07 Lineare Funktionen

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Materialien zum Modellversuch:
Vorschläge und Anregungen zu einer
veränderten Aufgabenkultur
(7)
Zum Themengebiet
Lineare Funktionen
Vorschlag Nr. 7.1: Hungergefühlgraph ................................................................ 3
Erstellen und Lesen von „persönlichen“ Graphen zum Thema „Hunger“
Vorschlag Nr. 7.2: Carmens Schultag ................................................................... 4
Einführung in graphische Darstellungen anhand eines Tagesablaufs
Vorschlag Nr. 7.3: Flaschen hinterm Steuer ........................................................ 5
Abbau von Alkohol im menschlichen Körper als Beispiel eines linearen Abnahmeprozesses
Vorschlag Nr. 7.4: Marillen .................................................................................... 6
Anhand von linearen Funktionen bei Preisvergleichen soll der Sinn einer Schnäppchenjagd
hinterfragt werden
Vorschlag Nr. 7.5: Abbrennen von Kerzen .......................................................... 7
Eine Geburtstagskerze brennt recht schnell ab und eignet sich daher gut um einen
näherungsweise linearen Prozess sinnlich wahrzunehmen. Darüber hinaus eröffnet das
Kerzenbeispiel zahlreiche Variationen
Vorschlag Nr. 7.6: Übersetzungen zwischen Graph und Term .......................... 9
Übungen und Vorschläge zum Zeichnen von Graphen zu geg. Termen und zum Ablesen der
Funktionsvorschrift bei geg. Graphen
Vorschlag Nr. 7.7: Geometrische Figuren im Koordinatensystem .................. 13
In einem Koordinatensystem sollen die Graphen linearer Funktionen so eingezeichnet
werden, dass ein vorgegebener Flächeninhalt eingeschlossen wird. Dadurch entstehen
bekannte geometrische Figuren
Vorschlag Nr. 7.8: Bauen mit linearen Funktionen ........................................... 15
Zwei Arbeitsblätter zum Aufstellen linearer Funktionen
Vorschlag Nr. 7.9: Zeichen mit linearen Funktionen ........................................ 19
Aus verschiedenen abschnittweise definierten Funktionen entsteht eine Figur im
Koordinatensystem
Vorschlag Nr. 7.10: Arbeitsblatt-BahnCard ...................................................... 20
Mithilfe von linearen Funktionen soll überprüft werden, ab wann sich die Anschaffung einer
BahnCard lohnt
Vorschlag Nr. 7.11: Internet................................................................................. 22
Anregung zu mathematischer Argumentationen durch Beurteilung neuer Internettarife
Vorschlag Nr. 7.12: Wäsche waschen .................................................................. 24
Anhand von vorgegebenen Informationen in Form von linearen Funktionen soll ein
mathematischer Aufsatz geschrieben werden
Vorschlag Nr. 7.13: Fahren mit dem ICE ........................................................... 26
Anspruchsvolle Aufgabe zum Verhältnis von Beschleunigung und zurückgelegtem Weg
Vorschlag Nr. 7.14: Kapitänsaufgabe ................................................................. 29
Anhand der Graphen zweier Funktionen sollen verschiedene Fragen beantwortet werden
Vorschlag Nr. 7.15: Tropfsteinhöhle ................................................................... 27
Der Entstehungsprozess von Stalaktiten und Stalagmiten soll mithilfe von linearen
Funktionen beschrieben werden
Vorschlag Nr. 7.16: Wiederholung von Funktionen .......................................... 30
Neben einer Abgrenzung der bekannten Funktionstypen bietet dieser Vorschlag interessante
Übersetzungsmöglichkeiten und schult somit die Schülervorstellungen zu Funktionen
Vorschlag Nr. 7.17: Rätsel .................................................................................... 32
Kreuzworträtsel zu linearen Funktionen
Vorschlag Nr. 7.18: Aufgaben zur Anwendung ................................................. 34
Sammlung verschiedener Aufgaben zur Anwendung linearer Funktionen
Vorschlag Nr. 7.19: Funktionenpuzzle ................................................................ 40
Spielerische Übung in Form eines Puzzles in der zwischen verschiedenen Darstellungsformen
von Funktionen übersetzt werden muss
Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms
"Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen
Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird.
2
Vorschlag 7.1: Hungergefühlgraph
Hungergefühl
a) Zeichne einen Graphen, der dein Hungergefühl am Vortag beschreibt.
7
9
11
13
15
17
19
21
Tageszeit [Uhr]
b) Tausche nun deinen Graphen mit dem deines Nachbarn / deiner
Nachbarin
und beantworte die folgenden Fragen im Heft. Begründe
deine Antworten
sorgfältig.
1.
2.
3.
4.
Wie viele Mahlzeiten aß sie / er während des Tages?
Um wie viel Uhr gab es Frühstück, Mittagessen, Abendbrot?
Ist dein Nachbar / deine Nachbarin ein "Schlinger" oder ein „Genießer“?
Von wann bis wann lag der längste Zeitraum zwischen zwei Mahlzeiten? Wie
lang war er?
5. Um wie viel Uhr war das Hungergefühl am größten?
6. Welche Mahlzeit war die größte? (schwierig !!)
7. Hat dein Partner / deine Partnerin ein vernünftiges Essverhalten?
c) Wenn ihr alle Fragen beantwortet habt, tauscht ihr eure Graphen wieder zurück.
Lest euch die Antworten gegenseitig vor und besprecht sie. Falls ihr dadurch
Fehler in euren Graphen entdeckt, müsst ihr sie verbessern.
Quelle: Rosi Heinrich (Wissenschaftliche Einrichtung Laborschule).
Hungergefühlgraph: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Wiederholung von Zuordnungen
 Übersetzen von persönlichen Gefühlen in die Sprache der Mathematik
Variationen der Aufgabe:
 Andere persönliche Funktionen zeichnen lassen wie z.B. Angst vor/während der
Mathematikarbeit
 Aufgreifen der Einteilung der Hunger-Achse (Stellen für mittel / riesig oder anders?)
