Inhaltsverzeichnis
Werbung
Inhaltsverzeichnis 1 Zahlenrechnen (Arithmetik und Numerik) 1.1 Mengen Darstellung von Mengen Mengenoperationen Gesetze der Mengenalgebra Abbildung und Funktion 1.2 Zahlensysteme Dekadisches Zahlensystem Weitere Zahlensysteme Darstellung in Rechnern Hornerschema zur Zahlendarstellung 1.3 Natürliche Zahlen Vollständige Induktion Vektoren und Felder, Indizierung Rechnen mit natürlichen Zahlen 1.4 Ganze Zahlen 1.5 Rationale Zahlen (gebrochene Zahlen) Dezimalbrüche Brüche Rechnen mit Brüchen 1.6 R e c h n e n mit Quotienten Proportion Dreisatz Prozent- und Zinsrechnung 1.7 Irrationale Zahlen 1.8 Reelle Zahlen 1.0 K o m p l e x e Zahlen Körper der komplexen Zahlen 1.10 R e c h n e n mit reellen Zahlen Vorzeichen und Absolutbetrag Ordnungsrelationen Intervalle Runden und Abschneiden Rechnen mit Intervallen Klammerung Addition und Subtraktion Summenzeichen Multiplikation und Division Produktzeichen Potenzen und Wurzeln Exponentation und Logarithmus 1.11 Binomischer Satz Binomische Formeln Binomialkoeffizienten Pascalsches Dreieck Eigenschaften der Binomialkoeffizienten Entwicklung von Potenzen von Summen http://d-nb.info/920493165 : 1 1 1 2 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 8 10 11 11 12 13 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 21 21 23 24 24 26 28 28 28 28 29 30 INHA LTSVERZEICHNIS 2 Gleichungen und Ungleichungen (Algebra) 2.1 Grundlegende algebraische Begriffe Nomenklatur Gruppe Ring Körper Vektorraum Algebra 2.2 Gleichungen m i t einer Unbekannten Elementare Äquivalenzumformungen Übersicht der verschiedenen Gleichungsarten 2.3 Lineare Gleichungen Gewöhnliche lineare Gleichungen Lineare Gleichungen in gebrochener Form Lineare Gleichungen in irrationaler Form 2.4 Quadratische Gleichungen • Quadratische Gleichungen in gebrochener Form Quadratische Gleichungen in irrationaler Form 2.5 Kubische Gleichungen 2.6 Gleichungen vierten Grades Allgemeine Gleichung vierten Grades Biquadratische Gleichungen Symmetrische Gleichungen vierten Grades 2.7 Gleichungen beliebigen Grades Polyivomdivision 2.8 Gebrochenrationale Gleichungen 2.9 Irrationale Gleichungen Wurzelgleichungen Potenzgleichungen 2.10 Transzendente Gleichungen Exponentialgleichungen Logarithmusgleichungen Trigonometrische (goniometrische) Gleichungen 2.11 Gleichungen m i t Beträgen Gleichung mit einem Betragsausdruck Gleichungen mit mehreren Betragsausdrücken 2.12 Ungleichungen Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen 2.13 N u m e r i s c h e Lösung von Gleichungen Grafische Lösung Intervaüschachtelung Regula falsi Newton-Verfahren Sukzessive Approximation 3 G e o m e t r i e und Trigonometrie der Ebene 3.1 Ortslinien 3.2 Grundkonstruktionen Stteckenhalbierung Winkelhalbierung Senkrechte Lot Parallele in gegebenen Abstand Parallele durch gegebenen Punkt 3.3 Winkel Winkelangabe Winkelarten iii 31 31 31 32 33 33 33 34 34 34 35 36 36 36 36 36 37 37 38 39 39 39 39 40 40 41 41 41 42 42 42 43 43 43 44 45 45 46 47 47 47 48 49 50 52 53 53 53 54 54 54 54 55 55 55 56 iv INHALTSVERZEICHNIS 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Winkel an Parallelen Ähnlichkeit und Strahlensätze Strahlensätze Streckeneinteilung Mittelwerte ; Stetige Teilung (Goldener Schnitt) Dreiecke Kongruenzsätze Ähnlichkeit von Dreiecken Dreieckskonstruktion Analytische Berechnung eines rechtwinkligen Dreiecks Analytische Berechnung eines beliebigen Dreiecks Winkel- und Seitenbeziehungen im Dreieck . . . . . Höhe Winkelhalbierende Seitenhalbierende Mittelsenkrechte, Inkreis, Umkreis, Ankreis Dreiecksfläche Verallgemeinerter Satz des Pythagoras Winkelbeziehungen Sinussatz Kosinussatz Tangenssatz Halbwinkelsätze Mollweidesche Formeln