Grundbegriffe der Mathematik, WS11/12 - ig

ALTE
RECHTSCHREIBUNG
Anzahl der
Aufgabenblätter: 11
13. Jänner 2012
Grundbegriffe der Mathematik, WS11/12
1. Aufgabenblatt vom 7.10.2011
1. (Formalisierung von Aussagen) Es seien A; B; C Aussagen. Formalisieren Sie die folgenden umgangssprachlichen Formulierungen: a) „ A oder B ist falsch.“ b) „ A und B schließen einander aus.“ c) „Weil
sowohl A als auch B nicht gilt, muß C zutreffen.“.
2. (Formalisierung von Aussagen) Es seien p und q Aussagen und P (x), Q(x) Aussageformen. Drücken
Sie die folgenden umgangssprachlichen Konstrukte durch logische Verknüpfungen und Quantoren aus.
a) „Wenn p gilt, dann gilt auch q ; und wenn p nicht gilt, so gilt ebenfalls q .“
b) „Wenn für ein x die Aussage P (x) wahr ist, so muß notwendigerweise Q(x) gelten.“
c) „ Q(x) und P (x) können nicht gleichzeitig zutreffen.“
3. (Mehrere Quantoren) Es sei P (x; y ) eine Aussageform mit zwei freien Variablen x; y . Formalisieren Sie
die folgenden Behauptungen, bilden Sie ihre Negation und drücken Sie diese umgangssprachlich aus.
a) „Zu jedem x existiert ein y , so daß P (x; y ) nicht zutrifft.“
b) „Es gibt ein x, so daß P (x; y ) für alle y gilt.“
c) „Wenn zu jedem y ein x existiert, so daß P (x; y ) zutrifft, so gibt es auch zu jedem x ein y ,
so daß P (x; y ) gilt.“
4. (Logische Struktur mathematischer Sätze) Verwenden Sie Aussageformen und Quantoren zur Formalisierung der folgenden (gültigen) mathematischen Sätze. Identifizieren Sie dazu die freien Variablen,
und verwenden Sie geeignete Aussageformen anstelle der mathematischen Begriffe.
Beispiel: „Jede auf der ganzen komplexen Ebene holomorphe Funktion, die beschränkt ist, ist
konstant.“ Freie Variable f , Aussageform H (f ) (f ist eine auf der ganzen komplexen Ebene definierte holomorphe Funktion.), B (f ) (f ist eine beschränkte Funktion.), K (f ) (f ist eine konstante
Funktion). Dann lautet die Behauptung:
8f :
(H (f )
^ B (f ) =) K (f ))
a) „Ein Intervall ist genau dann kompakt, wenn es abgeschlossen und beschränkt ist.“
b) „Wenn a; b; c reelle Zahlen sind mit der Eigenschaft b2
ax2 + bx + c = 0 eine reelle Lösung“.
c) „Jede stetige Funktion f :
[0; 1]
4ac
> 0, so hat die Gleichung
! R mit f (0)f (1) < 0 hat eine Nullstelle.“
Grundbegriffe der Mathematik, WS11/12
2. Aufgabenblatt vom 14.10.2011
5. Gilt allgemein (p =) q ^ r) () (p =) q ) ^ (p =) r)?
6. (Rechenregeln für Mengenoperationen)
Sei X eine Menge und A; B; C Teilmengen von X . Zeigen Sie folgende Mengengleichheiten:
a) (A [ B )c
\B ,
b) A [ (B \ C ) = (A [ B ) \ (A [ C ),
c) A \ A = ;.
Zeigen Sie: n 2 N n ist ungerade = m 2 N m
=
A
c
c
c
7.
2
ist ungerade .
P (;) und P (P (;)) explizit an.
, wenn x 0
?
, wenn x 0
8. (Potenzmenge der leeren Menge) Geben Sie die Mengen
9. Gibt es eine Funktion f :
8
<2x
R ! R mit f (x) = :
3x + 1
Grundbegriffe der Mathematik, WS11/12
3. Aufgabenblatt vom 21.10.2011
1
10. Geben Sie eine Erweiterung von f : R n f 1g ! R, x 7! x+1
, auf ganz R an, und zwar so, daß die
Erweiterung surjektiv und invertierbar ist. Berechnen Sie die Inverse. Welche Eigenschaft(en) von f
benötigt man zur Konstruktion einer derartigen Erweiterung?
11.
a) Es seien X; Y Mengen, f : X ! Y eine Abbildung und A; B
regeln f 1 (A \ B ) = f 1 (A) \ f 1 (B ) und f 1 (A [ B ) = f
A B , f 1 (A) f 1 (B ).
2 P (Y ). Begründen Sie die Rechen(A) [ f (B ) und, wenn zusätzlich
1
b) Geben Sie für X = Y = f1; 2; 3; 4g ein Beispiel für eine Funktion g : X
A; B von Y mit A ( B , so daß g 1 (A) = g 1 (B ).
