Kapitel3_Statistik

Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Die Wahrscheinlichkeitsrechung stellt Modelle bereit zur Beschreibung und Interpretation
solcher zufälliger Erscheinungen, die statistische Gesetzmäßigkeiten zeigen.
3.1. Zufällige Ereignisse – Ereignisalgebra
Zufallsexperiment
(beliebig oft wiederholbarer) Vorgang, dessen Ergebnis vom Zufall
abhängt; vor der Durchführung ist nicht bekannt, welches Ergebnis
eintritt.
Ausgangsmenge (Ergebnismenge, Stichprobenraum, Menge der Grundergebnisse) 
enthält alle im betrachteten Zufallsexperiment interessierenden einfachen
Versuchsausgänge (-ergebnisse ); bei jeder Durchführung tritt genau
einer der zu  gehörenden Ausgänge ein.
Zufälliges Ereignis Teilmenge von 
A   ... „ A ist Teilmenge von  “
Wir sagen:
Ein Ereignis A ist eingetreten, wenn der Ausgang des
Zufallsexperiments ein Element aus A ist.
Elementarereignisse
einelementige Teilmengen von , nicht weiter zerlegbar
Sicheres Ereignis
tritt bei jeder Durchführung des Experiments ein, ist also gleich 
Unmögliches Ereignis  tritt nie ein, ist die leere Menge
40
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Beispiel 1: Werfen mit zwei verschiedenen Würfeln mit Feststellen der Augenzahl
Ausgang (Ergebnis):
( i; k ) ;
i, k = 1, 2, ... 6
 = { (1; 1) ,
(1; 2) ,
(1; 3) ,
(1; 4) ,
(1; 5) ,
(1; 6) ,
(2; 1) ,
(2; 2) ,
(2; 3) ,
(2; 4) ,
(2; 5) ,
(2; 6) ,
(3; 1) ,
(3; 2) ,
(3; 3) ,
(3; 4) ,
(3; 5) ,
(3; 6) ,
(4; 1) ,
(4; 2) ,
(4; 3) ,
(4; 4) ,
(4; 5) ,
(4; 6) ,
(5; 1) ,
(5; 2) ,
(5; 3) ,
(5; 4) ,
(5; 5) ,
(5; 6) ,
(6; 1) ,
(6; 2) ,
(6; 3) ,
(6; 4) ,
(6; 5) ,
(6; 6) }
A1 = „Augensumme 4“ = { (1; 3) , (2; 2) , (3; 1) }
A2 = „gleiche Augenzahl“ = { (1; 1) , (2; 2) , ... (6; 6) }
 enthält 36 Elemente; es gibt also 36 Elementarereignisse.
Bei jedem Wurf ergibt sich sicher eines der 36 Elemente von .
41
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verknüpfung von Ereignissen ( Ereignisalgebra)
Wir geben jeweils zuerst die Mengenoperation an, formulieren sie dann für Ereignisse und
interpretieren diese anschaulich auf der nächsten Seite als Punktmengen.
1) Menge:
Ereignis:
A  B ... Vereinigung von A und B
A oder B oder beide (mindestens eines)
„A oder B“
2) Menge:
Ereignis:
A  B ... Durchschnitt (Produkt) von A und B
sowohl A als auch B
„A und B“ ( kürzere Schreibweise: A B )
3) Menge:
Ereignis:
A \ B ... Differenz von A und B
A tritt ein und B nicht
„A aber nicht B“ , „A ohne B“
4) Menge:
A =  \ A ... Komplementärmenge von A ( bezüglich der
Grundmenge  )
Ereignis:
A tritt nicht ein
„A nicht“
A heißt auch das zu A entgegengesetzte Ereignis oder das Komplementärereignis
von A, kürzer auch das Gegenereignis.
Als nützlich erweisen sich folgende Bezeichnungen:
5) Menge:
Ereignis:
6) Menge:
A  B ... A ist Teilmenge von B
„aus A folgt B“
A  B   ... A und B haben keine gemeinsamen Elemente, ihr
Durchschnitt ist leer
Ereignis:
„A und B sind disjunkt oder unvereinbar“
Durchschnitts- und Vereinigungsbildung lassen sich leicht auf mehr als zwei Ereignisse
übertragen. Sämtliche Gesetze der Mengenalgebra gelten auch für das Rechnen mit
Ereignissen; viele sind in der Sprache der Ereignisse unmittelbar einleuchtend.
42
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1.
A B