Seitensätze : Gleichschenkliges Dreieck Gleichseitiges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck Satz des Thaies Satz des Pythagoras Kathetensatz Höhensatz Vierecke Allgemeines Viereck Trapez Parallelogramm Rhombus (Raute) Rechteck Quadrat Sehnen viereck Tangentenviereck Drachenviereck Regelmäßige n-Ecke (Polygone) Allgemeines regelmäßiges n-Eck Bestimmte regelmäßige Vielecke (Polygone) Kreisförmige Objekte Kreis Kreisförmige Flächen Kreisring Kreisausschnitt (Kreissektor) Kreisringsektor Kreisabschnitt (Kreissegment) Ellipse • 57 57 58 58 59 60 60 60 61 61 63 63 65 66 66 67 67 '68 68 68 69 69 69 69 70 70 70 71 72 73 73 73 73 74 74 74 74 75 75 76 76 77 77 77 78 78 80 80 81 81 82 82 83 84 INHALTSVERZEICHNIS 4 Geometrie des Raumes 4.1 Allgemeine Sätze Satz von Cavalieri Simpsonsche Regel Guldinsche Regeln 4.2 Prisma Schiefes Prisma Gerades Prisma Quader (Rechtkant) Würfel Schief abgeschnittenes n-seitiges Prisma 4.3 Pyramide Tetraeder Pyramidenstumpf 4.4 Reguläre Polyeder Eulerscher Polyedersatz Tetraeder Würfel (Hexaeder) Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder 4.5 Sonstige K ö r p e r Prismoid, Prismatoid Keil Obelisk 4.6 Zylinder Allgemeiner Zylinder Gerader Kreiszylinder Schiefabgeschnittener Kreiszylinder Zylinderhuf Hohlzylinder (Rohr) 4.7 Kegel Gerader Kreiskegel Gerader Kreiskegelstumpf 4.8 Kugel Vollkugel Hohlkugel Kugelausschnitt (Kugelsektor) Kugelabschnitt (Kugelsegment, Kalotte, Kugelkappe) Kugelzone Kugelzweieck 4.9 Kugelgeometrie (sphärische Dreiecke) Allgemeines Kugeldreieck Rechtwinkliges Kugeldreieck Schiefwinkliges Kugeldreieck 4 . 1 0 Rotationskörper EUipsoid Rotationsparaboloid Rotationshyperboloid Tonne (Faß) Torus (Ring) 4.11 Fraktale Geometrie Skaleninvarianz und Selbstähnlichkeit Konstruktion selbstähnlicher Objekte Hausdorff-Dimension Cantor-Menge v 85 85 85 85 85 86 86 86 86 87 87 87 88 88 88 88 89 89 89 90 90 91 91 91 91 91 92 92 92 92 93 93 93 94 94 94 95 95 95 95 96 96 96 97 98 99 99 99 99 100 100 100 100 100 101 101 vi INHALTSVERZEICHNIS Koch-Kurve Kochsche Schneeflocke Sierpinski-Dreieck . . Box-counting-Algorithmus Funktionen 5.1 Folgen, R e i h e n und Funktionen Folgen und Reihen Eigenschaften von Folgen, Grenzwerte Funktionen Klassifikation von Funktionen Grenzwert und Stetigkeit 5.2 Kurvendiskussion Definitionsbereich Symmetrie Verhalten im Unendlichen Unstetigkeitsstellen Nullstellen Vorzeichen verlauf Steigungsverlauf, Extrema Krümmung Wendepunkt 5.3 Steckbrief für Funktionen 101 102 102 102 . 103 103 103 104 105 107 108 110 110 110 111 112 112 113 113 114 114 116 Elementare Funktionen 5.4 K o n s t a n t e Funktion 5.5 Sprungfunktion 5.0 Betragsfunktion . 5.7 Deltafunktion 5.8 Gaußklammer-Funktion, Restfunktion 122 122 124 127 130 133 Ganzrationale Funktionen 5.9 Lineare Funktion - Gerade 5.10 Quadratische Funktion - Parabel 5.11 Kubische Funktion 5.12 Potenzfunktion höheren Grades 5.13 P o l y n o m e höheren Grades 5.14 Darstellung v o n P o l y n o m e n und spezielle P o l y n o m e Summen- und Produktdarstellung Taylorentwicklung Horner-Schema Newtonsches Interpolationspolynom Lagrange-Polynome Bezier-Polynome und Splines Spezielle Polynome 137 137 140 143 146 151 154 154 156 156 159 160 161 164 Gebrochen rationale Funktionen 5.15 H y p e r b e l 5.16 Reziproke quadratische Funktion 5.17 Potenzfunktionen m i t negativem Exponenten 5.18 Quotient zweier P o l y n o m e Polynomdivision und Partialbruchzerlegung 167 167 170 173 176 180 INHALTSVERZEICHNIS vii Nichtrationale algebraische Funktionen 5.19 Quadratwurzel 5.20 Wurzelfunktionen 5.21 Potenzfunktion mit gebrochenem Exponenten 5.22 Wurzeln v o n rationalen Funktionen Kegelschnitte 183 183 186 189 193 197 Transzendente Funktionen 5.23 Logarithmusfunktion 5.24 Exponentialfunktion 5.25 Exponentialfunktionen v o n Potenzen 200 200 205 210 Hyperbolische Funktionen 5.26 Hyperbolische Sinus— und Kosinus—funktion 5.27 Hyperbolische T a n g e n s - und Kotangens-funktion 5.28 Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus 216 217 224 229 Areafunktionen 233 5.29 Area—Sinus hyperbolicus und —Kosinus hyperbolicus 234 5.30 A r e a - T ä n g e n s hyperbolicus und - K o t a n g e n s hyperbolicus . . . . 