z2 z3
5cis 3π
6cis 5π
6
2
1
π 5π 3π
1
13π
1
11π
= cis
−
−
= cis −
= cis
15
6
6
2
15
6
15
6
(c)
z15
z22
Lösung:
5
2cis π6
z15
=
2
z22
6cis 5π
6
25
5π
8
5π
π
= 2 cis 5 − 2
= cis −
6
6
6
9
6
7π
8
= cis
9
6
11. Aufgabe
Berechne die folgenden Potenzen unter Benutzung der goniometrischen Form:
(a)
(1 + i)20 =?
Lösung:
π 20
√
2cis
(1 + i) =
4
√ 20
π
=
2
cis 20
= 210 cis (5π)
4
= 1024cis (π) = −1024
20
(b)
√ !11
1 + 3i
=?
2
Lösung:
√ !11 π
1 + 3i
π 11
5π
= cis
= cis 11
= cis
2
3
3
3
(c)
1+i
√
2
26
=?
Lösung:
1+i
√
2
26
= cis
π 26
4
π
π = cis 26
= cis
=i
4
2
Seite 9 / 9