gewöhnlich

DGLen
Wir betrachten
explizite gewöhnliche Differenzialgleichung(ssysteme) n-ter Ordnung
Dabei bedeutet
gewöhnlich:
Es tritt nur eine unabhängige Variable auf, weshalb auch nur die ganz gewöhnlichen
Ableitungen zu finden sind. Im Unterschied dazu gibt es partielle Differenzialgleichungen, in
denen Funktionen mehrerer Variabler auftreten. Anstelle der gewöhnlichen Ableitungen
findet man hier partielle Ableitungen.
Differenzial:
In der/den Gleichungen treten Ableitungen, z.B. y´ , genauer Differenziale, z.B. dy und dx,
auf. Meist findet man die Differenziale in Form von Differenzialquotienten ( y´= dy/dx) , aber
auch einzeln bzw. man nutzt die Definition der Ableitung als Differenzialquotienten aus, um
die Gleichung durch „einfache“ Integration lösen zu können (--> Methode der Trennung der
Variablen).
Systeme:
Neben einer einzelnen Gleichung , in der neben einer Funktion ihre Ableitung(en) auftreten,
können auch Systeme von Gleichungen betrachtet werden, in denen mehrere Funktionen mit
ihren Ableitungen auftreten, die im Allgemeinen miteinander verkoppelt sind.
n-ter Ordnung:
Die n-te Ordnung kann sich zum einen auf die Anzahl der Gleichungen /Funktionen ( s.o.)
beziehen, zum anderen auch auf die höchste Ordnung der auftretenden Ableitung(en).
Für n>1 untersuchen WIR
entweder
Systeme von n Gleichungen, in denen jeweils nur erste Ableitungen auftreten,
oder
eine einzelne Gleichung, in der eine Funktion mit Ableitungen bis zur Ordnung n auftritt.
Dieses „entweder – oder“ lässt sich meist einfach einrichten, da die beiden Fälle meist
gleichwertig sind, d.h. aus einem System lässt sich eine Gleichung mit höheren Ableitungen
erzeugen und umgekehrt lässt sich aus einer Gleichung mit höheren Ableitungen ein System
von mehreren Gleichungen mit jeweils nur ersten Ableitungen erzeugen.
explizit:
In Analogie zur expliziten Beschreibung einer Funktion machen wir die Voraussetzung, dass
sich die jeweils höchste Ableitung in den Gleichungen isolieren lässt, d.h. als Funktion aller
anderen Größen darstellen lässt. Dies könnte zu den folgenden Darstellungen führen.
Systeme von n Gleichungen, in denen jeweils nur erste Ableitungen auftreten:
y1´ = f1(x, y1,....,yn)
y2´ = f2(x, y1,....,yn)
.....
yn´= fn(x, y1,....,yn)
einzelne Gleichung , in der eine Funktion mit Ableitungen bis zur Ordnung n auftritt:
y(n) = f (x, y, y´, y“,...,y(n-1))
Lösung
Gesucht sind in Anlehnung an die obige Darstellung Funktionen y1,...,yn bzw. y in
Abhängigkeit von x (x aus einem Intervall I), die diese Gleichungen für jede Stelle x aus I
erfüllen.
In Anbetracht der Tatsache, dass man hierbei von den Ableitungen der Funktionen
letztendlich durch Integration auf die Funktionen schließen muss und die Operation
„Aufsuchen der Stammfunktion“ nicht eindeutig ist, erhält man im Allgemeinen eine
unendliche Lösungsmenge von Funktionen, wobei die Vielfachheit durch die
Integrationskonstante(n) entsteht und in der Lösungsdarstellung durch Parameter
gekennzeichnet wird. Die Menge aller dieser Lösungen bezeichnet man als die allgemeine
Lösung ya.
Liegt ein lineares Problem vor, setzt sich diese Lösung ya additiv aus der
Lösung yH des homogenen Problems (g=0, s.u.) und einer
speziellen Lösung yp des inhomogenen Problems zusammen, also
ya = yH + yp
Die Lösungsvielfalt wird hierbei i.A. durch Parameter c1 bis cn in yH ausgedrückt.
Zur Auswahl einer eindeutigen Lösung ist es notwendig, geeignete Bedingungen zur
Bestimmung dieser Parameter hinzuzufügen.
Werden die Werte der Funktionen y1 bis yn bzw. der Funktion y und ihrer n-1 Ableitungen an
einer (stets gleichen!) Stelle vorgegeben, spricht man von einer Anfangsbedingung, das
gesamte Problem heißt folglich Anfangswertproblem (AWP).
