Taschenbuch der Mathematik - Toc - Beck-Shop

Taschenbuch der Mathematik
Bearbeitet von
Ilja N Bronstein, Konstantin A Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig
überarbeitet 2005. Buch. 1242 S.
ISBN 978 3 8171 2006 2
Format (B x L): 13,8 x 19,7 cm
Zu Leseprobe
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Inhaltsverzeichnis
V
Inhaltsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
XXXIX
1 Arithmetik
1.1
Elementare Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.1 Natürliche, ganze und rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.2 Irrationale und transzendente Zahlen . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.3 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.4 Kettenbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.5 Kommensurabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Beweismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.1 Direkter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.2 Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch . . . . . . .
1.1.2.3 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.4 Konstruktiver Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3.1 Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3.2 Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4.1 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4.2 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4.3 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4.4 Spezielle Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Algebraische Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5.2 Einteilung der algebraischen Ausdrücke . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Ganzrationale Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6.1 Darstellung in Form eines Polynoms . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6.2 Zerlegung eines Polynoms in Faktoren . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6.3 Spezielle Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6.4 Binomischer Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6.5 Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome
1.1.7 Gebrochenrationale Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7.1 Rückführung auf die einfachste Form . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7.2 Bestimmung des ganzrationalen Anteils . . . . . . . . . . . . .
1.1.7.3 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7.4 Umformung von Proportionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.8 Irrationale Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Endliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Definition der endlichen Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Arithmetische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Spezielle endliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5.1 Arithmetisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5.2 Geometrisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5.3 Harmonisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5.4 Quadratisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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VI Inhaltsverzeichnis
1.3
1.4
1.5
1.2.5.5 Vergleich der Mittelwerte für zwei positive Größen a und b . . . . .
Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Zinseszinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3.1 Tilgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3.2 Gleiche Tilgungsraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3.3 Gleiche Annuitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4.1 Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4.2 Nachschüssig konstante Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4.3 Kontostand nach n Rentenzahlungen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Abschreibungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Reine Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1.2 Eigenschaften der Ungleichungen vom Typ I und II . . . . . . . . .
1.4.2 Spezielle Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.1 Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.2 Ungleichungen für den Absolutbetrag der Differenz zweier Zahlen .
1.4.2.3 Ungleichung für das arithmetische und das geometrische Mittel . .
1.4.2.4 Ungleichung für das arithmetische und das quadratische Mittel . .
1.4.2.5 Ungleichungen für verschiedene Mittelwerte zweier reeller Zahlen .
1.4.2.6 Bernoullische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.7 Binomische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.8 Cauchy–Schwarzsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.9 Tschebyscheffsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.10 Verallgemeinerte Tschebyscheffsche Ungleichung . . . . . . . . . .
1.4.2.11 Höldersche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.12 Minkowskische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Lösung von Ungleichungen 1. und 2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3.2 Ungleichungen 1. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3.3 Ungleichungen 2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3.4 Allgemeiner Fall der Ungleichung 2. Grades . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Imaginäre und komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1.1 Imaginäre Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Geometrische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.1 Vektordarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.2 Gleichheit komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.3 Trigonometrische Form der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . .
1.5.2.4 Exponentialform einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.5 Konjugiert komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3.1 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3.2 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3.3 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3.4 Allgemeine Regeln für die vier Grundrechenarten . . . . . . . . . .
1.5.3.5 Potenzieren einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3.6 Radizieren oder Ziehen der n–ten Wurzel aus einer komplexen Zahl
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Inhaltsverzeichnis
1.6
Algebraische und transzendente Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Umformung algebraischer Gleichungen auf die Normalform . . . . . .
1.6.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1.2 Systeme aus n algebraischen Gleichungen . . . . . . . . . . .
1.6.1.3 Scheinbare Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Gleichungen 1. bis 4. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2.1 Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen) . . . . . . . . .
1.6.2.2 Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen) . . . . . .
1.6.2.3 Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen) . . . . . . . .
1.6.2.4 Gleichungen 4. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2.5 Gleichungen 5. und höheren Grades . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Gleichungen n–ten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3.1 Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gleichungen . . .
1.6.3.2 Gleichungen mit reellen Koeffizienten . . . . . . . . . . . . .
1.6.4 Rückführung transzendenter Gleichungen auf algebraische Gleichungen
1.6.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4.2 Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4.3 Logarithmische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4.4 Trigonometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4.5 Gleichungen mit Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . .
2 Funktionen und ihre Darstellung
2.1
Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Definition der Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.1 Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.2 Reelle Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.3 Funktion von mehreren Veränderlichen . . . . . . . . . .
2.1.1.4 Komplexe Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.5 Weitere Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.6 Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.7 Funktion und Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Methoden zur Definition einer reellen Funktion . . . . . . . . . . .
2.1.2.1 Angabe einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2.2 Analytische Darstellung reeller Funktionen . . . . . . . .
2.1.3 Einige Funktionstypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.1 Monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.2 Beschränkte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.3 Extremwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.4 Gerade Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.5 Ungerade Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.6 Darstellung mit Hilfe gerader und ungerader Funktionen .
2.1.3.7 Periodische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.8 Inverse oder Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Grenzwert von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4.1 Definition des Grenzwertes einer Funktion . . . . . . . .
2.1.4.2 Zurückführung auf den Grenzwert einer Folge . . . . . . .
2.1.4.3 Konvergenzkriterium von Cauchy . . . . . . . . . . . . .
2.1.4.4 Unendlicher Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . .
2.1.4.5 Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion
2.1.4.6 Grenzwert einer Funktion für x gegen unendlich . . . . .
2.1.4.7 Sätze über Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . .
2.1.4.8 Berechnung von Grenzwerten . . . . . . . . . . . . . . .
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VIII Inhaltsverzeichnis
2.1.4.9 Größenordnung von Funktionen und Landau–Symbole . . . . . . .
Stetigkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5.1 Stetigkeit und Unstetigkeitsstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5.2 Definition der Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5.3 Häufig auftretende Arten von Unstetigkeiten . . . . . . . . . . . .
2.1.5.4 Stetigkeit und Unstetigkeitspunkte elementarer Funktionen . . . .
2.1.5.5 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Algebraische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome) . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.2 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.3 Irrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Transzendente Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.1 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.2 Logarithmische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.3 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.4 Inverse trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.5 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.6 Inverse Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Zusammengesetzte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Lineare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Quadratisches Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Polynom 3. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Polynom n–ten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Parabel n–ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Spezielle gebrochen lineare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Gebrochenlineare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Kurve 3. Ordnung, Typ I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Kurve 3. Ordnung, Typ II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Kurve 3. Ordnung, Typ III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.6 Reziproke Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Irrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Quadratwurzel aus einem linearen Binom . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Potenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Logarithmische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Gaußsche Glockenkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4 Exponentialsumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.5 Verallgemeinerte Gaußsche Glockenkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.6 Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . .
Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1.1 Definition und Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1.2 Wertebereiche und Funktionsverläufe . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Wichtige Formeln für trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2.1 Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen . . . . .
2.7.2.2 Trigonometrische Funktionen der Summe und der Differenz zweier
Winkel (Additionstheoreme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
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80
80
80
2.8
2.9
2.10
2.11
Inhaltsverzeichnis
IX
2.7.2.3 Trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache . . . . . . . . . .
2.7.2.4 Trigonometrische Funktionen des halben Winkels . . . . . . . . . .
2.7.2.5 Summen und Differenzen zweier trigonometrischer Funktionen . .
2.7.2.6 Produkte trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2.7 Potenzen trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3 Beschreibung von Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3.2 Superposition oder Überlagerung von Schwingungen . . . . . . . .
2.7.3.3 Vektordiagramm für Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3.4 Dämpfung von Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Definition der zyklometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Zurückführung auf die Hauptwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Beziehungen zwischen den Hauptwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Formeln für negative Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.5 Summe und Differenz von arcsin x und arcsin y . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.6 Summe und Differenz von arccos x und arccos y . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.7 Summe und Differenz von arctan x und arctan y . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.8 Spezielle Beziehungen für arcsin x, arccos x, arctan x . . . . . . . . . . . . .
Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Definition der Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2 Graphische Darstellung der Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2.1 Hyperbelsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2.2 Hyperbelkosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2.3 Hyperbeltangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2.4 Hyperbelkotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3 Wichtige Formeln für Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.1 Hyperbelfunktionen einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.2 Darstellung einer Hyperbelfunktion durch eine andere gleichen Argumentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.3 Formeln für negative Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.4 Hyperbelfunktionen der Summe und der Differenz zweier Argumente
(Additionstheoreme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.5 Hyperbelfunktionen des doppelten Arguments . . . . . . . . . . .
2.9.3.6 Formel von Moivre für Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.7 Hyperbelfunktionen des halben Arguments . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.8 Summen und Differenzen von Hyperbelfunktionen . . . . . . . . .
2.9.3.9 Zusammenhang zwischen den Hyperbel- und den trigonometrischen
Funktionen mit Hilfe komplexer Argumente . . . . . . . . . . . . .
Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1.1 Areasinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1.2 Areakosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1.3 Areatangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1.4 Areakotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.2 Darstellung der Areafunktionen durch den natürlichen Logarithmus . . . . .