2.
A B

3.
A\ B

4.
A

5.
A B

6.
A B  
43
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wichtige Rechenregeln der Ereignis-Algebra sind z.B.
(1.a)
A B  B  A ;
(1.b)
A  ( B  C )  ( A  B)  C ; A  ( B  C )  ( A  B)  C
(1.c)
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
(1.d)
A A ;   ;  
(1.e)
A B  A  B
;
A B  B  A
A B  A  B
... Regeln von de Morgan
Im folgenden schreiben wir für den Durchschnitt A  B auch kürzer das Produkt AB .
Übung 1:
Veranschaulichen Sie sich die Rechenregeln (1.c) und (1.e) mit Hilfe von
Mengen-Diagrammen (Venn-Diagrammen)!
Beispiel 2:
Werfen eines Würfels mit Feststellen der Augenzahl
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
A = {2, 4, 6} ;
A  B = {1, 2, 3, 4, 6} B \ A = {1, 3}
A  B = {2}
B  A = {1, 3}
B = {1, 2, 3} ; C = {4, 5, 6}
B  C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 
BC=
Formulieren Sie die Ergebnisse jeweils in Worten!
3.2. Zur Definition der Wahrscheinlichkeit
Klassische Definition
Aus der Theorie der Glücksspiele stammt die Definition von LAPLACE:
(2.a)
P( A) 
Anzahl der für A günstigen Fälle
Anzahl aller (gleich)mö glichen Fälle
Bezeichnet man mit A,  die Anzahl der Elemente von A und ,
dann lautet (2.a) kürzer
(2.b)
P ( A) 
A

Die dabei vorausgesetzte Gleichwahrscheinlichkeit aller Fälle schränkt die Anwendung der
klassischen Definition natürlich stark ein; (2) versagt z.B. bereits bei einem unsymmetrischen
Würfel, oder bei der Frage nach der Zuverlässigkeit technischer Produkte.
44
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Beispiel 3:
Werfen mit zwei verschiedenen Würfeln (vgl. Bsp. 1)
A1 = „Augensumme 4“ ;
A1  3 ,
A2  6 ,
A2 = „gleiche Augenzahl“
3
1

 P( A1 )  36  12

  36  
6 1

P
(
A
)


2

36 6
Statistische Definition
Den Ausgangspunkt für die statistische Definition der Wahrscheinlichkeit bildet die
Erfahrung, dass das Eintreffen zufälliger Ergebnisse bei den meisten Zufallsexperimenten auf
lange Dauer gewissen Gesetzmäßigkeiten unterliegt:
die relative Häufigkeit des Ereignisses A
(3)
h( A) 
Anzahl der Experimente mit Ergebn is A
Gesamtanza hl der Experimente
erweist sich in langen Versuchsreihen als nahezu konstant. Mit wachsender Anzahl der
Experimente schwankt h (A) immer weniger um einen „Grenzwert“ P (A), die statistische
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A:
(4)
h( A )  P( A ) mit wachsender Anzahl der Experimente
Liegt ein Zufallsexperiment vor mit endlich vielen gleichwahrscheinlichen Fällen, so kann
man die Wahrscheinlichkeit mit (2) und den Sätzen der Kombinatorik (s.u. 3.4) relativ leicht
berechnen. Bei anderen Zufallsexperimenten muss man die unbekannten Werte der
Wahrscheinlichkeit mit Hilfe beobachteter relativer Häufigkeiten gemäß (4) festlegen.
Bemerkung:
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung als mathematischer Disziplin sind beide Definitionen
unbefriedigend: man fordert dort für jedes Ereignis A die Existenz einer Zahl P(A), die
gewissen Axiomen genügt. Diese Axiome sind im Wesentlichen die Eigenschaften (12), (12)
und (13) in 3.4.1.; die dadurch festgelegte Wahrscheinlichkeit P(A) ist also das theoretische
Gegenstück der empirischen relativen Häufigkeit h(A).
45
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Häufigkeit der „1“ bei einem bestimmten Würfel (in Zehner- bzw.
Fünfzigerschritten notiert)
Beispiel 4:
k
abs. H.
rel. H.
10
2
0,200
20
4
0,200
30
6
0,200
40
7
0,175
50
8
0,160
100
150
200
100
12
0,120
150
23
0,153
200
32
0,160
250
41
0,164
300
51
0,170
h ("1")
0,3
0,2
0,1
0
0
50
250
300
k
350
Geometrische Wahrscheinlichkeit
Die klassischen Formeln (2) für die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses gilt für
Zufallsexperimente mit einer diskreten Ausgangsmenge  von endlich vielen gleichwahrscheinlichen Ausgängen. Die Definition soll nun verallgemeinert werden auf Zufallsexperimente mit einer kontinuierlichen Ausgangsmenge  , bei denen kein    bevorzugt auftritt (Gleichverteilung).
Beispiel 5:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt der Zeiger einer Drehscheibe im
Bereich 0    
Lösung:
stehen?
  [0 , 2 ]
A  [0 ,

3

3
]

