Ideales Gasgesetz
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Universelles Gasgesetz Das ideale Gasgesetz beschreibt das Verhalten von Gasen, wenn die Größen Druck, Temperatur und Volumen verändert werden. Druck: Der Druck gibt an, welche Kraft das Gas auf ein Flächenelement ausübt Einheit:N/m2 Volumen: Gibt den Rauminhalt des eingeschlossenen Gases an. Einheit:m3 Temperatur: Einheiten K(Kelvin), C Stoffmenge m: Gibt die Teilchenanzahl an. 1mol=6,0221023 Teilchen 273,15 K 0C 273,15 C Allgemein gilt das ideale Gasgesetz 0K pV=mRT m...Stoffmenge: Sie gibt die Anzahl der Gasmoleküle an. Ein mol Gas enthält 6,0221023 Moleküle. Unter Normalbedingungen (p0=101325 pa, T0=0 C) faßt 1 m3 44,62 mol Gas. R...ideale Gaskonstante: R=8,314 J/(Kmol) Luft hat dabei eine Masse von etwa 29g/mol Aufgaben 1.) Zimmerluft habe eine Temperatur von 20°C. (1u=1,6610-27kg) a) Wie viele Teilchen fasst die Luft daher? b) Welche Masse hat daher ein durchschnittliches Luftteilchen? c) Welche Molekülmasse hat daher ein durchschnitliches Luftteilchen? d) Welche Masse hat dann 1m3 Zimmerluft? 1 2.) Für den Auftrieb gilt auch in Luft das Archimedische Gesetz. Wenn nun ein Ballon mit Helium gefüllt wird; welchen Durchmesser muss dann die Heliumkugel haben, damit ein Ballon mit Hülle und einem Passagier (Gesamtmasse 200kg) abhebt? Helium hat die Massenzahl 4. Die Außentemperatur soll 10°C sein und der Luftdruck genau 1 bar. 2 Zustandsänderungen idealer Gase Bei der Kompression und Expansion von Gasen kommt es darauf an, ob die im Kompressions- oder Expansionsraum entstandene Wärme nach außen abgeführt werden kann oder nicht. Es gibt hier prinzipiell drei Möglichkeiten: 1) isotherme Zustandsänderung a)isotherme Kompression Bei der isothermen Kompression ist der Kompressionsraum so beschaffen, daß die durch die Kompression entstandene Wärme unmittelbar und vollständig nach außen abgeführt wird. Die Temperatur vor und nach der Kompression ist also gleich, d.h. T=konst.pV=mRT=konst. p1, V1 vorher p2, V2 nachher p W Q W...zugeführte mechanische Arbeit p2 p1 Q...Wärmeenergie V V2 V1 Beim Komprimieren muß mechanische Arbeit verrichtet werden (zusammendrücken). Diese Energie wird dem Gas zugeführt. Üblicherweise nimmt ein Gas diese Energie auf, indem es sich erwärmt. Da aber der Kompressionsraum nach außen hin vollkommen unisoliert ist, wird diese Wärme nach außen abgeführt. Deshalb gilt T=konst.mRT=pV=konst. b)isotherme Expansion (isotherme Ausdehnung) Beim isothermen Expandieren muß das Gas den Kolben nach außen drücken. Es muß also Arbeit verrichten. Da der Expansionsraum thermisch unisoliert ist, kann Wärmeenergie von außen in den Expansionsraum eindringen, und die Temperatur im Expansionsraum bleibt gleich, d.h. mRT=konst.