2.10.3 Beziehungen zwischen den verschiedenen Areafunktionen . . . . . . . . . . .
2.10.4 Summen und Differenzen von Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.5 Formeln für negative Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurven dritter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.1 Semikubische Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.2 Versiera der Agnesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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95
X Inhaltsverzeichnis
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.11.3 Kartesisches Blatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.4 Zissoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.5 Strophoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurven vierter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.1 Konchoide des Nikomedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.2 Allgemeine Konchoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.3 Pascalsche Schnecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.4 Kardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.5 Cassinische Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.6 Lemniskate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zykloiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.1 Gewöhnliche Zykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.2 Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden . . .
2.13.3 Epizykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.4 Hypozykloide und Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.5 Verlängerte und verkürzte Epizykloide und Hypozykloide .
Spiralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.1 Archimedische Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.2 Hyperbolische Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.3 Logarithmische Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.4 Evolvente des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.5 Klothoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verschiedene andere Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.15.1 Kettenlinie oder Katenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.15.2 Schleppkurve oder Traktrix . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufstellung empirischer Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.1 Verfahrensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.1.1 Kurvenbildervergleiche . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.1.2 Rektifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.1.3 Parameterbestimmung . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2 Gebräuchlichste empirische Formeln . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.1 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.2 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.3 Quadratisches Polynom . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.4 Gebrochenlineare Funktion . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.5 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom
2.16.2.6 Verallgemeinerte Gaußsche Glockenkurve . . . . .
2.16.2.7 Kurve 3. Ordnung, Typ II . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.8 Kurve 3. Ordnung, Typ III . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.9 Kurve 3. Ordnung, Typ I . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.10 Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion . .
2.16.2.11 Exponentialsumme . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.12 Vollständig durchgerechnetes Beispiel . . . . . . .
Skalen und Funktionspapiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17.1 Skalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17.2 Funktionspapiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17.2.1 Einfach–logarithmisches Funktionspapier . . . . .
2.17.2.2 Doppelt–logarithmisches Funktionspapier . . . . .
2.17.2.3 Funktionspapier mit einer reziproken Skala . . . .
2.17.2.4 Hinweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionen von mehreren Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . .
2.18.1 Definition und Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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120
2.19
Inhaltsverzeichnis
XI
2.18.1.1 Darstellung von Funktionen mehrerer Veränderlicher . . . . . . . .
2.18.1.2 Geometrische Darstellung von Funktionen mehrerer Veränderlicher
2.18.2 Verschiedene ebene Definitionsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.2.1 Definitionsbereich einer durch eine Menge gegebenen Funktion . .
2.18.2.2 Zweidimensionale Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.2.3 Drei- und mehrdimensionale Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.2.4 Methoden zur Definition einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.2.5 Formen der analytischen Darstellung einer Funktion . . . . . . . .
2.18.2.6 Abhängigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.3 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.3.2 Exakte Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.3.3 Verallgemeinerung auf mehrere Veränderliche . . . . . . . . . . . .
2.18.3.4 Iterierte Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.4 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.5 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.5.1 Nullstellensatz von Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.5.2 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.5.3 Satz über die Beschränktheit einer Funktion . . . . . . . . . . . .
2.18.5.4 Satz von Weierstrass über die Existenz des größten und kleinsten
Funktionswertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nomographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.1 Nomogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.2 Netztafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.3 Fluchtlinientafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.3.1 Fluchtlinientafeln mit drei geraden Skalen durch einen Punkt . . .
2.19.3.2 Fluchtlinientafeln mit zwei parallelen und einer dazu geneigten geradlinigen Skala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.3.3 Fluchtlinientafeln mit zwei parallelen, geradlinigen Skalen und einer
Kurvenskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.4 Netztafeln für mehr als drei Veränderliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
120
121
121
121
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125
125
125
125
125
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126
126
126
3 Geometrie
3.1
Planimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1.1 Punkt, Gerade, Strahl, Strecke . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1.2 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1.3 Winkel an zwei sich schneidenden Geraden . . . . . . .
3.1.1.4 Winkelpaare an geschnittenen Parallelen . . . . . . . .
3.1.1.5 Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß . . . . . . . . .
3.1.2 Geometrische Definition der Kreis- und Hyperbel-Funktionen . .
3.1.2.1 Definition der Kreis- oder trigonometrischen Funktionen
3.1.2.2 Geometrische Definition der Hyperbelfunktionen . . . .
3.1.3 Ebene Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3.1 Aussagen zu ebenen Dreiecken . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3.2 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Ebene Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.1 Parallelogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.2 Rechteck und Quadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.3 Rhombus oder Raute . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.4 Trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.5 Allgemeines Viereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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138
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139
XII Inhaltsverzeichnis
3.2
3.3
3.4
3.5
3.1.4.6 Sehnenviereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.7 Tangentenviereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Ebene Vielecke oder Polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5.1 Allgemeines Vieleck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5.2 Regelmäßige konvexe Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5.3 Einige regelmäßige konvexe Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Ebene Kreisfiguren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6.1 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6.2 Kreisabschnitt (Kreissegment) und Kreisausschnitt (Kreissektor)
3.1.6.3 Kreisring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ebene Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Dreiecksberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1.1 Berechnungen in rechtwinkligen ebenen Dreiecken . . . . . . . .
3.2.1.2 Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken . . . . . . . .
3.2.2 Geodätische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.1 Geodätische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.2 Winkel in der Geodäsie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.3 Vermessungstechnische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . .
Stereometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Geraden und Ebenen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Kanten, Ecken, Raumwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Polyeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Körper, die durch gekrümmte Flächen begrenzt sind . . . . . . . . . . . .
Sphärische Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Grundbegriffe der Geometrie auf der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.1 Kurven, Bogen und Winkel auf der Kugel . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.2 Spezielle Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.3 Sphärisches Zweieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.4 Sphärisches Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.5 Polardreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.6 Eulersche und Nicht–Eulersche Dreiecke . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.7 Dreikant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Haupteigenschaften sphärischer Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.1 Allgemeine Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.2 Grundformeln und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.3 Weitere Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Berechnung sphärischer Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3.1 Grundaufgaben, Genauigkeitsbetrachtungen . . . . . . . . . . .
3.4.3.2 Rechtwinklig sphärisches Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3.3 Schiefwinklig sphärisches Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3.4 Sphärische Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektoralgebra und analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.1 Definition des Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.3 Skalarprodukt und Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.4 Mehrfache multiplikative Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.5 Vektorielle Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.6 Kovariante und kontravariante Koordinaten eines Vektors . . . .
3.5.1.7 Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra . . . . . . . . . .
3.5.2 Analytische Geometrie der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.1 Ebene Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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192
193
194
195
195
Inhaltsverzeichnis
3.6
3.5.2.2 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.3 Spezielle Punkte in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.4 Flächeninhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.5 Gleichung einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.6 Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.7 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.8 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.9 Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.10 Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.11 Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Analytische Geometrie des Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.1 Grundlagen, räumliche Koordinatensysteme . . . . . . . .
3.5.3.2 Transformation rechtwinkliger Koordinaten . . . . . . . . .
3.5.3.3 Teilung einer Strecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.4 System aus vier Punkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.5 Gleichung einer Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.6 Ebenen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.7 Geraden im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.8 Schnittpunkte und Winkel von Ebenen und Geraden . . . .
3.5.3.9 Flächen 2. Ordnung, Gleichungen in Normalform . . . . . .
3.5.3.10 Flächen 2. Ordnung, allgemeine Theorie . . . . . . . . . . .
Differentialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Ebene Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.1 Definitionen ebener Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.2 Lokale Elemente einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.3 Ausgezeichnete Kurvenpunkte und Asymptoten . . . . . .
3.6.1.4 Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung
3.6.1.5 Evoluten und Evolventen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.6 Einhüllende von Kurvenscharen . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Raumkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2.1 Definitionen für Raumkurven . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2.2 Begleitendes Dreibein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2.3 Krümmung und Windung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3.1 Definitionen für Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3.2 Tangentialebene und Flächennormale . . . . . . . . . . . .
3.6.3.3 Linienelement auf einer Fläche . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3.4 Krümmung einer Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3.5 Regelflächen und abwickelbare Flächen . . . . . . . . . . .
3.6.3.6 Geodätische Linien auf einer Fläche . . . . . . . . . . . . .
4 Lineare Algebra
4.1
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Begriff der Matrix . . . . . . . .
4.1.2 Quadratische Matrizen . . . . .
4.1.3 Vektoren . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Rechenoperationen mit Matrizen
4.1.5 Rechenregeln für Matrizen . . .
4.1.6 Vektor- und Matrizennorm . . .
4.1.6.1 Vektornormen . . . . .
4.1.6.2 Matrizennormen . . .
4.2
Determinanten . . . . . . . . . . . . . .
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267
XIV Inhaltsverzeichnis
4.3
4.4
4.5
4.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Rechenregeln für Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Berechnung von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Transformation des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Tensoren in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Tensoren mit speziellen Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3.1 Tensoren 2. Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3.2 Invariante Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Tensoren in krummlinigen Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4.1 Kovariante und kontravariante Basisvektoren . . . . . . . . . . . .
4.3.4.2 Kovariante und kontravariante Koordinaten von Tensoren 1. Stufe
4.3.4.3 Kovariante, kontravariante und gemischte Koordinaten von Tensoren
2. Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4.4 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5 Pseudotensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5.1 Punktspiegelung am Koordinatenursprung . . . . . . . . . . . . .