236 5.31 A r e a - S e k a n s hyperbolicus und - Kosek an s hyperbolicus 239 6 Trigonometrische Funktionen 5.32 Sinus— u n d Kosinusfunktion Überlagerung von Schwingungen Periodische Funktionen 5.33 Tangens und Kotangens 5.34 Sekans u n d Kosekans 243 247 256 261 263 269 Arkusfunktionen 5.35 Arkussinus und Arkuskosinus 5.36 Arkustangens und Arkuskotangens 5.37 Arkussekans und Arkuskosekans 274 275 278 281 Ebene Kurven 5.38 Algebraische Kurven n-ter Ordnung Kurven zweiter Ordnung Kurven dritter Ordnung Kurven vierter und höherer Ordnung 5.39 Rollkurven 5.40 Spiralen 5.41 A n d e r e Kurven 285 285 285 286 288 289 291 293 Vektorrechnung 6.1 Vektoralgebra Vektor und Skalar Spezielle Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Vektoraddition Vektorsubtraktion Rechengesetze Lineare (Un-) Abhängigkeit von Vektoren Basis 6.2 Skalarprodukt oder inneres Produkt Rechenregeln Eigenschaften und Anwendungen des Skalarproduktes Schmidtsches Orthonormierungsverfahren 294 294 294 294 295 296 296 296 297 298 301 301 302 304 viii INHALTSVERZEICHNIS 6.3 6.4 7 8 Richtungskosinus Anwendung der Vektorrechnung: Hyperwürfel Vektorprodukt zweier Vektoren Eigenschaften des Vektorproduktes Mehrfachprodukte von Vektoren Spatprodukt Koordinatensysteme 7.1 K o o r di n a t e n s y s t e m e in zwei Dimensionen Kartesische Koordinaten Polarkoordinaten Umrechnungen zwischen 2D Koordinatensystemen 7.2 2 D Koordinatentransformation Parallelverschiebung (Translation) Drehung (Rotation) Spiegelung (Reflexion) Skalierung 7.3 K o o r di n a t e n s y s t e m e in drei Dimensionen Kartesische Koordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Umrechnungen zwischen dreidimensionalen Koordinatensystemen 7.4 Koordinatentransformation in drei Dimensionen Parallelverschiebung (Translation) Drehung (Rotation) 7.5 A n w e n d u n g in d e r Computergrafik 7.6 Transformationen i Objektdarstellung und Objektbeschreibung Homogene Koordinaten 2-D-Translation mit homogenen Koordinaten 2-D-Skalierung mit homogenen Koordinaten 3-D-Translation mit homogenen Koordinaten 3-D-Skalierung mit homogenen Koordinaten 3-D-Rotation von Punkten mit homogenen Koordinaten Positionierung eines Objektes im Raum Rotation von Objekten um eine beliebige Achse im Raum Simulation von Bewegungsabläufen Spiegelungen Transformation von Koordinatensystemen Translation eines Koordinatensystems Rotation eines Koordinatensystems um eine Hauptachse 7.7 Projektionen Grundprinzipien Parallelprojektion Zentralprojektion Allgemeine Formulierung von Projektionen 7.8 Window-Viewport-Transformationen Analytische G e o m e t r i e 8.1 Elemente der Ebene Abstand zweier Punkte Teilung einer Strecke Fläche eines Dreiecks Gleichung einer Kurve 8.2 Gerade Gleichungsformen der Geraden Hessesche Normalform 304 305 305 307 307 307 310 310 310 310 311 311 311 313 313 314 314 314 314 315 315 316 316 317 318 318 318 320 320 320 321 322 322 323 325 326 327 327 327 328 330 330 330 333 335 337 338 338 338 338 338 339 339 339 340 INHALTSVERZEICHNIS ix 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 Schnittpunkt von Geraden Winkel zwischen Geraden Parallele und senkrechte Geraden Kreis Kreisgleichungen