=pV. 3 P1, V1 vorher P2, V2 nachher p W Q W...vom Gas abgeführte mechanische Arbeit P1 P2 Q...Wärmeenergie V V1 V2 2) adiabatische Zustandsänderung a) adiabatische Kompression Bei der adiabatischen Kompression wird dem Gas wieder vom außen durch das Zusammendrücken Energie zugeführt. Im Unterschied zur isothermen Kompression ist aber der Kompressionsraum nach außen hin vollständig wärmeisoliert. Die Energie des Zusammendrückens wird also vollständig in die Erwärmung des Gases umgesetzt. Als Resultat erhalten wir also ein wärmeres Gas als vor der Kompression (mRT2 > mRT1), d.h. (p2V2 >p1V1). p1, V1 vorher Q p2, V2 nachher p W W...zugeführte mechanische Arbeit p2 Q...Wärmeenergie p1 V V2 V1 4 b) adiabatische Expansion Bei der adiabatischen Expansion muß das Gas den Kolben nach außen drücken und somit wieder Arbeit verrichten. Im Unterschied zur isothermen Expansion ist aber der Expansionsraum nach außen hin vollständig wärmeisoliert. Die Expansionsenergie des Gases wird also vollständig vom Gas selbst geliefert. Es kühlt sich ab. Als Resultat erhalten wir also ein kühleres Gas als vor der Expansion (mRT2 < mRT1), d.h. (p2V2 <p1V1). P1, V1 vorher p Q P2, V2 nachher W W...vom Gas abgeführte mechanische Arbeit P1 Q...Wärmeenergie P2 V V1 V2 Spezifische Wärmekapazität Die spezifische Wärmekapazität gibt an, wie viel Wärmeenergie einem Stoff der Masse von 1kg zugeführt werden muß, um ihn um 1K zu erwärmen. Für Wasser beträgt die spezifische Wärmekapazität cp=4187 J/(kgK). Der Index p deutet an, daß die Messung bei konstantem Druck erfolgte. cP Q M T Q....Zugeführte Wärme in Joule M....Masse von 1kg T...Temperaturerhöhung in Kelvin Die spezifische Wärmekapazität liefert aber nicht nur eine Aussage darüber, welche Energie notwendig ist, um einen Stoff zu erwärmen, sondern auch, wieviel Wärme er speichern kann. Führe ich einem Stoff beispielsweise 1000J Wärmeenergie zu und erwärmt er sich dabei um 3K, so kühlt er sich auch unter Abgabe von 1000J wieder um 3K ab! 5 Verschiedene Wärmekapazitäten von Land und Wasser sind auch Ursache des Land- und Seewindes. Am Tag können Sonne und Luft das Land stärker erwärmen als das Meer, da Landmasse eine geringere Wärmekapazität besitzt. Die Luft über dem Land wird also stärker erwärmt als über dem Meer und steigt daher auf. Damit über dem Land kein Vakuum entsteht, muß Luft vom Meer nachströmen (Seewind). Nachts kühlt das Land aufgrund der geringeren Wärmekapazität schneller ab, und aus ähnlichen Überlegungen heraus ergibt sich dann die umgekehrte Windrichtung. Spezifische Wärmekapazität von Gasen Auch hier bedeutet Energiezufuhr eine Erwärmung. Wird von außen einem Gas Energie zugeführt, erhöht sich seine innere Energie U. Diese Energieerhöhung ist genau gleich groß wie die zugeführte Wärme Q. Man hat nun die Wärmekapazität auf zweierlei Art und Weise gemessen. 1. cv..Wärmekapazität bei konstantem Volumen Dem Gas wird Energie zugeführt und das Gas erwärmt sich. Es ist jedoch in einem Volumen eingesperrt, so daß es sich nicht ausdehnen kann. vorher Q Q=U nachher U Gas cv Q M T 2. cP...Wärmekapazität bei konstantem Druck Wärmezufuhr führt zur Erhöhung der inneren Energie U und dem Verrichten von Arbeit, da sich das Gas ausdehnt. 