Werden die Werte der Funktionen y1 bis yn bzw. der Funktion y und ihrer n-1 Ableitungen an
verschiedenen (= nicht alles gleichen) Stellen vorgegeben, spricht man von einer
Randbedingung, das gesamte Problem heißt folglich Randwertproblem (RWP).
Dabei ist es unerheblich, ob diese Stellen jeweils am Anfang, in der Mitte oder am Ende
(Rand) liegen. Wesentlich ist nur, ob es sich bei allen Bedingungen immer um die gleichen xWerte (AWP) oder um verschiedene x-Werte (RWP) handelt, für die Werte von Funktion(en)
und/oder Ableitung(en) vorgegeben werden.
Ein RWP ist nicht immer lösbar!!!
Lösungsverfahren
Es geht darum, diese Funktionen y bzw y1,...,yn zu bestimmen. Zunächst sei daran erinnert,
dass es mehrere Arten gibt, eine Funktion zu charakterisieren:
1. graphische Darstellung
2. Wertetafel
3. analytische (formelmäßige) Darstellung
Dementsprechend unterscheidet man verschiedene Lösung(sverfahr)en:
1. graphische Lösung (für n=1):
Die rechte Seite f(x,y) der Dgl. y´= f(x,y) wird durch Einzeichnen von Isoklinen
dargestellt (vgl. Kap. Fkten. mehr. Var.). Diese Isoklinen verbinden die gleichen
Funktionswerte von f, was jetzt heißt, dass die Isoklinen Punkte der (x,y)-Ebene
verbinden, in denen die (gesuchte) Funktion y(x) den gleichen Anstieg besitzt, den
man durch kurze Geraden (=Tangenten) andeutet. Aus den so entstehenden
Richtungsfeldern läßt sich der Verlauf der Funktion(en) ablesen. Man „startet“ dabei
an einem bestimmten Punkt der Koordinatenebene (entsprechend der
Anfangsbedingung) und tastet sich in x-Richtung langsam nach rechts oder/und links
vorwärts, indem man diese kurzen Geradenstücke als Krücke benutzt – jeweils bis
zum nächsten Geradenstück.
Papula S. 443 – 446
2. numerische Lösung:
Es wird im Prinzip der gleiche Weg wie bei der graphischen Lösung beschritten. Man
tastet sich von einem festen Punkt aus vorwärts, indem man jeweils die Funktion
durch ihre Tangente ersetzt, wobei für die Ableitung die rechte Seite der Dgl.
eingesetzt wird. Hier wird der jeweils nächste Punkt nicht wie beim
Isoklinenverfahren per Grafik/Anschauung bestimmt, sondern koordinatenweise
berechnet.
Man erhält die Lösung folglich als Wertetafel.
Ausgehend von numerischen Integrationsverfahren (z.B. Trapezregel) wird die
Lösung punktweise erstellt, indem jeweils die rechte Seite unter Ausnutzung der
Anfangswerte bzw. der gerade vorher berechneten Funktionswerte (numerisch)
integriert wird. Dieser Grundgedanke wurde noch „verfeinert“, was zu einer großen
Vielfalt an numerischen Verfahren führte. Die Auswahl des richtigen Verfahrens mit
den richtigen Parametern für das konkrete Problem ist manchmal eine Kunst.
Solcherart berechneten Funktionen sollte man immer kritisch (nicht abwertend!)
gegenüberstehen.
vgl. Papula ab S. 558
3. exakte Lösung
Unter gewissen Voraussetzungen (bzgl. der Form des Problems, insbesondere der
rechten Seite) ist es möglich, die Lösung in analytischer Form anzugeben. Dies kann
explizit [y = y(x)], implizit [F(x,y) = 0], parametrisch [y=y(t); x=x(t)] erfolgen.
Ein Übergang zu anderen Koordinaten (Polarkoordinaten, lineare Transformationen,
Transformation z=y/x o.ä.) ermöglicht manchmal erst die Erfüllung dieser
Voraussetzungen und damit die exakte Lösung. Die exakte Lösung erfordert –wie die
Integration an sich- ein gewisses Maß an Erfahrung und Übung.
Die sogenannte exakte Lösung soll jetzt Gegenstand unserer Überlegungen sein.
Im Unterschied zu 1. und 2. geht man hierbei nicht von der Anfangs-/Randbedingung aus,
sondern versucht
 zunächst, die allgemeine Lösung zu bestimmen.
Die dabei auftretenden Parameter werden
 anschließend mit Hilfe der Anfangs-/Randbedingung konkretisiert, indem die
vorgegebenen Werte eingesetzt und die freien Parameter durch Gleichungslösung
bestimmt werden.