Kreis und Gerade Kreistangentengleichung Ellipse Gleichungsformen der Ellipse Brennpunktseigenschaften der Ellipse Durchmesser der Ellipse Tangente und Normale der Ellipse Krümmung der Ellipse Ellipsenflächen und Ellipsenumfang Parabel Gleichungsformen der Parabel Brennpunktseigenschaften der Parabel Parabeldurchmesser Tangente und Normale der Parabel Krümmung einer Parabel Parabelflächen und Parabelbogenlänge Parabel und Gerade Hyperbel Gleichungsformen deT Hyperbel Brennpunktseigenschaften der Hyperbel Tangente und Normale der Hyperbel Konjugierte Hyperbeln und Durchmesser Krümmung einer Hyperbel Flächen einer Hyperbel Hyperbel und Gerade Allgemeine Gleichung d e r Kegelschnitte Form der Kegelschnitte Hauptachsentransformation Geometrische Konstruktion (Kegelschnitt) Leitlinieneigenschaft Polargleichung Elemente im Raum Abstand zweier Punkte Teilung einer Strecke Rauminhalt eines Tetraeders Geraden im R a u m Parameterdarstellung einer Geraden Schnittpunkt zweier Geraden Schnittwinkel zweier sich schneidenden Geraden Abstand zwischen Punkt und Gerade Fußpunkt des Lotes (Lotgerade) Abstand zweier Geraden Ebenen im Raum Parameterdarstellung der Ebene Koordinatendarstellung der Ebene Hessesche Normalenform der Ebene Umformungen Abstand Punkt - Ebene Schnittpunkt Gerade - Ebene Schnittwinkel zweier sich schneidender Ebenen Fußpunkt des Lotes (Lotgerade) 341 341 342 342 342 343 343 343 344 344 344 345 345 345 346 346 347 347 347 347 347 348 348 348 349 350 350 350 350 351 351 351 352 352 352 353 353 : 353 353 353 354 354 354 354 355 355 355 356 356 356 357 357 357 357 358 358 X INHALTSVERZEICHNIS 8.11 8.12 9 Spiegelung Abstand zweier paralleler Ebenen Schnittmenge zweier Ebenen Flächen zweiter Ordnung in Normalform Ellipsoid Hyperboloid Kegel Paraboloid Zylinder A l l g e m e i n e Fläche zweiter Ordnung Allgemeine Gleichung Hauptachsentransformation Gestalt einer Fläche zweiter Ordnung M a t r i z e n , D e t e r m i n a n t e n u n d lineare Gleichungssysteme 9.1 Matrizen Zeilen- und Spaltenvektoren 9.2 Spezielle Matrizen Transponierte, konjugierte und adjungierte Matrizen Quadratische Matrizen Dreiecksmatrizen Diagonalmatrizen 9.3 Operationen m i t Matrizen Addition und Subtraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit skalarem Faktor c Multiplikation von Vektoren, Skalarprodukt Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor Multiplikation von Matrizen Rechenregeln der Matrixmultiplikation Multiplikation mit einer Diagonalmatrix Matrizenmultiplikation mit dem Falk-Schema Zeilensummen- und Spaltensummenproben 9.4 Determinanten Zweireihige Determinanten Allgemeine Rechenregeln für Determinanten Determinantenwert Null Dreireihige Determinanten Determinanten höherer (n-ter) Ordnung Berechnung n-reihiger Determinanten Reguläre und inverse Matrix Berechnung der inversen Matrix mit Determinanten Rang einer Matrix Bestimmung des Ranges mit Unterdeterminanten 9.5 Lineare Gleichungssysteme Systeme von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten 9.6 N u m e r i s c h e Lösungsverfahren Gaußscher Algorithmus für lineare Gleichungssysteme VoTwärtselimination Pivotisierung Rückwärtseinsetzen LR-Zerlegung Lösbarkeit von (m x n)-Gleichungssystemen Gauß-Jordan-Verfahren zur Matrixinversion Berechnung der inversen Matrix A ~ l 9.7 Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme Gesamtschritt-Verfahren (Jacobi) Einzelschrittverfahren (Gauß-Seidel) 358 359 359 359 359 360 360 361 361 362 362 362 363 365 365 367 368 368 368 369 371 374 374 375 376 377 378 379 380 380 382 383 383 383 385 386 389 390 391 392 393 394 394 396 397 397 398 399 400 401 404 405 408 410 411 412 INHALTSVERZEICHNIS 9.8 9.9 9.10 , k