07 Lineare Funktionen
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Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer veränderten Aufgabenkultur (7) Zum Themengebiet Lineare Funktionen Vorschlag Nr. 7.1: Hungergefühlgraph ................................................................ 3 Erstellen und Lesen von „persönlichen“ Graphen zum Thema „Hunger“ Vorschlag Nr. 7.2: Carmens Schultag ................................................................... 4 Einführung in graphische Darstellungen anhand eines Tagesablaufs Vorschlag Nr. 7.3: Flaschen hinterm Steuer ........................................................ 5 Abbau von Alkohol im menschlichen Körper als Beispiel eines linearen Abnahmeprozesses Vorschlag Nr. 7.4: Marillen .................................................................................... 6 Anhand von linearen Funktionen bei Preisvergleichen soll der Sinn einer Schnäppchenjagd hinterfragt werden Vorschlag Nr. 7.5: Abbrennen von Kerzen .......................................................... 7 Eine Geburtstagskerze brennt recht schnell ab und eignet sich daher gut um einen näherungsweise linearen Prozess sinnlich wahrzunehmen. Darüber hinaus eröffnet das Kerzenbeispiel zahlreiche Variationen Vorschlag Nr. 7.6: Übersetzungen zwischen Graph und Term .......................... 9 Übungen und Vorschläge zum Zeichnen von Graphen zu geg. Termen und zum Ablesen der Funktionsvorschrift bei geg. Graphen Vorschlag Nr. 7.7: Geometrische Figuren im Koordinatensystem .................. 13 In einem Koordinatensystem sollen die Graphen linearer Funktionen so eingezeichnet werden, dass ein vorgegebener Flächeninhalt eingeschlossen wird. Dadurch entstehen bekannte geometrische Figuren Vorschlag Nr. 7.8: Bauen mit linearen Funktionen ........................................... 15 Zwei Arbeitsblätter zum Aufstellen linearer Funktionen Vorschlag Nr. 7.9: Zeichen mit linearen Funktionen ........................................ 19 Aus verschiedenen abschnittweise definierten Funktionen entsteht eine Figur im Koordinatensystem Vorschlag Nr. 7.10: Arbeitsblatt-BahnCard ...................................................... 20 Mithilfe von linearen Funktionen soll überprüft werden, ab wann sich die Anschaffung einer BahnCard lohnt Vorschlag Nr. 7.11: Internet................................................................................. 22 Anregung zu mathematischer Argumentationen durch Beurteilung neuer Internettarife Vorschlag Nr. 7.12: Wäsche waschen .................................................................. 24 Anhand von vorgegebenen Informationen in Form von linearen Funktionen soll ein mathematischer Aufsatz geschrieben werden Vorschlag Nr. 7.13: Fahren mit dem ICE ........................................................... 26 Anspruchsvolle Aufgabe zum Verhältnis von Beschleunigung und zurückgelegtem Weg Vorschlag Nr. 7.14: Kapitänsaufgabe ................................................................. 29 Anhand der Graphen zweier Funktionen sollen verschiedene Fragen beantwortet werden Vorschlag Nr. 7.15: Tropfsteinhöhle ................................................................... 27 Der Entstehungsprozess von Stalaktiten und Stalagmiten soll mithilfe von linearen Funktionen beschrieben werden Vorschlag Nr. 7.16: Wiederholung von Funktionen .......................................... 30 Neben einer Abgrenzung der bekannten Funktionstypen bietet dieser Vorschlag interessante Übersetzungsmöglichkeiten und schult somit die Schülervorstellungen zu Funktionen Vorschlag Nr. 7.17: Rätsel .................................................................................... 32 Kreuzworträtsel zu linearen Funktionen Vorschlag Nr. 7.18: Aufgaben zur Anwendung ................................................. 34 Sammlung verschiedener Aufgaben zur Anwendung linearer Funktionen Vorschlag Nr. 7.19: Funktionenpuzzle ................................................................ 40 Spielerische Übung in Form eines Puzzles in der zwischen verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen übersetzt werden muss Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms "Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird. 2 Vorschlag 7.1: Hungergefühlgraph Hungergefühl a) Zeichne einen Graphen, der dein Hungergefühl am Vortag beschreibt. 7 9 11 13 15 17 19 21 Tageszeit [Uhr] b) Tausche nun deinen Graphen mit dem deines Nachbarn / deiner Nachbarin und beantworte die folgenden Fragen im Heft. Begründe deine Antworten sorgfältig. 1. 2. 3. 4. Wie viele Mahlzeiten aß sie / er während des Tages? Um wie viel Uhr gab es Frühstück, Mittagessen, Abendbrot? Ist dein Nachbar / deine Nachbarin ein "Schlinger" oder ein „Genießer“? Von wann bis wann lag der längste Zeitraum zwischen zwei Mahlzeiten? Wie lang war er? 5. Um wie viel Uhr war das Hungergefühl am größten? 