Arten von DGLen und ihre Lösung
Im folgenden sollen Strukturen kenntlich gemacht werden. Dabei wird teilweise der gleiche
Buchstabe (z.B. f) für verschiedene Dinge benutzt.
Es folgt eine Übersicht über die wesentlichen, im Kurs behandelten DGL-Formen und die
dazugehörigen Lösungsverfahren. Die anschließende Bestimmung der freien Parameter aus
der Anfangsbedingung wird hierbei weggelassen.
DGLen 1. Ordnung:
speziell:
 separable DGL


lineare DGL :
y´ = f(x,y)
y´ = f(y) •g(x) --> Methode Trennung der Variablen(TdV)
Papula - S. 447 ff.
y´+ f(x) • y = g(x) ---> Variation der Konstanten (VdK)
Papula - S. 456 ff.
speziell
lineare DGL mit konstantem Koeffizient ( f(x) = a ) und geeignetem g :
y´+ a • y = g(x) --> Ansatzmethode
Papula S. 463 ff.
DGLen n-ter Ordnung:
y(n) = f(x,y,y´,..,y(n-1))
eingeschränkt auf
 lineare DGL mit konstanten Koeffizienten und geeignetem g :
y(n) + an-1• y(n-1) + ... + a1 • y´ + a0 • y = g(x) --> Ansatzmethode
Papula S. 490 ff., (548 ff.)
DGL-Systeme n-ter Ordnung:
y1´ = f1(x, y1,....,yn)
y2´ = f2(x, y1,....,yn)
.....
yn´= fn(x, y1,....,yn)
speziell:
 lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten : y´= A •y + g (vektoriell) bzw.
y1´ = a11 • y1 + a12 • y2 + ... + a1n • yn + g1(x)
y2´ = a21 • y1 + a22 • y2 + ... + a2n • yn + g2(x)
.....
yn´= an1 • y1 + ....
.... + ann • yn + gn(x) und geeignetem g1,..,gn
--> Ansatzmethode
Papula S. 583 ff.
Hierbei habe ich mich bei den linearen DGLen auf die Bestimmung der jeweiligen
partikulären Lösung yp beschränkt.
Es ist zu beachten, dass sich die allgemeine Lösung ya aus der Lösung yH des homogenen
Systems ( g = 0) und einer partikulären Lösung yp zusammensetzt: ya = yH + yp
zur Bestimmung von yH :
 bei VdK in der Lösungsformel enthalten; es ist yH = c • e-ax, c bel.
 für n>1 sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bzw. die Eigenwerte
der Matrix A zu bestimmen, woraus sich die Exponenten von e ergeben.
vgl. Papula S. (454), 483, 541, 577
Hilfsmittel zur Überführung des Problems in eine „genehme“ Form:
Scheinbar unlösbare Probleme erweisen sich als Leichtgewichte, wenn eine Überführung in
eine geeignete Form gelingt. Dabei benutzt man
 Substitutionsmethode, um ein Problem mittels TdV lösen zu können
vgl. Papula S. 450 ff.
 Überführung eines DGL-Systems n-ter Ordnung in DGL n-ter Ordnung mittels
Eliminationsmethode
vgl. Papula, S. 586 ff.
 Überführung einer DGL n-ter Ordnung in ein DGL-System n-ter Ordnung durch
Einführung neuer Funktionen für die Ableitungen von y (im Kurs nicht behandelt,
obwohl dies ein gängiges Vorgehen ist).
konkretes Vorgehen bei der Lösung von DGL-Problemen
Damit steht man (zunächst) vor folgenden Fragen:
1. Für welche Arten (Formen) von DGLen. ist eine exakte Lösung möglich bzw. gibt es
Lösungsverfahren?
2. Wie funktionieren die zugehörigen Verfahren?
Bei der Behandlung eines konkreten AWP, d.h. beim Versuch, die/eine exakte Lösung zu
finden, frage man sich folglich:
1. Hat mein Problem eine Form, für die ich ein oder sogar mehrere Lösungsverfahren
kenne? Lässt es sich eventuell in eine solche Form überführen?
2. Aufsuchen des/der zugehörigen Lösungsverfahren(s)
Kommen mehrere Verfahren in Frage, suche man das mit dem wenigsten Aufwand.
Diese Entscheidung kann individuell verschieden sein.
Integriere ich lieber oder löse ich lieber lineare Gleichungssysteme?
3. Durchführen des Verfahrens nach Kochrezept.
Was ist im konkreten Fall f, F, g ?
4. Nach Erhalt der allgemeinen Lösung müssen jetzt die freien Parameter durch
Einbeziehung der Anfangsbedingungen konkretisiert werden – so
Anfangsbedingungen vorhanden sind.