Länge von A
1
p( A) 
 3
Länge von  2 6
46
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Beispiel 6:
BUFFONsches Nadelproblem
(1777)
Eine Nadel der Länge l wird auf eine Ebene mit parallelen Strichen im Abstand
L > l zufällig geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die
Nadel einen der Striche kreuzt?
Lösung:
 = Neigungswinkel der Nadel
L

gegen die Parallelen
x = Abstand des unteren Nadelendes von der nächsthöheren
Geraden
x
   ( x /  ) / 0  x  L , 0    

Alle möglichen Fälle liegen im skizzierten Rechteckbereich
x
L
x  l  sin 


A = „Nadel kreuzt Gerade“  x  l  sin 
Alle günstigen Punkte liegen im schraffierten Bereich
p( A) 
F ( A)
F ()
mit



 F ( A)   l  sin  d  2l 

 
0


F ()    L


p( A) 
2l
 L
(Simulationsmodell zur Bestimmung von  )
Lässt sich wie in Beispiel 5 das sichere Ereignis  darstellen als ein Intervall der Länge
L( ) und das Ereignis A als ein Teilintervall der Länge L( A) , dann ist die Wahrschein-
lichkeit des Ereignisses A unter der Voraussetzung der „Gleichverteilung“ gegeben durch das
Verhältnis dieser Längen:
p( A) 
L( A)
L(  )
47
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lässt sich wie in Beispiel 6 das sichere Ereignis  darstellen als Gebiet der Ebene mit dem
Flächeninhalt F () und A als Teilgebiet mit dem Flächeninhalt F ( A) , so ist, wieder unter
der Voraussetzung, dass Gleichverteilung vorliegt,
p( A) 
F ( A)
F ()
.
Bei Darstellungen im dreidimensionalen Raum ergibt sich eine analoge Beziehung für
entsprechende Volumina. Die obigen Formeln bezeichnet man als geometrische
Wahrscheinlichkeiten.
Klassische Wahrscheinlichkeit und geometrische Wahrscheinlichkeit kann man zusammenfassen in der allgemeinen Formel
p( A) 
Maß von A
Maß von 
.
Dabei versteht man unter Maß entweder Anzahl, Länge, Flächeninhalt, Volumen,…
48
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
3.3. Elementare Kombinatorik
Satz 1: Fundamentales Zählprinzip – Produktregel
Aus r Mengen M1 , ... M r mit n1, ... nr Elementen lassen sich
(5)
N  n1  n2  ....  nr
verschiedene r-Tupel ( x1 , x2 .... xr ) bilden mit xi  M i .
oder
Hat man eine Folge von Entscheidungen zu treffen, bei denen es für die
i. Entscheidung ni Möglichkeiten gibt ( i  1 , .... r ) , dann ist die Gesamtzahl
aller möglichen Entscheidungs-Folgen gegeben durch
(6)
N  n1  n2  ....  nr
Beispiel 7: Zum Fundamentalen Zählprinzip
Ein bestimmter Autotyp wird in 2 verschiedenen Motorstärken, 4 verschiedenen Farben und 5
verschiedenen Innenausstattungen angeboten. Wie viele Wahlmöglichkeiten hat der Käufer?
Lösung mit „Baumdiagramm“:
Motoren
Farbe
Innenausstattung
....
....
n1  2
n2  4
n3  5
 N  n1  n2  n3  2  4  5  40
49
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Grundproblematik:
a) Auswählen einer Teilmenge aus einer Grundmenge
b) Anordnen der Elemente einer Menge
Bezeichnungen:
n -Menge
...
Menge von n Elementen
k-Stichprobe
...
Teilmenge von k Elementen einer Grundmenge
geordnet
...
Reihenfolge wichtig (Variationen)
ungeordnet
...
Reihenfolge unwichtig (Kombinationen)
mit Zurücklegen
...
gezogenes Element wird vor der nächsten
Ziehung zurückgelegt
ohne Zurücklegen
...
– " – nicht zurückgelegt
Satz 2: Geordnete k-Stichproben mit Zurücklegen (Variationen mit Wiederholung)
Einer n-Menge kann man
(7)
N n
k
geordnete k-Stichproben mit Zurücklegen entnehmen.
Beispiel 8:
In einer Urne sind 2 schwarze und 3 weiße Kugeln. Zwei Kugeln werden nacheinander mit
Zurücklegen zufällig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide weiß sind?
Lösung:
mögliche Fälle
günstige Fälle
5 2  25
9

 P( WW ) 