6. Welche Mahlzeit war die größte? (schwierig !!) 7. Hat dein Partner / deine Partnerin ein vernünftiges Essverhalten? c) Wenn ihr alle Fragen beantwortet habt, tauscht ihr eure Graphen wieder zurück. Lest euch die Antworten gegenseitig vor und besprecht sie. Falls ihr dadurch Fehler in euren Graphen entdeckt, müsst ihr sie verbessern. Quelle: Rosi Heinrich (Wissenschaftliche Einrichtung Laborschule). Hungergefühlgraph: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Wiederholung von Zuordnungen Übersetzen von persönlichen Gefühlen in die Sprache der Mathematik Variationen der Aufgabe: Andere persönliche Funktionen zeichnen lassen wie z.B. Angst vor/während der Mathematikarbeit Aufgreifen der Einteilung der Hunger-Achse (Stellen für mittel / riesig oder anders?) Eignung, (mögliche) Methoden: Partnerarbeit 3 Vorschlag 7.2: Carmens Schultag Carmens Schultag beginnt um 7.00 Uhr. Sie fährt zunächst mit dem Bus zur Schule. Um 8.00 Uhr beginnt der Unterricht. Von 9.30 Uhr bis 9.50 Uhr und von 11.20 Uhr bis 11.40 Uhr ist Pause. Um 13.10 Uhr endet der Unterricht. Um 14.00 Uhr ist Carmen wieder zu Hause. a) Zeichne den Graphen der Zuordnung Gesamtzeit der Abwesenheit von zu Hause reine Unterrichtszeit. b) Zeichne einen entsprechenden Graphen für deinen eigenen Schultag. (Quelle: Lambacher Schweizer 8 (1988), S. 136) Carmens Schultag: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Wiederholung / Festigung von Zuordnungen Argumentieren Variationen der Aufgabe: In Partnerarbeit: Darstellung des Schulalltags des Nachbarn aufgrund dessen Erzählung Zielumkehrung: Rekonstruktion des Schulalltags des Nachbarn aufgrund des von ihm gezeichneten Graphen Vertiefung: Beschreibe den Schulalltag als abschnittweise definierte lineare Funktion Vernetzung: Wie viel Prozent des Tages verbringt man in der Schule / im Zusammenhang mit der Schule? Eignung, (mögliche) Methoden: Partnerarbeit Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern: „Klärung der Größen, Zuordnungen der Achsen (in HS: Maßstab) schwierig!“ „eventuell für die Hauptschule zu offen...mehr Vorgaben.“ „im Gymnasium auch mit den vorgeschlagenen Variationen machbar.“ 4 Vorschlag 7.3: Flaschen hinterm Steuer Alkohol und Autofahren passen nicht zusammen. bereits bei 0,3‰ muß ein Fahrer mit einer Geldstrafe Das leuchtet ein. Aber die wenigsten wissen, wie und Führerscheinentzug rechnen, selbst dann, wenn langsam Alkohol im Körper abgebaut wird. Der er lediglich Anzeichen von Fahrunsicherheit zeigt. Bei durchschnittliche Abbauwert beträgt lediglich 0,15 0,5‰ liegt auf jeden Fall eine Ordnungswidrigkeit vor, Promille stündlich. Weder Schlaf Quiz-Frage: die mit Fahrverbot, Geldstrafe bis zu noch starker Mokka können dies a) Um wieviel Uhr sind Sie bei einer 3000,- DM und Punkten in Flensburg beschleunigen. Wer z.B. nach einer Ausgangslage von 1,5‰ um Mitternacht geahndet wird. Darum: Nach Feier um Mitternacht einen und einem durchschnittlichen Alkohol- Alkoholgenuß lieber Taxi, Bahn & abbauwert von 0,15‰ stündlich wieder Alkoholspiegel von 1,5‰ hat, kann restlos nüchtern und Bus. Jetzt fällt ihnen die sich leicht ausrechnen, wann er b) wann haben Sie immerhin noch Beantwortung der Quiz-Frage wieder restlos nüchtern ist. Denn einen Alkoholspiegel von 0,5‰? sicherlich nicht schwer. Quelle: MUED nach einer Anzeige des Deutschen Verkehrsrats (verändert) Flaschen hinterm Steuer: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Einstieg in das Thema „Lineare Funktionen“ Modellbildung Variationen der Aufgabe: Eventuell mit dem Biologielehrer eine parallele Behandlung der diesem Thema zugrundeliegenden biologischen Prozesse vereinbaren Zusätzlich zur Beantwortung der Fragen noch den zugehörigen Graphen zeichnen lassen. Daran weitere Fragen stellen Ausgangswert und Abbaufaktor variieren (Abbaufaktor schwankt individuell zwischen 0,1 und 0,3) (Mögliche) Lösungen: a) 10 Uhr morgens b) 6.40 Uhr morgens Eignung, (mögliche) Methoden: Partner- oder Gruppenarbeit (Wiederaufgreifen in Jg. 10: Abgrenzung zur Exponentialf.) 5 Vorschlag 7.4: Marillen Kauft man Marillen beim Obsthändler, so kostet 1kg Marillen 24 Schilling. Familie Schneider fährt in die Wachau und zahlt dort 12 Schilling/Kilo. Die Fahrtkosten für die Hin- und Rückfahrt betragen 240 Schilling. Finde eine geeignete Frage und beantworte sie. (Vgl. Reichel et al.: Lehrbuch der Mathematik 4 (1998), S. 105.) Marillen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Einstieg/Vertiefung in das Thema „Lineare Funktionen“ Umsetzung eines Sachproblems in die Mathematik (Modellieren) Variationen der Aufgabe: a) Wie viel Schilling kosten 5 kg, 10 kg, 20 kg, 25 kg, 30 kg Marillen beim Obsthändler bzw. in der Wachau? b) Ab wie viel kg lohnt es sich für Familie Schneider zum Kauf von Marillen in die Wachau zu fahren? Welche zusätzlichen Faktoren gilt es dabei eventuell noch zu berücksichtigen? (Freizeitwert der Wachau; Zeitbedarf;...) Formulierung im deutschen Kontext Andere Preisvergleiche vor Ort (z.B. Soll man Thomy-Öl im Herkules oder billiger im weiter entfernten Real einkaufen?; Erdbeeren zum Selberpflücken) (Mögliche) Lösungen: a) Obsthändler: 120, 240, 480, 600, 720 Schilling Wachau: 300, 360, 480, 540, 600 Schilling b) Bei mehr als 20 kg Marillen lohnt es sich finanziell in die Wachau zu fahren. Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern: „Die Lösung der Aufgabe wurde mit Tabelle angegeben; es wurden 2 Gleichungen aufgestellt, die Terme der rechten Seite wurden gleichgesetzt. Der Graph wurde nicht gezeichnet. Die Aufgaben wurden von den Schülern ernsthaft bearbeitet“ (Lehrerin einer Gymnasialklasse) „Bei allen Gruppen interessierte Mitarbeit. Ein gutes Beispiel für eine methodisch offene Aufgabe, die Anlass zur Methoden-Reflexion und zum Nachdenken über Mathematik bietet.“ (Lehrer einer Gymnasialklasse) „Das Prinzip, so einzusteigen, ist tragfähig; das Stichwort „Marillenaufgabe“ ist auch nach Wochen immer wieder genannt worden. Das Aufgreifen der Aufgaben bei der Behandlung der LGS bietet sich natürlich auch an.“ (Lehrer einer Gymnasialklasse) Eignung, (mögliche) Methoden: Partner- oder Gruppenarbeit 6 Vorschlag 7.5: Abbrennen von Kerzen Versuchsanleitung: Untersuchung des Abbrennverhaltens einer Kerze Gehe vorsichtig mit der Kerze um, da sie beim Umfallen sehr schnell auf etwas Brennbares fallen und leicht brechen kann. Materialien: Zylinderförmige Geburtstagskerze, Heftwachsscheiben, feuerfeste Unterlage, Stoppuhr Durchführung: 1. Räume alle Sachen von deinem Arbeitsplatz, bis auf diesen Zettel und einem Stift. 2. Zeichne mit dem Folienstift auf der Kerze eine genaue Skalierung ein, die dir das exakte Ablesen von bis zu 1 mm möglich macht. Fange dabei von oben an (ab dem geraden Stück) zu messen! 3. Befestige für diesen Versuch die Kerze auf der feuerfesten Unterlage mit Hilfe der Heftwachsscheibe. Achte dabei darauf, dass du die Skalierung gut lesen kannst. 4. Zünde die Kerze an und führe deine Messungen durch. Fülle dabei die Wertetabelle aus. 5. Lass die Kerze insgesamt 4 Minuten brennen. Puste sie vorsichtig aus. Aufräumen: Lass die Kerze abkühlen und stelle sie dann mit der feuerfesten Unterlage auf dem Lehrertisch ab. Räume die restlichen Sachen weg. Beobachtungen: x Zeit [min] y Kerzenhöhe [cm] Höhe der Kerze in cm 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4 Zeit in min Aufgabe: Versuche aus den Werten die Gesamtbrenndauer vorherzusagen. 7 Dabei kannst du auch das Koordinatensystem benutzen; achte auf eine sinnvolle Einteilung. Abbrennen von Kerzen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Wahrnehmung eines näherungsweise linearen Prozesses Übersetzen zwischen verschiedenen Darstellungsformen Übersetzen zwischen Mathematik und Realität Variationen der Aufgabe: die Abbrenngraphen zu anderen Kerzenformen (dicker, dünner, kegelförmig, pyramidenförmig, kugelförmig) argumentativ beschreiben und skizzieren die Steigung und den Ordinatenabschnitt einer linearen Funktion graphisch, am Funktionsterm und in verschiedenen Kontexten auch inhaltlich deuten eine Prognose für eine dickere Kerze aufstellen und diese in einer Doppelstunde abbrennen lassen Verschiedene Situationen vorgeben und zusammen mit inhaltlicher Bedeutung der Steigung (Änderungsrate), Anfangszustand (Wert für b), Funktionsgleichung, Wertetabelle und Funktionsgraph in einer Tabelle darstellen. Mögliche Situationen: 1. Eine 15 cm lange Kerze brennt gleichmäßig in 12 Stunden ab 2. In einem Gefäß steht das Wasser bereits 10 cm hoch. Es läuft gleichmäßig Wasser hinzu. 3 Minuten später steht es 55 cm hoch. 3. Ein Haar ist 10 cm lang. Es wird pro Monat 1 cm länger. Quelle: mathelive 8 Fortsetzung durch die folgenden Aufgaben Eignung, (mögliche) Methoden: Partner- oder Gruppenarbeit 1 2 3 4 Eine 15 cm lange zylindrische Kerze wird in 10 min um 12 mm kürzer. a) Stelle diesen Sachverhalt im Koordinatensystem dar. b) Wie lang ist die Kerze nach jeweils 5, 12, 30, 45 min Brenndauer? c) Wie lange dauert es, bis die Kerze ganz herunter gebrannt ist? Benutze das Schaubild und den Term. Vergleiche die beiden Methoden. Zu vier Kerzen, die gleichzeitig abbrennen, werden die zugehörigen Geraden in ein Koordinatensystem gezeichnet. Sie verlaufen parallel. Welche Schlüsse lassen sich daraus über die vier Kerzen ziehen? Vier zylindrische Kerzen, die gleich lang, aber verschieden dick sind, brennen gleichzeitig ab. Was kannst du über den Verlauf der vier zugehörigen Geraden und über die Terme / Gleichungen sagen? Eine 12 cm lange Kerze brennt in 10 Stunden gleichmäßig ab. Eine 20 cm lange Kerze brennt in 8 Stunden ab. Stelle Funktionsgleichungen auf und zeichne die Graphen in ein Koordinatensystem. a) Die beiden Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Wann sind sie gleich lang? b) Es wird nur die lange Kerze angezündet. Wie lange muss sie brennen, bis sie so lang ist wie die kurze? 