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partnerarbeit
3
Vorschlag 7.2: Carmens Schultag
Carmens Schultag beginnt um 7.00 Uhr. Sie fährt
zunächst mit dem Bus zur Schule. Um 8.00 Uhr
beginnt der Unterricht. Von 9.30 Uhr bis 9.50 Uhr
und von 11.20 Uhr bis 11.40 Uhr ist Pause. Um
13.10 Uhr endet der Unterricht. Um 14.00 Uhr ist
Carmen wieder zu Hause.
a) Zeichne den Graphen der Zuordnung
Gesamtzeit der Abwesenheit von zu Hause  reine Unterrichtszeit.
b) Zeichne einen entsprechenden Graphen für deinen eigenen
Schultag.
(Quelle: Lambacher Schweizer 8 (1988), S. 136)
Carmens Schultag: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Wiederholung / Festigung von Zuordnungen
 Argumentieren
Variationen der Aufgabe:
 In Partnerarbeit: Darstellung des Schulalltags des Nachbarn aufgrund dessen Erzählung
 Zielumkehrung: Rekonstruktion des Schulalltags des Nachbarn aufgrund des von ihm
gezeichneten Graphen
 Vertiefung: Beschreibe den Schulalltag als abschnittweise definierte lineare Funktion
 Vernetzung: Wie viel Prozent des Tages verbringt man in der Schule / im Zusammenhang
mit der Schule?
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partnerarbeit
Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern:
 „Klärung der Größen, Zuordnungen der Achsen (in HS: Maßstab) schwierig!“
 „eventuell für die Hauptschule zu offen...mehr Vorgaben.“
 „im Gymnasium auch mit den vorgeschlagenen Variationen machbar.“
4
Vorschlag 7.3: Flaschen hinterm Steuer
Alkohol und Autofahren passen nicht zusammen. bereits bei 0,3‰ muß ein Fahrer mit einer Geldstrafe
Das leuchtet ein. Aber die wenigsten wissen, wie und Führerscheinentzug rechnen, selbst dann, wenn
langsam Alkohol im Körper abgebaut wird. Der er lediglich Anzeichen von Fahrunsicherheit zeigt. Bei
durchschnittliche Abbauwert beträgt lediglich 0,15 0,5‰ liegt auf jeden Fall eine Ordnungswidrigkeit vor,
Promille stündlich. Weder Schlaf Quiz-Frage:
die mit Fahrverbot, Geldstrafe bis zu
noch starker Mokka können dies a) Um wieviel Uhr sind Sie bei einer 3000,- DM und Punkten in Flensburg
beschleunigen. Wer z.B. nach einer Ausgangslage von 1,5‰ um Mitternacht geahndet wird. Darum: Nach
Feier um Mitternacht einen und einem durchschnittlichen Alkohol- Alkoholgenuß lieber Taxi, Bahn &
abbauwert von 0,15‰ stündlich wieder
Alkoholspiegel von 1,5‰ hat, kann restlos nüchtern und
Bus. Jetzt fällt ihnen die
sich leicht ausrechnen, wann er b) wann haben Sie immerhin noch Beantwortung
der
Quiz-Frage
wieder restlos nüchtern ist. Denn einen Alkoholspiegel von 0,5‰?
sicherlich nicht schwer.
Quelle: MUED nach einer Anzeige des Deutschen Verkehrsrats (verändert)
Flaschen hinterm Steuer: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Einstieg in das Thema „Lineare Funktionen“
 Modellbildung
Variationen der Aufgabe:
 Eventuell mit dem Biologielehrer eine parallele Behandlung der diesem Thema
zugrundeliegenden biologischen Prozesse vereinbaren
 Zusätzlich zur Beantwortung der Fragen noch den zugehörigen Graphen zeichnen lassen.
Daran weitere Fragen stellen
 Ausgangswert und Abbaufaktor variieren (Abbaufaktor schwankt individuell zwischen 0,1
und 0,3)
(Mögliche) Lösungen:
 a) 10 Uhr morgens
b) 6.40 Uhr morgens
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partner- oder Gruppenarbeit (Wiederaufgreifen in Jg. 10: Abgrenzung zur Exponentialf.)
5
Vorschlag 7.4: Marillen
Kauft man Marillen beim Obsthändler, so kostet 1kg Marillen
24 Schilling. Familie Schneider fährt in die Wachau und zahlt
dort 12 Schilling/Kilo. Die Fahrtkosten für die Hin- und
Rückfahrt betragen 240 Schilling.
Finde eine geeignete Frage und beantworte sie.
(Vgl. Reichel et al.: Lehrbuch der Mathematik 4 (1998), S. 105.)
Marillen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Einstieg/Vertiefung in das Thema „Lineare Funktionen“
 Umsetzung eines Sachproblems in die Mathematik (Modellieren)
Variationen der Aufgabe:
 a) Wie viel Schilling kosten 5 kg, 10 kg,
20 kg, 25 kg, 30 kg
Marillen beim
Obsthändler bzw. in der Wachau?
b) Ab wie viel kg lohnt es sich für
Familie Schneider zum Kauf von Marillen
in die Wachau zu fahren? Welche
zusätzlichen Faktoren gilt es dabei
eventuell noch zu berücksichtigen?
(Freizeitwert der Wachau; Zeitbedarf;...)
 Formulierung im deutschen Kontext
 Andere Preisvergleiche vor Ort (z.B. Soll
man Thomy-Öl im Herkules oder billiger
im weiter entfernten Real einkaufen?;
Erdbeeren zum Selberpflücken)
(Mögliche) Lösungen:
 a) Obsthändler: 120, 240, 480, 600, 720 Schilling
Wachau: 300, 360, 480, 540, 600 Schilling
b) Bei mehr als 20 kg Marillen lohnt es sich finanziell in die Wachau zu fahren.
Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern:
 „Die Lösung der Aufgabe wurde mit Tabelle angegeben; es wurden 2 Gleichungen
aufgestellt, die Terme der rechten Seite wurden gleichgesetzt. Der Graph wurde nicht
gezeichnet. Die Aufgaben wurden von den Schülern ernsthaft bearbeitet“ (Lehrerin einer
Gymnasialklasse)
 „Bei allen Gruppen interessierte Mitarbeit. Ein gutes Beispiel für eine methodisch offene
Aufgabe, die Anlass zur Methoden-Reflexion und zum Nachdenken über Mathematik
bietet.“ (Lehrer einer Gymnasialklasse)
 „Das Prinzip, so einzusteigen, ist tragfähig; das Stichwort „Marillenaufgabe“ ist auch nach
Wochen immer wieder genannt worden. Das Aufgreifen der Aufgaben bei der Behandlung
der LGS bietet sich natürlich auch an.“ (Lehrer einer Gymnasialklasse)
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partner- oder Gruppenarbeit
6
Vorschlag 7.5: Abbrennen von Kerzen
Versuchsanleitung: Untersuchung des Abbrennverhaltens einer Kerze
Gehe vorsichtig mit der Kerze um, da sie beim Umfallen sehr schnell auf etwas
Brennbares fallen und leicht brechen kann.
Materialien:
Zylinderförmige Geburtstagskerze, Heftwachsscheiben, feuerfeste Unterlage, Stoppuhr
Durchführung:
1. Räume alle Sachen von deinem Arbeitsplatz, bis auf diesen Zettel und einem Stift.
2. Zeichne mit dem Folienstift auf der Kerze eine genaue Skalierung ein, die dir das
exakte Ablesen von bis zu 1 mm möglich macht.
Fange dabei von oben an (ab dem geraden Stück) zu messen!
3. Befestige für diesen Versuch die Kerze auf der feuerfesten Unterlage mit Hilfe der
Heftwachsscheibe. Achte dabei darauf, dass du die Skalierung gut lesen kannst.
4. Zünde die Kerze an und führe deine Messungen durch. Fülle dabei die
Wertetabelle aus.
5. Lass die Kerze insgesamt 4 Minuten brennen. Puste sie vorsichtig aus.
Aufräumen:
Lass die Kerze abkühlen und stelle sie dann mit der feuerfesten Unterlage auf dem
Lehrertisch ab. Räume die restlichen Sachen weg.
Beobachtungen:
x
Zeit [min]
y
Kerzenhöhe [cm]
Höhe der Kerze in cm
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4
Zeit in min
Aufgabe:
Versuche aus den Werten die Gesamtbrenndauer vorherzusagen.
7
Dabei kannst du auch das Koordinatensystem benutzen; achte auf eine sinnvolle Einteilung.
Abbrennen von Kerzen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Wahrnehmung eines näherungsweise linearen Prozesses
 Übersetzen zwischen verschiedenen Darstellungsformen
 Übersetzen zwischen Mathematik und Realität
Variationen der Aufgabe:
 die Abbrenngraphen zu anderen Kerzenformen (dicker, dünner, kegelförmig,
pyramidenförmig, kugelförmig) argumentativ beschreiben und skizzieren
 die Steigung und den Ordinatenabschnitt einer linearen Funktion graphisch, am
Funktionsterm und in verschiedenen Kontexten auch inhaltlich deuten
 eine Prognose für eine dickere Kerze aufstellen und diese in einer Doppelstunde abbrennen
lassen
 Verschiedene Situationen vorgeben und zusammen mit inhaltlicher Bedeutung der
Steigung (Änderungsrate), Anfangszustand (Wert für b), Funktionsgleichung, Wertetabelle
und Funktionsgraph in einer Tabelle darstellen. Mögliche Situationen:
1. Eine 15 cm lange Kerze brennt gleichmäßig in 12 Stunden ab
2. In einem Gefäß steht das Wasser bereits 10 cm hoch. Es läuft gleichmäßig Wasser
hinzu. 3 Minuten später steht es 55 cm hoch.
3. Ein Haar ist 10 cm lang. Es wird pro Monat 1 cm länger.
Quelle: mathelive 8
 Fortsetzung durch die folgenden Aufgaben
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partner- oder Gruppenarbeit
1
2
3
4
Eine 15 cm lange zylindrische Kerze wird in 10 min um 12 mm kürzer.
a) Stelle diesen Sachverhalt im Koordinatensystem dar.
b) Wie lang ist die Kerze nach jeweils 5, 12, 30, 45 min Brenndauer?
c) Wie lange dauert es, bis die Kerze ganz herunter gebrannt ist?
Benutze das Schaubild und den Term. Vergleiche die beiden Methoden.
Zu vier Kerzen, die gleichzeitig abbrennen, werden die zugehörigen Geraden in ein
Koordinatensystem gezeichnet. Sie verlaufen parallel.
Welche Schlüsse lassen sich daraus über die vier Kerzen ziehen?
Vier zylindrische Kerzen, die gleich lang, aber verschieden dick sind, brennen gleichzeitig ab.
Was kannst du über den Verlauf der vier zugehörigen Geraden und über die Terme /
Gleichungen sagen?
Eine 12 cm lange Kerze brennt in 10 Stunden gleichmäßig ab. Eine 20 cm
lange Kerze brennt in 8 Stunden ab. Stelle Funktionsgleichungen auf und
zeichne die Graphen in ein Koordinatensystem.
a) Die beiden Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Wann sind sie
gleich lang?
b) Es wird nur die lange Kerze angezündet. Wie lange muss sie
brennen, bis sie so lang ist wie die kurze?
8
Vorschlag 7.6: Übersetzungen zwischen Graph und Term
Finde die Funktionsterme f1 (x), f2 (x), ..., f10 (x) zu den gezeichneten
Geraden 1 - 10.
1
3
5
2
4
6
7
8
9
10
9
Übersetzungen zwischen Graph und Term: Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Zeichnens von linearen Funktionsgraphen sowie Ablesen der Funktionsgleichung zu
gegebenen Geraden
Variationen der Aufgabe:
 Die Schüler zeichnen selber lineare Funktionen und der Nachbar muss sie „identifizieren“.
