Formale Methoden 2 - LS1 - Logik in der Informatik

Formale Methoden 2
Gaetano Geck
Lehrstuhl I – Logik in der Informatik
WS 2014/2015
1
Mengen
2
Relationen
Definition
Operationen
Eigenschaften
Äquivalenzrelationen
Mehrstellige Relationen
3
Abbildungen
4
Algebraische Strukturen
5
Ordnungen und spezielle Relationen
Mengenlehre / Relationen
Definition und Beispiel
Definition 2.1
Mengen der Form R ⊆ M1 × · · · × Mk heißen k-stellige Relationen (über M1 , . . . , Mk ).
Bemerkungen: zunächst nur binäre Relationen (später weitere)
Beispiel 2.2 (Studienergebnisse)
Wir betrachten Relationen über folgenden Mengen
Veranstaltungen = {RS, Logik, GTI, IS},
Notenwerte = {1.0, 1.3, . . . , 3.7, 4.0, 5.0} und
Notennamen = {sehr gut, gut, befriedigend, ausreichend, nicht bestanden}.
Die Ergebnisse von Anna und Bert werden beschrieben durch die Relationen
ErgebnisseAnna = {(RS, 1.7), (Logik, 1.0)} und
ErgebnisseBert = {(RS, 3.0), (GTI, 5.0), (GTI, 4.0), (IS, 2.7)}
und die Zuordnung von Notenwerten zu Notennamen durch die Relation
Noten = {(1.0, sehr gut), (1.3, sehr gut), (1.7, gut), . . . , (5.0, nicht bestanden)}
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19
Mengenlehre / Relationen
Weitere Beispiele
Beispiel 2.3 (Familienbande)
Wir betrachten die Mengen
Erwachsene = {Homer, Marge, Ned, Maude} und
Kinder = {Bart, Lisa, Maggie, Rod, Todd}
und darüber die binären Relationen Vater, Mutter ⊆ Erwachsene × Kinder:
Vater = {(Homer, Bart), (Homer, Lisa), (Homer, Maggie), (Ned, Rod), (Ned, Todd)} und
Mutter = {(Marge, Bart), (Marge, Lisa), (Marge, Maggie), (Maude, Rod), (Maude, Todd)}.
Bemerkung: Um die Zugehörigkeit eines Paares zu einer binären Relation zu notieren,
wird gelegentlich die Infixnotation verwendet: mRn, falls (m, n) ∈ R.
Beispiel 2.4 (Teilbarkeit)
Wir betrachten die Teilbarkeitsrelation auf den natürlichen Zahlen N0 :
T = {(p, n) | Es gibt ein q ∈ N0 mit n = pq}.
Unter Verwendung des Infixsymbols | für T gilt etwa:
3 | 6,
8 - 12,
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3 | 12,
4 - 13,
4 | 12,
12 | 48
8 -4
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Mengenlehre / Relationen
Operationen: Definition und Beispiel
Aus Relationen können durch verschiedene Operationen Relationen abgeleitet werden.
Definition 2.5
Zu einer binären Relation R ⊆ M × N ist die Umkehrrelation definiert als Relation
R−1 ⊆ N × M mit R−1 = {(n, m) | (m, n) ∈ R}.
Für binäre Relationen R ⊆ M × N und S ⊆ N × P ist die Komposition R ◦ S ⊆ M × P
definiert als Relation R ◦ S = {(m, p) | es gibt ein n ∈ N mit (m, n) ∈ R, (n, p) ∈ S}
Beispiel 2.6 (Umkehrrelation)
Für Vater = {(Homer, Bart), (Homer, Lisa), (Homer, Maggie), (Ned, Rod), (Ned, Todd)}
gilt Vater−1 = {(Bart, Homer), (Lisa, Homer), (Maggie, Homer), (Rod, Ned), (Todd, Ned)}
Beispiel 2.7 (Komposition)
Für ErgebnisseBert ⊆ Veranstaltungen × Notenwerte und Noten ⊆ Notenwerte × Notennamen mit
ErgebnisseBert = {(RS, 3.0), (GTI, 5.0), (GTI, 4.0), (IS, 2.7)}
Noten = {(1.0, sehr gut), (1.3, sehr gut), (1.7, gut), . . . , (5.0, nicht bestanden)} gilt
ergibt sich die Komposition ErgebnisseBert ◦ Noten ⊆ Veranstaltungen × Notennamen als
{(RS, befriedigend), (GTI, nicht bestanden), (GTI, ausreichend), (IS, befriedigend)}
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Mengenlehre / Relationen
Operationen: Kurzaufgaben
Zur Erinnerung:
Definition 2.8
Zu einer binären Relation R ⊆ M × N ist die Umkehrrelation definiert als Relation
R−1 ⊆ N × M mit R−1 = {(n, m) | (m, n) ∈ R}.