25
32  9 

Satz 3: Geordnete k -Stichproben ohne Zurücklegen (Variationen ohne Wiederholung)
Einer n-Menge kann man
(8)
(n) k  n  (n  1)  ....  (n  k  1) 
n!
(n  k )!
geordnete k-Stichproben ohne Zurücklegen entnehmen.
50
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Beispiel 9:
Ein Verein mit 5 Mitgliedern wählt einen Vorstand und einen Schriftführer. Wie viele
Möglichkeiten gibt es?
Lösung:
(5)2 = 5  4 = 20
(Reihenfolge wichtig!)
Für k  n folgt aus Satz 3 ein wichtiger Sonderfall:
Satz 4: Permutationen
Eine n-Menge kann auf
(9)
(n) n  n  (n  1)  ....  2 1  n!
(„n-Fakultät“)
Arten angeordnet werden.
Beispiel 10:
Wie viele Wörter lassen sich aus a, m, o bilden, wenn jeder Buchstabe in jedem Wort genau
einmal vorkommt?
Lösung:
3! = 3  2  1 = 6
Satz 5: Ungeordnete k -Stichproben ohne Zurücklegen
(Kombinationen ohne Wiederholung)
Einer n-Menge kann man
(10)
 n
n  (n  1)  ....  (n  k  1)
n!
  

1  2  ....
k
(n  k )! k!
 k 
ungeordnete k -Stichproben ohne Zurücklegen entnehmen.
 n 
Sprechweise für die Binomialkoeffizienten   : „n über k“
 k 
Beispiel 11:
Wie viele Möglichkeiten gibt es beim Lotto 6 aus 49?
Lösung:
 49 
49  48  47  46  45  44
  
 13 983 816
1  2  3  4 5 6
6 
51
( k  n)
Statistik
3.4.
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
3.4.1. Elementare Rechenregeln
Sowohl aus den Eigenschaften der relativen Häufigkeit (3), wie auch aus der klassischen
Definition (2) ergeben sich unmittelbar folgende Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit:
(11)
0  P( A)  1
(12)
P( )  1 , P()  0
Wichtige Rechenregeln sind
(13)
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB)
… Additionssatz
(14)
P( A )  1  P( A) für alle Ereignisse A
... W. des Gegenereignisses
(15)
A  B  P( A)  P( B)
Im Sonderfall unvereinbarer (disjunkter) Ereignisse A und B lautet der Additionssatz (13):
(16)
P( A  B)  P( A)  P( B)
falls AB  
Übung 2:
Beweisen Sie die Rechenregel (14) für die Wahrscheinlichkeit des
Gegenereignisses mit Hilfe von (12) und (13).
Übung 3:
Formulieren Sie den Additionssatz für drei Ereignisse A, B, C .
Herleitung des Additionssatzes (13) mit Hilfe eines Venn-Diagramms:
Wir interpretieren Ereignisse A, B als Flächen und ihre Wahrscheinlichkeiten als
Flächeninhalte;  ist dabei eine Fläche mit Inhalt 1. Bei der Addition von P(A) und P(B)
wird der Anteil des Durchschnitts AB offensichtlich doppelt gezählt, P(AB) muss also noch
abgezogen werden.
P(A)
P(AB)
P(AB)
52
P(B)
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Beispiel 12: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Würfeln mit einem
idealen Würfel mindestens eine Sechs zu erzielen?
1. Lösung mit Additionssatz
A = „erster Wurf 6“;
B = „ zweiter Wurf 6“;
A  B = „mindestens eine 6“;
AB = „beide Würfe 6“
idealer Würfel:
P( A )  P( B ) 
also mit (13):
P( A  B) 
1
; aus der Tabelle in Bsp.1:
6
P ( AB) 
1
36
1
1
1
11



6
6
36
36
2. Lösung mit Gegenereignis
Formal ergibt sich aus (14) mit der deMorgan-Regel (1.e)
P( A  B)  1  P( A  B)  1  P( A  B )
anschaulicher in Worten
P(" mindestens eine 6" )  1  P(" keine 6" )
Durch Abzählen aus der Tab. in Bsp.1:
 P( A  B)  1 
P( A  B )  P(" keine 6" ) 
25
36
25
11