Im folgenden benutze ich wie oben die Buchstaben x,y,... Es kann sich in der Praxis natürlich
auch mal um x, t,... oder ganz andere Buchstaben handeln.
Wie gehe ich an die Lösung eines DGL-Problems heran? In etwa so:

Habe ich eine DGL mit n=1, d.h. y´ ist die höchste Ableitung?
Beispiel:
y´= 2xy --> ja;
y“ = 2xy --> nein
y“ – y = sin(x) -->nein
WENN JA (n=1):
jetzt Fall n=1:
 Handelt es sich um eine separable DGL y´ = f(y) •g(x) ?
Beispiel: y´= 2x • y --> ja
y´= sin(x y) --> nein
y´= sin(x) + y --> nein
y´= sin(x) + x • y --> nein
y´= 2xy +y --> ja (y ausklammern)
y´= 2xy2 +y --> nein (y ausklammern bringt nichts)
y´= 2x + y --> direkt nicht, aber mittels u = 2x+y entsteht
u´= u + 2 --> separabel
o WENN JA (separable DGL ):
Methode TdV anwenden:
a) alles mit y nach links, alles mit x nach rechts bringen (Division durch f(y)),
dabei Bedingung f(y) ungleich 0 beachten,
eventuell ergibt f(y) = 0 auch eine Lösung (mit y´= 0 , d.h. y = konst.) ?
b) y´ durch dy/dx ersetzen und anschließend die Gleichung formal mit dx
multiplizieren
c) beide Seiten integrieren, links bzgl. y, rechts bzgl. x ;
dabei (mindestens) auf einer Seite die Integrationskonstante nicht vergessen:
additive Konstante in günstiger Form
(d) wenn möglich die Gleichung nach y umstellen)
Beispiel: y´= 2xy +y
y´= 2xy +1• y
y´= ( 2x +1) • y
1/y • y´= ( 2x +1)
für y ungleich 0
1/y • dy/dx = ( 2x +1)
1/y dy = ( 2x +1) dx
 y dy   2 x  1dx
1
ln y  x 2  x  ln c
c>0
c ungleich 0
y  c  e x x
Fall y = 0 und damit y´= 0 , woraus y identisch 0 folgt,
ist auch eine Lösung der ursprünglichen DGL (einsetzen!)
Damit ergibt sich endgültig
2
c beliebig, reell
y  c  e x x
2
o WENN NEIN (nicht separabel):
Ist die DGL linear?
Beispiele: y´= sin(x y) --> nein
y´= sin(x) + y --> ja
y´= sin(x) – 1/x • y --> ja
y´= 2xy2 +y --> nein
y´= 2x + y --> ja
o WENN NEIN (nicht linear) --> nicht in unserem Kurs behandelt
o WENN JA (linear) :
entweder direkt VdK anwenden oder überlegen:
o Handelt es sich um eine lineare DGL mit konstantem Koeffizient und
geeigneter Störfunktion g?
Beispiele: y´= sin(x) + y --> ja
y´= sin(x) – 1/x • y --> nein
y´= sin2(x) +y --> nein (Störfunktion ungeeignet)
y´= 2x + y --> ja
o WENN JA (linear mit konst. Koeffizient und geeignetem g):
-->Ansatzmethode möglich zur Bestimmung von yp
Beispiel: y´= sin(x) + y
y´ -1• y = sin(x) , also a = -1, g(x) = sin(x)
yH = c• e1x
Ansatz yp = A sinx + B cosx
Diff.--> yp´ = A cosx - B sinx
einsetzen in DGL:
A cosx - B sinx – 1(A sinx + B cosx ) = sin(x)
(A – B)• cosx + (-B –A)• sinx = 0• cosx + 1• sinx
Koeffizientenvergleich:
A–B=0
(von cosx)
-B –A = 1
(von sin x)
ergibt A = B = -0,5 und damit yp = -0,5 sinx –0,5 cosx
Endergebnis:
y = c• e1x -0,5 sinx –0,5 cosx , c bel. reell
o WENN NEIN (linear, aber kein konst. Koeff. und/oder kein geeignetes g):
--> Methode VdK anwenden:
a) alles mit y nach links, alles mit x nach rechts bringen und f(x) ausmachen
b) Stammfunktion F von f bestimmen, auch –F festlegen
c) in Lösungsformel einsetzen
d) Ausdruck vereinfachen
e) Integral auswerten
Beispiel:
y´= sin(x) – 1/x • y
y´ +1/ x • y = sin(x) mit g(x) = sinx und f(x) = 1/x
Stammfunktion von f bestimmen:
F(x) = ln x --> - F(x) = - lnx = ln(1/x)
in Lösungsformel einsetzen:
y = eln(1/x) ( c + ∫ sinx• elnxdx)
Ausdruck vereinfachen:
y = 1/x ( c + ∫ sinx• xdx)
integrieren:
y = 1/x ( c + sinx - x cosx )
jetzt Fall n > 1 für eine DGL, insbesondere n = 2:
Im Kurs werden nur lineare DGLen mit konstanten Koeffizienten und geeigneter Störfunktion
g behandelt.