6 nachher vorher Q Q=U+W W..geleistete Arbeit cp Q M T cp muß größer sein als cV, da die zugeführte Energie sowohl zur Erhöhung der inneren Energie als auch zum Verrichten von Arbeit genutzt wird. Bei der adiabatischen Zustandsänderung ist nicht mehr das Produkt von Druck und Volumen konst. sondern es gilt p V konst ., mit cP cV wird Adiabatenexponent genannt. Er ist für Luft etwa 1,4. Wir werden nun einige nützliche Zusammenhänge zwischen Druck, Volumen und Temperatur bei einer adiabatischen Zustandsänderung herleiten. Wir betrachten den Übergang von einem Zustand 1 mit den Größen p1, V1, und T1 in einen Zustand 2. Sowohl für den Zustand 1 und den Zustand 2 gilt die universelle Gasgleichung. Also: p1V1=mRT1 p2V2=mRT2 7 Wegen pV=konst. gilt p1V1 p 2 V2 p1 V2 p 2 V1 p1V1 p 2 V2 mRT1 mRT 2 V1 V2 T1V11 T2 V21 V1 V2 T1 V2 T2 V1 1 Und schließlich V2 V1 1 1 T 1 V T 1 V T p 1 1 2 1 2 1 T2 V1 p2 T2 T2 V1 T1 T2 1 p1 p2 3) polytrope Zustandsänderung a)polytrope Kompression Bei der polytropen Kompression ist der Kompressionsraum teilisoliert. Wärme kann nach außen dringen, aber nicht vollständig. Das Gas wird sich daher erwärmen. Die Temperatur wird aber nicht so stark ansteigen, wie bei einer adiabatischen Kompression, da durch die unvollständige Wärmeisolierung ein Teil der Wärme nach außen abgeführt wird. b)polytrope Expansion Bei der polytropen Expansion ist der Kompressionsraum teilisoliert. Wärme kann in den Expansionsraum eindringen, aber nicht vollständig. Das Gas wird sich daher abkühlen. Die Temperatur wird aber nicht so stark fallen, wie bei einer adiabatischen Expansion, da durch die unvollständige Wärmeisolierung Wärme von außen in den Expansionsraum eindringen kann. Formelmäßig ist die polytrope Zustandsänderung wie die adiabatische zu behandeln. Nur der Adiabatenexponent wird zum Polytropenexponent n. n liegt stets zwischen 1 (Grenzfall der isothermen Zustandsänderung) und (Grenzfall der adiabatischen Expansion). 8 Wärmekraftmaschinen Das Grundprinzip der Wärmekraftmaschinen basiert auf der Umwandlung von Wärmeenergie in Arbeit. Dabei verläuft der Umwandlungsprozeß in sich wiederholenden Takten. Anhand eines Benzinmotors (Ottomotors) seien nun die einzelnen Takte dargestellt. 1.Takt: Ansaugtakt Die Luft wird angesaugt, und mit Treibstoff zu einem gasförmigen Gemisch verwandelt. Beim Ansaugen sind die Ventile offen, daher besteht zwischen Außenraum und Zylinderraum kaum ein Druckunterschied. Es muß daher beim Ansaugen kaum Arbeit verrichtet werden. Der relativ unbedeutende Druckabfall kommt dadurch zustande, daß die Luft durch die Ventile hindurch beschleunigt werden muß. P0, V1 vorher P0, V2 nachher p P1 P0 V V1 V2 2.Takt: Verdichtungstakt Beim Verdichtungstakt wird das Gemisch komprimiert. Die Verdichtung erfolgt dabei so schnell, daß das Gemisch nach außen hin fast keine Wärme abführen kann, also adiabatisch, obwohl der Motor von Kühlwasser umgeben ist. Daher braucht es auch eine bestimmte Zeit, bis das Kühlwasser erwärmt ist. Das Gemisch erwärmt sich. Es darf dabei aber eine gewisse Temperatur nicht übersteigen, da es sonst zur vorzeitigen Zündung kommen kann. Die zugeführte Kompressionsarbeit W wird also wegen der Adiabatik des Vorganges vollständig in die Erhöhung der inneren Energie U umgewandelt. Man kann sagen: 9 W=U P0, V2 vorher P1, V1 nachher p P1 P0 V V1 V2 3.Takt: Arbeitstakt Der Arbeitstakt ist dabei in 2 Abschnitte gegliedert; die Zündung und die darauf folgende Expansion. Bei der Zündung steigt durch die Explosion der Druck schlagartig an. Der Druckanstieg erfolgt dabei so rasch, daß sich der Kolben in der Zwischenzeit kaum bewegt. Der Temperaturanstieg erfolgte also bei