36
36
Der Additionssatz (13) lässt sich bei beliebigen Ereignissen A und B nur anwenden, wenn
außer P(A) und P(B) auch P(AB) bekannt ist. In Beispiel 12 lässt sich P(AB) durch Abzählen
der zugehörigen Elementarereignisse ermitteln, in diesem Fall gilt aber auch
(17)
P( AB )  P( A )  P( B )
Im Fall a) des Beispiels 13 hängt das Ergebnis des 2. Zuges nicht ab vom Ergebnis des 1.
Zuges; jeder Zug erfolgt unter denselben Bedingungen. Man sagt, die beiden Ereignisse sind
unabhängig. Für unabhängige Ereignisse gilt der Multiplikationssatz in der einfachen Form
(18)
P( AB )  P( A )  P( B )
falls A und B unabhängig
In Beispiel 13b sind A und B offensichtlich nicht unabhängig; man kann die
Wahrscheinlichkeit P („2. Kugel weiß“) ja erst berechnen, wenn man das Ereignis des ersten
Zuges kennt.
53
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Bei praktischen Anwendungen wird der Multiplikationssatz in der einfachen Form (18) dort
benutzt, wo die Beschreibung des Zufallsexperiments zweifelsfrei erkennen lässt, dass das
Eintreten von A jenes von B nicht beeinflusst. Dies ist z.B. der Fall bei vielen Glücksspielen,
bei Urnenziehungen mit Zurücklegen (jede Ziehung ist unabhängig von den vorhergehenden
Ziehungen ) und allgemeiner bei Wiederholungen von Zufallsexperimenten unter gleichen
Bedingungen.
Allgemein sollte man Ereignisse nur dann als unabhängig ansehen, wenn hinreichender
Anlass besteht für die Vermutung, dass die Ereignisse sich gegenseitig nicht beeinflussen
können. In Zweifelsfällen kann man die Gültigkeit von (18) eventuell auch über die
entsprechende Beziehung für die relativen Häufigkeiten überprüfen.
Beispiel 13:
In einer Urne befinden sich zwei weiße und drei schwarze Kugeln. Zwei Kugeln werden
nacheinander gezogen
a) mit Zurücklegen
b) ohne Zurücklegen
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide weiß sind?
Lösung:
W1 = „erste Kugel weiß“ ,
W2 = „zweite Kugel weiß“
a) Wegen des Zurücklegens ist die Ausgangssituation beim 2. Zug dieselbe wie beim 1. Zug
 Pa ( W1W2 ) 
2 2
4
 
5 5
25
2
. Ist W1 eingetreten, dann sind vor dem
5
2. Zug nur noch vier Kugeln in der Urne: eine weiße und drei schwarze. Folglich ist die
1
Wahrscheinlichkeit, beim 2. Zug eine weiße Kugel zu ziehen
.
4
b) Das Ereignis W1 hat die Wahrscheinlichkeit
 Pb ( W1W2 ) 
2 1
1
 
5 4
10
54
 Pa ( W1W2 )
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
3.4.2. Bedingte Wahrscheinlichkeit, Multiplikationssatz
Häufig interessiert die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A, wenn bekannt ist, dass ein
Ereignis B eingetreten ist. Für diese bedingte Wahrscheinlichkeit spielt B die Rolle des
sicheren Ereignisses; B dient als neuer Stichprobenraum.
Beispiel 14:
Zwei ideale Würfel werden geworfen: Würfel 1 besitzt nur weiße Flächen, bei Würfel 2 sind
die Flächen mit den Augenzahlen 1, 2, 3 weiß und die mit den Augenzahlen 4, 5, 6 rot.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
a) für das Ereignis Z = “beide Würfel zeigen eine Augenzahl > 2“
b) für das Ereignis Z, wenn man schon weiß, dass das Ereignis R = „Würfel 2 zeigt eine
rote Fläche“ eingetreten ist?
Lösung: Der Stichprobenraum  besteht aus 36 Ergebnissen (vergl. Beispiel 1)
 = { (1; 1) ,
(1; 2) ,
(1; 3) ,
(1; 4) ,
(1; 5) ,
(1; 6) ,
(2; 1) ,
(2; 2) ,
(2; 3) ,
(2; 4) ,
(2; 5) ,
(2; 6) ,
(3; 1) ,
(3; 2) ,
(3; 3) ,
(3; 4) ,
(3; 5) ,
(3; 6) ,
(4; 1) ,
(4; 2) ,
(4; 3) ,
(4; 4) ,
(4; 5) ,
(4; 6) ,
(5; 1) ,
(5; 2) ,
(5; 3) ,
(5; 4) ,
(5; 5) ,
(5; 6) ,
(6; 1) ,
(6; 2) ,
(6; 3) ,
(6; 4) ,
(6; 5) ,
(6; 6) }
R
Z
a) Aus der Definition der klassischen Wahrscheinlichkeit folgt
p( Z ) 
Z


16 4

36 9
b) Durch die zusätzliche Information, dass R eingetreten ist, kommen als mögliche Fälle nur
noch die Ergebnisse des neuen Stichprobenraums R in Frage; günstig sind alle Ergebnisse aus
R, für die Z eintritt, d.h. alle Ergebnisse aus Z  R  Z  R . Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit auf dem Stichprobenraum R schreibt man p ( Z / R ) .
p( Z / R ) 
Z R
R

12 2

18 3
55
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Durch Umformung gelingt es, p ( Z / R ) durch die Wahrscheinlichkeiten p( Z  R ) und p(R )
auszudrücken:
Z R
p( Z / R ) 
Z R
R