i Konvergenzkriterien für iterative Verfahren Speicherung der Koeffizientenmatrix Tabelle d e r Lösungsmethoden Eigenwertgleichungen Tensoren xi 413 414 415 416 418 10 Differentialrechnung 10.1 Einführung, Definition Ableitung einer Funktion Differential Differenzierbarkeit 10.2 Differentiationsregeln Ableitungen elementarer Funktionen Ableitungen trigonometrischer Funktionen Ableitungen hyperbolischer Funktionen Konstantenregel Faktorregel Potenzregel Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Logarithmische Ableitung von Funktionen Ableitung von Funktionen in Parameterdarstellung Ableitung von Funktionen in Polarkoordinaten Ableitung einer impliziten Funktion Ableitung der Umkehrfunktion Tabelle der Differentiationsregeln 10.3 Mittelwertsätze Satz von Rolle Mittelwertsatz der Differentialrechnung Erweiterter Mittelwertsatz der Differentialrechnung 10.4 H ö h e r e Ableitungen Steigungsverlauf, Extrema Krümmung Wendepunkt 10.5 Näherungsverlahren zur Differentiation Grafische Differentiation Numerische Differentiation 10.6 A b l e i t u n g v o n Funktionen mehrerer Veränderlicher Partielle Ableitung Totales Differential Extrema von Funktionen in zwei Dimensionen Extrema mit Nebenbedingungen 10.7 A n w e n d u n g d e r Differentialrechnung Berechnung unbestimmter Ausdrücke Kurvendiskussion Extremalaufgaben Fehlerrechnung Nullstellensuche nach Newton 420 420 420 421 421 422 422 423 423 423 423 423 424 424 424 424 425 425 426 426 426 427 428 428 428 429 429 430 432 432 433 433 433 434 434 435 436 436 437 437 438 439 440 441 11 Differentialgeometrie 11.1 E b e n e K u r v e n Darstellung von Kurven Ableitung in expliziter Darstellung Ableitung in Parameterdarstellung Ableitung in Polarkoordinaten 442 442 442 442 442 442 xii INHALTSVERZEICHNIS Bogenelement einer Kurve Tangente, Normale Krümmung einer Kurve Evoluten und Evolventen Wendepunkte, Scheitel Singulare Punkte Asymptoten Einhüllende einer Kurvenschar 11.2 R a u m k u r v e n Darstellung von Raumkurven Begleitendes Dreibein Krümmung Windung (Torsion) einer Kurve Frenetsche Formeln 11.3 Flächen Darstellung einer Fläche Tangentialebene und Flächennormale Singuläre Flächenpunkte 12 Unendliche Reihen 12.1 R e i h e n 12.2 Konvergenzkriterien 12.3 T a y l o r - und MacLaurin-Reihen Formel von Taylor Taylor-Reihe 12.4 Potenzreihen Konvergenzbetrachtungen für Potenzreihen Eigenschaften konvergenter Potenzreihen Umkehrung von Potenzreihen 12.5 Spezielle Potenzreihenentwicklungen Binomische Reihen Spezielle Binomische Reihen Reihen von Exponentialfunktionen Reihen von logarithmischen Funktionen Reihen von trigonometrischen Funktionen Reihen von Arkusfunktionen Reihen von Hyperbelfunktionen Reihen von Areafunktionen Partialbruchentwicklungen Unendliche Produkte 13 Integralrechnung 13.1 Integralbegriff und Integrierbarkeit Stammfunktion Unbestimmtes und bestimmtes Integral Geometrische Deutung Regeln zur Integrierbarkeit Uneigentliche Integrale 13.2 Integrationsregeln Regeln für unbestimmte Integrale Regeln für bestimmte Integrale Tabelle der Integrationsregeln Integrale einiger elementarer Funktionen 13.3 Integrationsverfahren Integration durch Substitution Partielle Integration Integration durch Partialbruchzerlegung 443 443 444 445 446 446 447 447 448 448 448 450 450 451 451 451 452 453 . . . . i 454 454 454 457 457 458 459 459 460 461 462 462 462 462 463 464 464 465 465 465 466 467 467 467 467 468 469 470 472 • • • 472 472 473 473 474 475 478 479 INHALTSVERZEICHNIS 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 Integration durch Reihenentwicklung N u m e r i s c h e Integration Rechteckregel Trapezregel Simpson-Regel Romberg-Integration Gauß-Quadratur Tabelle