lsg20

Einführung in die Festkörperphysik II
Prof. P. Böni
Lösungen zu Blatt 20
F. Grünauer 8.5.2003
http:/www.ph.tum.de/lehrstuehle/E21/uebungen/uebungen.html
1. Methode der starken Kopplung (I)
Zeigen Sie, dass in den angegebenen Richtungen in einem fcc Kristall die Methode der starken
Kopplung zu folgenden Ausdrücken für die Energie in einem s-Band führt. (Abkürzungen
entsprechend Ashcroft/Mermin)
a) Entlang  X : ( k y  k z  0 ,
k x   2 / a , 0    1 )
  E s    4 1  2 cos  
b) Entlang L : ( k x  k y  k z 
0 
 2 / a ,
1
)
2
  E s    12 cos 2 
k x  k y   2 / a ,
 0,
c) Entlang  K : ( k z
0 
  E s    4 cos 2   2 cos  
3
)
4
1
 2 / a , 0    1 )
2
1
1


  E s    4  cos   cos   cos  cos  
2
2


d) Entlang
W : k z  0 , k x   2 / a ,
ky 
L
X
W K
: Zentrum der
Brillouinzone
Lösung:
Die Methode der starken Kopplung (LCAO – linear combination of atomic orbitals; tight binding
method) führt in der Näherung schwacher Überlappung zu folgendem Zusammenhang zwischen
Energie (k) und Wellenvektor k (siehe Vorlesungsskript 19/20).


 (k )  Es     ( R)eikR
(I)
n. N .
mit:
Es : Energie im Potential eines einzelnen Atoms
 ,  : siehe Skript 20, oder Ashcroft/Mermin

R : Gittervektor im Ortsraum
n.N. : nächste Nachbarn
1
Die Gittervektoren zu den nächsten Nachbarn im fcc Kristall sind:
Nächste Nachbarn eines Eckpunkts innerhalb
der konventionellen Einheitszelle des fcc
Gitters. Zusätzlich kommen noch die
Vektoren
zu
den
flächenzentrierten
Gitterpunkten der anderen Nachbarzellen
hinzu, die an den Eckpunkt anschliessen.
z
y
x
a
  1   1  0 
 a  a  a 
R    1,  0 ,   1
2  2  2 
 0    1   1
Die Skalarprodukte in (I) ergeben somit:
  a
a
a
k  R   k x  k y ,  k x  k z ,  k y  k z 
2
2
2
Damit wird (I) unter Verwendung von
cos  x  cos x und sin  x   sin
zu:
 

 
x 
a
k x  k y   2 cos a k x  k y +
2
2
a
a
 2 cos k x  k z   2 cos k x  k z  +
2
2
a
a
 2 cos k y  k z   2 cos k y  k z  
2
2
x

y
x

y

 

mit cos x   cos y   2 cos
 cos
 wird dieser Ausdruck zu:
 2   2 
1
1
1
1
1
1
 (k )  Es    4  cos k x a  cos k y a  cos k x a  cos k z a  cos k y a  cos k z a
2
2
2
2
2
2
 (k )  Es      2 cos

(II)
Das reziproke Gitter einer fcc-Struktur
ist eine bcc Struktur. Die Kantenlänge
der konventionellen Einheitszelle ist
4/a (Herleitung siehe Lösung zu
Blatt15, Aufgabe 1).
kz
kx
ky
4/a
Brillouinzone des fcc-Gitters
2
a)
Dispersionsrelation entlang  X : ( k y  k z  0 ,
k x   2 / a ,
 (k )  Es    4  cos 2  1  cos 2  1  1
1
2
 (k )  Es    4  2 cos  1

1
2
0    1)

q.e.d
b)
Dispersionsrelation entlang L : ( k x  k y  k z 
0 
 2 / a ,
 (k )  Es    4  3  cos 2 2   Es    12  cos 2 

1
2
1
)
2
q.e.d.
c)
Dispersionsrelation entlang  K : ( k z
 0,
0 
k x  k y   2 / a ,
 (k )  Es    4  cos   cos   cos   1  cos   1
 (k )  Es    4 cos 2   2 cos   q.e.d.