8 Vorschlag 7.6: Übersetzungen zwischen Graph und Term Finde die Funktionsterme f1 (x), f2 (x), ..., f10 (x) zu den gezeichneten Geraden 1 - 10. 1 3 5 2 4 6 7 8 9 10 9 Übersetzungen zwischen Graph und Term: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Zeichnens von linearen Funktionsgraphen sowie Ablesen der Funktionsgleichung zu gegebenen Geraden Variationen der Aufgabe: Die Schüler zeichnen selber lineare Funktionen und der Nachbar muss sie „identifizieren“. (Mögliche) Lösungen: 1. y = -2x + 3 2. y = 2x 3. y = 3x - 4 4. y = x 5. y = 0,5x + 2 6. y = -x 7. y = -2,5x - 3 8. y = 4x - 1 9. y = -2x + 5 10. y = 1,5x + 3 Bemerkungen: Auf den beiden folgenden Seiten sind Koordinatensysteme abgedruckt, die auf Folie kopiert werden können. Durch (gegebenenfalls verschiedenfarbige) Geraden, die auf ca. 3 cm breite Folienstreifen gezeichnet werden, erhält man eine gute Möglichkeit, schnell die Graphen von linearen Funktionen zu zeichnen. Variationen der Aufgabe: Ein Schüler sagt die Funktionsgleichung einer linearen Funktion. Ein anderen muss am Overheadprojektor den Graph „legen“ Bei der Kontrolle der Hausaufgaben einsetzen Ständig variieren: „Wie lautet die Funktionsgleichung der parallelen Gerade, die durch den Punkt (0|2) verläuft?“ etc. Auch in Partnerarbeit einsetzbar: Dazu Koordinatensystem kopieren und Geraden auf Folie vorgeben Steckbretter aus der Mexbox benutzen Eignung, (mögliche) Methoden: In allen Bildungsgängen 10 11 12 Vorschlag 7.7 Geometrische Figuren im Koordinatensystem Bestimme möglichst viele verschiedene lineare Funktionen so, dass die Fläche, die von der x-Achse, den gestrichelten Linien und dem Graphen der linearen Funktion umschlossen wird, den Inhalt 12 FE hat. Welche geometrischen Figuren entstehen dabei? 13 Geometrische Figuren im Koordinatensystem: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Festigung Wiederholung Flächeninhalte Vernetzung Variationen der Aufgabe: Behandlung der allgemeinen Geradengleichung durch einen bestimmten Punkt In nebenstehendem Schaubild sieht man den Graphen einer linearen Funktion. a) Gib die Funktionsgleichung an. b) Zeichne eine Parallele zur y-Achse so, dass Graph, x-Achse und die beiden Parallelen einen Gesamtflächeninhalt von 4 FE einschließen. c) Welche Figuren können entstehen? (Mögliche) Lösungen: Alle geometrischen Figuren, die durch eine Gerade, die durch den Punkt (4/3) geht, entstehen. Eignung, (mögliche) Methoden: Partnerarbeit Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern: „Einigen war sofort klar, dass es unendlich viele Geraden gibt, die durch (4/3) verlaufen. Andere haben y=3 eingezeichnet und kamen nur mit Mühe auf das Dreieck und das Trapez (dann aber nur eins!)“ 14 Vorschlag 7.8: Bauen mit linearen Funktionen K 15 16 17 Bauen mit linearen Funktionen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Vertiefung Übung Variationen der Aufgabe: Andere eventuell reale Verbindungen zwischen zwei Punkten durch lineare Funktionen erstellen (z.B. auf der Landkarte Straßen zwischen Städten planen) Eignung, (mögliche) Methoden: Partner- oder Gruppenarbeit Auch für Realschule Bemerkung: ‚Kreuz und quer’ bedeutet auch, dass die Fragen nicht in der angegebenen Reihenfolge gelöst werden können. 18 Vorschlag 7.9: Zeichen mit linearen Funktionen Zeichne die Graphen folgender Funktionen in ein Koordinatensystem ein: 1. y x2 2. y x 3. y x3 4. y2 5. für x [2;1] 3 1 für x ; 2 2 5 2 für x 1;0 1 1 für x 1; und x ;1 4 4 3 1 1 3 y 1 für x ; und x ; 2 2 2 2 y0 für x 2;2 6. 7. y x 2 8. y x 9. y x 3 für x 0;1 5 2 für x 1;2 1 3 für x ; 2 2 Zeichen mit linearen Funktionen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Abschnittweises Zeichnen von linearen Funktionen Variationen der Aufgabe: Im Anschluss oder anstatt dieser Aufgabe können die Schüler versuchen, mit linearen Funktionen selber Figuren im Koordinatensystem zu zeichnen. Reihenfolge der Funktionen ändern, damit Bild erst später erraten wird (Mögliche) Lösungen: Es entsteht eine Tanne (siehe nebenstehende Abbildung) Eignung, (mögliche) Methoden: Am Ende der Einheit oder vor den Weihnachtsferien oder zwischendurch Einzel- bzw. Partnerarbeit Wenn Def.bereich thematisiert wurde auch für Realschule Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern: „Nach anfänglichem Maulen ging auf einmal ein Raunen durch die Klasse: „Ich glaube, das wird ein Weihnachtsbaum!“ Völlig verblüfft legten auch schwächere Schüler ihren Ehrgeiz hinein, diese Tanne möglichst sauber im Heft zu haben.“ Quelle: Weiß, Astrid: Weihnachtsbaum als Zeichendiktat in Klasse 9, in: mathematik lehren (1996) Heft 79, S. 69. 19 Vorschlag 7.10: Arbeitsblatt-BahnCard Wann lohnt sich die BahnCard ? 