(Mögliche) Lösungen:
 1. y = -2x + 3
2. y = 2x
3. y = 3x - 4
4. y = x
5. y = 0,5x + 2
6. y = -x
7. y = -2,5x - 3
8. y = 4x - 1
9. y = -2x + 5
10. y = 1,5x + 3
Bemerkungen:
 Auf den beiden folgenden Seiten sind Koordinatensysteme abgedruckt, die auf Folie
kopiert werden können. Durch (gegebenenfalls verschiedenfarbige) Geraden, die auf ca.
3 cm breite Folienstreifen gezeichnet werden, erhält man eine gute Möglichkeit, schnell die
Graphen von linearen Funktionen zu zeichnen.
Variationen der Aufgabe:
 Ein Schüler sagt die Funktionsgleichung einer linearen Funktion. Ein anderen muss am
Overheadprojektor den Graph „legen“
 Bei der Kontrolle der Hausaufgaben einsetzen
 Ständig variieren: „Wie lautet die Funktionsgleichung der parallelen Gerade, die durch den
Punkt (0|2) verläuft?“ etc.
 Auch in Partnerarbeit einsetzbar: Dazu Koordinatensystem kopieren und Geraden auf Folie
vorgeben
 Steckbretter aus der Mexbox benutzen
Eignung, (mögliche) Methoden:
 In allen Bildungsgängen
10
11
12
Vorschlag 7.7 Geometrische Figuren im Koordinatensystem
Bestimme möglichst viele verschiedene lineare Funktionen so, dass die
Fläche, die von der x-Achse, den gestrichelten Linien und dem Graphen
der linearen Funktion umschlossen wird, den Inhalt 12 FE hat.
Welche geometrischen Figuren entstehen dabei?
13
Geometrische Figuren im Koordinatensystem: Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Festigung
 Wiederholung Flächeninhalte
 Vernetzung
Variationen der Aufgabe:
 Behandlung der allgemeinen Geradengleichung durch einen bestimmten Punkt
 In nebenstehendem Schaubild sieht man den
Graphen einer linearen Funktion.
a) Gib die Funktionsgleichung an.
b) Zeichne eine Parallele zur y-Achse so,
dass Graph, x-Achse und die beiden
Parallelen einen Gesamtflächeninhalt von
4 FE einschließen.
c) Welche Figuren können entstehen?
(Mögliche) Lösungen:
 Alle geometrischen Figuren, die durch eine Gerade, die durch den Punkt (4/3) geht,
entstehen.
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partnerarbeit
Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern:
 „Einigen war sofort klar, dass es unendlich viele Geraden gibt, die durch (4/3) verlaufen.
Andere haben y=3 eingezeichnet und kamen nur mit Mühe auf das Dreieck und das Trapez
(dann aber nur eins!)“
14
Vorschlag 7.8: Bauen mit linearen Funktionen
K
15
16
17
Bauen mit linearen Funktionen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Vertiefung
 Übung
Variationen der Aufgabe:
 Andere eventuell reale Verbindungen zwischen zwei Punkten durch lineare Funktionen
erstellen (z.B. auf der Landkarte Straßen zwischen Städten planen)
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partner- oder Gruppenarbeit
 Auch für Realschule
Bemerkung:
 ‚Kreuz und quer’ bedeutet auch, dass die Fragen nicht in der angegebenen Reihenfolge
gelöst werden können.
18
Vorschlag 7.9: Zeichen mit linearen Funktionen
Zeichne die Graphen folgender Funktionen in ein Koordinatensystem
ein:
1.
y  x2
2.
y  x
3.
y  x3
4.
y2
5.
für x  [2;1]
 3 1
für x   ; 
 2 2
5
2
für x   1;0
1

1 
für x   1;  und x   ;1
4

4 
 3 1
1 3
y  1 für x   ;  und x   ; 
 2 2
2 2
y0
für x   2;2
6.
7.
y  x  2
8.
y  x 
9.
y   x  3 für x  0;1
5
2
für x  1;2
1 3
für x   ; 
2 2
Zeichen mit linearen Funktionen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Abschnittweises Zeichnen von linearen Funktionen
Variationen der Aufgabe:
 Im Anschluss oder anstatt dieser Aufgabe können
die Schüler versuchen, mit linearen Funktionen
selber Figuren im Koordinatensystem zu zeichnen.
 Reihenfolge der Funktionen ändern, damit Bild erst
später erraten wird
(Mögliche) Lösungen:
 Es entsteht eine Tanne (siehe nebenstehende
Abbildung)
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Am Ende der Einheit oder vor den Weihnachtsferien oder zwischendurch
 Einzel- bzw. Partnerarbeit
 Wenn Def.bereich thematisiert wurde auch für Realschule
Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern:
 „Nach anfänglichem Maulen ging auf einmal ein Raunen durch die Klasse: „Ich glaube,
das wird ein Weihnachtsbaum!“ Völlig verblüfft legten auch schwächere Schüler ihren
Ehrgeiz hinein, diese Tanne möglichst sauber im Heft zu haben.“
Quelle: Weiß, Astrid: Weihnachtsbaum als Zeichendiktat in Klasse 9, in: mathematik lehren (1996)
Heft 79, S. 69.
19
Vorschlag 7.10: Arbeitsblatt-BahnCard
Wann lohnt sich die BahnCard ?
20
Arbeitsblatt-BahnCard: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Einführung linearer Funktionen
 Festigung des Funktionsbegriffs und der verschiedenen Darstellungsarten
Variationen der Aufgabe:
 Vergleich anderer Tarife (z.B. Strom-, Mülltarife,...)
 Ausgangsort lokal anpassen
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Einzel- oder Partnerarbeit
 Aufgabe 1 auch für Realschule
Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern:
 „Während Aufgabe 1 von den meisten Schülern problemlos bewältigt wurde, war bei der
2. und 3. Aufgabe eine Lenkung durch den Lehrer bzw. eine gemeinsame Erarbeitung an
der Tafel erforderlich. Insbesondere Begründungen fallen schwer, was exemplarisch an
einer Schüler-Lösung („Ich rechne 65 DM  2 : 0,272 !“) deutlich wird: Der Schüler kann
seinen (richtigen) Rechenweg nicht nachvollziehbar begründen.“
21
Vorschlag 7.11: Internet
Der Internet-Provider 1&1 hat zum 1.5.1999 seine Tarife verändert.