3
)
4
d)
Dispersionsrelation entlang
W : k z  0 , k x   2 / a ,
ky 
1
 2 / a ,
2
 (k )  Es    4  cos   cos   cos   1  cos   1
1
1
2
2
1
1


 (k )  Es    4  cos   cos   cos  cos  
2
2


0    1)

q.e.d.
2. Methode der starken Kopplung (II)
a) Zeigen Sie für den Fall aus Aufgabe 1, dass die Ableitung des Energieeigenwertes  auf den
quadratischen Flächen der Brillouinzone entlang des Normalenvektors der Fläche verschwindet.
Lösung:
Gradient von (I) aus Aufgabe 1
  sin 0,5k x a   0,5a  cos0,5k y a    sin 0,5k x a   0,5a  cos0,5k z a 
 d / dk x 


 


0
 d / dk y    (k )  4  cos0,5k x a    sin 0,5k y a   0,5a   

 d / dk 
  cos0,5k a    sin 0,5k a   0,5a 

0
z
x
z

 



0


   sin 0,5k y a   0,5a  cos0,5k z a 
 cos0,5k a    sin 0,5k a   0,5a 
y
z


  0,5a sin 0,5k x a   cos0,5k y a   cos0,5k z a 


grad  (k )   4   0,5a sin 0,5k y a   cos0,5k x a   cos0,5k z a 
  0,5a sin 0,5k a   cos0,5k a   cos0,5k a 
z
x
y


(I)
Auf der quadratischen Fläche in (100)-Richtung gilt:
k x  2 / a (II)
3
 1

 
der Normalenvektor der Fläche ist knormal   0  (III)
 0
 
Bedingung (II) in (I) eingesetzt ergibt den Gradienten auf der betrachteten Fläche:


0


grad (k )  4   0,5a sin 0,5k y a    1  cos0,5k z a 
  0,5a sin 0,5k a    1  cos0,5k a 
z
y


(IV)
Die Richtungsableitung von  (k ) in Richtung des Normalenvektors ist:


  1
0

  
k normal
 (k )

 grad  (k )   
 4   0,5a sin 0,5k y a    1  cos0,5k z a    0   0
k normal
k normal
  0,5a sin 0,5k a    1  cos0,5k a   0 
z
y

  
(V)
Da in (IV) die kx –Komponente verschwindet, und die k y - und kz-Komponenten des Normalenvektors
(III) null sind, muss das Skalarprodukt in (V) auf der gesamten Fläche verschwinden. q.e.d.
b) Zeigen Sie, dass die Ableitung des Energieeigenwertes  auf den hexagonalen Flächen entlang
des Normalenvektors verschwindet, wenn man sich den Verbindungslinien der Eckpunkte nähert, die
durch den Punkt L führen.
Lösung:
Hexagonale Fläche in (1 1 1)-Richtung:
1

  1
Normalenvektor knormal  1
1 3
 
(I)
Die betrachtete Fläche kann dargestellt werden als:
 kx 
 
 ky  
k 
 z

a
 s
a


b
 t  c
b
b
a
c
(II)
Aus der Geometrie der Brillouinzone folgt direkt, dass der Vektor
1
  
  1  a
0
 
innerhalb der betrachteten Fläche liegt. Er ist parallel zur Verbindungsgeraden des Zentrums der
hexagonalen Fläche (Punkt L) zu den Eckpunkten der hexagonalen Fläche, deren Komponente
k z   / a ist. Ein zu diesem Vektor und zum Normalenvektor senkrecht stehender Vektor ergibt sich
aus:
 1  1   1
      
  1  1    1  b
 0  1  2 
     
Das Zentrum der Fläche liegt bezogen auf das Zentrum der Brillouinzone bei (siehe Lösungen zu
Blatt15, Aufgabe 1) :
4
 / a 

 
 / a   c
 / a 


für die betrachtete Fläche muss also gelten:
 kx   1 
  1
 / a 
    1
  1


 s    1
 t   / a 
 k y     1
k   0  2
2 6
 / a 
 z  
 


(III)
die Richtungsableitung auf der Fläche in Richtung des Normalenvektors ist:

 (k )
knormal

 grad  (k )   

knormal
knormal
 4   0,5a sin 0,5k x a   cos0,5k y a   cos0,5k z a  
 0,5a sin 0,5k a  cos0,5k a   cos0,5k a  
 0,5a sin 0,5k a   cos0,5k a   cos0,5k a  
kx
x
z
z
x
y
(IV)
k y kz
aus (III)
#include <stddef.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
int main(){
FILE *fp;
fp=fopen("out","w");
float kx, ky, kz, s, t, sum1, sum2, sum3 , grad;
float pi=3.1415927;
float a=1;
fprintf(fp," \n\n ");
for (s=-1;s<=1;s=s+0.01){
for (t=-1;t<=1;t=t+0.01){
kx=(1/sqrt(2)*s)-(1/sqrt(6)*t)+(pi/a);
ky=(-1/sqrt(2)*s)-(1/sqrt(6)*t)+(pi/a);
kz=(2/sqrt(6)*t)+(pi/a);
sum1=sin(0.5*kx*a)*(cos(0.5*ky*a)+cos(0.5*kz*a));
sum2=sin(0.5*ky*a)*(cos(0.5*kx*a)+cos(0.5*kz*a));
sum3=sin(0.5*kz*a)*(cos(0.5*kx*a)+cos(0.5*ky*a));
grad=sum1+sum2+sum3;
fprintf(fp," %e ",grad); }
fprintf(fp," \n ");}
fclose(fp);}
[w.E.]
Es bietet sich an Gleichung (IV) numerisch zu
lösen. Dies kann z.B. mit folgendem C-Programm
durchgeführt werden:
Abb.1: Richtungsableitung