1
!Y
und zwei Teilmengen
12. Es sei X eine nichtleere Menge und x0 2 X . Untersuchen Sie die Funktion ' : P (X ) ! P (X ), A 7!
A4fx0 g, hinsichtlich der Eigenschaften Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Dabei könnte es
sinnvoll sein, zunächst zu untersuchen, wie '(A) aussieht, wenn x0 2 A bzw. x0 62 A. Wie sieht die
Abbildung ' ' aus?
Grundbegriffe der Mathematik, WS11/12
4. Aufgabenblatt vom 29.10 und 4.11.2011
13. Es seien U; V; W; X Mengen. Ferner seien f : U
! V , g: V ! W
und h : W
! X Funktionen.
a) Dann sind h (g f ) und (h g ) f Funktionen mit Definitionsbereich U und Wertebereich X .
Zeigen Sie, daß diese beiden Funktionen gleich sind.
b) Beweisen Sie, daß für alle Teilmengen A von U und alle Teilmengen C von W gilt:
(i) (g f )(A) = g (f (A)) (ii) (g f ) 1 (C ) = f 1 (g 1 (C ))
c) Für A U sei jA : A ! U die Einbettung von A in U . Dann ist offensichtlich f A
Sie, daß für alle Teilmengen B von V gilt: (f A ) 1 (B ) = f 1 (B ) \ A.
14. Es sei I := fy 2 R 1 < y und y < 1g. Für x
wenn x 0, und durch jxj = x, wenn x < 0.
a) Zeigen Sie, daß
b) Daher ist f :
x
1+
=
f j . Zeigen
A
2 R sei der Absolutbetrag jxj definiert durch jxj = x,
jxj 2 I für alle x 2 R.
R ! I , f (x) =
j j , wohldefiniert. Zeigen Sie, daß f bijektiv ist.
sei gegeben durch x 7! 1+ 2 . Bestimmen Sie das Bild g (R) von R unter g . (Hinweis:
x
1+
x
x
c) g : R ! R
x
Schulwissen über quadratische Gleichungen)
15. Es sei A := f1; 2; 3; 4g und M := P (A) n fAg. Dann ist eine Halbordung auf M . Bezüglich dieser
Ordnung hat M ein Minimum und mehrere maximale Elemente. Bestimmen Sie diese.
16. Es seien A und B nichtleere Mengen und : A
Rechtsinverse zu .
B !
A die Projektion auf A. Finden Sie eine
17. Die Teilmengen A und B von N seien gegeben durch A := f3; 4; 5; 6; 7; 10; 12; 15g und B := f3; 4; 5; 7g.
Für alle n 2 A sei Bn := fm 2 B : m teilt ng und Cn := fk 2 Bn : k ist ein maximales Element von Bn g.
Zeigen Sie, daß f(n; m) 2 A B : n 2 A und m 2 Cn g der Graph einer Funktion f : A ! B ist. Bestimmen Sie f 1 (f5g) und f 1 (f4g). Ist f injektiv (surjektiv)?
Grundbegriffe der Mathematik, WS11/12
5. Aufgabenblatt vom 11.11.2011
18. Eine Menge R nichtleerer Teilmengen einer gegebenen Menge M heißt Partition von M , wenn es zu
jedem x 2 M genau eine Menge R 2 R gibt, so daß x 2 R.
eine Äquivalenzrelation auf M , so ist M= eine Partition von M .
Es sei R eine Partition von M . Für x; y 2 M definiere man x y :() 9R 2 R x; y 2 R. Zeigen
Sie, daß eine Äquivalenzrelation auf M ist.
Auf Z ist durch x y :() x y ist gerade eine Äquivalenzrelation definiert. Bestimmen Sie die
a) Zeigen Sie: Ist
b)
c)
zugehörige Partition.
19. Es sei b 2 B und es sei f : A ! A B definiert durch f (a) := (a; b). Bestimmen Sie eine Linksinverse
zu f .
Grundbegriffe der Mathematik, WS11/12
6. Aufgabenblatt vom 18.11.2011
20. Es sei g : R ! R wie in Aufgabe 14c. Zeigen Sie, daß f(x; y ) 2 R R g (x) = g (y )g eine Äquivalenzrelation auf R darstellt, und bestimmen Sie die Äquivalenzklassen.
Z (Z n f0g) sei folgende Relation definiert:
(a; b) (c; d) :, ad = bc:
Zeigen Sie, daß eine Äquivalenzrelation definiert.
21. Auf der Menge
22. Zeigen Sie mit direkten Beweisen:
a) Die Summe gerader Zahlen ist gerade.
b) Das Produkt ungerader Zahlen ist ungerade.
23. Zeigen Sie mit indirekten Beweisen:
a) Es sei < die übliche „echt kleiner“-Relation auf Z. Dann folgt aus x 6= y , daß x < y oder y < x.
b) Es gibt keine ganzen Zahlen a; b für die gilt:
28a + 42b = 100.