20 Arbeitsblatt-BahnCard: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Einführung linearer Funktionen Festigung des Funktionsbegriffs und der verschiedenen Darstellungsarten Variationen der Aufgabe: Vergleich anderer Tarife (z.B. Strom-, Mülltarife,...) Ausgangsort lokal anpassen Eignung, (mögliche) Methoden: Einzel- oder Partnerarbeit Aufgabe 1 auch für Realschule Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern: „Während Aufgabe 1 von den meisten Schülern problemlos bewältigt wurde, war bei der 2. und 3. Aufgabe eine Lenkung durch den Lehrer bzw. eine gemeinsame Erarbeitung an der Tafel erforderlich. Insbesondere Begründungen fallen schwer, was exemplarisch an einer Schüler-Lösung („Ich rechne 65 DM 2 : 0,272 !“) deutlich wird: Der Schüler kann seinen (richtigen) Rechenweg nicht nachvollziehbar begründen.“ 21 Vorschlag 7.11: Internet Der Internet-Provider 1&1 hat zum 1.5.1999 seine Tarife verändert. Alter Tarif: 2 Freistunden pro Monat, dann jede weitere Minute 5 Pfennig für den Internet Zugang. Allerdings kommen noch die Telefongebühren zum City-Tarif dazu, diese ohne Freistunden. Neuer Tarif: Pro Minute 6 Pfennig (unabhängig von der Tageszeit) einschließlich der Telefongebühren; keine Freistunden. a) Zeichne in ein gemeinsames Koordinatensystem drei Graphen für die Zuordnung Zeit Gesamtkosten bis zu 6 Stunden für i) alter Tarif, Surf-Zeiten immer zwischen 21 und 5 Uhr (also je 240 Sekunden für 12 Pfennig Telefongebühren) ii) alter Tarif, Surf-Zeiten immer zwischen 9 und 18 Uhr (also je 90 Sekunden für 12 Pfennig Telefongebühren) iii) neuer Tarif b) Wärst du als Kunde mit der Tarifänderung zufrieden? Begründe deine Antwort ausführlich. c) Stell dir vor, du solltest (als Angestellter von 1&1) den Kunden die Tarifänderungen schmackhaft machen. Welche Argumente würdest du benutzen? 22 Internet: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Festigung graphischer Darstellungen Mathematische Argumentationen Variationen der Aufgabe: Vergleich aktueller Internetprovider (Mögliche) Lösungen: (1) y 1,8x für x 0;2 y 4,8 x 6 für x ]2;6] (2) y 4,8x für x 0;2 y 7,8 x 6 für x ]2;6] (3) y 3,6x für x 0;6 Kundensicht: Die Zufriedenheit richtet sich nach meiner Nutzung: Wenn ich tagsüber surfe, habe ich mit dem neuen Tarif einen dauernden Vorteil unabhängig von der Nutzungsdauer. Wenn ich nachts surfe, habe ich erst einen Vorteil mit dem neuen Tarif ab einer Nutzung von 5 Stunden. Firmensicht: Ein Kunde wird, da er tagsüber arbeitet, erst abends oder nachts surfen. Innerhalb eines Monats sind 5 Stunden schnell erreicht, und dann ist der neue Tarif wirklich günstiger. Ein Kunde, der tagsüber surft, liegt mit dem neuen Tarif immer günstiger. Eignung, (mögliche) Methoden: In einer Klassenarbeit verwendbar (dauert aber etwas) Gruppenarbeit Spätere Vernetzung möglich: Lineare Gleichungssyteme Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern: „Die Lösungsvielfalt war sehr groß, leider war auch die Qualität der Ausarbeitungen recht unterschiedlich.“ 23 Prozent der Gesamtwäsche Vorschlag 7.12: Wäsche waschen Jahr Schreibe mit Hilfe der hier abgebildeten Diagramme und (Schau-)Bilder eine (mathematische) Geschichte über die Entwicklung des Wäschewaschens. Falls dir Informationen fehlen, besorge sie aus der Bibliothek, dem Internet, beim Fachverkäufer etc. 24 Wäsche waschen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Umgang mit linearen Funktionen Übersetzung der mathematischen Sprache in einen zusammenhängenden Text Variationen der Aufgabe: Betrachtung anderer funktionaler linearer Zusammenhänge (z.B. Zusammensetzung des Hausmülls einer Stadt im Verlauf der Jahre) Untersuchung einer realen Waschmaschine (z.B. Aufstellen des Graphen Zeit Anzahl der geschätzten Umdrehungen bis zum Zeitpunkt x) Eignung, (mögliche) Methoden: Einzel- oder Partnerarbeit Hausaufgabe Kleines Projekt 25 Vorschlag 7.13: Fahren mit dem ICE Ein ICE beschleunigt von 0 auf 100 km/h in einer Minute und 6 Sekunden. Dann beschleunigt er weiter in 2 Minuten und 14 Sekunden von 100 km/h auf 200 km/h. Zuletzt beschleunigt er von 200 km/h auf 250 km/h in 3 Minuten. a) Stelle den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Zeit näherungsweise dar (graphisch und durch Angabe einer Funktionsgleichung). b) Berechne jeweils den gesamten zurückgelegten Weg, bis der ICE eine Geschwindigkeit von 100 km/h, 130 km/h bzw. 250 km/h erreicht hat. Fahren mit dem ICE: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Modellieren Argumentieren (Mögliche) Lösungen: Teil a) verlangt einen Wechsel der Darstellungsebene und die Angabe einer Funktionsgleichung einer abschnittsweise definierten linearen Funktion. Teil b) ist durch eine weitere Modellannahme (konstante Durchschnittsgeschwindigkeit in jedem angegebenen Teilintervall) lösbar. Zudem muss ein Teilgraph zur Berechnung des Wertes zu 130 km/h linear interpoliert werden (Vernetzung Algebra mit Geometrie). Eignung, (mögliche) Methoden: Aufgabenstellung für