Alter Tarif: 2 Freistunden pro Monat, dann jede weitere Minute 5
Pfennig für den Internet Zugang. Allerdings kommen noch
die Telefongebühren zum City-Tarif dazu, diese ohne
Freistunden.
Neuer Tarif: Pro Minute 6 Pfennig (unabhängig von der Tageszeit)
einschließlich der Telefongebühren; keine Freistunden.
a) Zeichne in ein gemeinsames Koordinatensystem drei Graphen für die
Zuordnung Zeit  Gesamtkosten bis zu 6 Stunden für
i) alter Tarif, Surf-Zeiten immer zwischen 21 und 5 Uhr (also je 240
Sekunden für 12 Pfennig Telefongebühren)
ii) alter Tarif, Surf-Zeiten immer zwischen 9 und 18 Uhr (also je 90
Sekunden für 12 Pfennig Telefongebühren)
iii) neuer Tarif
b) Wärst du als Kunde mit der Tarifänderung zufrieden? Begründe deine
Antwort ausführlich.
c) Stell dir vor, du solltest (als Angestellter von 1&1) den Kunden die
Tarifänderungen schmackhaft machen. Welche Argumente
würdest du benutzen?
22
Internet: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Festigung graphischer Darstellungen
 Mathematische Argumentationen
Variationen der Aufgabe:
 Vergleich aktueller Internetprovider
(Mögliche) Lösungen:
 (1) y  1,8x für x  0;2
y  4,8 x  6 für x ]2;6]
 (2) y  4,8x für x  0;2
y  7,8 x  6 für x ]2;6]
 (3) y  3,6x für x  0;6
 Kundensicht: Die Zufriedenheit richtet sich nach meiner Nutzung: Wenn ich tagsüber
surfe, habe ich mit dem neuen Tarif einen dauernden Vorteil unabhängig von der
Nutzungsdauer. Wenn ich nachts surfe, habe ich erst einen Vorteil mit dem neuen Tarif ab
einer Nutzung von 5 Stunden.
 Firmensicht: Ein Kunde wird, da er tagsüber arbeitet, erst abends oder nachts surfen.
Innerhalb eines Monats sind 5 Stunden schnell erreicht, und dann ist der neue Tarif
wirklich günstiger. Ein Kunde, der tagsüber surft, liegt mit dem neuen Tarif immer
günstiger.
Eignung, (mögliche) Methoden:
 In einer Klassenarbeit verwendbar (dauert aber etwas)
 Gruppenarbeit
 Spätere Vernetzung möglich: Lineare Gleichungssyteme
Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern:
 „Die Lösungsvielfalt war sehr groß, leider war auch die Qualität der Ausarbeitungen recht
unterschiedlich.“
23
Prozent der Gesamtwäsche
Vorschlag 7.12: Wäsche waschen
Jahr
Schreibe mit Hilfe der hier abgebildeten Diagramme und (Schau-)Bilder
eine (mathematische) Geschichte über die Entwicklung des
Wäschewaschens. Falls dir Informationen fehlen, besorge sie aus der
Bibliothek, dem Internet, beim Fachverkäufer etc.
24
Wäsche waschen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Umgang mit linearen Funktionen
 Übersetzung der mathematischen Sprache in einen zusammenhängenden Text
Variationen der Aufgabe:
 Betrachtung anderer funktionaler linearer Zusammenhänge (z.B. Zusammensetzung des
Hausmülls einer Stadt im Verlauf der Jahre)
 Untersuchung einer realen Waschmaschine (z.B. Aufstellen des Graphen Zeit  Anzahl
der geschätzten Umdrehungen bis zum Zeitpunkt x)
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Einzel- oder Partnerarbeit
 Hausaufgabe
 Kleines Projekt
25
Vorschlag 7.13: Fahren mit dem ICE
Ein ICE beschleunigt von 0 auf
100 km/h in einer Minute und 6
Sekunden. Dann beschleunigt
er weiter in 2 Minuten und 14
Sekunden von 100 km/h auf
200 km/h. Zuletzt beschleunigt
er von 200 km/h auf 250 km/h
in 3 Minuten.
a) Stelle den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Zeit näherungsweise dar (graphisch und durch Angabe einer Funktionsgleichung).
b) Berechne jeweils den gesamten zurückgelegten Weg, bis der ICE eine
Geschwindigkeit von 100 km/h, 130 km/h bzw. 250 km/h erreicht hat.
Fahren mit dem ICE: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Modellieren
 Argumentieren
(Mögliche) Lösungen:
 Teil a) verlangt einen Wechsel der Darstellungsebene und die Angabe einer
Funktionsgleichung einer abschnittsweise definierten linearen Funktion.
 Teil b) ist durch eine weitere Modellannahme (konstante Durchschnittsgeschwindigkeit in
jedem angegebenen Teilintervall) lösbar. Zudem muss ein Teilgraph zur Berechnung des
Wertes zu 130 km/h linear interpoliert werden (Vernetzung Algebra mit Geometrie).
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Aufgabenstellung für leistungsstarke Lerngruppen
 Partner- bzw. Gruppenarbeit
26
Vorschlag 7.14: Kapitänsaufgabe
Ein Schiff startet vom Hafen Entenhausen
und ist nach 4 Stunden im 120 km
entfernten Hafen von Goofytown. Gleichzeitig mit ihm startet ein etwas schnelleres
Schiff im Hafen von Goofytown und ist nach
3 Stunden im Hafen von Entenhausen.
Unten siehst du das Zeit-Ort-Diagramm für
die beiden Schiffe. Gib anhand des
Diagramms zumindest ungefähre Antworten
auf folgende Fragen:
a) Wann und wo fahren die beiden Schiffe aneinander vorbei?
b) Die Kapitäne der beiden Schiffe besitzen Ferngläser, mit denen sie
ungefähr 20 km weit sehen können. In welchem Zeitintervall können
die beiden Kapitäne einander im Fernglas beobachten? Wo befinden
sich die beiden Schiffe dabei ungefähr?
c) Finde selbst weitere geeignete Fragen und beantworte sie.