R

1
p( Z  R ) 3 2

 
1 3
p( R )
2
Seien A und B zwei Ereignisse mit p ( A)  0 und p ( B )  0 . Dann heißt
p( A / B ) 
(19)
p( A  B )
p( B )
bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung von B
oder Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung (Hypothese) B.
Entsprechend heißt
p( B / A) 
(20)
p( A  B )
p( A)
bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung von A
Löst man (19) und (20) nach p( AB ) auf, so erhält man den
Multiplikationssatz
(21)
p( AB)  p( A)  p( B / A)  p( B)  p( A / B)
Die Beispiele 13 und 14 zeigen, dass das Eintreten eines Ereignisse B die Wahrscheinlichkeit
des Ereignisses A beeinflussen kann. Ist wie im Beispiel 13a diese Beeinflussung nicht
vorhanden, so bezeichnet man die Ereignisse A und B als unabhängig: Die Wahrscheinlichkeit von A ist dann nicht abhängig vom Eintreten oder Nichteintreten von B und umgekehrt.
Definition: Zwei Ereignisse A und B mit p ( A)  0 und p( B )  0 heißen unabhängig,
falls
(18)
p( AB)  p( A)  p( B)
oder
(22)
p( A / B)  p( A) ,
p( B / A)  p( B)
56
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Beispiel 15:
Rauchergewohnheiten in zwei Betrieben
 = { Betriebsangehörige } , R = { Raucher } , F = { Frauen }
a) Betrieb 1
b) Betrieb 2
F
F

R
150 350
500
R
350 650
1000

500 1000 1500
F
F

R
100 300 400
R
200 600 800

300 900 1200
Eine Person aus  werde zufällig ausgewählt: Es ergeben sich dabei folgende Wahrscheinlichkeiten für die beiden Betriebe:
p1 ( R ) 
500 1

1500 3
p1 ( F ) 
500 1

1500 3
p1 ( RF ) 
150
1

1500 10
p2 ( R ) 
400 1

1200 3
p2 ( F ) 
300 1

1200 4
p2 ( RF ) 
100
1

1200 12
Will man die Rauchgewohnheiten der Frauen untersuchen, betrachtet man als neuen StichProbenraum nur noch die Menge F.
p1 ( R / F ) 

p1 ( RF ) 3

p1 ( F ) 10
p2 ( R / F ) 
p1 ( R)  p1 ( R / F )
p2 ( RF ) 1

p2 ( F )
3

p2 ( R)  p2 ( R / F )

p2 ( RF )  p2 ( R)  p2 ( F )
d.h. die Rauchgewohnheiten im Betrieb 2
sind unabhängig vom Geschlecht.
Übung 4:
Sechs Würfel werden geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt jeder
Würfel eine andere Augenzahl?
57
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
3.4.3. Zusammengesetzte Zufallsexperimente, totale Wahrscheinlichkeit
Viele Zufallsexperimente lassen sich aus n Einzelversuchen aufbauen, die nacheinander oder
gleichzeitig durchgeführt werden. Zur Beschreibung solcher zusammengesetzter Zufallsexperimente eignen sich Baumdiagramme oder Wahrscheinlichkeitsbäume.
Beispiel 16:
Eine Urne enthält zwei rote und eine schwarze Kugel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
beim Ziehen ohne Zurücklegen
a) beim zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen, wenn beim ersten Zug schon eine rote
Kugel gezogen wurde?
b) beim zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen (wenn das Ergebnis des ersten Zuges
nicht bekannt ist?
Lösung:
Rn = „rote Kugel beim n-ten Zug“
;
S n = „schwarze Kugel beim n-ten Zug“
1
2
a)
p ( R2 / R1 ) 
b)
1. Lösungsweg: Man denkt sich die roten Kugeln nummeriert:
rot: r1 , r2
schwarz: s
Veranschaulichung des Zufallsexperiments durch ein Baumdiagramm:
r2
r1
s
r1
r2
s
r1
s
r2
6 gleichmögliche, 4 günstige Fälle

