1 Definition einer periodischen Funktion 2 Beispiele für periodische

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Definition einer periodischen Funktion
Sei x eine beliebige reelle Zahl aus dem Definitionsbereich der Funktion f .
Sei p eine positive reelle Zahl.
Für x aus dem Definitionsbereich von f wird angenommen, dass auch x + np aus dem
Definitionsbereich von f ist, für beliebige natürliche Zahlen n.
Die Funktion f heißt periodisch mit der Periode p, falls f (x + p) = f (x) gilt.
Für periodische Funktionen mit der Periode p und x aus dem Definitionsbereich von f folgt
f (x + np) = f (x) für alle natürlichen Zahlen n.
(1) Sei f eine Funktion, für die gilt: x gegen ∞ impliziert f (x) gegen ∞. Dann folgt, dass f
nicht periodisch sein kann.
Beweis: Es gilt x + np strebt gegen ∞ für n gegen ∞. Hieraus folgt f (x + np) strebt gegen
∞ im Widerspruch zu f (x + np) = f (x) für alle natürlichen Zahlen n.
(2) Aus der Definition folgt für jede streng monoton wachsende Funktion, dass sie nicht periodisch sein kann.
Beweis: es ist x + p > x Da f streng monoton wächst, folgt f (x + p) > f (x) im Gegensatz
zu der Annahme f (x) = f (x + p).
(3) Für eine streng monoton fallende Funktion f muss f (x + p) < f (x) sein, im Widerspruch
zu f (x + p) = f (x).
Ein Beispiel für eine periodische Funktion, die nicht beschränkt ist, ist y = tan(x). Diese
Funktion erfüllt die Bedingungen (1) - (3) nicht.
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2.1
Beispiele für periodische Funktionen
y = sin(x)
Die Funktion y = sin(x) hat die Periode 2π, d.h. für f (x) = sin(x) gilt f (x + 2π) = f (x).
f (x + 2π) = sin(x + 2π) = sin(x) = f (x)
2.1.1
y = sin(2x)
Die Funktion y = sin(2x) hat die Periode π.
Beweis: Sei f (x) = sin(2x)
1
Dann gilt f (x + π) = sin(2(x + π)) = sin(2x + 2π) = sin(2x) = f (x)
Die Gleichung f (x + π) = f (x) besagt, dass die Funktion f die Periode π hat.
2.1.2
y = sin(3x)
Die Funktion f (x) = sin(3x) hat die Periode
Beweis: f (x +
2.1.3
2π
)
3
= sin(3(x +
2π
))
3
2π
.
3
= sin(3x + 2π) = sin(3x) = f (x)
y = sin( 21 x)
Die Funktion f (x) = sin( 12 x) hat die Periode 4π.
Beweis: f (x + 4π) = sin( 12 (x + 4π)) = sin( 12 x + 2π) = sin( 21 x) = f (x)
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1 Definition einer periodischen Funktion
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2 Beispiele für periodische Funktionen
2.1 y = sin(x) . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 y = sin(2x) . . . . . . . . . .
2.1.2 y = sin(3x) . . . . . . . . . .
2.1.3 y = sin( 12 x) . . . . . . . . . .
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