 (k ) / knormal auf der hexagonalen Fläche
in Richtung des Normalenvektors
[w.E.]
mit
y
Abb.2: Betrag der Richtungsableitung

 (k ) / knormal auf der hexagonalen Fläche in
Richtung des Normalenvektors
5
Aufgrund der Wahl der Vektoren in (II) liegt das Zentrum der hexagonalen Fläche bei s=0 und t=0.
Dies ist jeweils der Koordinatenursprung in den beiden Diagrammen in Abb.1 und Abb.2.
Deutlich zu erkennen ist, dass die Richtungsableitung auf den Geraden, die das Zentrum der
hexagonalen Fläche mit den Eckpunkten verbinden, verschwindet. q.e.d.
3. Halbmetall
Ein Halbmetall ist im Gegensatz zum Halbleiter durch einen teilweisen Bandüberlapp charakterisiert.
Die Leitfähigkeit des typischen Halbmetalls Bi (=8,6*105 (m)-1 ) ist immer noch sehr viel kleiner als
die des typischen Metalls Na (=2,7*107 (m)-1 ). Wie beim Halbleiter entstehen beim Übergang von
Elektronen aus dem unteren in das obere Band Löcher im unteren Band.
Wir benutzen folgendes Modell des Halbmetalls:
E1 Unterkante des oberen Bandes, E2 Oberkante des unteren Bandes
E1 (k )  E1 
2
k  k 0 2 mit
2m1
m1  0,06me ,
k 0 : Lage der Unterkante des oberen Bandes
E2 (k )  E2 
2
k 2 mit
2m2
m2  0,18me , Oberkante des unteren Bandes liegt bei k=0
E2  E1  0,1eV . Bestimmen Sie den Abstand des chemischen Potentials von der
Unterkante des oberen Bandes (  0  E1 ) bei T=0 K.
Der Überlapp sei:
Lösung:
E1(k)
z2
D1(E)
E2
µ0
E
E
E2
µ0
E1
E1
z1
D2(E)
E2(k)
k0
0
D(E)
k
Die Zustandsdichten der beiden Bänder sind: (siehe hierzu auch Lösungen zu Blatt12, Aufgabe 3)
3
3
1
3
1
V  2 2
D1 ( E ) 
 m1 2  E  E1 2  c  m1 2  E  E1 2
2  2 
2    
D2 ( E ) 
(I)
3
2
3
1
3
1
V  2
 m2 2  E2  E 2  c  m2 2  E2  E 2
2  2 
2    
(II)
Die Anzahl der tatsächlich besetzten Zustände im oberen Band (Band 1) ist:

z1  2  D1 ( E )  F ( E )dE
E1
(III)
6
Die Anzahl der unbesetzten Zustände (Anzahl der Löcher) im unteren Band (Band 2) ist:
E2
z2  2  D2 ( E )  1  F ( E ) dE

(IV)
wobei F (E ) die Fermi-Dirac-Verteilung ist:
F (E) 
1
exp E   0  / k BT   1
Fermi-Dirac Verteilung bei unterschiedlichen Temperaturen
Besetzungswahrscheinlichkeit f( )
1,2
T=10  F /k B
-4
1,0
T=0,1  F /k B
0,8
0,6
T=0,5  F /k B
0,4
T=1  F /k B
0,2
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Energie  /  F
Bei einer Temperatur von 0K ist das chemische Potential
 0 gleich der Fermi-Energie. Die Fermi-
Dirac-Verteilung ist dann eine Stufenfunktion: Alle Zustände mit Energien unterhalb des chemischen
Potentials sind besetzt, alle Zustände oberhalb des chemischen Potentials sind unbesetzt.
Für die Anzahl der besetzten Zustände im oberen Band ( Gleichung III) und die Anzahl der
unbesetzten Zustände im unteren Band (Gleichung IV) ergibt sich somit:
0
z1  2  D1 ( E )dE  c  m1 2   0  E1 2
3
3
(V)
E1
E2
z2  2  D2 ( E )dE  c  m2 2  E2   0 2
3
3
0
(VI)
Da es genau so viele Löcher im unteren Band geben muss, wie Elektronen im oberen Band, muss
gelten:
z1  z2
(VII)
(V) und (VI) in (VII):
c  m1 2   0  E1 2  c  m2 2  E2   0 2
3
3
3
3
m1  0  E1   m2  E2  0 
m  E  m1  E1
0  2 2
m1  m2 
m  E  m1  E1 m1  E1  m2  E1 m2  E2  E1  3
 0  E1  2 2


 E  E 
m1  m2 
m1  m2 
m1  m2  4 2 1
7