konstantem Volumen. Die zugeführte Wärme errechnet sich also (siehe spezifische Wärmekapazität von Gasen): Q1=mcVT1 Von der Maximaltemperatur ausgehend erfolgt dann aufgrund der Schnelligkeit des Vorganges eine nahezu adiabatische Expansion, bei der das gezündete Gemisch abgekühlt wird, ohne daß viel Wärme in den Kühler abfließen könnte. Die durch die Zündung erhöhte innere Energie des Gemisches wird also in Arbeit umgewandelt, ohne daß viel Wärme nach außen gelangt. Die Endtemperatur des Expansionsvorganges liegt dabei über der Temperatur des ursprünglich angesaugten Gasgemisches. Daher liegt auch der Druck des expandierten Gases über dem Druck des ursprünglich angesaugten Gemisches. 10 P1, V1 vorher P3, V2 nachher p p2 P1 p3 P0 V V1 V2 4.Takt: Auspufftakt Die Ventile werden geöffnet, und das Gas nach außen gepreßt. Dabei ist der Druck im Zylinder nur wenig über dem Außendruck, da Zylinderraum und Außenraum über das offene Ventil miteinander verbunden sind, und nur das Beschleunigen der Gase einen leichten Überdruck im Zylinder hervorbringt. Nun beginnt der Motor wieder mit dem Ansaugtakt. P1, V1 vorher P3, V2 nachher p p2 P1 p3 P0 V V1 V2 11 Beim Auspuffen verliert der Zylinderraum Energie, da die Temperatur des ausgepufften Gemisches über der Temperatur des neu angesaugten Gemisches liegt. Ist der Temperaturunterschied T2, so geht dem Zylinder die Energie Q2=mcVT2 verloren. Da Energie nicht verschwinden kann, muß die Differenz von zugeführter Wärme und abgeführter Wärme in Arbeit umgewandelt werden. W=Q1Q2 W...vom Motor geleistete Arbeit Q1...zugeführte Wärmeenergie Q2...abgeführte Wärmeenergie Eine wichtige Größe, die den Verbrauch eines Verbrennungsmotors bestimmt, ist der sogenannte Wirkungsgrad . Er gibt an, wieviel der zugeführten Wärme (durch Treibstoff bestimmt) tatsächlich in Arbeit verwandelt wird. Ein Wirkungsgrad von 1 würde bedeuten, daß die gesamte zugeführte Wärmeenergie in Arbeit umgewandelt werden würde. Dies ist praktisch unmöglich. mc V T2 Q T W Q1 Q 2 1 2 1 1 2 Q1 Q1 Q1 mc V T1 T1 Aus der Formel erkennt man, daß der Wirkungsgrad umso mehr gegen 1 geht, je größer der Temperaturanstieg durch die Zündung ist, und umso kleiner die Temperatur der ausgepufften Gase gegenüber der Temperatur des angesaugten Gemisches ist. Den Temperaturunterschied beim Auspuffen kann man minimieren, indem man das Gasgemisch im Verhältnis zum Zündvolumen weit expandieren läßt. Dies ist gleichbedeutend mit einer starken Verdichtung. In der Verdichtung ist man allerdings durch die Selbstzündungstemperatur beschränkt. Zu hohe Kompressionstemperatur führt zu Zündung, ohne daß der höchste Verdichtungspunkt (oberer Totpunkt) erreicht wird. Beim Dieselmotor ist der Selbstzündungseffekt im oberen Totpunkt gewollt, und wird durch eine hohe Verdichtung erreicht. Aufgrund der hohen Verdichtung ist der Wirkungsgrad des Dieselmotors auch bedeutend höher. 