Der Schwerpunkt

Der Schwerpunkt
von Jessica Müller
Schwerpunkte spielen in der Physik eine besondere Rolle , sie
vereinfachen dort viele Überlegungen; doch auch bei geometrischen
Aufgaben ist der Begriff des Schwerpunktes sehr hilfreich.
Die Konstruktion des Schwerpunktes ist überaus einfach: Man braucht
nur die Eckpunkte des Dreiecks (oder einer anderen geometrischen
Figur) mit den Mitten der gegenüberliegenden Seiten verbinden und der
Schnittpunkt dieser Schwerlinien ist dann der Schwerpunkt.
C
MB
MA
A
B
MC
Zur Einführung zunächst ein paar leichte Aufgaben zum Berechnen des
Schwerpunktes:
Definition:
Sind A1, A2, ... , An endlich viele Punkte in der Ebenen oder im
Raum, so wird ihr Schwerpunkt S definiert durch:
S = 1/n (A1 + A2 + … + An)
Aufgabe 1:
a) Berechne den Schwerpunkt des Dreiecks mit A( 2 | 1 | 3 ), B( 3 | 5 | 0 )
und C( 4 | -4 | 9 ).
b) Berechne den Schwerpunkt des Tetraeders mit O( 0 | 0 | 0 ),
A ( 2 | 1 | 1 ), B ( -12 | 1 | 3 )und C ( 2 | 6 | -8 ).
Lösung A1:
a) S = 1/3 ( A + B + C)
= 1/3
2
3
4
1 + 5 + -4
3
0
9
=
1/3
+
2
6
-8
9
2
12
=
3
2/3
4
¼
-8
8
-4
b) S = ¼ ( O + A + B + C )
=¼
0
2
-12
0 + 1 + 1
0
1
3
=
=
-2
2
-1
Aufgabe 2
Zeige: Ein Dreieck ABC und sein Mittendreieck MAMBMC haben
denselben Schwerpunkt.
C
MB
A
MA
MC
B
Lösung A2:
Sei SD der Schwerpunkt des Dreiecks und SMD der Schwerpunkt des
Mittendreiecks.
SMD = 1/3 ( MA + MB + MC )
= 1/3 [ ½ ( B + C ) + ½ ( C + A ) + ½ ( A + B )]
= 1/6 B + 1/6 C + 1/6 C + 1/6 A + 1/6 A + 1/6 B
= 1/3 B + 1/3 C + 1/3 A
= 1/3 ( A + B + C )
= SD
Aufgabe 3:
Zeige: Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem
Punkt S und teilen sich im Verhältnis 2 : 1.
C
Lösungsweg 1 für A3:
MB
A
MA
MC
B
Seien MA, MB, MC die Mittelpunkte der Dreiecksseiten, S der
Schnittpunkt der Seitenhalbierenden sA (durch A und MA) und sB (durch
B und MB).
Zieht man nun Parallelen zu sB durch A, MA und MC, dann bilden diese
Parallelen mit sB eine Schar von vier gleichabständigen Parallelen.
Daraus erkennt man, dass AS = 2 SMA und BS = 2 SMB gilt
Ist nun S’ der Schnittpunkt von sA und sC dann ergibt sich: CS’ = 2 S’MC
und AS’ = 2 S’MA.
Aus AS’ = 2 S’MA und AS = 2 SMA folgt, dass S und S’ die Strecke AMA
im Verhältnis 2 : 1 teilt und es muss S’ = S gelten.
Nun eine weiter Definition für den Schwerpunkt:
Definition:
Seien X1 , X2 , ... , Xk Punkte im R^n und m1 , m2 , ... mk reelle Zahlen
( k = 1 , 2 ,... n ). Ein Punkt X heißt Schwerpunkt der Punktmassen
( Xk , mk ), wenn die Relation
k=1,..,n mkXXk = 0
erfüllt ist. Dabei muss m1 + m2 + ... + mk  0 gelten.
Mit dieser neuen Definition des Schwerpunktes kann man Aufgabe 3 wie
folgt lösen:
Lösungsweg 2 von A3:
Es seien MA , MB und MC die Mittelpunkte der Dreiecksseiten.
Wir betrachten nun die drei Punktmassen ( A , 1 ) , ( B , 1 ) und ( C , 1 )
(in jeder Ecke die Masse 1).
Der Schwerpunkt der Punktmassen ( A , 1 ) und ( B , 1 ) ist MC.
Den Schwerpunkt S aller drei Punktmassen kann man jetzt als
Schwerpunkt der Punktmassen ( C , 1 ) und ( MC , 2 ) erhalten.
Also liegt S auf der Strecke CMC und teilt sie im Verhältnis
| CS | : | SMC | = 2 : 1
Analog gilt | AS | : | SMA | = | BS | : | SMB | = 2 : 1
Aufgabe 5:
Zeige, dass die Winkelhalbierenden eines beliebigen Dreiecks
konkurrent (also durch einen Punkt gehen) sind.
Lösung A5:
Wir betrachten die Punktmassen ( A , sin ) , ( B , sin ) und ( C , sin ).
Sei CMC die Winkelhalbierende des Winkels .
Der Sinussatz lautet:
a
b
sin
sin
C
c
sin

b
a
Nach dem Sinussatz ist dann hier:
A
B

| AMC | sin = | CMC | sin(/2) = | MCB | sin
c
Daraus erkennt man nun, dass MC der Schwerpunkt der Punkte A und B
ist.
Den Schwerpunkt aller drei Punktmassen kann man jetzt als
Schwerpunkt der zwei Punkte ( C , sin ) und ( MC , sin + sin ) finden.
Dieser Schwerpunkt liegt also auf der Strecke CMC.
Analog liegt er auf jeder Winkelhalbierenden.
Aufgabe 6:
Beweise:
a) Jedes Punktmassensystem ( Xk , mk ) , k = 1 , 2, ... , n , hat
höchstens einen Schwerpunkt.
b) Seien X1 und X2 zwei Punkte mit nichtnegativen Massen m1 bzw.
m2. Beweise, dass der Schwerpunkt X der Punktmassen ( X1 , m1)
und ( X2 , m2 ) auf der Strecke X1X2 liegt und diese Strecke im
Verhältnis
| X1X | = m2
| XX2 |
m1
Lösung A6:
a) Angenommen X und Y sind zwei verschiedene Schwerpunkte
unseres Punktmassensystems. Dann gilt:
0 = k=1,..,n mk XXk - k=1,..,n mk YXk = k=1,..,n mk XY =
= (k=1,..,nmk) XY = M XY
Da M  0 ist, gilt also XY = 0, also X = Y. Dies ist ein Widerspruch
zur Annahme, also hat ein Punktmassensystem höchstens einen
Schwerpunkt
b) Nach der Definition ist
m1 XX1 + m2 XX2 = 0
Daraus erkennt man, dass die Punkte X1 , X und X2 kollinear sind
(d.h. sie liegen auf einer gemeinsamen geraden) und es folgt für
die Längen:
m1 | X1X | = m2 | XX2|