 Zur Bestimmung von yH sind zunächst die Nullstellen des charakt. Polynoms zu
bestimmen.
 Je nach Art der Nullstellen ergibt sich daraus yH
 Zur Bestimmung von yp ist bei diesen Aufgaben immer die Ansatzmethode
anwendbar, wobei der konkrete Ansatz von den bereits bestimmten Nullstellen des
charakteristischen Polynoms abhängt.
Das Vorgehen unterscheidet sich ansonsten nicht von dem für n=1. Der „Ansatz“
muss lediglich mehrmals differenziert werden vor dem Einsetzen in die DGL.
Beispiel: y“ – y = sin(x)
charakteristische Gleichung λ2 – 1 = 0
Lösungen λ1 = 1 und λ2 = -1
damit yH = c1 e1x + c2 e-1x
Ansatz yp = A sinx + B cosx
Diff.--> yp´ = A cosx - B sinx
Diff.--> yp” = -A sinx - B cosx
einsetzen in DGL:
-A sinx - B cosx – 1(A sinx + B cosx ) = sin(x)
(-B – B)• cosx + (-A –A)• sinx = 0• cosx + 1• sinx
Koeffizientenvergleich:
-B – B = 0
(von cosx)
-A –A = 1
(von sin x)
ergibt A = -0,5, B = 0 und damit yp = -0,5 sinx
insgesamt:
y = c1 e1x + c2 e-1x -0,5 sinx
jetzt Fall n>1 für mehrere DGLen (Systeme):
Auch hier beschränken wir uns auf lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten:
y´= A y + g
Hierbei stellen die Buchstaben y, g Vektoren dar, A ist eine Matrix .
Am kürzesten lässt sich das Vorgehen auch vektoriell beschreiben:
 Eigenwerte λ und zugehörige Eigenvektoren k der Matrix A bestimmen (vgl.
1.Semester)
 yH ist Linearkombination der einzelnen „homogenen“ Lösungen der Form keλx
(zumindest bei verschiedenen reellen Eigenwerten, andere Fälle vgl. z.B. Papula)
Dies ist sehr ähnlich dem Fall n>1 für einzelne DGLen. Die einzelnen Summanden
der Form c keλx sind Vektoren (wegen k ), c ist der freie Parameter, eλx bringt
mittels x die Abhängigkeit von x ein .
 yp ist ebenfalls genauso mittels Ansatz zu bestimmen wie bei einzelnen DGLen. Nur
sind die einzelnen Koeffizienten jetzt Vektoren, sodass sich hinter jedem einzelnen
„Koeffizienten“ von sinx, cosx, x2 u.ä. ein Vektor verbirgt, somit hinter jeder
harmlosen Gleichung ein Gleichungssystem. Da auch jede(!) Sorte von irgendwo auf
der rechten Seite auftretenden Störfunktionen additiv berücksichtigt werden muss,
kann das ganz schön arbeitsaufwendig werden. Aber man umgeht so das Integrieren,
es sind lediglich Gleichungssysteme zu lösen. Gauß lässt grüssen.
Diese Darstellung unterscheidet sich zwar etwas von der Beschreibung aus Papula, beinhaltet
jedoch letztlich das Gleiche. Wer mir jetzt nicht folgen konnte, da ja auch noch ein
ordentliches Beispiel fehlt, sei auf Papula verwiesen.
Hinweis:
1. Diese Gleichungssysteme lassen sich umgehen, indem man die Methode VdK
vektoriell durchführt. Dann muss man natürlich ordentlich integrieren. Diese Methode
ist auch anwendbar, wenn g keine „geeignete“ Form hat.
2. Unter bestimmten Bedingungen (alle Eigenwerte von A verschieden und reell) lässt
sich das DGL-System auch „entkoppeln“ mittels Hauptachsentransformation, sodass
man nur einzelne Gleichungen (Fall n=1) zu lösen braucht. Diese Transformationen
sind jedoch nicht ganz einfach, erfordern relativ viel Rechnen mit Matrizen.
Beide Methoden sind nicht Gegenstand unseres Kurses.