Lösung 5

MLAE1 – Mathematik: Lineare Algebra für Ingenieure 1
Dr. Christoph Kirsch
Herbstsemester 2015
ZHAW Winterthur
Lösung 5
Aufgabe 1 :
a) Die drei Mengen erfüllen A, B, C ⊆ R. Der Durchschnitt A ∩ B enthält alle
geraden Zahlen zwischen 0 und 10:
A ∩ B = {2, 4, 6, 8, 10}.
(1)
Die Mengen A ∩ B und C haben 8 als einziges gemeinsames Element. Dieses
wird bei der Differenzbildung entfernt:
(A ∩ B) \ C = {2, 4, 6, 10}.
(2)
b) In der Differenz A \ C kommen alle geraden Zahlen ausser 8 und 14 vor:
A \ C = {2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 20, 22, . . . }.
(3)
Aufgabe 2 :
a) f ist eine Funktion, weil sie jedem Element in D genau ein Element in Z zuordnet.
Ihr Graph ist gegeben durch
Gf = {(x, f (x)) | x ∈ D} = {(a, 2), (b, 1), (c, 1)} ⊆ D × Z.
(4)
b) g ist keine Funktion, weil sie dem Element 0 ∈ A zwei Elemente 7, 8 ∈ B
zuordnet.
c) h ist eine Funktion, weil sie jedem Element in X genau ein Element in Y zuordnet. Ihr Graph ist gegeben durch
Gh = {(x, h(x)) | x ∈ X} = {(x, y), (y, b), (z, a)} ⊆ X × Y.
(5)
Aufgabe 3 :
a) Bei der Addition des Nullelements zu irgendeinem Körperelement erhält man
wieder dieses Körperelement (A2). Mit Hilfe der Tabelle der Addition finden
wir, dass y ∈ K die Eigenschaften des Nullelements erfüllt: a + y = y + a = a,
∀ a ∈ K.
Bei der Multiplikation des Einselements mit irgendeinem Körperelement erhält
man wieder dieses Körperelement (M2). Mit Hilfe der Tabelle der Multiplikation
finden wir, dass v ∈ K die Eigenschaften des Einselements erfüllt a·v = v ·a = a,
∀ a ∈ K.
1
b) Die Addition eines Körperelements und seiner Gegenzahl führt auf das Nullelement (A3). In Aufgabe a) haben wir gefunden, dass y ∈ K das Nullelement ist.
Mit Hilfe der Tabelle der Addition finden wir daher die folgenden Gegenzahlen:
a
v w x y z
−a
z x w y v
a + (−a) y y y y y X
(6)
c) Die Multiplikation eines Körperelements (ausser dem Nullelement) mit seinem
Kehrwert führt auf das Einselement (M3). In Aufgabe a) haben wir gefunden,
dass v ∈ K das Einselement ist. Mit Hilfe der Tabelle der Multiplikation finden
wir daher die folgenden Kehrwerte:
v w x z
a
−1
a
v x w z
a · a−1 v v v v X
(7)
Das Nullelement y ∈ K hat keinen Kehrwert.
d) Wir berechnen zunächst die Differenz
b)
z − v = z + (−v) = z + z = w.
(8)
Damit lautet die Gleichung also w · a + x = y. Wir addieren auf beiden Seiten
die Gegenzahl von x (oder subtrahieren x auf beiden Seiten):
b)
w · a = w · a + x + (−x) = y + (−x) = y + w = w.
(9)
Schliesslich multiplizieren wir auf beiden Seiten mit dem Kehrwert von w:
a
(M2),a)
=
(M3)
(M1)
(9)
v · a = (w−1 · w) · a = w−1 · (w · a) = w−1 · w = v.
(10)
Wir prüfen nach:
(z −v)·v +x = z ·v +(−v)·v +x = z +z ·v +x = z +z +x = w +x = y
X (11)
Aufgabe 4 :
a) Mit dem Distributivgesetz für die Skalarmultiplikation formen wir zunächst um:
A
2
2
13
2· B −
+5·A = 2·B− ·A+5·A = 2·B+ 5 −
·A = 2·B+ ·A. (12)
3
3
3
3
Jetzt berechnen wir die Matrizen
1
−1
2
·
1
2
·
(−1)
2
−2
√
√
2·B = 2· √
=
=
, (13)
2 0
2· 2
2·0
2 2 0
√ √ 13
13
13
13
2
2
−2
·
(−2)
·
3
3
·A =
·
=
(14)
5
13 5
13
0
·
·
0
3
3
3
3
3
3
26 13√2 −3
3
=
,
(15)
65
0
9
2
und bilden die Summe: 2 · B − A3 + 5 · A
26
13
2
−2
−3
√
·A=
= 2·B+
+
65
2 2 0
3
9
√ 13 2
26
20
2√
+ −3
−2 + 3
√− 3 65
=
=
65
2 2+ 9
2 2+ 9
0+0
√
13 2
3
(16)
0
√
13 2
3
0
−2
.
(17)
b) Dieser Ausdruck ist nicht definiert, da wir die Matrizen C ∈ R3×2 und 2 · A ∈
R2×2 nicht subtrahieren können.
c) Mit der Matrizenmultiplikation (Def. 7) berechnen wir die drei (1 × 2)-Matrizen
(Zeilenvektoren der Länge 2)
√ −2
2
>
3 −1 ·
(18)
v ·A =
5
0
3
√
=
(19)
3 · (−2) + (−1) · 53 3 · 2 + (−1) · 0
√
=
(20)
3 2 ,
− 23
3