leistungsstarke Lerngruppen Partner- bzw. Gruppenarbeit 26 Vorschlag 7.14: Kapitänsaufgabe Ein Schiff startet vom Hafen Entenhausen und ist nach 4 Stunden im 120 km entfernten Hafen von Goofytown. Gleichzeitig mit ihm startet ein etwas schnelleres Schiff im Hafen von Goofytown und ist nach 3 Stunden im Hafen von Entenhausen. Unten siehst du das Zeit-Ort-Diagramm für die beiden Schiffe. Gib anhand des Diagramms zumindest ungefähre Antworten auf folgende Fragen: a) Wann und wo fahren die beiden Schiffe aneinander vorbei? b) Die Kapitäne der beiden Schiffe besitzen Ferngläser, mit denen sie ungefähr 20 km weit sehen können. In welchem Zeitintervall können die beiden Kapitäne einander im Fernglas beobachten? Wo befinden sich die beiden Schiffe dabei ungefähr? c) Finde selbst weitere geeignete Fragen und beantworte sie. Quelle: Mathe-Welt, in: mathematik lehren (2000) Heft 103, S. 3. 27 Kapitänsaufgabe: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Informationen aus der graphischen Darstellung von linearen Funktionen entnehmen. Variationen der Aufgabe: Zu dem gegebenen Zeit-Ort-Diagramm sich Fragen überlegen und diese sich gegenseitig mit dem Nachbarn stellen bzw. beantworten. Zu einer gegebenen Geschichte ein Zeit-Ort-Diagramm zeichnen oder umgedreht zu einem vorgegebenen Zeit-Ort-Diagramm eine Geschichte schreiben. d) Wie schnell fahren die beiden Schiffe? Gib die Geschwindigkeit in km/h an. e) Wie weit ist das erste Schiff noch vom Hafen in Goofytown entfernt, wenn das zweite Schiff gerade im Hafen von Entenhausen ankommt? (Mögliche) Lösungen: a) Die beiden Schiffe fahren ungefähr nach 1,7h = 1h 42min aneinander vorbei. b) Ungefähr zwischen 1,4h = 1h 24min und 2h sind die beiden Schiffe höchstens 20 km voneinander entfernt. In diesem Zeitintervall können die beiden Kapitäne einander im Fernglas sehen. Die beiden Schiffe sind dabei ungefähr 40 bis 64 km von Entenhausen entfernt. d) Das erste Schiff fährt ungefähr mit 30 km/h, das zweit mit ungefähr 40 km/h. e) Wenn das zweite Schiff im Hafen von Entenhausen anlangt, ist das erste Schiff vom Hafen in Goofytown noch ungefähr 30 km entfernt. Eignung, (mögliche) Methoden: Einzel- oder Partnerarbeit 28 Vorschlag 7.15: Tropfsteinhöhle In Tropfsteinhöhlen tropft an verschiedenen Stellen kalkhaltiges Wasser von der Decke. Durch ständige Kalkablagerungen bildet sich an jeder solcher Stelle ein von der Decke hängender Tropfstein (Stalaktit) und ein vom Boden aufsteigender Tropfstein (Stalagmit). Diese Tropfsteine wachsen allerdings sehr langsam und brauchen zu ihrer Entstehung viele tausend Jahre. Anhand der Zeichnung können eine Reihe von Fragen rechnerisch und dann zur Kontrolle auch zeichnerisch beantwortet werden. Finde selbst eine geeignete Frage und beantworte sie! Quelle: Mathe-Welt, in: mathematik lehren (2000) Heft 103, S. 3. 29 Tropfsteinhöhle: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Einführung von linearen Funktionen Variationen der Aufgabe: Fragestellungen weglassen und die Schüler sich selbst Fragen überlegen lassen, die sie im Anschluss daran bearbeiten. (1) Nach wie vielen Jahren bilden die beiden Tropfsteine eine zusammenhängende Säule, wenn wir annehmen, dass das so weitergeht? (2) Wie weit sind die beiden Tropfsteine dann nach 20 000 Jahren voneinander entfernt? (3) Nach wie vielen Jahren sind die beiden Tropfsteine nur noch 50 cm voneinander entfernt? (Mögliche) Lösungen: 1) Nach ca. 30000 Jahren 2) Ca. 100 cm 3) Nach ca. 25000 Jahren Eignung, (mögliche) Methoden: Partnerarbeit Auch Realschule Spätere Vernetzung möglich (Lineare Gleichungssysteme) 30 Vorschlag 7.16: Wiederholung von Funktionen 1. Felix grübelt über den unten aufgeführten Aufgabenstellungen. Seine ältere Schwester Gil hilft ihm und füllt einige Felder in der Tabelle aus. Versuche, die restlichen Einträge zu ergänzen. a.) Ich habe einen Blumenstrauß für x DM gekauft und mit einem Hundertmarkschein bezahlt. Als Wechselgeld habe ich y DM erhalten. b.) Gegeben ist ein quadratisches Blumenbeet mit Seitenlänge x. Der Flächeninhalt ist y. c.) Das Blumenbeet ist nun rechteckig. Der Flächeninhalt beträgt 36 m2. Die Länge des Rechtecks ist x und die Breite y. d.) Ich habe x kg Zucker gekauft. 1 kg kostete 1,50 DM. Der Gesamtpreis betrug y DM. b. c. d. y 1,5 x Veranschaulichung Graph Term Wertetabelle a. 2. Nachdem Felix die leeren Tabellenfelder ausgefüllt hat, kommt seine Schwester wieder ins Zimmer. Sie sagt: „Situation 1 und 3 sind ähnlich.