der numerischen Integrationsverfahren . . . * Mittelwertsatz d e r Integralrechnung Linien-, Flächen- und Volumenintegrale . Bogenlänge (Rektifikation) : Flächeninhalt Rotationskörper (Drehkörper) Funktionen in Parameterdarstellung Bogenlänge in Parameterdarstellung . . . . Sektorenformel Rotationskörper in Parameterdarstellung Mehrfachintegrale und ihre Anwendungen Definition von Mehrfachintegralen Flächenberechnung Schwerpunkt von Bögen Trägheitsmoment von Bögen Schwerpunkt einer Fläche Trägheitsmoment von Flächen Schwerpunkt von Drehkörpern Trägheitsmoment von Drehkörpern Technische A n w e n d u n g der Integralrechnung Statisches Moment, Schwerpunkt Trägheitsmoment ; Statik Arbeitsberechnungen Mittelwerte xiii 482 483 484 484 484 485 487 488 - 489 490 490 490 492 493 493 493 493 494 494 495 495 ^ . 496 496 497 . . . 497 497 498 498 499 501 502 502 14 Vektoranalysis 504 14.1 Felder 504 Symmetrien in Feldern 505 14.2 Differentiation und Integration v o n Vektoren 507 Skalenfaktoren in allgemeinen orthogonalen Koordinaten 508 Differentialoperatoren 509 14.3 Gradient und Potential 510 14.4 Richtungsableitung und Vektorgradient 512 14.5 Divergenz und Gaufischer Integralsatz 513 14.6 R o t a t i o n und Stokesscher Integralsatz . . 516 14.7 Laplace-Operator und Greensche Formeln 518 14.8 Kombinationen v o n d iv, rot und grad, Berechnung v o n Feldern . 520 Zusammenfassung 522 15 K o m p l e x e Variablen u n d Funktionen 15.1 K o m p l e x e Zahlen Imaginäre Zahlen Algebraische Darstellung komplexer Zahlen Kartesische Darstellung komplexer Zahlen Konjugiert komplexe Zahlen Betrag einer komplexen Zahl Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen Exponentialdarstellung komplexer Zahlen Umrechnung zwischen kartesischer und trigonometrischer Darstellung . . . 523 523 523 523 524 524 525 526 526 527 xiv INHALTSVERZEICHNIS \ Riemannsche Zahlenkugel 15.2 Elementare Rechenoperationen mit komplexen Zahlen Addition und Subtraktion komplexer Zahlen Multiplikation und Division komplexer Zahlen Potenzieren im Komplexen Radizieren im Komplexen 15.3 Elementare Funktionen einer komplexen Variablen Folgen im Komplexen Reihen im Komplexen Exponentialfunktion im Komplexen Natürlicher Logarithmus im Komplexen . Allgemeine Potenz im Komplexen Trigonometrische Funktionen im Komplexen Hyperbelfunktionen im Komplexen Inverse trigonometrische, inverse hyperbolische Funktionen im Komplexen 15.4 A n w e n d u n g e n d e r komplexen Rechnung Darstellung von Schwingungen in der komplexen Ebene Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz Ortskurven Inversion von Ortskurven 15.5 A b l e i t u n g v o n Funktionen einer komplexen Variablen Definition der Ableitung im Komplexen Ableitungsregeln im Komplexen Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen Konforme Abbildungen 15.6 Integration in d e r komplexen Ebene Komplexe Kurvenintegrale Cauchyscher Integralsatz Stammfunktionen im Komplexen Cauchysche IntegralfoTmeln Taylorreihe einer analytischen Funktion Laurentreihen Klassifikation singulärer Punkte , . . Residuensatz Inverse L&placetransformation 528 529 529 529 532 533 534 534 536 537 537 538 538 539 541 541 541 543 543 544 546 546 546 547 547 549 549 550 551 551 552 553 553 554 554 16 Differentialgleichungen 16.1 Allgemeines 16.2 Geometrische Interpretation 16.3 L ö s ung s m e t h o d e n Trennung der Variablen Substitution Exakte Differentialgleichung Integrierender Faktor 16.4 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Variation der Konstanten Allgemeine Lösung Bestimmung einer partikulären Lösung Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . 16.5 Einige spezielle Gleichungen Bernoullische Differentialgleichung Riccatische Differentialgleichung 16.6 Differentialgleichungen 2. Ordnung Einfache Spezialfälle 16.7 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung Homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung Inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung 556 556 557 559 559 559 560 560 561 561 562 562 562 563 563 563 563 563 565 565 566 INHALTSVERZEICHNIS xv Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . 566 Differentialgleichungen n-ter Ordnung 569 S y s t e m e v o n gekoppelten Differentialgleichungen 1.Ordnung . . . 574 S y s t e m e v o n linearen homogenen Differentialgleichungen 575 Partielle Differentialgleichungen 577 Lösung durch Separation 578 16.12 N u m e r i s c h e Integration v o n Differentialgleichungen 581 Euler-Verfahren 581 Verfahren von Heun 582 Modifiziertes Euler-Verfahren 583 Runge-Kutta-Verfahren 584 Runge-Kutta-Verfahren für Systeme von Differentialgleichungen 587 Differenzenverfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen 588 Finite Elemente 590 16.8 16.9 16.10 16.11 17 Fourier-Transformation 17.1 Fourier-Reihen Einleitung Definition und Koeffizienten Konvergenzbedingung Erweitertes Intervall Symmetrien Fourier-Reihe in komplexer und spektraler Darstellung Formeln zur Berechnung von Fourier-Reihen Fourier-Entwicklung einfacher periodischer Funktionen Fourier-Reihen (Tabelle) 17.2 Fourier-Integrale Einleitung Definition und Koeffizienten Konvergenzbedingungen Komplexe Darstellung, Fouriersinus- und -kosinustransformation Symmetrien Faltung und einige Rechenregeln 17.3 Diskrete Fourier-Transformation ( D F T ) Definition und Koeffizienten Shannonsches Abtasttheorem Diskrete Sinus- und Kosinustransformation Fast-Fourier-Transformation ( F F T ) Spezielle Paare von Fourier-Transformierten Fourier-Transformierte (Tabelle) Spezielle Fourier-Sinus-Transformierte Spezielle Fourier-Kosinus-Transformierte 594 594 594 594 596 597 598 600 601 602 606 607 607 607 609 609 611 611 612 612 614 614 615 621 621 622 623 18 Laplacetransformation 18.1 Einleitung 18.2 Definition der Laplacetransformation 18.3 Rechenregeln 18.4 Partialbruchzerlegung Partialbruchzerlegung mit einfachen reellen Nullstellen Partialbruchzerlegung mit mehrfachen reellen Nullstellen Partialbruchzerlegung mit komplexen Nullstellen 18.5 Lineare Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung Lineare Differentialgleichungen: Beispiele Laplace-Transformierte (Tabelle) 625 625 625 627 635 635 636 637 638 638 640 642 646 xvi INHALTSVERZEICHNIS 19 Empirische Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 656 19.1 Beschreibung v o n Messungen 656 Fehlerarten , 658 19.2 Kenngrößen zur Beschreibung v o n Meßwertverteilungen 659 Lageparameter, Mittelwerte von Mefireihen 659 Streuungsparameter 661 19.3 Häufigkeits- und Wahrscheinlichkeitsverteilungen 662 Häufigkeitsverteilungen 662 Wahrscheinlichkeitsverteilungen 664 Maßzahlen und Momente 665 Diskrete Verteilungen 667 Stetige Verteilungen 669 Verteilung von Stichprobenfunktionen 674 19.4 Stichproben* Analyseverfahren (Test- und Sch&tztheorie) 677 Schätzverfahren 678 Konstruktionsprinzipien für Schätzfunktionen . . . 680 Momentenmethode 680 Maximum-Likelihood-Verfahren 681 Methode deT kleinsten Quadrate 681 2 X -Minimum-Methode 682 Methode der Quantile, Perzentile . 682 Intervallschätzung 683 Intervallgrenzen bei Normalverteilung 684 Intervaügrenzen bei Binomial- und hypergeometrischer Verteilung 686 Intervallgrenzen bei Poisson-Verteilung 686 Betimmung des Stichprobenumfangs n / 687 Prüfverfahren * • * 687 Parametertests 690 Parainetertests bei der Normalverteilung 691 Hypothesen über den Mittelwert beliebiger Verteilungen 693 Hypothesen über p von Binomial* und hypergeometrischen Verteilungen . 