4.3.5.2 Einführung des Begriffs Pseudotensor . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Lineare Systeme, Austauschverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1.1 Lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1.2 Austauschverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1.3 Lineare Abhängigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1.4 Invertierung einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Lösung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.1 Definition und Lösbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.2 Anwendung des Austauschverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.3 Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.4 Gaußscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3.1 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme und lineare
Quadratmittelprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3.2 Hinweise zur numerischen Lösung linearer Quadratmittelprobleme
Eigenwertaufgaben bei Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Allgemeines Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Spezielles Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2.1 Charakteristisches Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2.2 Reelle symmetrische Matrizen, Ähnlichkeitstransformationen . . .
4.5.2.3 Hauptachsentransformation quadratischer Formen . . . . . . . . .
4.5.2.4 Hinweise zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten . . . . . .
4.5.3 Singulärwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Algebra und Diskrete Mathematik
5.1
Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Ausdrücke der Prädikatenlogik . . . .
5.2
Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Mengenbegriff, spezielle Mengen . . .
5.2.2 Operationen mit Mengen . . . . . . .
5.2.3 Relationen und Abbildungen . . . . .
5.2.4 Äquivalenz- und Ordnungsrelationen .
5.2.5 Mächtigkeit von Mengen . . . . . . .
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301
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307
5.3
5.4
5.5
Inhaltsverzeichnis
XV
Klassische algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3.1 Definition und grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . .
5.3.3.2 Untergruppen und direkte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3.3 Abbildungen zwischen Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Darstellung von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.2 Spezielle Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.3 Direkte Summe von Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.4 Direktes Produkt von Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.5 Reduzible und irreduzible Darstellungen . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.6 Erstes Schursches Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.7 Clebsch–Gordan–Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.8 Irreduzible Darstellung der symmetrischen Gruppe SM . . . . . .
5.3.5 Anwendungen von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5.1 Symmetrieoperationen, Symmetrieelemente . . . . . . . . . . . . .
5.3.5.2 Symmetriegruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5.3 Symmetrieoperationen bei Molekülen . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5.4 Symmetriegruppen in der Kristallographie . . . . . . . . . . . . .
5.3.5.5 Symmetriegruppen in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . .
5.3.5.6 Weitere Anwendungsbeispiele aus der Physik . . . . . . . . . . . .
5.3.6 Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6.2 Unterringe, Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6.3 Homomorphismen, Isomorphismen, Homomorphiesatz . . . . . . .
5.3.6.4 Endliche Körper und Schieberegister . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7.2 Lineare Abhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7.3 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7.4 Unterräume, Dimensionsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7.5 Euklidische Vektorräume, Euklidische Norm . . . . . . . . . . . .
5.3.7.6 Lineare Operatoren in Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . .
Elementare Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1.1 Teilbarkeit und elementare Teilbarkeitsregeln . . . . . . . . . . . .
5.4.1.2 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1.3 Teilbarkeitskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1.4 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches
5.4.1.5 Fibonacci–Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Lineare Diophantische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Kongruenzen und Restklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Sätze von Fermat, Euler und Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5 Codierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5.1 Prüfzeichenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5.2 Fehlerkorrigierende Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kryptologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Aufgabe der Kryptologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Kryptosysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Mathematische Präzisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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337
341
341
342
343
346
346
346
346
XVI Inhaltsverzeichnis
5.5.4
5.6
5.7
5.8
5.9
Sicherheit von Kryptosystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4.1 Methoden der klassischen Kryptologie . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4.2 Affine Substitutionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4.3 Vigenere–Chiffre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4.4 Matrixsubstitutionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.5 Methoden der klassischen Kryptoanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.5.1 Statistische Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.5.2 Kasiski–Friedman–Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.6 One–Time–Tape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.7 Verfahren mit öffentlichem Schlüssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.7.1 Konzept von Diffie und Hellman . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.7.2 Einwegfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.7.3 RSA–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.8 AES–Algorithmus (Advanced Encryption Standard) . . . . . . . . . . . .
5.5.9 IDEA–Algorithmus (International Data Encryption Algorithm) . . . . . .
Universelle Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Kongruenzrelationen, Faktoralgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.4 Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.5 Varietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.6 Termalgebren, freie Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Boolesche Algebren und Schaltalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 Dualitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.3 Endliche Boolesche Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.4 Boolesche Algebren als Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.5 Boolesche Funktionen, Boolesche Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.6 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.7 Schaltalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algorithmen der Graphentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.1 Grundbegriffe und Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2 Durchlaufungen von ungerichteten Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2.1 Kantenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2.2 Eulersche Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2.3 Hamilton–Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.3 Bäume und Gerüste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.3.1 Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.3.2 Gerüste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.4 Matchings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.5 Planare Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.6 Bahnen in gerichteten Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.7 Transportnetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fuzzy–Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1 Grundlagen der Fuzzy–Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1.1 Interpretation von Fuzzy–Mengen (Unscharfe Mengen) . . . . .
5.9.1.2 Zugehörigkeitsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1.3 Fuzzy–Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.2 Verknüpfungen unscharfer Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.2.1 Konzept für eine Verknüpfung (Aggregation) unscharfer Mengen
5.9.2.2 Praktische Verknüpfungen unscharfer Mengen . . . . . . . . . .
5.9.2.3 Kompensatorische Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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374
374
375
377
378
379
379
382
Inhaltsverzeichnis
5.9.3
5.9.4
5.9.5
5.9.6
5.9.2.4 Erweiterungsprinzip . . . . . . . . . .
5.9.2.5 Unscharfe Komplementfunktion . . . .
Fuzzy–wertige Relationen . . . . . . . . . . . . .
5.9.3.1 Fuzzy–Relationen . . . . . . . . . . . .
5.9.3.2 Fuzzy–Relationenprodukt R ◦ S . . .
Fuzzy–Inferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Defuzzifizierungsmethoden . . . . . . . . . . . .
Wissensbasierte Fuzzy–Systeme . . . . . . . . .
5.9.6.1 Methode Mamdani . . . . . . . . . . .
5.9.6.2 Methode Sugeno . . . . . . . . . . . .
5.9.6.3 Kognitive Systeme . . . . . . . . . . .
5.9.6.4 Wissensbasiertes Interpolationssystem
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XVII
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383
385
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389
389
390
392
6 Differentialrechnung
394
6.1
Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
6.1.1 Differentialquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
6.1.2 Differentiationsregeln für Funktionen einer Veränderlicher . . . . . . . . . . 395
6.1.2.1 Ableitungen elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 395
6.1.2.2 Grundregeln für das Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
6.1.3 Ableitungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
6.1.3.1 Definition der Ableitungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . 401
6.1.3.2 Ableitungen höherer Ordnung der einfachsten Funktionen . . . . . 401
6.1.3.3 Leibnizsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
6.1.3.4 Höhere Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung . . . 402
6.1.3.5 Ableitungen höherer Ordnung der inversen Funktion . . . . . . . . 402
6.1.4 Hauptsätze der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
6.1.4.1 Monotoniebedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
6.1.4.2 Satz von Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
6.1.4.3 Satz von Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
6.1.4.4 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 404
6.1.4.5 Satz von Taylor für Funktionen von einer Veränderlichen . . . . . . 405
6.1.4.6 Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . 405
6.1.5 Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten . . . . . . . . . . . . . 405
6.1.5.1 Maxima und Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
6.1.5.2 Notwendige Bedingung für die Existenz eines relativen Extremwertes 406
6.1.5.3 Relative Extremwerte einer differenzierbaren, explizit gegebenen Funktion y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
6.1.5.4 Bestimmung der globalen Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . 407
6.1.5.5 Bestimmung der Extremwerte einer implizit gegebenen Funktion . 407
6.2
Differentiation von Funktionen von mehreren Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . 408
6.2.1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
6.2.1.1 Partielle Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
6.2.1.2 Geometrische Bedeutung bei zwei Veränderlichen . . . . . . . . . . 408
6.2.1.3 Begriff des Differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
6.2.1.4 Haupteigenschaften des Differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
6.2.1.5 Partielles Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
6.2.2 Vollständiges Differential und Differentiale höherer Ordnung . . . . . . . . . 410
6.2.2.1 Begriff des vollständigen Differentials einer Funktion von mehreren
Veränderlichen (totales Differential) . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
6.2.2.2 Ableitungen und Differentiale höherer Ordnungen . . . . . . . . . 411
6.2.2.3 Satz von Taylor für Funktionen von mehreren Veränderlichen . . . 412
6.2.3 Differentiationsregeln für Funktionen von mehreren Veränderlichen . . . . . 413
XVIII Inhaltsverzeichnis
6.2.4
6.2.5
6.2.3.1 Differentiation von zusammengesetzten Funktionen . . . . . . . .
6.2.3.2 Differentiation impliziter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
Substitution von Variablen in Differentialausdrücken und Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4.1 Funktion von einer Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4.2 Funktion zweier Veränderlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Extremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen . . . . . . . . .
6.2.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5.2 Geometrische Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5.3 Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von zwei
Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5.4 Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von n Veränderlichen
6.2.5.5 Lösung von Approximationsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5.6 Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen
7 Unendliche Reihen
7.1
Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Eigenschaften von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1.1 Definition der Zahlenfolge . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1.2 Monotone Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1.3 Beschränkte Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
Reihen mit konstanten Gliedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Allgemeine Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1.1 Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen . . . .
7.2.1.2 Allgemeine Sätze über die Konvergenz von Reihen . .
7.2.2 Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern . . . . .
7.2.2.1 Vergleichskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2.2 Quotientenkriterium von d’Alembert . . . . . . . . .
7.2.2.3 Wurzelkriterium von Cauchy . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2.4 Integralkriterium von Cauchy . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Absolute und bedingte Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3.2 Eigenschaften absolut konvergenter Reihen . . . . . .
7.2.3.3 Alternierende Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Einige spezielle Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4.1 Summenwerte einiger Reihen mit konstanten Gliedern
7.2.4.2 Bernoullische und Eulersche Zahlen . . . . . . . . . .
7.2.5 Abschätzung des Reihenrestes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.5.1 Abschätzung mittels Majorante . . . . . . . . . . . .
7.2.5.2 Alternierende konvergente Reihen . . . . . . . . . . .
7.2.5.3 Spezielle Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3
Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Gleichmäßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2.1 Definition, Satz von Weierstrass . . . . . . . . . . . .
7.3.2.2 Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Reihen . . . .
7.3.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3.1 Definition, Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3.2 Rechnen mit Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3.3 Entwicklung in Taylor–Reihen, MacLaurinsche Reihe
7.3.4 Näherungsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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435
Inhaltsverzeichnis
7.3.5
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442
8 Integralrechnung
8.1
Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Stammfunktion oder Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1.1 Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1.2 Integrale elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3 Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3.1 Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome) . . . . . . . . . .
8.1.3.2 Integrale gebrochenrationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3.3 Vier Fälle bei der Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4 Integration irrationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4.1 Substitution zur Rückführung auf Integrale rationaler Funktionen .
8.1.4.2 Integration binomischer Integranden . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4.3 Elliptische Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.5 Integration trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.5.1 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.5.2 Vereinfachte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.6 Integration weiterer transzendenter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.6.1 Integrale mit Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.6.2 Integrale mit Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.6.3 Anwendung der partiellen Integration . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.6.4 Integrale transzendenter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2
Bestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Grundbegriffe, Regeln und Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1.1 Definition und Existenz des bestimmten Integrals . . . . . . . . . .
8.2.1.2 Eigenschaften bestimmter Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1.3 Weitere Sätze über Integrationsgrenzen . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1.4 Berechnung bestimmter Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Anwendungen bestimmter Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2.1 Allgemeines Prinzip zur Anwendung des bestimmten Integrals . . .
8.2.2.2 Anwendungen in der Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2.3 Anwendungen in Mechanik und Physik . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3 Uneigentliche Integrale, Stieltjes– und Lebesgue–Integrale . . . . . . . . . .
8.2.3.1 Verallgemeinerungen des Integralbegriffs . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3.2 Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen . . . . . . . . . . .
8.2.3.3 Integrale mit unbeschränktem Integranden . . . . . . . . . . . . .
8.2.4 Parameterintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4.1 Definition des Parameterintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . .
444
444
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470
471
473
476
476
7.4
Asymptotische Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.5.1 Asymptotische Gleichheit . . . . . . . . . . . .
7.3.5.2 Asymptotische Potenzreihen . . . . . . . . . . .
Fourier–Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Trigonometrische Summe und Fourier–Reihe . . . . . . .
7.4.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1.2 Wichtigste Eigenschaften von Fourier–Reihen . .
7.4.2 Koeffizientenbestimmung für symmetrische Funktionen .
7.4.2.1 Symmetrien verschiedener Art . . . . . . . . . .
7.4.2.2 Formen der Entwicklung in eine Fourier–Reihe .
7.4.3 Koeffizientenbestimmung mit Hilfe numerischer Methoden
7.4.4 Fourier–Reihe und Fourier–Integral . . . . . . . . . . . .
7.4.5 Hinweise zur Tabelle einiger Fourier–Entwicklungen . . .
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XIX
XX Inhaltsverzeichnis
8.3
8.4
8.5
8.2.4.2 Differentiation unter dem Integralzeichen . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4.3 Integration unter dem Integralzeichen . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.5 Integration durch Reihenentwicklung, spezielle nichtelementare Funktionen .
Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Kurvenintegrale 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1.2 Existenzsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1.3 Berechnung des Kurvenintegrals 1. Art . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1.4 Anwendungen des Kurvenintegrals 1. Art . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Kurvenintegrale 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2.2 Existenzsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2.3 Berechnung der Kurvenintegrale 2. Art . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3 Kurvenintegrale allgemeiner Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3.2 Eigenschaften des Kurvenintegrals allgemeiner Art . . . . . . . . .
8.3.3.3 Umlaufintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4 Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg . . . . . . . . . .
8.3.4.1 Zweidimensionaler Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4.2 Existenz der Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4.3 Dreidimensionaler Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4.4 Berechnung der Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Doppelintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1.1 Begriff des Doppelintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1.2 Berechnung des Doppelintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1.3 Anwendungen von Doppelintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Dreifachintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2.1 Begriff des Dreifachintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2.2 Berechnung des Dreifachintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2.3 Anwendungen von Dreifachintegralen . . . . . . . . . . . . . . . .
Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Oberflächenintegrale 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1.1 Begriff des Oberflächenintegrals 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1.2 Berechnung des Oberflächenintegrals 1. Art . . . . . . . . . . . . .
8.5.1.3 Anwendungen des Oberflächenintegrals 1. Art . . . . . . . . . . .
8.5.2 Oberflächenintegrale 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.2.1 Begriff des Oberflächenintegrals 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.2.2 Berechnung des Oberflächenintegrals 2. Art . . . . . . . . . . . . .
8.5.3 Oberflächenintegral allgemeiner Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.3.1 Begriff des Oberflächenintegrals allgemeiner Art . . . . . . . . . .
8.5.3.2 Eigenschaften des Oberflächenintegrals . . . . . . . . . . . . . . .
9 Differentialgleichungen
9.1
Gewöhnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1.1 Existenzsatz, Richtungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1.2 Wichtige Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1.3 Implizite Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1.4 Singuläre Integrale und singuläre Punkte . . . . . . . . . . . . .
9.1.1.5 Näherungsmethoden zur Integration von Differentialgleichungen
1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
476
476
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504
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506
509
510
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513
Inhaltsverzeichnis
XXI
9.1.2
9.2
Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von
Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2.1 Grundlegende Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2.2 Erniedrigung der Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2.3 Lineare Differentialgleichungen n–ter Ordnung . . . . . . . . . . .
9.1.2.4 Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
9.1.2.5 Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2.6 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . .
9.1.3 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3.2 Haupteigenschaften der Eigenfunktionen und Eigenwerte . . . . .
9.1.3.3 Entwicklung nach Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3.4 Singuläre Fälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1.1 Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . .
9.2.1.2 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . .
9.2.2 Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . .
9.2.2.1 Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen 2. Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen . . . . . . . . . . . .
9.2.2.2 Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen 2. Ordnung mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen . . . . . . .
9.2.2.3 Integrationsmethoden für lineare partielle Differentialgleichungen
2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3 Partielle Differentialgleichungen aus Naturwissenschaft und Technik . . . .
9.2.3.1 Problemstellungen und Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3.2 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3.3 Wärmeleitungs– und Diffusionsgleichung für ein homogenes Medium
9.2.3.4 Potentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3.5 Schrödinger–Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen: Solitonen, periodische Muster
und Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4.1 Physikalisch–mathematische Problemstellung . . . . . . . . . . . .
9.2.4.2 Korteweg–de–Vries–Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4.3 Nichtlineare Schrödinger–Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4.4 Sinus–Gordon–Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4.5 Weitere nichtlineare Evolutionsgleichungen mit Solitonlösungen . .
10 Variationsrechnung
10.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Historische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Isoperimetrisches Problem . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Brachistochronenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Variationsaufgaben mit Funktionen einer Veränderlichen . . . . .
10.3.1 Einfache Variationsaufgabe und Extremale . . . . . . . .
10.3.2 Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung . .
10.3.3 Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen . . . . . . . .
10.3.4 Variationsaufgaben mit höheren Ableitungen . . . . . . .
10.3.5 Variationsaufgaben mit mehreren gesuchten Funktionen .
10.3.6 Variationsaufgaben in Parameterdarstellung . . . . . . .
10.4 Variationsaufgaben mit Funktionen von mehreren Veränderlichen
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XXII Inhaltsverzeichnis
10.5
10.6
10.4.1 Einfache Variationsaufgabe . . . . .
10.4.2 Allgemeinere Variationsaufgaben . .
Numerische Lösung von Variationsaufgaben
Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6.1 Erste und zweite Variation . . . . .
10.6.2 Anwendungen in der Physik . . . .
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11 Lineare Integralgleichungen
11.1 Einführung und Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2 Methode der sukzessiven Approximation, Neumann–Reihe . . . . . . . . . .
11.2.3 Fredholmsche Lösungsmethode, Fredholmsche Sätze . . . . . . . . . . . . .
11.2.3.1 Fredholmsche Lösungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3.2 Fredholmsche Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.4 Numerische Verfahren für Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art . . . . .
11.2.4.1 Approximation des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.4.2 Kernapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.4.3 Kollokationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Fredholmsche Integralgleichungen 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2 Begriffe, analytische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.3 Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem . . .
11.3.4 Lösung der homogenen Integralgleichung 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.5 Konstruktion zweier spezieller Orthonormalsysteme zu einem gegebenen Kern
11.3.6 Iteratives Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Volterrasche Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.1 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.2 Lösung durch Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.3 Neumannsche Reihe zur Lösung der Volterraschen Integralgleichungen 2. Art
11.4.4 Volterrasche Integralgleichungen vom Faltungstyp . . . . . . . . . . . . . .
11.4.5 Numerische Behandlung Volterrascher Integralgleichungen 2. Art . . . . . .
11.5 Singuläre Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.1 Abelsche Integralgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2 Singuläre Integralgleichungen mit Cauchy–Kernen . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2.1 Formulierung der Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2.2 Existenz einer Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2.3 Eigenschaften des Cauchy–Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2.4 Hilbertsches Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2.5 Lösung des Hilbertschen Randwertproblems . . . . . . . . . . . .
11.5.2.6 Lösung der charakteristischen Integralgleichung . . . . . . . . . .
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12 Funktionalanalysis
12.1 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Begriff des Vektorraumes . . . . . . . .
12.1.2 Lineare und affin–lineare Teilmengen . .
12.1.3 Linear unabhängige Elemente . . . . .
12.1.4 Konvexe Teilmengen und konvexe Hülle
12.1.4.1 Konvexe Mengen . . . . . . .
12.1.4.2 Kegel . . . . . . . . . . . . .
12.1.5 Lineare Operatoren und Funktionale . .
12.1.5.1 Abbildungen . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
12.2
12.3
12.4
12.5
12.1.5.2 Homomorphismus und Endomorphismus . . . . . . . . . . . .
12.1.5.3 Isomorphe Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.6 Komplexifikation reeller Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.7 Geordnete Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.7.1 Kegel und Halbordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.7.2 Ordnungsbeschränkte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.7.3 Positive Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.7.4 Vektorverbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Begriff des metrischen Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1.1 Kugeln, Umgebungen und offene Mengen . . . . . . . . . . . .
12.2.1.2 Konvergenz von Folgen im metrischen Raum . . . . . . . . . .
12.2.1.3 Abgeschlossene Mengen und Abschließung . . . . . . . . . . .
12.2.1.4 Dichte Teilmengen und separable metrische Räume . . . . . . .
12.2.2 Vollständige metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2.1 Cauchy–Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2.2 Vollständiger metrischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2.3 Einige fundamentale Sätze in vollständigen metrischen Räumen
12.2.2.4 Einige Anwendungen des Kontraktionsprinzips . . . . . . . . .
12.2.2.5 Vervollständigung eines metrischen Raumes . . . . . . . . . . .
12.2.3 Stetige Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Normierte Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1 Begriff des normierten Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1.1 Axiome des normierten Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1.2 Einige Eigenschaften normierter Räume . . . . . . . . . . . . .
12.3.2 Banach–Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.2.1 Reihen in normierten Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.2.2 Beispiele von Banach–Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.2.3 Sobolew–Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.3 Geordnete normierte Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.4 Normierte Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hilbert–Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1 Begriff des Hilbert–Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1.1 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1.2 Unitäre Räume und einige ihrer Eigenschaften . . . . . . . . .
12.4.1.3 Hilbert–Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.2 Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.2.1 Eigenschaften der Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.2.2 Orthogonale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.3 Fourier–Reihen im Hilbert–Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.3.1 Bestapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.3.2 Parsevalsche Gleichung, Satz von Riesz–Fischer . . . . . . . . .
12.4.4 Existenz einer Basis. Isomorphe Hilbert–Räume . . . . . . . . . . . . . .
Stetige lineare Operatoren und Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.1 Beschränktheit, Norm und Stetigkeit linearer Operatoren . . . . . . . .
12.5.1.1 Beschränktheit und Norm linearer Operatoren . . . . . . . . .
12.5.1.2 Raum linearer stetiger Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.1.3 Konvergenz von Operatorenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.2 Lineare stetige Operatoren in Banach–Räumen . . . . . . . . . . . . . .
12.5.3 Elemente der Spektraltheorie linearer Operatoren . . . . . . . . . . . . .
12.5.3.1 Resolventenmenge und Resolvente eines Operators . . . . . . .
12.5.3.2 Spektrum eines Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XXIII
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642
643
XXIV Inhaltsverzeichnis
12.6
12.7
12.8
12.9
12.5.4 Stetige lineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.4.2 Stetige lineare Funktionale im Hilbert–Raum, Satz von Riesz
12.5.4.3 Stetige lineare Funktionale in Lp . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.5 Fortsetzung von linearen Funktionalen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.6 Trennung konvexer Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.7 Bidualer Raum und reflexive Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Adjungierte Operatoren in normierten Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.1 Adjungierter Operator zu einem beschränkten Operator . . . . . . . .
12.6.2 Adjungierter Operator zu einem unbeschränkten Operator . . . . . . .
12.6.3 Selbstadjungierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.3.1 Positiv definite Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.3.2 Projektoren im Hilbert–Raum . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kompakte Mengen und kompakte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.1 Kompakte Teilmengen in normierten Räumen . . . . . . . . . . . . . .
12.7.2 Kompakte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.2.1 Begriff des kompakten Operators . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.2.2 Eigenschaften linearer kompakter Operatoren . . . . . . . . .
12.7.2.3 Schwache Konvergenz von Elementen . . . . . . . . . . . . .
12.7.3 Fredholmsche Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.4 Kompakte Operatoren im Hilbert–Raum . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.5 Kompakte selbstadjungierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nichtlineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.1 Beispiele nichtlinearer Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.2 Differenzierbarkeit nichtlinearer Operatoren . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.3 Newton–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.4 Schaudersches Fixpunktprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.5 Leray–Schauder–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.6 Positive nichtlineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.7 Monotone Operatoren in Banach–Räumen . . . . . . . . . . . . . . .
Maß und Lebesgue–Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.1 Sigma–Algebren und Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.2 Meßbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.2.1 Meßbare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.2.2 Eigenschaften der Klasse der meßbaren Funktionen . . . . . .
12.9.3 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.3.1 Definition des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.3.2 Einige Eigenschaften des Integrals . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.3.3 Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.4 Lp –Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.5 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.5.1 Formel der partiellen Integration . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.5.2 Verallgemeinerte Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.5.3 Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.5.4 Ableitung einer Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 Vektoranalysis und Feldtheorie
13.1 Grundbegriffe der Feldtheorie . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Vektorfunktion einer skalaren Variablen . . .
13.1.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . .
13.1.1.2 Ableitung einer Vektorfunktion . .
13.1.1.3 Differentiationsregeln für Vektoren
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13.2
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XXV
13.1.1.4 Taylor–Entwicklung für Vektorfunktionen . . . . . . . . . . . . . .
13.1.2 Skalarfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.2.1 Skalares Feld oder skalare Punktfunktion . . . . . . . . . . . . . .
13.1.2.2 Wichtige Fälle skalarer Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.2.3 Koordinatendarstellung von Skalarfeldern . . . . . . . . . . . . . .
13.1.2.4 Niveauflächen und Niveaulinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.3 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.3.1 Vektorielles Feld oder vektorielle Punktfunktion . . . . . . . . . .
13.1.3.2 Wichtige Fälle vektorieller Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.3.3 Koordinatendarstellung von Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . .
13.1.3.4 Übergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen . . . .
13.1.3.5 Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Räumliche Differentialoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1 Richtungs– und Volumenableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1.1 Richtungsableitung eines skalaren Feldes . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1.2 Richtungsableitung eines vektoriellen Feldes . . . . . . . . . . . .
13.2.1.3 Volumenableitung oder räumliche Ableitung . . . . . . . . . . . .
13.2.2 Gradient eines Skalarfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2.1 Definition des Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2.2 Gradient und Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2.3 Gradient und Volumenableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2.4 Weitere Eigenschaften des Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2.5 Gradient des Skalarfeldes in verschiedenen Koordinaten . . . . . .
13.2.2.6 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.3 Vektorgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.4 Divergenz des Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.4.1 Definition der Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.4.2 Divergenz in verschiedenen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . .
13.2.4.3 Regeln zur Berechnung der Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.4.4 Divergenz eines Zentralfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.5 Rotation des Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.5.1 Definitionen der Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.5.2 Rotation in verschiedenen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.5.3 Regeln zur Berechnung der Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.5.4 Rotation des Potentialfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.6 Nablaoperator, Laplace–Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.6.1 Nablaoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.6.2 Rechenregeln für den Nablaoperator . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.6.3 Vektorgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.6.4 Zweifache Anwendung des Nablaoperators . . . . . . . . . . . . .
13.2.6.5 Laplace–Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.7 Übersicht zu den räumlichen Differentialoperationen . . . . . . . . . . . . .
13.2.7.1 Prinzipielle Verknüpfungen und Ergebnisse für Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.7.2 Rechenregeln für Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.7.3 Vektoranalytische Ausdrücke in kartesischen, Zylinder– und Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integration in Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1 Kurvenintegral und Potential im Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1.1 Kurvenintegral im Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1.2 Bedeutung des Kurvenintegrals in der Mechanik . . . . . . . . . .
13.3.1.3 Eigenschaften des Kurvenintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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14 Funktionentheorie
14.1 Funktionen einer komplexen Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.1.1 Definition der komplexen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.1.2 Grenzwert der komplexen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.1.3 Stetigkeit der komplexen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.1.4 Differenzierbarkeit der komplexen Funktion . . . . . . . . . . . .
14.1.2 Analytische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.2.1 Definition der analytischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.2.2 Beispiele analytischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.2.3 Eigenschaften analytischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
14.1.2.4 Singuläre Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.3 Konforme Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.3.1 Begriff und Eigenschaften der konformen Abbildung . . . . . . .