“ Inwiefern stimmt dies. Erkläre! Finde selbst möglichst viele andere Gemeinsamkeiten von zwei verschiedenen Situationen. Quelle: Mathe-Netz 8, S. 60 (verändert) 31 Wiederholung von Funktionen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Abgrenzung der bisher behandelten Funktionstypen Aufbau einer Grundvorstellung von Funktionen Übersetzen zwischen Realität und Mathematik Übersetzen zwischen verschiedenen Darstellungsebenen von Funktionen (Mögliche) Lösungen: (1) a. c. y xx y x2 x y 100 y 100 x x y 36 y 36x d. x 0 1 2 3 … y 0 1,5 3 4,5 … y 1,5 x Veranschaulichung Graph Term Wertetabelle b. (2) a. und c. a. und d. b. und c. b. und d. a., b. und c. a. und b. je mehr desto weniger Graph fallend nicht durch Ursprung x + y = const. vs. x y = const. Graphen sind Geraden Konstantes Wachsen bzw. Fallen geht um Geld Graphen sind Kurven geht um Flächeninhalte Graphen gehen durch den Ursprung je mehr desto mehr wachsend geht um Blumen keine erkennbaren Gemeinsamkeiten 32 Vorschlag 7.17: Rätsel In das Gitter sind mathematische Begriffe zum Thema „Funktionen“ einzutragen. Hier sind die zugehörigen Umschreibungen angegeben. Zur Kontrolle sind die Lösungswörter in dem unten abgebildeten Buchstaben-Gitter versteckt. Diese können waagerecht, senkrecht oder diagonal (von links oben nach rechts unten oder von rechts oben nach links unten) gelesen werden (sowohl vorwärts als auch rückwärts). Waagerecht 2. zeichnerische Darstellung 4. Kurve 6. benötigt man für ein Koordinatensystem 7. zentraler Punkt 9. bestimmt den Schnittpunkt mit einer Achse 10. FUNKTION 11. viele einfache Zuordnungen sind... 13. Anordnung von Zahlenpaaren 14. je-mehr-desto-weniger-Zuordnung Senkrecht 1. eindeutige Beziehung 3. kennzeichnet den Verlauf von Geraden 5. Französischer Mathematiker und Philosoph 8. sagt, wie zugeordnet wird 12. Gleichungstyp Quelle: Elemente Unterrichtsmaterialien Band 2, Schroedel, 2001, S. 235. 33 Rätsel: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Abfrage der in dieser Einheit auftauchenden mathematischen Vokabeln Variationen der Aufgabe: Ein eigenes Kreuzworträtsel erstellen und vom Nachbarn lösen lassen (Mögliche) Lösungen: 1. Zuordnung 2. Schaubild 3. Steigung 4. Hyperbel 5. Descartes 6. Achsen 7. Ursprung 8. Funktionsterm 9. Absolutglied 10. FUNKTION 11. Proportional 12. Linear 13. Wertetabelle 14. Antiproportional Eignung, (mögliche) Methoden: Hausaufgabe Am Ende der Einheit als Kontrolle Einzel- bzw. Partnerarbeit 34 Vorschlag 7.18: Aufgaben zu (linearen) Funktionen 1 Bäume wachsen unterschiedlich schnell und hoch. Übertrage die Daten in ein Koordinatensystem und vergleiche die Wachstumsformen. Finde „Rekordbäume“, die besonders schnell wachsen alt werden hoch werden dick sind 2 Beim Start einer Rakete mit einer Startmasse von 800 t werden in den ersten zwei Minuten 612 t Treibstoff verbrannt. Dieser Vorgang verläuft gleichförmig. a) Gib für die Funktion f: Zeit (in min) Masse der Rakete (in t) und g: Zeit (in sek) Masse der Rakete (in t) je eine Funktionsvorschrift an. b) Zeichne den Graphen der Funktion f. c) Lies die Antworten auf folgende Fragen am Graphen der Funktion f ab. Wie viel t wiegt die Rakete 1½ min nach dem Start? Nach wie viel Sekunden wiegt die Rakete nur noch 500 t? 3 Eine Vase wird mit gleichmäßig zulaufendem Wasser gefüllt. In der Tabelle ist eingetragen, wie hoch das Wasser zu den jeweiligen Füllzeiten steht. a) Übertrage die Werte in ein Koordinatensystem und verbinde die Punkte zu einer Kurve. b) Wie könnte die Vase aussehen? Vergleicht eure Lösungen miteinander. c) In welchem Zeitraum steigt das Wasser am schnellsten? d) Lässt sich eine Antwort leichter aus der Tabelle oder dem Schaubild ablesen? 4 Eine Versicherung veröffentlicht die abgebildete Grafik. a) Wie ist das Verhältnis von Beitragszahlern zu den Rentenempfängern heute und wie wird es sich verändern? b) Was beabsichtigt die Versicherung vermutlich mit dieser Veröffentlichung? c) Wie beurteilst du die dargestellte Prognose? Was kann sie für dich bedeuten? 5 Erkundige dich nach den Tarifen der Post oder denen eines anderen Anbieters und stelle fest, ob folgende Zuordnungen eine Funktion darstellen: Gewicht ( ) Porto. 35 1 Für ein Kraftfahrzeug hat man festgestellt, dass sich der Anhalteweg y (in m) beim Bremsen aus der vorher gefahrenen Geschwindigkeit x (in km/h) mit Hilfe einer Gleichung berechnen lässt: (1) y = 0,01x2 + 0,3x (ohne Verwendung eines Antiblockiersystems) (2) y = 0,0095x2 + 0,3x (bei eingebautem Antiblockiersystem) a) Berechne für die Geschwindigkeiten 30km/h, 60km/h,...,150km/h den zugehörigen Anhalteweg. Fasse die Ergebnisse in einer Wertetabelle zusammen und zeichne die Graphen. b) Zeichne den Graphen der Zuordnung Geschwindigkeit (in km/h) Abstand (in m) in ein Koordinatensystem. Vergleiche mit dem Graphen in a). 2 Svetlana: „Du kannst die Steigung m = 3/7 auch einzeichnen, indem du von einem Punkt der Geraden 7 Einheiten nach links und 3 Einheiten nach unten gehst.“ „Gut, dann kann man auch m = -2/5 einzeichnen, indem man 5 Einheiten nach links und 2 Einheiten nach unten geht,“ erwidert Kai. Nimm zu beiden Äußerungen Stellung und verdeutliche deine Argumentation an selbst gewählten Beispielen. 3 Gib jeweils eine Funktionsvorschrift an und berechne f(-2), f(-1/2) und f(2,2). 