Quelle: Mathe-Welt, in: mathematik lehren (2000) Heft 103, S. 3.
27
Kapitänsaufgabe: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Informationen aus der graphischen Darstellung von linearen Funktionen entnehmen.
Variationen der Aufgabe:
 Zu dem gegebenen Zeit-Ort-Diagramm sich Fragen überlegen und diese sich gegenseitig
mit dem Nachbarn stellen bzw. beantworten.
 Zu einer gegebenen Geschichte ein Zeit-Ort-Diagramm zeichnen oder umgedreht zu einem
vorgegebenen Zeit-Ort-Diagramm eine Geschichte schreiben.
 d) Wie schnell fahren die beiden Schiffe? Gib die Geschwindigkeit in km/h an.
 e) Wie weit ist das erste Schiff noch vom Hafen in Goofytown entfernt, wenn das zweite
Schiff gerade im Hafen von Entenhausen ankommt?

(Mögliche) Lösungen:
 a) Die beiden Schiffe fahren ungefähr nach 1,7h = 1h 42min aneinander vorbei.
b) Ungefähr zwischen 1,4h = 1h 24min und 2h sind die beiden Schiffe höchstens 20 km
voneinander entfernt. In diesem Zeitintervall können die beiden Kapitäne einander im
Fernglas sehen. Die beiden Schiffe sind dabei ungefähr 40 bis 64 km von Entenhausen
entfernt.
d) Das erste Schiff fährt ungefähr mit 30 km/h, das zweit mit ungefähr 40 km/h.
e) Wenn das zweite Schiff im Hafen von Entenhausen anlangt, ist das erste Schiff vom
Hafen in Goofytown noch ungefähr 30 km entfernt.
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Einzel- oder Partnerarbeit
28
Vorschlag 7.15: Tropfsteinhöhle
In Tropfsteinhöhlen tropft an
verschiedenen Stellen kalkhaltiges Wasser von der Decke.
Durch ständige Kalkablagerungen bildet sich an jeder
solcher Stelle ein von der Decke
hängender Tropfstein (Stalaktit)
und ein vom Boden aufsteigender Tropfstein (Stalagmit).
Diese Tropfsteine wachsen
allerdings sehr langsam und
brauchen zu ihrer Entstehung
viele tausend Jahre.
Anhand der Zeichnung können eine Reihe von Fragen rechnerisch und
dann zur Kontrolle auch zeichnerisch beantwortet werden.
Finde selbst eine geeignete Frage und beantworte sie!
Quelle: Mathe-Welt, in: mathematik lehren (2000) Heft 103, S. 3.
29
Tropfsteinhöhle: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Einführung von linearen Funktionen
Variationen der Aufgabe:
 Fragestellungen weglassen und die Schüler sich selbst Fragen überlegen lassen, die sie im
Anschluss daran bearbeiten.
 (1) Nach wie vielen Jahren bilden die beiden Tropfsteine eine zusammenhängende Säule,
wenn wir annehmen, dass das so weitergeht?
 (2) Wie weit sind die beiden Tropfsteine dann nach 20 000 Jahren voneinander entfernt?
 (3) Nach wie vielen Jahren sind die beiden Tropfsteine nur noch 50 cm voneinander
entfernt?
(Mögliche) Lösungen:
 1) Nach ca. 30000 Jahren
2) Ca. 100 cm
3) Nach ca. 25000 Jahren
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partnerarbeit
 Auch Realschule
 Spätere Vernetzung möglich (Lineare Gleichungssysteme)
30
Vorschlag 7.16: Wiederholung von Funktionen
1. Felix grübelt über den unten aufgeführten Aufgabenstellungen. Seine
ältere Schwester Gil hilft ihm und füllt einige Felder in der Tabelle aus.
Versuche, die restlichen Einträge zu ergänzen.
a.) Ich habe einen Blumenstrauß für x DM gekauft und mit einem
Hundertmarkschein bezahlt. Als Wechselgeld habe ich y DM
erhalten.
b.) Gegeben ist ein quadratisches Blumenbeet mit Seitenlänge x. Der
Flächeninhalt ist y.
c.) Das Blumenbeet ist nun rechteckig. Der Flächeninhalt beträgt
36 m2. Die Länge des Rechtecks ist x und die Breite y.
d.) Ich habe x kg Zucker gekauft. 1 kg kostete 1,50 DM. Der
Gesamtpreis betrug y DM.
b.
c.
d.
y  1,5 x
Veranschaulichung
Graph
Term
Wertetabelle
a.
2. Nachdem Felix die leeren Tabellenfelder ausgefüllt hat, kommt seine
Schwester wieder ins Zimmer. Sie sagt: „Situation 1 und 3 sind
ähnlich.“ Inwiefern stimmt dies. Erkläre!
Finde selbst möglichst viele andere Gemeinsamkeiten von zwei
verschiedenen Situationen.
Quelle: Mathe-Netz 8, S. 60 (verändert)
31
Wiederholung von Funktionen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Abgrenzung der bisher behandelten Funktionstypen
 Aufbau einer Grundvorstellung von Funktionen
 Übersetzen zwischen Realität und Mathematik
 Übersetzen zwischen verschiedenen Darstellungsebenen von Funktionen
(Mögliche) Lösungen:
 (1)
a.
c.
y  xx
y  x2
x  y  100
y  100  x
x  y  36
y  36x
d.
x
0
1
2
3
…
y
0
1,5
3
4,5
…
y  1,5 x
Veranschaulichung
Graph
Term
Wertetabelle
b.
(2)
a. und c.
a. und d.
b. und c.
b. und d.
a., b. und c.
a. und b.













je mehr desto weniger
Graph fallend nicht durch Ursprung
x + y = const. vs. x  y = const.