14.1.3.2 Einfachste konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.3.3 Schwarzsches Spiegelungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.3.4 Komplexe Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.3.5 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.3.6 Beliebige Abbildung der komplexen Zahlenebene . . . . . . . . .
14.2 Integration im Komplexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.1 Bestimmtes und unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.1.1 Definition des Integrals im Komplexen . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.1.2 Eigenschaften und Berechnung komplexer Integrale . . . . . . .
14.2.2 Integralsatz von Cauchy, Hauptsatz der Funktionentheorie . . . . . . . . .
14.2.2.1 Integralsatz von Cauchy für einfach zusammenhängende Gebiete
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13.4
13.5
13.3.1.4 Kurvenintegral in kartesischen Koordinaten . . . . .
13.3.1.5 Umlauf integral eines Vektorfeldes . . . . . . . . . .
13.3.1.6 Konservatives oder Potentialfeld . . . . . . . . . . .
13.3.2 Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.2.1 Vektor eines ebenen Flächenstückes . . . . . . . . .
13.3.2.2 Berechnung von Oberflächenintegralen . . . . . . .
13.3.2.3 Oberflächenintegrale und Fluß von Feldern . . . . .
13.3.2.4 Oberflächenintegrale in kartesischen Koordinaten als
Oberflächenintegrale 2. Art . . . . . . . . . . . . . .
13.3.3 Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.3.1 Integralsatz und Integralformel von Gauß . . . . . .
13.3.3.2 Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.3.3 Integralsätze von Green . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung von Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.1 Reines Quellenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.2 Reines Wirbelfeld oder quellenfreies Wirbelfeld . . . . . . . .
13.4.3 Vektorfelder mit punktförmigen Quellen . . . . . . . . . . . .
13.4.3.1 Coulomb–Feld der Punktladung . . . . . . . . . . .
13.4.3.2 Gravitationsfeld der Punktmasse . . . . . . . . . .
13.4.4 Superposition von Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.4.1 Diskrete Quellenverteilung . . . . . . . . . . . . . .
13.4.4.2 Kontinuierliche Quellenverteilung . . . . . . . . . .
13.4.4.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differentialgleichungen der Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5.1 Laplacesche Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5.2 Poissonsche Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . .
Inhaltsverzeichnis
14.3
14.4
14.5
14.6
XXVII
14.2.2.2 Integralsatz von Cauchy für mehrfach zusammenhängende Gebiete
14.2.3 Integralformeln von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.3.1 Analytische Funktion innerhalb eines Gebietes . . . . . . . . . . .
14.2.3.2 Analytische Funktion außerhalb eines Gebietes . . . . . . . . . . .
Potenzreihenentwicklung analytischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.1 Konvergenz von Reihen mit komplexen Gliedern . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.1.1 Konvergenz einer Zahlenfolge mit komplexen Gliedern . . . . . . .
14.3.1.2 Konvergenz einer unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern . . .
14.3.1.3 Potenzreihen im Komplexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.2 Taylor–Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.3 Prinzip der analytischen Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.4 Laurent–Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.5 Isolierte singuläre Stellen und der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.5.1 Isolierte singuläre Stellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.5.2 Meromorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.5.3 Elliptische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.5.4 Residuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.5.5 Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung reeller Integrale durch Integration im Komplexen . . . . . . . . . . . .
14.4.1 Anwendung der Cauchyschen Integralformeln . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.2 Anwendung des Residuensatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.3 Anwendungen des Lemmas von Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.3.1 Lemma von Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.3.2 Beispiele zum Lemma von Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algebraische und elementare transzendente Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
14.5.1 Algebraische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5.2 Elementare transzendente Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5.3 Beschreibung von Kurven in komplexer Form . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elliptische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.1 Zusammenhang mit elliptischen Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.2 Jacobische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.3 Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.4 Weierstrasssche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 Integraltransformationen
15.1 Begriff der Integraltransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.1 Allgemeine Definition der Integraltransformationen . . . . . . . . . . .
15.1.2 Spezielle Integraltransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.3 Umkehrtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.4 Linearität der Integraltransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.5 Integraltransformationen für Funktionen von mehreren Veränderlichen
15.1.6 Anwendungen der Integraltransformationen . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Laplace–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.1 Eigenschaften der Laplace–Transformation . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.1.1 Laplace–Transformierte, Original- und Bildbereich . . . . . .
15.2.1.2 Rechenregeln zur Laplace–Transformation . . . . . . . . . .
15.2.1.3 Bildfunktionen spezieller Funktionen . . . . . . . . . . . . .
15.2.1.4 Diracsche Delta–Funktion und Distributionen . . . . . . . .
15.2.2 Rücktransformation in den Originalbereich . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.2.1 Rücktransformation mit Hilfe von Tabellen . . . . . . . . . .
15.2.2.2 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.2.3 Reihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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XXVIII Inhaltsverzeichnis
15.3
15.4
15.5
15.6
15.2.2.4 Umkehrintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.3 Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Laplace–Transformation . .
15.2.3.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
15.2.3.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.3.3 Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fourier–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3.1 Eigenschaften der Fourier–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3.1.1 Fourier–Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3.1.2 Fourier–Transformation und Umkehrtransformation . . . . . . . .
15.3.1.3 Rechenregeln zur Fourier–Transformation . . . . . . . . . . . . . .
15.3.1.4 Bildfunktionen spezieller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3.2 Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Fourier–Transformation . .
15.3.2.1 Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . .
15.3.2.2 Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.1 Eigenschaften der Z–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.1.1 Diskrete Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.1.2 Definition der Z–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.1.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.1.4 Zusammenhang mit der Laplace–Transformation . . . . . . . . . .
15.4.1.5 Umkehrung der Z–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.2 Anwendungen der Z–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.2.1 Allgemeine Lösung linearer Differenzengleichungen . . . . . . . . .
15.4.2.2 Differenzengleichung 2. Ordnung (Anfangswertaufgabe) . . . . . .
15.4.2.3 Differenzengleichung 2. Ordnung (Randwertaufgabe) . . . . . . . .
Wavelet–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.1 Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.2 Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.3 Wavelet–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.4 Diskrete Wavelet–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.4.1 Schnelle Wavelet–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.4.2 Diskrete Haar–Wavelet–Transformation . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.5 Gabor–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Walsh–Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6.1 Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6.2 Walsh–Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
16.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.1 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.2 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.3 Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.4 Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik . . .
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.1 Ereignisse, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten . . .
16.2.1.1 Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.1.2 Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten . . . .
16.2.1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von Bayes
16.2.2 Zufallsgrößen, Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . .
16.2.2.1 Zufallsveränderliche . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.2.2 Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
16.3
16.4
16.2.2.3 Erwartungswert und Streuung, Tschebyscheffsche Ungleichung
16.2.2.4 Mehrdimensionale Zufallsveränderliche . . . . . . . . . . . . .
16.2.3 Diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.3.1 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.3.2 Hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.3.3 Poisson–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.4 Stetige Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.4.1 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.4.2 Normierte Normalverteilung, Gaußsches Fehlerintegral . . . . .
16.2.4.3 Logarithmische Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.4.4 Exponentialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.4.5 Weibull–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.4.6 χ2 –Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.4.7 Fisher–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.4.8 Student–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.5 Gesetze der großen Zahlen, Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.5.1 Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli . . . . . . . . . . . . .
16.2.5.2 Grenzwertsatz von Lindeberg–Levy . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.6 Stochastische Prozesse und stochastische Ketten . . . . . . . . . . . . .
16.2.6.1 Grundbegriffe, Markoffsche Ketten . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.6.2 Poisson–Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mathematische Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.1 Stichprobenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.1.1 Grundgesamtheit, Stichproben, Zufallsvektor . . . . . . . . . .
16.3.1.2 Stichprobenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.2 Beschreibende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.2.1 Statistische Erfassung gegebener Meßwerte . . . . . . . . . . .
16.3.2.2 Statistische Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.3 Wichtige Prüfverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.3.1 Prüfen auf Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.3.2 Verteilung der Stichprobenmittelwerte . . . . . . . . . . . . .
16.3.3.3 Vertrauensgrenzen für den Mittelwert . . . . . . . . . . . . . .
16.3.3.4 Vertrauensgrenzen für die Streuung . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.3.5 Prinzip der Prüfverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.4 Korrelation und Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.4.1 Lineare Korrelation bei zwei meßbaren Merkmalen . . . . . . .
16.3.4.2 Lineare Regression bei zwei meßbaren Merkmalen . . . . . . .
16.3.4.3 Mehrdimensionale Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.5 Monte–Carlo–Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.5.1 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.5.2 Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.5.3 Beispiel für eine Monte–Carlo–Simulation . . . . . . . . . . . .
16.3.5.4 Anwendungen der Monte–Carlo–Methode in der numerischen
Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.5.5 Weitere Anwendungen der Monte–Carlo–Methode . . . . . . .
Theorie der Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.1 Meßfehler und ihre Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.1.1 Meßfehlereinteilung nach qualitativen Merkmalen . . . . . . .
16.4.1.2 Meßfehlerverteilungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.1.3 Meßfehlereinteilung nach quantitativen Merkmalen . . . . . . .
16.4.1.4 Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen . . . . . . . . .
16.4.1.5 Fehlerrechnung für direkte Messungen gleicher Genauigkeit . .
XXIX
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XXX Inhaltsverzeichnis
16.4.1.6 Fehlerrechnung für direkte Messungen ungleicher Genauigkeit
16.4.2 Fehlerfortpflanzung und Fehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.2.1 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz . . . . . . . . . . . . .
16.4.2.2 Fehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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17 Dynamische Systeme und Chaos
17.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . .
17.1.1 Dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.1.2 Invariante Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.2 Qualitative Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen . . . . . . . .
17.1.2.1 Existenz des Flusses und Phasenraumstruktur . . . . . . . .
17.1.2.2 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.2.3 Stabilitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.2.4 Invariante Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.2.5 Poincaré–Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.2.6 Topologische Äquivalenz von Differentialgleichungen . . . . .
17.1.3 Zeitdiskrete dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.3.1 Ruhelagen, periodische Orbits und Grenzmengen . . . . . . .
17.1.3.2 Invariante Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.3.3 Topologische Konjugiertheit von zeitdiskreten Systemen . . .
17.1.4 Strukturelle Stabilität (Robustheit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.4.1 Strukturstabile Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . .
17.1.4.2 Strukturstabile zeitdiskrete Systeme . . . . . . . . . . . . . .
17.1.4.3 Generische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Quantitative Beschreibung von Attraktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.1 Wahrscheinlichkeitsmaße auf Attraktoren . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.1.1 Invariantes Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.1.2 Elemente der Ergodentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.2 Entropien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.2.1 Topologische Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.2.2 Metrische Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.3 Lyapunov–Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.4 Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.4.1 Metrische Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.4.2 Auf invariante Maße zurückgehende Dimensionen . . . . . .
17.2.4.3 Lokale Hausdorff–Dimension nach Douady–Oesterlé . . . . .
17.2.4.4 Beispiele von Attraktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.5 Seltsame Attraktoren und Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.6 Chaos in eindimensionalen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.7 Rekonstruktion der Dynamik aus Zeitreihen . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.7.1 Grundlagen, Rekonstruktionen mit generischen Eigenschaften
17.2.7.2 Rekonstruktionen mit prävalenten Eigenschaften . . . . . . .
17.3 Bifurkationstheorie und Wege zum Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.1 Bifurkationen in Morse–Smale–Systemen . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.1.1 Lokale Bifurkationen nahe Ruhelagen . . . . . . . . . . . . .
17.3.1.2 Lokale Bifurkationen nahe einem periodischen Orbit . . . . .
17.3.1.3 Globale Bifurkationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.2 Übergänge zum Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.2.1 Kaskade von Periodenverdopplungen . . . . . . . . . . . . .
17.3.2.2 Intermittenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.2.3 Globale homokline Bifurkationen . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
17.3.2.4 Auflösung eines Torus
XXXI
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 Optimierung
18.1 Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.1 Problemstellung und geometrische Darstellung . . . . . . . . . . . . .
18.1.1.1 Formen der linearen Optimierung . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.1.2 Beispiele und graphische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.2 Grundbegriffe der linearen Optimierung, Normalform . . . . . . . . .
18.1.2.1 Ecke und Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.2.2 Normalform der linearen Optimierungsaufgabe . . . . . . . .
18.1.3 Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.3.1 Simplextableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.3.2 Übergang zum neuen Simplextableau . . . . . . . . . . . . .
18.1.3.3 Bestimmung eines ersten Simplextableaus . . . . . . . . . . .
18.1.3.4 Revidiertes Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.3.5 Dualität in der linearen Optimierung . . . . . . . . . . . . .
18.1.4 Spezielle lineare Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.4.1 Transportproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.4.2 Zuordnungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.4.3 Verteilungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.4.4 Rundreiseproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.4.5 Reihenfolgeproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Nichtlineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.1 Problemstellung und theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . .
18.2.1.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.1.2 Optimalitätsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.1.3 Dualität in der Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.2 Spezielle nichtlineare Optimierungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . .
18.2.2.1 Konvexe Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.2.2 Quadratische Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.3 Lösungsverfahren für quadratische Optimierungsaufgaben . . . . . . .
18.2.3.1 Verfahren von Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.3.2 Verfahren von Hildreth–d’Esopo . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.4 Numerische Suchverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.4.1 Eindimensionale Suche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.4.2 Minimumsuche im n–dimensionalen euklidischen Vektorraum
18.2.5 Verfahren für unrestringierte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.5.1 Verfahren des steilsten Abstieges (Gradientenverfahren) . . .
18.2.5.2 Anwendung des Newton–Verfahrens . . . . . . . . . . . . . .
18.2.5.3 Verfahren der konjugierten Gradienten . . . . . . . . . . . .
18.2.5.4 Verfahren von Davidon, Fletcher und Powell (DFP) . . . . .
18.2.6 Evolutionsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.6.1 Mutations–Selektions–Strategie . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.6.2 Strategien mit Rekombination . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.7 Gradientenverfahren für Probleme mit Ungleichungsrestriktionen . . .
18.2.7.1 Verfahren der zulässigen Richtungen . . . . . . . . . . . . . .
18.2.7.2 Verfahren der projizierten Gradienten . . . . . . . . . . . . .
18.2.8 Straf– und Barriereverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.8.1 Strafverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.8.2 Barriereverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.9 Schnittebenenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3 Diskrete dynamische Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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905
XXXII Inhaltsverzeichnis
18.3.1 Diskrete dynamische Entscheidungsmodelle . . . . . . . . .
18.3.1.1 n–stufige Entscheidungsprozesse . . . . . . . . . .
18.3.1.2 Dynamische Optimierungsprobleme . . . . . . . .
18.3.2 Beispiele diskreter Entscheidungsmodelle . . . . . . . . . .
18.3.2.1 Einkaufsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.2.2 Rucksackproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.3 Bellmansche Funktionalgleichungen . . . . . . . . . . . . .
18.3.3.1 Eigenschaften der Kostenfunktion . . . . . . . . .
18.3.3.2 Formulierung der Funktionalgleichungen . . . . .
18.3.4 Bellmansches Optimalitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . .
18.3.5 Bellmansche Funktionalgleichungsmethode . . . . . . . . .
18.3.5.1 Bestimmung der minimalen Kosten . . . . . . . .
18.3.5.2 Bestimmung der optimalen Politik . . . . . . . . .
18.3.6 Beispiele zur Anwendung der Funktionalgleichungsmethode
18.3.6.1 Optimale Einkaufspolitik . . . . . . . . . . . . . .
18.3.6.2 Rucksackproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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19 Numerische Mathematik
19.1 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen mit einer Unbekannten . . . .
19.1.1 Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.1.1 Gewöhnliches Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . .
19.1.1.2 Newton–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.1.3 Regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.2 Lösung von Polynomgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.2.1 Horner–Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.2.2 Lage der Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.2.3 Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2 Numerische Lösung von Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2.1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2.1.1 Dreieckszerlegung einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2.1.2 Cholesky–Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix
19.2.1.3 Orthogonalisierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2.1.4 Iteration in Gesamt- und Einzelschritten . . . . . . . . . .
19.2.2 Nichtlineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2.2.1 Gewöhnliches Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . .
19.2.2.2 Newton–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2.2.3 Ableitungsfreies Gauß–Newton–Verfahren . . . . . . . . .
19.3 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.1 Allgemeine Quadraturformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.2 Interpolationsquadraturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.2.1 Rechteckformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.2.2 Trapezformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.2.3 Hermitesche Trapezformel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.2.4 Simpson–Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.3 Quadraturformeln vom Gauß–Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.3.1 Gaußsche Quadraturformeln . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.3.2 Lobattosche Quadraturformeln . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.4 Verfahren von Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.4.1 Algorithmus des Romberg–Verfahrens . . . . . . . . . . . .
19.3.4.2 Extrapolationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4 Genäherte Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen . . . . . . .
19.4.1 Anfangswertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
19.5
19.6
19.7
19.8
19.4.1.1 Eulersches Polygonzugverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.1.2 Runge–Kutta–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.1.3 Mehrschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.1.4 Prediktor–Korrektor–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.1.5 Konvergenz, Konsistenz, Stabilität . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.2 Randwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.2.1 Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.2.2 Ansatzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.2.3 Schießverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Genäherte Integration von partiellen Differentialgleichungen . . . . . . . . . . .
19.5.1 Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.5.2 Ansatzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.5.3 Methode der finiten Elemente (FEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische Analyse . . . . . . . . . . .
19.6.1 Polynominterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.1.1 Newtonsche Interpolationsformel . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.1.2 Interpolationsformel nach Lagrange . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.1.3 Interpolation nach Aitken–Neville . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.2 Approximation im Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.2.1 Stetige Aufgabe, Normalgleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.2.2 Diskrete Aufgabe, Normalgleichungen, Householder–Verfahren
19.6.2.3 Mehrdimensionale Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.2.4 Nichtlineare Quadratmittelaufgaben . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.3 Tschebyscheff–Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.3.1 Aufgabenstellung und Alternantensatz . . . . . . . . . . . . .
19.6.3.2 Eigenschaften der Tschebyscheff–Polynome . . . . . . . . . . .
19.6.3.3 Remes–Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.3.4 Diskrete Tschebyscheff–Approximation und Optimierung . . .
19.6.4 Harmonische Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.4.1 Formeln zur trigonometrischen Interpolation . . . . . . . . . .
19.6.4.2 Schnelle Fourier–Transformation (FFT) . . . . . . . . . . . . .
Darstellung von Kurven und Flächen mit Hilfe von Splines . . . . . . . . . . . .
