25 HÜ 13.4.

1)
FUNKTIONEN UND SCHWERPUNKT
ÜZ 25
f(x) = ln x
x
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Bestimme N, E, W mit k!
Ermittle die Asymptote(n)!
Zeichne den Graphen!
Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das die Kurve zwischen x1=1 und x2=e² mit der
x-Achse einschließt!
 Bestimme die Koordinaten des Schwerpunkts dieses Flächenstücks!
 Zeige, wie du durch obige Berechnungen nun sehr rasch das Volumen angeben kannst,
das durch Rotation dieses Flächenstücks um die x-Achse entsteht.
Lösungen: f’(x)=(1-lnx)/x² f“(x)= (2lnx-3)/x³ N(1/0), H(e / 1/e) W(4,5/0,33) k = 0,025 As. x und y-Achse
A = 2 FE Der Schwerpunkt war bis e² gesucht und nicht bis unendlich!! S(4,2 / 0,16)
2)
VOLUMSBERECHNUNG und TRIGONOMETRIE
Die Parabel y² = a(x-2) geht durch den Punkt P1(4/3) bzw. y² = - a(x+2) durch P2(-4/3)
Ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf der y-Achse liegt, berührt die Parabel in diesen Punkten;
d.h. er hat in P dieselbe Tangente wie die Parabel. (Tipp: der Radius MP steht normal auf dieTangente1)
Fertige eine Skizze so an, dass der Kreis und die Parabel in P enden.
Lösung: y² = 4,5(x-2) bzw. k: M(0/25/3); r = 20/3
b) An die Parabel schließt bei y = -3 ein Rechteck mit der Breite b = 2 cm an. (Ergänze die Skizze!)
Diese Figur rotiert um die y-Achse. Bestimme das Volumen dieses Rotationskörpers!
Gemeint ist der ganze Drehkörper: Kreis, Parabel und Rechteck rotieren!
Lösung: V = 292,8  rund 919,9 cm³
3)
ANALYTISCHE GEOMETRIE und EXTREMWERTAUFGABE
Der Basiskreis eines Kegels liegt in der Ebene : A(-3/-18), B(1/1/20), C(-8/0/7); die Spitze S hat die
Koordinaten S(4/9/1).
a) Dieser Drehkegel entsteht durch Rotation der Strecke AS.
Bestimme Mittelpunkt und Radius des Basiskreises!
b) Unabhängig von a):
Für welches Verhältnis r : h hat ein Drehkegel mit gegebener Seitenkantenlänge s max. Vol?
c) Ändere die Koordinaten von S bei gleich bleibender Grundfläche des Kegels so ab, dass
der neue Drehkegel die Bedingung von b) erfüllt!
Lösungen: Basisebene: x + 4y – z = -15
r² : h = 2:1 S*(2/1/3) bzw. (0/-7/5)
4)
Normale h: X = (4/9/1) + t( 1/4/-1) M (1/-3/4) r = 6
TRIGONOMETRIE:
Ein Grundstück hat die Form eines allgemeinen Vierecks:
a = 100 m, b = 70 m, c = 30 m, d = 50 m,  = 65°
a) Der Flächeninhalt des Vierecks ist zu bestimmen! Zeichne dazu das Viereck!
Gib den Rechengang zur Ermittlung der benötigten Bestimmungsstücke genau an!
Berechne daraus dann den Flächeninhalt!
b) Eine durch B gehende Gerade teilt das Grundstück
in zwei gleich große Flächen. (Zeichne ein!)
Welchen Winkel schließt diese Gerade mit der Seite AB ein?
Lösungen: f = 9,1 cm  = 126° A = 31,15 cm²
A’= A/2 = ad’ .sin65° ... d’ = 3,44 cm BS = 9,1 cm ... ’ = 20°