Graphen sind Geraden
Konstantes Wachsen bzw. Fallen
geht um Geld
Graphen sind Kurven
geht um Flächeninhalte
Graphen gehen durch den Ursprung
je mehr desto mehr
wachsend
geht um Blumen
keine erkennbaren Gemeinsamkeiten
32
Vorschlag 7.17: Rätsel
In das Gitter sind mathematische
Begriffe zum Thema „Funktionen“
einzutragen. Hier sind die zugehörigen Umschreibungen angegeben. Zur Kontrolle sind die
Lösungswörter in dem unten
abgebildeten Buchstaben-Gitter
versteckt.
Diese können waagerecht, senkrecht oder diagonal (von links
oben nach rechts unten oder von
rechts oben nach links unten)
gelesen werden (sowohl vorwärts
als auch rückwärts).
Waagerecht
2. zeichnerische Darstellung
4. Kurve
6. benötigt man für ein Koordinatensystem
7. zentraler Punkt
9. bestimmt den Schnittpunkt mit einer Achse
10. FUNKTION
11. viele einfache Zuordnungen sind...
13. Anordnung von Zahlenpaaren
14. je-mehr-desto-weniger-Zuordnung
Senkrecht
1. eindeutige Beziehung
3. kennzeichnet den Verlauf von
Geraden
5. Französischer Mathematiker
und Philosoph
8. sagt, wie zugeordnet wird
12. Gleichungstyp
Quelle: Elemente Unterrichtsmaterialien Band 2, Schroedel, 2001, S. 235.
33
Rätsel: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Abfrage der in dieser Einheit auftauchenden mathematischen Vokabeln
Variationen der Aufgabe:
 Ein eigenes Kreuzworträtsel erstellen und vom Nachbarn lösen lassen
(Mögliche) Lösungen:
 1. Zuordnung
2. Schaubild
3. Steigung
4. Hyperbel
5. Descartes
6. Achsen
7. Ursprung
8. Funktionsterm
9. Absolutglied
10. FUNKTION
11. Proportional
12. Linear
13. Wertetabelle
14. Antiproportional
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Hausaufgabe
 Am Ende der Einheit als Kontrolle
 Einzel- bzw. Partnerarbeit
34
Vorschlag 7.18: Aufgaben zu (linearen) Funktionen
1
Bäume wachsen unterschiedlich schnell und hoch. Übertrage die Daten in ein
Koordinatensystem und vergleiche die Wachstumsformen. Finde „Rekordbäume“, die
besonders
 schnell wachsen
 alt werden
 hoch werden
 dick sind
2
Beim Start einer Rakete mit einer Startmasse von 800 t werden in
den ersten zwei Minuten 612 t Treibstoff verbrannt. Dieser Vorgang
verläuft gleichförmig.
a) Gib für die Funktion f: Zeit (in min)  Masse der Rakete (in t)
und g: Zeit (in sek)  Masse der Rakete (in t) je eine
Funktionsvorschrift an.
b) Zeichne den Graphen der Funktion f.
c) Lies die Antworten auf folgende Fragen am Graphen der
Funktion f ab.
Wie viel t wiegt die Rakete 1½ min nach dem Start?
Nach wie viel Sekunden wiegt die Rakete nur noch 500 t?
3
Eine Vase wird mit gleichmäßig zulaufendem Wasser gefüllt. In der Tabelle ist
eingetragen, wie hoch das Wasser zu den jeweiligen Füllzeiten steht.
a) Übertrage die Werte in ein Koordinatensystem und verbinde die Punkte zu einer
Kurve.
b) Wie könnte die Vase aussehen? Vergleicht eure Lösungen miteinander.
c) In welchem Zeitraum steigt das Wasser am schnellsten?
d) Lässt sich eine Antwort leichter aus der Tabelle oder dem Schaubild ablesen?
4
Eine Versicherung veröffentlicht die abgebildete
Grafik.
a) Wie ist das Verhältnis von Beitragszahlern
zu den Rentenempfängern heute und
wie wird es sich verändern?
b) Was
beabsichtigt
die
Versicherung
vermutlich mit dieser Veröffentlichung?
c) Wie beurteilst du die dargestellte Prognose?
Was kann sie für dich bedeuten?
5
Erkundige dich nach den Tarifen der Post oder denen eines anderen Anbieters und
stelle fest, ob folgende Zuordnungen eine Funktion darstellen: Gewicht  ( ) Porto.
35
1
Für ein Kraftfahrzeug hat man festgestellt, dass sich der Anhalteweg y (in m) beim
Bremsen aus der vorher gefahrenen Geschwindigkeit x (in km/h) mit Hilfe einer
Gleichung berechnen lässt:
(1) y = 0,01x2 + 0,3x (ohne Verwendung eines Antiblockiersystems)
(2) y = 0,0095x2 + 0,3x (bei eingebautem Antiblockiersystem)
a) Berechne
für
die
Geschwindigkeiten
30km/h,
60km/h,...,150km/h den zugehörigen Anhalteweg. Fasse
die Ergebnisse in einer Wertetabelle zusammen und
zeichne die Graphen.
b) Zeichne den Graphen der Zuordnung Geschwindigkeit (in
km/h) Abstand (in m) in ein Koordinatensystem.
Vergleiche mit dem Graphen in a).
2
Svetlana: „Du kannst die Steigung m = 3/7 auch einzeichnen, indem du von
einem Punkt der Geraden 7 Einheiten nach links und 3 Einheiten nach unten
gehst.“ „Gut, dann kann man auch m = -2/5 einzeichnen, indem man 5 Einheiten
nach links und 2 Einheiten nach unten geht,“ erwidert Kai.
Nimm zu beiden Äußerungen Stellung und verdeutliche deine Argumentation an
selbst gewählten Beispielen.
3
Gib jeweils eine Funktionsvorschrift an und berechne f(-2), f(-1/2) und f(2,2).
4
Im Jahre 1202 erschien das Werk „Liber abaci“ des Mathematikers Leonardo
von Pisa, genannt Fibonacci. Aus diesem Buch stammt das folgende Problem.
a)
b)
c)
d)
f: Zahl  das Dreifache der Zahl vermindert um Eins
f: Zahl  Kehrwert
f: Zahl  Eins vermindert um das Quadrat der Kehrzahl
f: Zahl  die Hälfte der Zahl
Ein Kaninchenpaar wirft vom 2.Monat an in jedem Monat ein
junges Paar, und bei den Nachfahren ist es ebenso. Die
Monatszählung beginnt mit dem ersten Monat, in dem das
erste Kaninchenpaar lebt. Die Funktion a ordnet jeder
Monatsnummer die Anzahl der in diesem Monat lebenden
Kaninchenpaare aus der betrachteten Familie zu. Fülle die
Tabelle vollständig aus.