Für binäre Relationen R ⊆ M × N und S ⊆ N × P ist die Komposition R ◦ S ⊆ M × P
definiert als Relation R ◦ S = {(m, p) | es gibt ein n ∈ N mit (m, n) ∈ R, (n, p) ∈ S}
Aufgaben
Betrachten Sie die Relation
Vater0 = {(Abe, Homer),
(Homer, Bart),
(Homer, Hugo),
(Bart, Bart Jr.)}.
Geben Sie die Umkehrrelation (Vater0 )−1 an.
Geben Sie die Komposition Vater0 ◦ Vater0 an.
Geben Sie die Relation (Vater0 )−1 ◦ Vater0 an.
Geben Sie die Relation Vater0 ◦ (Vater0 )−1 an.
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Mengenlehre / Relationen
Eigenschaften (1/3)
Definition 2.9 (Totalität, Eindeutigkeit)
Wir betrachten eine binäre Relation R ⊆ M × N . Sie heißt
linkstotal, wenn es zu jedem m ∈ M ein n ∈ N mit (m, n) ∈ R gibt;
rechtstotal, wenn es zu jedem n ∈ N ein m ∈ M mit (m, n) ∈ R gibt;
linkseindeutig, wenn es für alle n ∈ N mit (m, n) ∈ R und (k, n) ∈ R stets m = k gilt;
rechtseindeutig, wenn es für alle m ∈ M mit (m, n) ∈ R und (m, p) ∈ R stets n = p gilt.
Beispiele 2.10
Die Relation Vater ⊆ Erwachsene × Kinder über den Mengen
Erwachsene = {Homer, Marge, Ned, Maude} und
Kinder = {Bart, Lisa, Maggie, Rod, Todd},
Vater = {(Homer, Bart), (Homer, Lisa), (Homer, Maggie), (Ned, Rod), (Ned, Todd)},
ist rechtstotal und linkseindeutig, aber weder linkstotal noch rechtseindeutig.
Fragen
Ist die Teilbarkeitsrelation T = {(p, n) | Es gibt ein q ∈ N0 mit n = pq}
linkstotal, rechtstotal?
linkseindeutig, rechtseindeutig?
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Mengenlehre / Relationen
Eigenschaften (2/3)
Nun: Beschränkung auf binäre Relationen auf einer Menge M
Definition 2.11 (Reflexivität, Symmetrie, Transitivität)
Wir betrachten eine binäre Relation R ⊆ M × M . Sie heißt
reflexiv, wenn (m, m) ∈ R gilt;
irreflexiv, wenn (m, m) < R gilt;
symmetrisch, wenn (m, n) ∈ R stets (n, m) ∈ R impliziert;
asymmetrisch, wenn (m, n) ∈ R stets (n, m) < R impliziert;
antisymmetrisch, wenn (m, n) ∈ R und (n, m) ∈ R stets m = n impliziert;
transitiv, wenn (m, n) ∈ R und (n, p) ∈ R stets (m, p) ∈ R impliziert
(jeweils für alle m, n, p ∈ M ).