Grundbegriffe der Mathematik, WS11/12
7. Aufgabenblatt vom 27.11.2011
24. Es sei M eine nichtleere Menge. Für A; B 2 P (M ) sei A B :() A \ B = ;. Untersuchen Sie
diese Relation auf die Eigenschaften Symmetrie, Antisymmetrie, Reflexivität und Transitivität.
Was ergibt sich im Fall M = ;?
25. Zeigen Sie: Es existiert genau ein n 2 N, so daß n2 + (n + 1)2
26. Zeigen Sie: Für alle x; y
= (n + 2)2 .
2 R mit x; y > 0 gilt px + y 6= px + py.
Grundbegriffe der Mathematik, WS11/12
8. Aufgabenblatt vom 4.12.2011
27. Beweisen Sie durch (eine geeignete) Fallunterscheidung, daß für alle x 2 R gilt:
28. Es seien X; Y nichtleere Mengen und f : X
folgt, daß g injektiv ist und f surjektiv.
1 + x4
> x.
! Y , g : Y ! X Abbildungen. Zeigen Sie: Aus f g = id
Y
29. Es sei M eine Menge, es seien a; b 2 M und a 6= b. Zeigen Sie: Es existiert keine Totalordnung auf M ,
die symmetrisch ist.
30. Zeigen Sie: Für alle n 2 N gilt:
1
12
+
1
23
+
1
34
+ ::: +
n
(
1
n+1)
=1
1
n+1
Grundbegriffe der Mathematik, WS11/12
9. Aufgabenblatt vom 10.12.2011
31. Beweisen Sie, daß für alle x 32. Beweisen Sie, daß für alle q
1
und alle n 2 N die Bernoullische Ungleichung gilt: (1+ x)n
2 R n f1g und alle n 2 N gilt: P
Was ergibt sich für diese Summe, wenn q
33. Zeigen Sie, daß die Zahl
31
=0 q
n
l
l
=
q
= 1?
alle Zahlen an
:= 62n+1 + 5n+2 ,
n+1
q
1
1
1+ nx.
.
n 2 N, teilt.
34. Es sei n 2 eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, daß es eine Primzahl p gibt, die n teilt.
Hinweis: Betrachten Sie die Menge A := fm 2 N : m 2; m teilt ng, zeigen Sie, daß sie nichtleer ist,
und untersuchen Sie deren Minimum p.
35. Es sei M eine Menge und a; b 2 M . (x) := x, wenn x 2 M n fa; bg.
a) Zeigen Sie, daß = id
M
:=
a;b
:
M
!M
sei definiert durch (a)
:=
b, (b)
:=
a und
.
b) Verwenden Sie Aufgabe 28 zum Nachweis der Bijektivität von .
c) Es sei N eine weitere Menge, es sei u 2 N und f : N ! M eine Funktion, die injektiv bzw.
surjektiv bzw. bijektiv ist. Zeigen Sie, daß es eine injektive bzw. surjektive bzw. bijektive Funktion
g : N ! M gibt mit g (u) = a. (Hinweis: Versuchen Sie es mit g = a;b f und geeignetem b.)
Grundbegriffe der Mathematik, WS11/12
10. Aufgabenblatt vom 19.12.2011
36. (Division mit Rest ) Es sei d 2 N. Zeigen Sie:
Für alle n 2 N existiert ein q 2 N0 und ein r
2 f0; 1; : : : ; d
1
g, so daß n = qd + r.
37. Die Funktion ' : R R ! R sei definiert durch '(x; 0) := 0 und '(x; y ) := 13 (x + y3 ), wenn y 6= 0. Die
Funktion b : N ! R habe die Eigenschaften b(1) = b(2) = 1 und b(n) = '(b(n 1); b(n 2)) für alle
3
2 < n 2 N. Zeigen Sie: Für alle n 2 N gilt: 1 b(n) 2 .
38. Die sogenannte Ackermann-Funktion A : N N ! N hat die Eigenschaften, daß für alle x; y
a) A(1; y ) = y + 1 b) A(x + 1; 1) = A(x; 2) und c) A(x + 1; y + 1) = A(x; A(x + 1; y )).
Zeigen Sie: Für alle x; y 2 N gilt A(x; y ) > y .
2 N gilt:
39. (Rentenrechnung) Wenn zu Beginn eines Jahres jeweils der Betrag r angelegt wird und mit dem
Zinssatz p > 0 verzinst wird, so erfüllt der Wert W (n) dieser „Rente“ am Ende des Jahres n die
p
p
) und W (n + 1) = (W (n) + a)(1 + 100 ).
Bedingungen W (1) = a(1 + 100
Finden Sie eine explizite Formel für W (n).
Grundbegriffe der Mathematik, WS11/12
11. Aufgabenblatt vom 13.01.2012
40. Zeigen Sie: Zu jeder unendlichen Menge X existiert eine injektive Abbildung f :
N ! X.
41. Zeigen Sie: Ist X eine unendliche und E eine endliche Menge, so sind X und X [ E gleichmächtig.
42. Zeigen Sie:
R und [0; 1) := fx 2 R : 0 x < 1g sind gleichmächtig.