(Erst im Jahre 1843 gelang es dem Mathematiker Jacques Philippe Marie Binet, für die Funktion a
einen Funktionsterm anzugeben!)
5
Starte eine Stoppuhr mit dem Anschalten einer
Kaffeemaschine und lies ab, wie lange es dauert, bis
eine, zwei, drei, vier, fünf,... Tassen Kaffee
durchgelaufen sind! Notiere deine Ergebnisse in einer
Tabelle! Lässt sich der Vorgang angenähert durch eine
lineare Funktion beschreiben und wenn durch welche?
36
1
In einer Regentonne steht das Wasser 30cm
hoch. Nachdem es nachts geregnet hat, ist sie
am nächsten Morgen voll. Wie könnte der Graph
verlaufen, wenn es jeweils von 1 Uhr bis 1.30 Uhr
und von 3.30 Uhr bis 4.00 Uhr heftige Schauer
gab und es dazwischen nicht geregnet hat?
Skizziere und vergleiche die Graphen.
2
Ein Dreieck im Koordinatensystem ist durch die Punkte A(0/-3), B(1/1) und C(-3/2)
festgelegt. Bestimme die Gleichungen der drei Geraden, die das Dreieck umranden.
3
An dem Salatbuffet wird der Salat mit Teller gewogen.
Löse zeichnerisch und rechnerisch:
a) Jörg muss 5,10 DM für seine Salatportion bezahlen.
Wieviel g Salat hat er auf seinem Teller?
b) Wieviel g wiegt der Teller?
4
Überlege dir, dass sich eine Gerade auch durch eine Gleichung der Form:
ax + by + c =0
mit a, b, c  
darstellen lässt.
a) Für welche Werte von a, b und c erhält man Geraden mit positiver Steigung?
b) Welche Bedingungen müssen für a, b und c gelten, damit die Geraden parallel
zur x-Achse bzw. parallel zur y-Achse verlaufen?
c) In welchen Fällen liegt eine lineare Funktion vor?
5
Die weltweite Erdgasreserven wurden 1993 auf
etwa 141,8 Billionen m3 geschätzt. Die jährliche
Fördermenge betrug etwa 2,5 Billionen m3.
a) Bestimme für die Zuordnung Zeit (in Jahren
seit 1993)  Erdgasreserven (in m3) die
Gleichung unter der Voraussetzung, dass sich
die jährliche Fördermenge nicht ändert.
Wie
lange
würden
die
geschätzten
Erdgasreserven reichen?
b) Wie lange reichen die Erdgasreserven, wenn
die Produktion von heute an auf jährlich zwei
Billionen Kubikmeter zurückgefahren würde?
c) In Russland lagern etwa 60% der Welterdgasreserven. Das russische
Energieunternehmen „Gazprom“ möchte die jährliche Fördermenge von 650
Milliarden m3 auf 1 Billion m3 steigern. Wie lange reichen unter diesen
Voraussetzungen die Erdgasreserven in Russland?
37
Quellen: MatheNetz 8 (2000), MatheLive 8 (2001), Lambacher Schweitzer 8 (1996), Schnittpunkt 8 (1994),
Mathematik heute 8 (1995), Zahlen und Größen 8 (2000), Mathematik 8 (1994), Die Welt der Zahl (1994),
Elemente der Mathematik 8 (1994), Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sek. I (2001).
Aufgaben zur Anwendung: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Übung / Anwendung
 Vertikale Vernetzung
(Mögliche) Lösungen:
 Blatt (1)
 (2) a) f(m) = 800 - 306m
b)
g(s) = 800 - 5,2s
c) Die Rakete wiegt dann 341 t. Nach ca. 59s wiegt sie nur noch 500t.
 Blatt (2)
 (1) a)
30 km/h
60 km/h
90 km/h
120 km/h
150 km/h
(1)
18 m
54 m
108m
180 m
270 m
(2)
17,55 m
52,2 m
103,95 m
172,8 m
258,75 m
 (3)
 (4)
Monatsnummer
Anzahl der Paare
1.
1
2.
1
3.
2
4.
3
5.
5
6.
8
7. 8. 9. 10.
13 21 34 55
38
 Blatt (3)
 (2) AB: y1 = 4x – 3
x  [0 ;1]
BC: y2 = -1/4x + 1,25
x  [-3 ;1]
CA: y3 = -5/3x – 3
x  [-3 ;0]
 (3) a) Er hat 255 g Salat.
b) Der Teller wiegt 375 g.
Graphische Lösung:
 (5) a) y = -2,5x + 141,8
x-Anzahl der Jahre seit 1993 / y-Erdgasreserve
Die geschätzten Erdgasreserven würden noch ca. 57 Jahre reichen.
b) 71 Jahre
c) 85 Jahre
39
Vorschlag 7.19: Funktionenpuzzle
40
Funktionenpuzzle: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Übersetzen zwischen verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen
Variationen der Aufgabe:
 Ein Spielbrett vorgeben (Raute, siehe Lösung)
 Hilfestellung: „Alle Koordinatensysteme liegen wie üblich, also x-Achse nach rechts und
y-Achse nach oben“
(Mögliche) Lösungen:
 Siehe Abbildung. Dabei wurden die
Puzzleteile in der Vorlage zeilenweise von
links nach rechts durchnummeriert. Die
Lösungsraute gibt die Position jedes
Puzzleteils an.
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partnerarbeit
Erfahrungen:
 Modellversuchslehrerin (Gesamtschule):
Nicht ganz einfach, aber anregend,
kommunikativ und für Gymnasium bzw.
A-Kurse geeignet, evtl. sogar für B-Kurse,
aber mit erheblichem Zeitaufwand.
41
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