p( R2 ) 
2
3
2. Lösungsweg: Das Baumdiagramm wird einfacher, wenn man die roten Kugeln
als ununterscheidbar betrachtet. Man kann dann im Diagramm längs der Pfade zu
den Elementarereignissen die Wahrscheinlichkeiten anschreiben. (Wahrscheinlichkeitsbaum)
58
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
p( R1 )
p( S1 )
p( R2 / R1 )
R2
p( S2 / R1 )
S2
p( R2 / S1 )
R2
R1
S1
p( R2 )  p( R1 )  p( R2 / R1 )  p( S1 )  p( R2 / S1 )
2 1 1
2
   1 
3 2 3
3
Am Beispiel 16 erkennt man folgende Regeln:
Bei einem zusammengesetzten Zufallsexperiment erhält man
1. die Wahrscheinlichkeiten für die Elementarereignisse, indem man die Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm multipliziert (Pfadregel),
2. die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A, indem man die Wahrscheinlichkeiten aller
zu A gehörenden Elementarereignisse addiert (Summenregel).
Das Ergebnis von b) im Beispiel 16 erscheint paradox: Die Wahrscheinlichkeit für „rot“ im
zweiten Zug (nachdem also bereits eine Kugel zur Seite gelegt ist), ist genau so groß wie die
Wahrscheinlichkeit für „rot“ beim Ziehen aus der vollen Urne! Die Wahrscheinlichkeit ändert
sich nicht durch die vorangehende Ziehung, solange man das Ergebnis des ersten Zuges nicht
kennt. Erst wenn dieses Ergebnis bekannt ist, wenn also eine zusätzliche Information zur
Verfügung steht, ergibt sich eine andere Wahrscheinlichkeit.
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Gegeben seien die Ereignisse
(23)
A1 , A2 ,..., An mit
A1  A2  ...  An   und
Ai  Aj  
für i  j
Dann gilt für ein beliebiges Ereignis B  
n
(24)
p( B )  p( A1 ) p( B / A1 )  ...  p( An ) p( B / An )   p( Ak ) p( B / Ak )
k 1
B  A1B  A2 B  ...  An B
(disjunkte Zerlegung)
Man sagt auch: B tritt nur zusammen mit A1 oder A2 … oder An auf
59
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Veranschaulichung:

B
A3
A2
A1
A1B
An
A3 B
A2 B
An B
Beispiel 17: Drei Fabriken stellen typengleiche Werkstücke her.
Fabrik
1
2
3
Produktionsanteil
60 %
30 %
10 %
Ausschussanteil
10 %
20 %
40 %
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein aus der Gesamtproduktion zufällig herausgegriffenes
Werkstück defekt?
Lösung:
Fi = „Werkstück aus Fabrik i“ (i = 1, 2, 3)
D = „Werkstück ist defekt“
D  F1D  F2 D  F3 D
(disjunkte Zerlegung von D)
p( D)  p( F1 ) p( D / F1 )  p( F2 ) p( D / F2 )  p( F3 ) p( D / F3 )
 0.6  0.1  0.3  0.2  0.1  0.4  0.16
3.4.4. Der Satz von Bayes
Aus dem Multiplikationssatz (21)
p( AB)  p( A)  p( B / A)  p( B)  p( A / B)
folgt
(25)
p( A / B ) 
p( A)  p( B / A)
p( B )
Diese Formel wird verwendet, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit p ( B / A) bekannt oder
einfacher zu berechnen ist als p( A / B ) . Bei der Anwendung von (25) ist p(B ) oft nicht
direkt gegeben und muss erst als totale Wahrscheinlichkeit berechnet werden.
Der einfachste Fall liegt vor, wenn  zerlegt ist in A1  A und A2  A . Dann folgt aus (24)
60
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
p( B )  p( A) p( B / A)  p( A ) p( B / A )
Und aus (25)
(26a)
p( A / B ) 
p( A)  p( B / A)
p( A) p( B / A)  p( A ) p( B / A )
Im allgemeinen Fall ergibt sich aus (23), (24) und (25)
(26b)
p( Ai / B) 
p( Ai ) p( B / Ai )

p( B )
p( Ai ) p( B / Ai )
n
 p( Ak ) p( B / Ak )
k 1
Der Satz von Bayes (26) liefert bei bekannten Wahrscheinlichkeiten p( B / Ak ) die
umgekehrten bedingten Wahrscheinlichkeiten p( Ak / B) , also die Wahrscheinlichkeiten der
Hypothesen, falls man weiß, dass B eingetreten ist.
Beispiel 18: (Fortsetzung von Beispiel 17)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein defektes Werkstück aus Fabrik 1 ?
Lösung:
p( F1 / D ) 
p( F1 )  p( D / F1 ) 0.6  0.1