19.7.1 Kubische Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.7.1.1 Interpolationssplines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.7.1.2 Ausgleichssplines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.7.2 Bikubische Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.7.2.1 Anwendung bikubischer Splines . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.7.2.2 Bikubische Interpolationssplines . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.7.2.3 Bikubische Ausgleichssplines . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.7.3 Bernstein–Bézier–Darstellung von Kurven und Flächen . . . . . . . . . .
19.7.3.1 Prinzip der B–B–Kurvendarstellung . . . . . . . . . . . . . . .
19.7.3.2 B–B–Flächendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nutzung von Computern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.8.1 Interne Zeichendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.8.1.1 Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.8.1.2 Interne Zahlendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.8.2 Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern . . . . . . . . . . .
19.8.2.1 Einführung, Fehlerarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.8.2.2 Normalisierte Dezimalzahlen und Rundung . . . . . . . . . . .
19.8.2.3 Genauigkeitsfragen beim numerischen Rechnen . . . . . . . . .
19.8.3 Bibliotheken numerischer Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.8.3.1 NAG–Bibliothek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XXXIII
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XXXIV Inhaltsverzeichnis
19.8.3.2 IMSL–Bibliothek . . . . . . . . .
19.8.3.3 Aachener Bibliothek . . . . . . .
19.8.4 Anwendung von Computeralgebrasystemen
19.8.4.1 Mathematica . . . . . . . . . . .
19.8.4.2 Maple . . . . . . . . . . . . . . .
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20 Computeralgebrasysteme
20.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1.1 Kurzcharakteristik von Computeralgebrasystemen . . .
20.1.2 Einführende Beispiele für die Hauptanwendungsgebiete .
20.1.2.1 Formelmanipulation . . . . . . . . . . . . . .
20.1.2.2 Numerische Berechnungen . . . . . . . . . . .
20.1.2.3 Graphische Darstellungen . . . . . . . . . . .
20.1.2.4 Programmierung in Computeralgebrasystemen
20.1.3 Aufbau von und Umgang mit Computeralgebrasystemen
20.1.3.1 Hauptstrukturelemente . . . . . . . . . . . . .
20.2 Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.1 Haupstrukturelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.2 Zahlenarten in Mathematica . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.2.1 Grundtypen von Zahlen in Mathematica . . .
20.2.2.2 Spezielle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.2.3 Darstellung und Konvertierung von Zahlen . .
20.2.3 Wichtige Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.4 Listen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.4.1 Begriff und Bedeutung . . . . . . . . . . . . .
20.2.4.2 Verschachtelte Listen . . . . . . . . . . . . . .
20.2.4.3 Operationen mit Listen . . . . . . . . . . . . .
20.2.4.4 Spezielle Listen . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.5 Vektoren und Matrizen als Listen . . . . . . . . . . . .
20.2.5.1 Aufstellung geeigneter Listen . . . . . . . . . .
20.2.5.2 Operationen mit Matrizen und Vektoren . . .
20.2.6 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.6.1 Standardfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.6.2 Spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
20.2.6.3 Reine Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.7 Muster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.8 Funktionaloperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.9 Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.10 Ergänzungen zur Syntax, Informationen, Meldungen . .
20.2.10.1 Kontexte, Attribute . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.10.2 Informationen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.10.3 Meldungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3 Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.1 Hauptstrukturelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.1.1 Typen und Objekte . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.1.2 Eingaben und Ausgaben . . . . . . . . . . . .
20.3.2 Zahlenarten in Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.2.1 Grundtypen von Zahlen in Maple . . . . . . .
20.3.2.2 Spezielle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.2.3 Darstellung und Konvertierung von Zahlen . .
20.3.3 Wichtige Operatoren in Maple . . . . . . . . . . . . . .
20.3.4 Algebraische Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1001
Inhaltsverzeichnis
20.4
20.5
20.3.5 Folgen und Listen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.6 Tabellen- und feldartige Strukturen, Vektoren und Matrizen
20.3.6.1 Tabellen- und feldartige Strukturen . . . . . . . .
20.3.6.2 Eindimensionale Arrays . . . . . . . . . . . . . .
20.3.6.3 Zweidimensionale Arrays . . . . . . . . . . . . . .
20.3.6.4 Spezielle Anweisungen zu Vektoren und Matrizen .
20.3.7 Prozeduren, Funktionen und Operatoren . . . . . . . . . .
20.3.7.1 Prozeduren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.7.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.7.3 Funktionaloperatoren . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.7.4 Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.7.5 Der Funktionaloperator map . . . . . . . . . . . .
20.3.8 Programmierung in Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.9 Ergänzungen zur Syntax, Informationen und Hilfe . . . . .
20.3.9.1 Nutzung der Maple–Bibliothek . . . . . . . . . . .
20.3.9.2 Umgebungsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.9.3 Informationen und Hilfe . . . . . . . . . . . . . .
Anwendungen von Computeralgebrasystemen . . . . . . . . . . . .
20.4.1 Manipulation algebraischer Ausdrücke . . . . . . . . . . . .
20.4.1.1 Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.1.2 Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.2 Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen . . . . . .
20.4.2.1 Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.2.2 Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.3 Elemente der linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.3.1 Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.3.2 Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.4 Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . .
20.4.4.1 Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.4.2 Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graphik in Computeralgebrasystemen . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.1 Graphik mit Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.1.1 Grundlagen des Graphikaufbaus . . . . . . . . . .
20.5.1.2 Graphik–Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.1.3 Graphikoptionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.1.4 Syntax der Graphikdarstellung . . . . . . . . . . .
20.5.1.5 Zweidimensionale Kurven . . . . . . . . . . . . .
20.5.1.6 Parameterdarstellung von Kurven . . . . . . . . .
20.5.1.7 Darstellung von Flächen und Raumkurven . . . .
20.5.2 Graphik mit Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.2.1 Zweidimensionale Graphik . . . . . . . . . . . . .
20.5.2.2 Dreidimensionale Graphik . . . . . . . . . . . . .
21 Tabellen
21.1 Häufig gebrauchte Konstanten . . . . .
21.2 Fundamentale physikalische Konstanten
21.3 Dezimalvorsätze . . . . . . . . . . . . .
21.4 Physikalische Einheiten im SI–System .
21.5 Wichtige Reihenentwicklungen . . . . .
21.6 Fourier–Entwicklungen . . . . . . . . .
21.7 Unbestimmte Integrale . . . . . . . . .
21.7.1 Integrale rationaler Funktionen .
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XXXVI Inhaltsverzeichnis
21.8
21.9
21.10
21.11
21.12
21.13
21.14
21.15
21.16
21.17
21.7.1.1 Integrale mit X = ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.1.2 Integrale mit X = ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.1.3 Integrale mit X = a2 ± x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.1.4 Integrale mit X = a3 ± x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.1.5 Integrale mit X = a4 + x4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.1.6 Integrale mit X = a4 − x4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.1.7 Einige Fälle der Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . .
21.7.2 Integrale irrationaler Funktionen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
21.7.2.1 Integrale mit x und √
a2 ± b2 x . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.2.2 Andere Integrale mit x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
21.7.2.3 Integrale mit √ax + b . . . √. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.2.4 Integrale mit ax + b und f x + g . . . . . . . . . . . . . .
√
21.7.2.5 Integrale mit a2 − x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
21.7.2.6 Integrale mit x2 + a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
21.7.2.7 Integrale mit x2 − a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
21.7.2.8 Integrale mit ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.2.9 Integrale mit anderen irrationalen Ausdrücken . . . . . . . .
21.7.2.10 Rekursionsformeln für Integral mit binomischem Differential
21.7.3 Integrale trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.3.1 Integrale mit Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.3.2 Integrale mit Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.3.3 Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion . . . . . . . . . . .
21.7.3.4 Integrale mit Tangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.3.5 Integrale mit Kotangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.4 Integrale anderer transzendenter Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
21.7.4.1 Integrale mit Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.4.2 Integrale mit Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . .
21.7.4.3 Integrale mit logarithmischen Funktionen . . . . . . . . . . .
21.7.4.4 Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen . . . . .
21.7.4.5 Integrale mit inversen Hyperbelfunktion . . . . . . . . . . . .
Bestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.8.1 Bestimmte Integrale trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . . .
21.8.2 Bestimmte Integrale von Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . .
21.8.3 Bestimmte Integrale logarithmischer Funktionen . . . . . . . . . . . .
21.8.4 Bestimmte Integrale algebraischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
Elliptische Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.9.0.1 Elliptische Integrale 1. Gattung . . . . . . . . . . . . . . . .
21.9.0.2 Elliptische Integrale 2. Gattung . . . . . . . . . . . . . . . .
21.9.0.3 Vollständige elliptische Integrale K und E . . . . . . . . . . .
Gammafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bessel–Funktionen (Zylinderfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Legendresche Polynome 1. Art (Kugelfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . .
Laplace–Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fourier–Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.14.1 Fourier–Kosinus–Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.14.2 Fourier–Sinus–Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.14.3 Fourier–Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.14.4 Exponentielle Fourier–Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . .
Z–Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poisson–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Normierte Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
21.18
21.19
21.20
21.21
21.17.1 Normierte Normalverteilung für 0.00 ≤ x ≤ 1.99
χ2 –Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fishersche F –Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Studentsche t–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Stichwortverzeichnis
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Mathematische Zeichen
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