// fp q m η1p q // fp q m // fp q m
Werbung
Universität Augsburg 11. April 2013 Tim Baumann Pizzaseminar zur Kategorientheorie Lösung zum 4. Übungsblatt Aufgabe 1: a) Sei M eine Menge, m P M beliebig und η : IdSet ñ IdSet eine natürliche Transformation. Wir wollen beweisen, dass ηM pmq m ist. Wir definieren dazu 1 : t♥u und f : 1 Ñ M, ♥ ÞÑ m. Die Aussage folgt nun durch eine Diagrammjagd im Natürlichkeitsdiagramm von η: ♥ _ p q_ m /f ♥ f 1 /M η1 ηM f η1 p♥q ♥ /M 1 ηM pmq p qm /f ♥ b) Sei M eine Menge, m P M beliebig und ω : IdSet ñ K eine natürliche Transformation. Wir wollen wieder den gleichen Trick wie in Teilaufgabe a) anwenden. Dazu definieren wir wie oben f : 1 Ñ M, ♥ ÞÑ m und führen dann eine Diagrammjagd durch: ♥ _ p q_ m /f ♥ f 1 /M ωM ω1 11 f f ω1 p♥q p♥, ♥q /M p M ωM pmq q / m, m c) Angenommen, es gäbe eine natürliche Transformation : P ñ IdSet . Dann würde die Komponente H von P pHq tHu nach H verlaufen, also hätte die leere Menge ein Element f pHq. Widerspruch. 1 In die andere Richtung gibt es eine natürliche Transformation η : IdSet ηX : X ñP mit Ñ P p X q, x Ñ Þ txu. Wir müssen noch die Natürlichkeit überprüfen. Seien dazu X, Y Mengen und f : X Ñ Y eine Abbildung. Wir machen eine Diagrammjagd, dieses Mal aber um die Kommutativität des Diagramms zu beweisen: pq x _ /f x _ f X /Y ηX ηY P pX q f rs tx u /P Y p q tf pxqu rt us /f x Bemerkung: Es gibt noch andere natürliche Transformationen IdSet ñ P , etwa die, jedes Element einer jeder Menge auf die leere Teilmenge schickt. In klassischer Logik gibt es dann keine weiteren natürlichen Transformationen. d) Betrachte die Menge M : t1, 2u. Sei f : 1 Ñ M die Funktion, die ♥ auf das Element aus M schickt, das nicht das ausgewählte Element aM ist. Wenn τ eine natürliche Transformation wäre, müsste folgendes Diagramm kommutieren: f 1 /M τM τ1 1 f /M Dieses Diagramm kommutiert aber gerade nicht, da τM die Funktion ist, die alles konstant auf aM schickt und wir f geschickterweise so gewählt haben, dass der Wert von f eben nicht aM ist. e) In der Kategorie der reellen Vektorräume gibt es für jedes λ Transformation µ gegeben durch µV : V P R die natürliche Ñ V, v Ñ Þ λv, wie man leicht nachrechnet, wenn man sich an die Eigenschaften von linearen Abbildungen erinnert. Sind das schon alle natürliche Transformationen von IdR-Vect nach IdR-Vect ? Angenommen, wir haben eine solche natürliche Transformation η gegeben. Sei V ein reeller Vek- 2 torraum und v P V beliebig. Wir definieren die lineare Abbildung f : R Ñ V, r und betrachten das Natürlichkeitsdiagramm von η: 1_ ÞÑ rv p q_ v /f 1 f R /V ηR ηV R f ηR p1q λ, λ P R /V ηV p v q p q λv /f λ Dadurch sehen wir, dass η tatsächlich die Form ηV pv q besitzen muss. λv für ein festes λ P R Bemerkung: Die Kategorie R-Vect ist eine sogenannte abelsche Kategorie. In jeder abelschen Kategorie wird der Monoid EndpIdq der Endomorphismen der Identitätstransformation auf kanonische Art und Weise zu einem Ring. Die Argumentation zeigt dann (fast): EndpIdR-Vect q R. Allgemeiner gilt das für beliebige (kommutative) Ringe R. Das ist eine