 0.375
p( D )
0.16
Auf die gleiche Weise lassen sich die Wahrscheinlichkeiten p( F2 / D) und p( F3 / D ) berechnen; die Summe der drei bedingten Wahrscheinlichkeiten ergibt den Wert 1. (Übung!)
Beispiel 19:
In einer Urne I befinden sich 4 weiße und 2 schwarze Kugeln, in Urne II
1 weiße und 4 schwarze Kugeln. Eine Kugel wird zufällig aus einer der Urnen gezogen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Kugel weiß?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt diese weiße Kugel aus Urne I ?
Ergebnis:
p(W ) 
13
30
,
p (U I / W ) 
10
13
Übung: In einer Urne sind 3 rote, 3 blaue und 3 weiße Kugeln. Es wird ohne Zurücklegen
gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Zug eine weiße Kugel zu ziehen,
wenn beim ersten Zug keine rote Kugel gezogen wurde???????
61
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
3.5. Aufgaben
1) Bei einem Lauftest für die beiden Seitentriebwerke T1, T2 und das Haupttriebwerk T3
eines Flugzeuges sei A1 ( A2 ; A3 ) das Ereignis „T1 (T2; T3) arbeitet einwandfrei“.
a) Formulieren Sie in Worten:
A  A1 A2 A3 ; B  A1 A2 A3 ; C  ( A1 A2 A3 )  ( A1 A2 A3 )  ( A1 A2 A3 )  A1 A2 A3
b) Geben Sie die Ereignisse in Formeln an:
D: Genau ein Triebwerk arbeitet nicht einwandfrei.
E: Keines der drei Triebwerke arbeitet einwandfrei.
F: Das Haupttriebwerk und mindestens ein Seitentriebwerk arbeiten
einwandfrei
2) An einem Pferderennen nehmen 12 Pferde teil. Wieviele Möglichkeiten gibt es, die drei
ersten Plätze zu tippen?
3) Auf wie viele verschiedene Arten kann man die Buchstaben des Wortes STATISTIK
anordnen?
4) 6 Bälle werden zufällig auf 6 Körbe verteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass alle Körbe besetzt sind? Verallgemeinerung!
5) Drei Gruppen bearbeiten unabhängig voneinander ein Problem mit den Erfolgswahrscheinlichkeiten
P( A)  0,5 ; P( B)  0,25 ; P(C )  0,25
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Gruppe erfolgreich ist?
6) In einer Schachtel liegen 15 Sicherungen, davon sind 4 defekt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim zufälligen Ziehen von 3 Sicherungen (ohne
Zurücklegen) lauter brauchbare Sicherungen erwischt?
7) Eine Abnahmekontrolle erfolgt nach folgender Vorschrift:
Aus einer Packung von 100 (50) Artikeln werden 10 (5) zufällig entnommen. Sind alle 10
(5) einwandfrei, so wird die Packung angenommen, andernfalls nicht. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Packung angenommen wird, obwohl sie 20%
Ausschuss enthält?
8) Die skizzierte Schaltung funktioniert,
wenn E1, E3 und mindestens eines
der Bauelemente E21, E22 nicht ausfallen.
Die Wahrscheinlichkeiten p k , dass die
Elemente Ek funktionieren, sind
p1  0,9 ;
p21  p22  0,8 ;
p3  0,95
E1
E21
E22
E3
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Schaltung funktioniert?
62
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
9) Ein Wanderer startet im Punkt 0 und entscheidet sich an jeder Kreuzung völlig zufällig
für eine der möglichen Richtungen (nicht zurück!). Mit welcher Wahrscheinlichkeit
erreicht er im skizzierten Wegnetz den Punkt A?
0
A
10.a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Gruppe von 30 Studenten
wenigstens zwei Studenten am selben Tag Geburtstag haben?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Gruppe von 30 Studenten
wenigstens einer am 24. Dezember Geburtstag hat?
11. In drei Fabriken werden Glühlampen hergestellt: Werk A liefert 25 % , Werk B 35 % ,
Werk C 40 % der Gesamtproduktion. Im Mittel sind 5 % der in A, 4 % der in B, 2 % der
in C hergestellten Lampen Ausschuss.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Kauf einer Glühlampe ein fehlerhaftes
Exemplar zu erhalten?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die fehlerhafte Lampe aus Werk A (B ,
C) stammt?
12. Ein Medikament M heilt jeden an einer bestimmten Krankheit K leidenden Patienten mit
der Wahrscheinlichkeit von 60 % .
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 10 an K Erkrankten durch M
a1) genau 6
a2) mindestens 6
a3) weniger als 6
geheilt werden?
b) Wird eine an K leidende Person durch M behandelt, so tritt mit Wahrscheinlichkeit 0,2
eine Nebenwirkung ein; mit Wahrscheinlichkeit 0,48 wird der Patient ohne Nebenwirkung
durch M geheilt. Sind die Ereignisse „Der Patient wird durch M geheilt“ und „Beim
Patienten tritt durch M eine Nebenwirkung ein“ unabhängig?
63
Statistik
3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ergebnisse:
1.a) „alle arbeiten“ ; „nur HT arbeitet nicht“ ; „mindestens 2 arbeiten“
b) A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 ; A1 A2 A3 ; A1 A3  A2 A3
2)
1320
3)
15120
4)
6! / 66  0,015
5)
6)
23
 0,719
32
33
91
7.a)
8010
10010
8)
0,9  0,96 0,95  0,821
9)
67
 0 ,558
120
 0,095 ;
b)
405
505
64
 0,31