π 2
√
(21)
w> · C =
2 0 43 ·  0 √37 
1
2
√
√
√ =
(22)
2 · π + 0 · 0 + 43 · 1
2 · 2 + 0 · 73 + 43 · 2
√
√ =
(23)
2π + 43 103 2 ,
1√· 3 + (−1) · (−1)
3
√1 −1 ·
B·v =
=
(24)
−1
2 0
2 · 3 + 0 · (−1)
4
√
.
(25)
=
3 2
Jetzt berechnen wir den gesuchten Ausdruck v > · A − w> · C + (B · v)>
>
√ √ √
4
23
10
2
4
√
=
+
−3 3 2 −
2π + 3
3
3 2
√ √ √
√ 23
10
2
4
=
+
−3 3 2 + −
4
3
2
2π + 3
3
√
√ √
√
10 2
4
=
+
+
− 23
3
2
4
3
2
−
2π
−
−
3
3
3
√ √
√
√ 10 2
4
=
− 23
+
−
2π
−
+
4
3
2
+
−
+
3
2
3
3
3
√
√
=
−5 − 2π 8 3 2 .
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
Aufgabe 5 :
a) Wir multiplizieren aus und bringen die Unbekannten x1 , x2 , x3 in allen Gleichungen auf die linke Seite:
2x1 − 5x2 − 6x3 = 4,
√
−2x2 − ( 2 − 1)x3 = 0,
7x3 = 2.
3
(31)
(32)
(33)
Dieses lineare Gleichungssystem schreiben wir als


  
2 −5
x1
4
√−6
 0 −2 −( 2 − 1)   x2  =  0  .
x3
2
0 0
7
|
{z
} | {z } | {z }
=:x
=:A
(34)
=:b
b) Das lineare Gleichungssystem ist in Zeilenstufenform, und wir können es daher
durch Rückwärtseinsetzen lösen:
1. 7x3 = 2 ⇒ x3 = 27
√
√
√
√
2( 2−1)
2
2. −2x2 −( 2−1)x3 = −2x2 −( 2−1) 7 = 0 ⇒ 2x2 = − 7
⇒ x2 = − 2−1
7
√ √
√
5 2−17
45−5 2
2−1
2
−6· 7 = 2x1 + 7 = 4 ⇒ 2x1 = 7
3. 2x1 −5x2 −6x3 = 2x1 −5· − 7
⇒ x1 =
√
45−5 2
14
Die Lösungsmenge ist also gegeben durch
 45−5√2 


14
√
 .
L =  − 2−1
7


2
7
Vorlesungswebseite: http://home.zhaw.ch/˜kirs/MLAE1
4
(35)