12 Vergleich der Zustandsänderungen idealer Gase Kompression (p2V2)isotherm < (p2V2)polytrop < (p2V2)adiabatisch (mRT2)isotherm < (mRT2)polytrop < (mRT2)adiabatisch Expansion (p2V2)isotherm > (p2V2)polytrop > (p2V2)adiabatisch (mRT2)isotherm > (mRT2)polytrop > (mRT2)adiabatisch Der Viertaktmotor Der Viertaktmotor ist eine Maschine, die Wärme in mechanische Arbeit umwandelt. Dabei wird das angesaugte Gas-Luft-Gemisch durch einen Funken zur Explosion gebracht. Die Temperatur und damit der Druck im Verbrennungsraum steigt schlagartig an, und drückt den Kolben nach außen. Um einen Verbrennungsmotor zu verstehen, müssen wir vorerst noch einmal ansehen, wie Arbeit von einem Gas verrichtet wird. Stellen wir uns vor, ein Gas ist mit einem gewissen Druck p1 und einem gewissen Volumen V1 eingeschlossen und expandiert zu einem Volumen V2 und einem Druck p2. Also Start: p1,V1 Ende: p2,V2 P1, V1 vorher P2, V2 nachher W p W...vom Gas umgesetzte mechanische Arbeit P1 P2 V V1 V2 13 Zerlegen wir nun den Ausdehnungsprozeß in kleine Abschnitte, in denen der Druck annähernd gleich bleibt! p W s W...vom Gas umgesetzte mechanische Arbeit p V V Wenn der Kolben bei einem gewissen Druck p vom Gas um ein Stück verschoben wird, dann vergrößern wir das Volumen um V. Dabei muß das Gas Arbeit verrichten. W=Fs=pAs=pV Die vom Gas geleistete Arbeit zum Verschieben ist also pV. Wenn wir nun den gesamten Ausdehnungsprozeß betrachten, dann können wir ihn und aus lauter schmalen Rechtecken zusammengesetzt denken. P1, V1 vorher P2, V2 nachher W p W...vom Gas abgeführte mechanische Arbeit P1 P2 V V1 V2 14 Die mechanische Arbeit, die vom Gas geleistet wurde entspricht also der Summe der kleinen Rechtecke. Betrachten wir nun einen Viertaktmotor Ein Viertaktmotor arbeitet, indem er ein Gemisch aus Luft und Treibstoff im geeigneten Moment zur Zündung bringt. Dieses Gemisch hat dann aufgrund der hohen Temperatur ein Expansionsbedürfnis, welches in Arbeit umgesetzt wird. Der Motor arbeitet in 4 Takten. 1.Takt: Ansaugtakt Die Luft wird angesaugt, und mit Treibstoff zu einem gasförmigen Gemisch verwandelt. Beim Ansaugen sind die Ventile offen, daher besteht zwischen Außenraum und Zylinderraum kaum ein Druckunterschied. Es muß daher beim Ansaugen kaum Arbeit verrichtet werden. P0, V1 vorher P0, V2 nachher p P1 P0 V V1 V2 2.Takt: Verdichtungstakt Beim Verdichtungstakt wird das Gemisch komprimiert. Die Verdichtung ist dabei keineswegs isotherm, obwohl der Motor von Kühlwasser umgeben ist. Dies kommt daher, daß die durch die Kompression entstandene Wärme nicht so schnell abgeführt werden kann. Daher erwärmt sich das Gemisch. Es darf dabei aber eine gewisse Temperatur nicht übersteigen, da es sonst zur vorzeitigen Zündung kommen kann. Beim Benzinmotor wird das Gemisch nämlich durch Zündkerzenfunken und nicht durch Kompressionserhitzung wie beim Diesel gezündet. 15 P0, V2 vorher P1, V3 nachher p P1 P0 V V3 V2 3.Takt: Arbeitstakt Kurz vor Erreichen des Umkehrpunktes wird durch den Zündfunken das Gemisch gezündet. Die Temperatur und der Druck steigen schlagartig an. Der Kolben wird nach außen gepreßt und das Gasgemisch verrichtet die Arbeit. P1, V3 vorher P0, V2 nachher p P1 P0 V V3 V2 16 4.Takt: Auspufftakt Die Ventile werden geöffnet, und das Gas nach außen gepreßt. Dabei ist der Druck im Zylinder nur mehr wenig über dem Außendruck, da Zylinderraum und Außenraum über das offene Ventil miteinander verbunden sind. Nun beginnt der Motor wieder mit dem Ansaugtakt. P0, V2 vorher P0, V1 nachher p P0 V V1 V2 17