693 Anpassungstests 693 Anwendung: Annahmestichproben- und Ausschußprüfung 695 19.5 Zuverlässigkeit 696 19.6 Korrelation v o n Meßwerten 698 19.7 Ausgleichsrechnung, Regression 699 Lineare Regression und die Methode der kleinsten Quadrate 701 Regression n-ter Ordnung 703 19.8 Grundlagen d e r Wahrscheinlichkeitsrechnung 703 Diskrete und stetige Ereignismengen 703 Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit . 704 Grundbegriffe der Kombinatorik 705 Abhängige und unabhängige Zufallsgrößen 706 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 707 20 B o o l e s c h e Algebra 20.1 Motivation und Grundbegriffe Aussagen und Wahrheitswerte Aussagenvariablen 20.2 B o o l e s c h e Verknüpfungen Negation, nicht, not Konjunktion, und, and Disjunktion, (inklusives) oder, or Rechenregeln 20.3 B o o l e s c h e Funktionen Verknüpfungsbasis 2 0 . 4 Normalformen 710 710 710 710 711 711 711 712 712 714 714 715 f INHALTSVERZEICHNIS Disjunktive Normalform Konjunktive Normalform Darstellung von Funktionen durch Normalformen 20.5 Karnaugh-Veitch-Diagramme Erstellen eines KV-Diagrammes Eintragen einer Funktion in ein KV-Diagramm Minimierung mit Hilfe von KV-Diagrammen 20.6 Minimierung nach Quine und McCluskey 2 0 . 7 Mehrwertige Logik und Unscharfe (Fuzzy) Logik Mehrwertige Logik Fuzzy Logik 21 K u r z e Einführung in PASCAL 21.1 Grundstruktur 21.2 Variablen und T y p e n Ganze Zahlen Reelle Zahlen Boolesche Werte Felder, ARRAYs Zeichen und Zeichenketten RECORDs Zeiger Selbstdefinierte Typen 21.3 Anweisungen Zuweisungen und Ausdrücke Ein- und Ausgabe Verbundanweisung Bedingte Anweisungen IF und GASE Schleifen FOR, WHILE und REPEAT 2 1 . 4 P r o z e d u r e n u n d Funktionen Prozeduren Funktionen Lokale und globale Variablen, Parameterübergabe 21.5 Rekursion 21.6 Grundlegende Algorithmen Dynamische Datenstrukturen Suchen Sortieren 21.7 Computergrafik Grundfunktionen 22 Integraltafeln 22.1 Integrale rationaler Funktionen Integrale mit P x = ax + b Integrale mit x m / P £ Integrale mit 1/(x n P™) Integrale mit a x + b und f x + g Integrale mit a + x und 6 + x Integrale mit a x 3 + bx + c Integrale mit x n (P™ Integrale mit 1 jx n P™ Integrale mit P s = a 2 ± x 2 Integrale mit l / P £ Integrale mit x n /P™ Integrale mit l / ( x n P ™ ) Integrale mit P x = a 3 ± x z Integrale mit o 4 + x 4 xvii 715 715 716 718 718 718 719 720 723 723 723 726 726 726 727 727 727 728 729 729 730 . 731 732 732 733 734 735 736 737 737 738 738 740 741 741 743 743 745 745 747 747 747 747 748 749 749 750 750 751 751 751 751 752 753 754 xviii INHALTSVERZEICHNIS Integrale mit a 4 — x 4 Integrale irrationaler Funktionen Integrale mit x 1 ^ 2 und P x = ax + 6 Integrale mit P ^ 2 = (ax + 6) 1 ' 2 Integrale mit P ^ 2 = (aar -f- 6) 1 ' 2 und QXJ2 = (cx + d f ^ 2 Integrale mit R s = (a 2 + x 2 ) 1 / 2 Integrale mit S x = ( x 2 - a 2 ) 1 ' 2 Integrale mit T x - (a 2 - x 2 ) 1 ? 2 2 2 . 3 Integrale transzendenter Funktionen Integrale mit Exponentialfunktionen Integrale mit logarithmischen Funktionen Integrale mit Hyperbelfunktionen Integrale mit inversen Hyperbelfunktionen Integrale mit Sinus- oder Kosinusfunktionen Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktionen Integrale mit Tangens- oder Kotangensfunktionen Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen 2 2 . 4 B e s t i m m t e Integrale Bestimmte Integrale mit algebraischen Funktionen Bestimmte Integrale mit Exponentialfunktionen Bestimmte Integrale mit logarithmischen Funktionen Bestimmte Integrale mit trigonometrischen Funktionen 754 754 754 755 756 757 758 759 761 761 762 763 764 764 768 772 772 774 774 774 775 776 Index 778 22.2