4 Im Jahre 1202 erschien das Werk „Liber abaci“ des Mathematikers Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci. Aus diesem Buch stammt das folgende Problem. a) b) c) d) f: Zahl das Dreifache der Zahl vermindert um Eins f: Zahl Kehrwert f: Zahl Eins vermindert um das Quadrat der Kehrzahl f: Zahl die Hälfte der Zahl Ein Kaninchenpaar wirft vom 2.Monat an in jedem Monat ein junges Paar, und bei den Nachfahren ist es ebenso. Die Monatszählung beginnt mit dem ersten Monat, in dem das erste Kaninchenpaar lebt. Die Funktion a ordnet jeder Monatsnummer die Anzahl der in diesem Monat lebenden Kaninchenpaare aus der betrachteten Familie zu. Fülle die Tabelle vollständig aus. (Erst im Jahre 1843 gelang es dem Mathematiker Jacques Philippe Marie Binet, für die Funktion a einen Funktionsterm anzugeben!) 5 Starte eine Stoppuhr mit dem Anschalten einer Kaffeemaschine und lies ab, wie lange es dauert, bis eine, zwei, drei, vier, fünf,... Tassen Kaffee durchgelaufen sind! Notiere deine Ergebnisse in einer Tabelle! Lässt sich der Vorgang angenähert durch eine lineare Funktion beschreiben und wenn durch welche? 36 1 In einer Regentonne steht das Wasser 30cm hoch. Nachdem es nachts geregnet hat, ist sie am nächsten Morgen voll. Wie könnte der Graph verlaufen, wenn es jeweils von 1 Uhr bis 1.30 Uhr und von 3.30 Uhr bis 4.00 Uhr heftige Schauer gab und es dazwischen nicht geregnet hat? Skizziere und vergleiche die Graphen. 2 Ein Dreieck im Koordinatensystem ist durch die Punkte A(0/-3), B(1/1) und C(-3/2) festgelegt. Bestimme die Gleichungen der drei Geraden, die das Dreieck umranden. 3 An dem Salatbuffet wird der Salat mit Teller gewogen. Löse zeichnerisch und rechnerisch: a) Jörg muss 5,10 DM für seine Salatportion bezahlen. Wieviel g Salat hat er auf seinem Teller? b) Wieviel g wiegt der Teller? 4 Überlege dir, dass sich eine Gerade auch durch eine Gleichung der Form: ax + by + c =0 mit a, b, c darstellen lässt. a) Für welche Werte von a, b und c erhält man Geraden mit positiver Steigung? b) Welche Bedingungen müssen für a, b und c gelten, damit die Geraden parallel zur x-Achse bzw. parallel zur y-Achse verlaufen? c) In welchen Fällen liegt eine lineare Funktion vor? 5 Die weltweite Erdgasreserven wurden 1993 auf etwa 141,8 Billionen m3 geschätzt. Die jährliche Fördermenge betrug etwa 2,5 Billionen m3. a) Bestimme für die Zuordnung Zeit (in Jahren seit 1993) Erdgasreserven (in m3) die Gleichung unter der Voraussetzung, dass sich die jährliche Fördermenge nicht ändert. Wie lange würden die geschätzten Erdgasreserven reichen? b) Wie lange reichen die Erdgasreserven, wenn die Produktion von heute an auf jährlich zwei Billionen Kubikmeter zurückgefahren würde? c) In Russland lagern etwa 60% der Welterdgasreserven. Das russische Energieunternehmen „Gazprom“ möchte die jährliche Fördermenge von 650 Milliarden m3 auf 1 Billion m3 steigern. Wie lange reichen unter diesen Voraussetzungen die Erdgasreserven in Russland? 37 Quellen: MatheNetz 8 (2000), MatheLive 8 (2001), Lambacher Schweitzer 8 (1996), Schnittpunkt 8 (1994), Mathematik heute 8 (1995), Zahlen und Größen 8 (2000), Mathematik 8 (1994), Die Welt der Zahl (1994), Elemente der Mathematik 8 (1994), Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sek. I (2001). Aufgaben zur Anwendung: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Übung / Anwendung Vertikale Vernetzung (Mögliche) Lösungen: Blatt (1) (2) a) f(m) = 800 - 306m b) g(s) = 800 - 5,2s c) Die Rakete wiegt dann 341 t. Nach ca. 59s wiegt sie nur noch 500t. Blatt (2) (1) a) 30 km/h 60 km/h 90 km/h 120 km/h 150 km/h (1) 18 m 54 m 108m 180 m 270 m (2) 17,55 m 52,2 m 103,95 m 172,8 m 258,75 m (3) (4) Monatsnummer Anzahl der Paare 1. 1 2. 1 3. 2 4. 3 5. 5 6. 8 7. 8. 9. 10. 13 21 34 55 38 Blatt (3) (2) AB: y1 = 4x – 3 x [0 ;1] BC: y2 = -1/4x + 1,25 x [-3 ;1] CA: y3 = -5/3x – 3 x [-3 ;0] (3) a) Er hat 255 g Salat. b) Der Teller wiegt 375 g. Graphische Lösung: (5) a) y = -2,5x + 141,8 x-Anzahl der Jahre seit 1993 / y-Erdgasreserve Die geschätzten Erdgasreserven würden noch ca. 57 Jahre reichen. b) 71 Jahre c) 85 Jahre 39 Vorschlag 7.19: Funktionenpuzzle 40 Funktionenpuzzle: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Übersetzen zwischen verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen Variationen der Aufgabe: Ein Spielbrett vorgeben (Raute, siehe Lösung) Hilfestellung: „Alle Koordinatensysteme liegen wie üblich, also x-Achse nach rechts und y-Achse nach oben“ (Mögliche) Lösungen: Siehe Abbildung. Dabei wurden die Puzzleteile in der Vorlage zeilenweise von links nach rechts durchnummeriert. Die Lösungsraute gibt die Position jedes Puzzleteils an. Eignung, (mögliche) Methoden: Partnerarbeit Erfahrungen: Modellversuchslehrerin (Gesamtschule): Nicht ganz einfach, aber anregend, kommunikativ und für Gymnasium bzw. A-Kurse geeignet, evtl. sogar für B-Kurse, aber mit erheblichem Zeitaufwand. 41