Beispiel 2.12 (Teilbarkeitsrelation)
Die Teilbarkeitsrelation T = {(p, n) | Es gibt ein q ∈ N0 mit n = pq} ist
reflexiv
(1 | 1, 2 | 2, . . . )
antisymmetrisch
transitiv
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(2 | 6, 6 | 12 ⇒ 2 | 12)
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Mengenlehre / Relationen
Eigenschaften (3/3)
Zur Erinnerung:
Definition 2.13 (Reflexivität, Symmetrie, Transitivität)
Wir betrachten eine binäre Relation R ⊆ M × M . Sie heißt
reflexiv, wenn (m, m) ∈ R für alle m ∈ M gilt;
irreflexiv, wenn (m, m) < R für alle m ∈ M gilt;
symmetrisch, wenn (m, n) ∈ R stets (n, m) ∈ R impliziert;
asymmetrisch, wenn (m, n) ∈ R stets (n, m) < R impliziert;
antisymmetrisch, wenn (m, n) ∈ R und (n, m) ∈ R stets m = n impliziert;
transitiv, wenn (m, n) ∈ R und (n, p) ∈ R stets (m, p) ∈ R impliziert
(jeweils für alle m, n, p ∈ M ).
Beispiel 2.14 (Vergleichsrelation)
Die Relation < ⊆ N0 × N0 mit < = {(m, n) | es existiert ein c ∈ N mit m + c = n} ist
irreflexiv
asymmetrisch
transitiv
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(x ≮ x)
(x < y ⇒ y ≮ x )
(x < y, y < z ⇒ x < z)
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Mengenlehre / Relationen
Äquivalenzrelationen: Definition, Beispiel
Definition 2.15 (Äquivalenzrelation)
Eine binäre Relation R auf einer Menge M heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv,
symmetrisch und transitiv ist.
Bemerkung: Für jede Menge M existieren (triviale) Äquivalenzrelationen:
die Identität id = {(m, m) | m ∈ M} und
die Allrelation all = {(m, n) | m, n ∈ M}.
Interessanter sind die folgende Klassen von Äquivalenzrelationen.
Definition 2.16 (Zahlentheoretische Kongruenz)
Für jedes k ∈ N ist die Kongruenz modulo k die Relation ≡k ⊆ N0 × N0 , wobei m ≡k n
genau dann gilt, wenn m und k denselben Rest bei Division durch k besitzen.
Beispiele 2.17
Zwei Zahlen m, n stehen genau dann in Relation m ≡2 n, wenn sie entweder beide
gerade oder beide ungerade sind:
0≡2 2,
1.2 4,
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8≡2 100,
8.2 101,
19≡2 5;
18.2 81.
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Mengenlehre / Relationen
Äquivalenzklassen
Definition 2.18
Für eine Äquivalenzrelation R auf einer Menge M ist die Äquivalenzklasse [m]R eines
Elementes m die Menge zu m äquivalenter Elemente in M : [m]R = {n ∈ M | (m, n) ∈ R}.
Beispiel 2.19
Betrachten wir die Äquivalenzrelation ≡2 auf der Menge N0 , so besitzt diese die Klassen
[0]≡2 = {2n | n ∈ N0 }= {0, 2, 4, 6, . . . } und [1]≡2 = {2n + 1 | n ∈ N0 }= {1, 3, 5, 7, . . . }.
Fakt 2.20
Aufgrund der Symmetrie jeder Äquivalenzrelation R auf einer Menge M gilt für alle m, n ∈ M ,
dass genau dann n ∈ [m]R gilt, wenn m ∈ [n]R ist.
Folgerung:
m und n sind genau dann äquivalent, wenn sie dieselben Äquivalenzklassen besitzen
eine Äquivalenzklasse wird durch jedes ihrer Elemente gleichermaßen beschrieben;
die Elemente nennen wir auch Repräsentanten der Klasse
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Mengenlehre / Relationen
Äquivalenzklassen und Partitionen
Äquivalenzklassen und Partitionen sind eng miteinander verwandt
Aufgabe
Zeigen Sie, dass für eine Äquivalenzrelation R auf M mit Elementen m, n ∈ M gilt:
(m, n) < R ⇔ [m]R ∩ [n]R = ∅.