Möglichkeit, folgendes Motto der Ringtheorie zu verstehen: Studiere einen Ring dadurch, indem du seine Kategorie von Modul untersuchst! Aufgabe 2: a) Mit dem Lemma aus dem Skript, dass Kategorienäquivalenzen volltreu und wesentlich surjektiv sind, lassen sich diese und viele weitere ähnliche Aussagen elegant beweisen: Sei 0 initiales Objekt in C und X P Ob D beliebig. Wir wollen zeigen, dass F X initial in D ist, es also genau einen Morphismus von F 0 nach X gibt. Da X isomorph zu F GX und der Funktor F volltreu ist, haben wir eine Bijektion HompF 0, X q HompF 0, F GX q Homp0, GX q. Weil 0 initial ist, enthält die rechte Hom-Menge und somit auch die linke Hom-Menge genau einen Morphismus. b) Wir bezeichnen die Kategorie der Möchtegern-Produkte von X und Y mit MPX,Y , die der Möchtegernprodukte von Y und X mit MPY,X . Da Möchtegern-Produkte von X und Y aus Symmetriegründen auch Möchtegernprodukte von Y und X sind (genauer: 3 als solche angesehen werden können), können wir den Funktor F : MPX,Y definieren: πX πY πX πY o / / o Ý Þ Ñ Q Q X Y Y X Q ~ ??? ~ ~ ?? ~~~ ?? ~ X f Y `@@ ~> @@ ~ ~ @@ ~~ @@ ~~ Y ÞÝÑ Ñ MPY,X @@ @@ @@ f X ~> ~ ~ ~ ~ ~ ~~ Q@ `@@ @@ @@ @ R R Den zu F quasi-inversen Funktor G : MPY,X Ñ MPX,Y definieren wir genau spiegelverkehrt zu F . Wie man leicht nachprüft, ergeben F und G eine Äquivalenz von MPX,Y und MPY,X , wobei die natürlichen Transformationen zwischen F und G nur aus den Identitätsmorphismen bestehen. Ein initiales Objekt in MPX,Y ist ein Produkt von X und Y , ein initiales Objekt in MPY,X ein Produkt von Y und X. Mit Teilaufgabe a) folgt, dass ein Produkt von X und Y auch ein Produkt von Y und X ist und umgekehrt. Aufgabe 3: Wähle für jeden endlich-dimensionalen Vektorraum V eine feste Basis pb1 , . . . , bdim V q und definiere das Koordinatensystem ηV bezüglich dieser Basis durch die Setzung ηV : Rdim V Ñ V, ei Ñ Þ bi. Zwischen der Numerikerkategorie C und der R-Vectfd verlaufen die Funktoren F P Rmn ÝÑ ÞÝÑ ÞÝÑ R-Vectfd V pf : V Ñ W q ÝÑ ÞÝÑ ÞÝÑ C Rn : M G : R-Vectfd Rn die von der Matrix M dargestellte lineare Abbildung zwischen Rn und Rm bezüglich der kanonischen Basen C Rdim V 1 f ηW ηV (bzw. die Matrix dieser Abbildung). Diese Funktoren bilden eine Äquivalenz zwischen den beiden Kategorien, da folgende f M Natürlichkeitsdiagramme für alle pV Ý Ñ W q P R-Vectfd bzw. pRn ÝÑ Rm q P C offensichtlicherweise kommutieren: GF V 1 M ηV GF M ηW ηV / GF W F GV M ηV ηW Rn 1 f ηV F Gf ηW / Rm ηW V 4 / F GW f /W Projektaufgabe: Wir haben einen Morphismus ϕ : A Ñ B gegeben und wollen eine natürliche Transformation η : HomC p , Aq ñ HomC p , B q finden, d. h. es muss für alle f : Y Ñ X aus C das Natürlichkeitsdiagramm kommutieren: HomC pX, Aq g ÞÑ gf ηX p / HomC Y, A q ηY HomC pX, B q g ÞÑ gf / HomC Y, B p q Wir setzen ηZ : pg ÞÑ φ g q. Wenn wir nun einen Morphismus p : X Ñ A im Diagramm von oben links nach unten rechts verfolgen, erhalten wir einerseits ppϕ pq f q und andererseits pϕ pp f qq. Aufgrund der Assoziativität der Verknüpfung von Morphismen sind diese Ergebnisse gleich und das Diagramm kommutiert wie gewünscht. 5