Fakt 2.21 (Partition und Äquivalenzklassen)
Die Klassen einer links- bzw. rechtstotalen Äquivalenzrelation R auf einer Menge M
bilden eine Partition von M , den Quotienten M/R = {[m]R | m ∈ M}
Jede Partition M = {Mi | i ∈ I} einer Menge M induziert eine Äquivalenzrelation
RM = {(m, n) | es gibt ein i ∈ I mit m ∈ Mi und n ∈ Mi }.
Beispiel 2.22 ({0, . . . , 11}/≡3 )
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0
3
1
4
2
5
6
9
7
10
8
11
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Mengenlehre / Relationen
Äquivalenzklassen: Beispiel Q
Die rationalen Zahlen Q können durch Bildung von Äquivalenzklassen auf Paaren aus
Z × Z+ konstruiert werden:
Definition 2.23
Wir definieren die Äquivalenzrelation ∼ auf Z × Z+ durch (p, q) ∼ (r, s) ⇔ p · s = q · r. Die
p
Äquivalenzklasse von (p, q) bezeichnen wir durch q . Es gilt dann Q = (Z × Z+ )/∼ .
Operatoren auf Äquivalenzklassen können über ihre Repräsentanten definiert werden.
Beispiel 2.24 (Addition rationaler Zahlen)
p p0
q0
Für die Klassen q ,
Es gilt etwa
2
3
+
1
6
∈ Q sei die Summe
=
2·6+1·3
3·6
=
p
q
12+3
18
+
p0
q0
=
definiert als
pq0 +p0 q
qq0 .
15
18
Zu beachten: Wohldefiniertheit der Operatoren (Unabhängigkeit von den Repräsentanten)
Beispiel 2.25 (Wohldefiniertheit der Addition)
Die Elemente (2, 3) und (4, 6) aus Z × Z+ repräsentieren dieselbe Klasse 23 ∈ Q.
Es sollte also bei Rechnung mit 46 dasselbe Ergebnis (die Klasse 15
18 ) herauskommen.
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Mengenlehre / Relationen
Äquivalenzklassen: Beispiel Q (Wohldefiniertheit von +)
Zu zeigen: Es gelte für Repräsentanten (p, q) ∼ (r, s) und (p0 , q0 ) ∼ (r0 , s0 )
p
(also für die Klassen q =
dann soll auch
p
q
+
p0
q0
=
pq0 +p0 q
qq0
=
rs0 +r0 s
ss0
=
r
s
+
r0
s0
r
s
und
p0
q0
=
r0
s0 ),
gelten.
Erinnerung: Die Gleichheit der Klassen gilt genau dann,
wenn ihre Repräsentanten (pq0 + p0 q, qq0 ) und (rs0 + r0 s, ss0 ) äquivalent sind.
Wir wissen:
(a) wegen
p
q
(b) wegen
p0
q0
=
=
r
s
gilt ps = qr
r0
s0
gilt p0 s0 = q0 r0
Nachrechnen:
(pq0 + p0 q)(ss0 )
=
=
=
=
pq0 ss0 + p0 qss0
qq0 rs0 + p0 qss0
qq0 rs0 + qq0 r0 s
(rs0 + r0 s)(qq0 )
(Ausmultiplizieren)
(Eigenschaft (a))
(Eigenschaft (b))
(Zusammenfassen)
Folglich gilt (pq0 + p0 q, qq0 ) ∼ (rs0 + r0 s, ss0 ).
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Mengenlehre / Relationen
Äquivalenzklassen: Verhältnisse
Definition 2.26
Seien R und S Äquivalenzrelationen auf derselben Menge M , dann heißt R
Verfeinerung von S, wenn für alle m, n ∈ M aus (m, n) ∈ R auch (m, n) ∈ S folgt.
Bemerkung:
Obige Bedingung ist äquivalent zu: für alle m ∈ M gilt [m]R ⊆ [n]S .
Wenn R feiner ist als S, wird S auch gröber als R genannt.
Beispiel 2.27 ({0, . . . , 11}/≡6 ist Verfeinerung von {0, . . . , 11}/≡3 )
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0
3
1
4
2
5
6
9
7
10
8
11
31