Vorlesung „Finanzwirtschaft: Finanzierung“

Vorlesung „Finanzwirtschaft: Finanzierung“
Sommersemester 1999, Dozent Herr Dr. Gillenkirch, 15.04.1999
3 Die Kapitalwertmethode
3.1 Definition und Berechnung des Kapitalwerts
Der Kapitalwert einer Zahlungsreihe ist die Summe aller auf einen Zeitpunkt t = 0
abgezinsten Zahlungsüberschüsse et.
n
K0 
 (1 e i)
t
t
t 0
et: Differenz aus Ein- und Auszahlungen (Ein- bzw. Auszahlungsüberschuß)
Investitionen und Finanzierungen sind Zahlungsreihen.
Bei einer Investition gilt:
Bei einer Finanzierung gilt:
e0 < 0
e0 > 0
(-A0, Auszahlung)
(+E0, Einzahlung)
3.2 Die Kapitalwertmethode bei Ja-/Nein-Entscheidungen
Eine Ja-/Nein-Entscheidung liegt dann vor, wenn nur ein Investitionsprojekt zur
Auswahl steht. Es kann entweder realisiert oder unterlassen werden.
Entscheidungsregel: Realisiere alle Investitionsprojekte, deren Kapitalwert positiv ist.
Lehne alle Projekte ab, deren Kapitalwert negativ ist.
K0 > 0
K0 < 0
K0 = 0
Investition vorteilhaft
Investition unvorteilhaft
Investition weder vorteilhaft noch unvorteilhaft
Für Finanzierungen gilt entsprechend: Eine Finanzierung ist vorteilhaft (unvorteilhaft),
wenn Ihr Kapitalwert positiv (negativ) ist.
Alle Finanzierungen zum Einheitszinssatz i haben den Kapitalwert 0.
BEISPIEL 3.2.1
i = 10% = 0,1
t=0
-100
K 0  100 
t=1
50
t=2
70
50 70 30


 25,85
1,1 1,12 1,13
t=3
30
Fazit: Wegen k0 > 0 ist das Projekt ist zu realisieren.
BEISPIEL 3.2.2
Annuitätsdarlehen (Summe aus Tilgung und Zinsen ist konstant über Laufzeit)
i = 0,7% = 0,007
t=0
1299
U = 24 (Monate)
t=1
-59
t=2
-59
...
...
t = 24
-59
1299 ist positiv, da kein Kauf, sondern Finanzierung
 (59)  1,007
24
K 0  1299 
t
t 1
 1299  (59)  RBF (i  0,7%; U  24)
 0,27  0
Fazit: Das Projekt ist weder vorteilhaft noch nachteilig, da K0=0.
3.3 Die Kapitalwertmethode bei Auswahlentscheidungen
Stehen mehrere Investitionsprojekte zur Auswahl, so spricht man von einer
Auswahlentscheidung. Realisiert werden kann aus sachlich-logischen Gründen nur
ein Projekt. Gründe der Finanzierung führen auf dem vollkommenen Kapitalmarkt
nicht zu Auswahlproblemen.
Entscheidungsregel: Realisiere das Investitionsprojekt, dessen Kapitalwert positiv
und am größten ist.
BEISPIEL 3.3.1
i = 10%
IP1
IP2
Zwei Projekte IP1 und IP2
t=0
-100
-100
K0 (IP1) = 15,04
t=1
48
15
t=2
86,4
15
t = 3 ...
t = oo
15
15
K0 (IP2) = 15 / 0,1 – 100 = 50
Da IP2 den größeren Kapitalwert hat, ist dieses Projekt vorzuziehen.
3.4 Interpretation des Kapitalwerts


Kapitalwert als Vermögens- oder Einkommensmehrung in t = 0
Kapitalwert als Grenzpreis
 Verdeutlichung anhand eines vollständigen Finanzplanes:
Ein Vollständiger Finanzplan weist sowohl die Investitionszahlungsreihe als auch alle
Zahlungen, die in Verbindung mit der Finanzierung der Investition stehen, aus.
ZU BEISPIEL 3.2.1
i = 10%
K0 = 25,85
Annahme: Keine Eigenmittel des Investors, daher bsp. Kreditfinanzierung
t=0
-100
t=1
50
t=2
70
t=3
30
Kreditaufnahme
100 + K0
= 125,85
-
-
-
Restkredit vor
Zins + Tilgung
125,85
125,85*1,1
= 138,44
88,44*1,1
= 97,28
27,28*1,1
= 30
Zins + Tilgung
50
70
30
Restkredit nach
Zins + Tilgung
88,44
27,28
0
-
-
-
Einkommen des
Investors
25,85
Der Finanzplan „geht auf“, da der Restkredit am Ende der Laufzeit 0 ist.
 Reinvestitions- und Finanzierungsprämissen der Kapitalwertmethode:
Der Finanzplan „geht nur auf“, wenn Reinvestition und Finanzierung zum
Einheitszinssatz i erfolgen. Die Kapitalwertmethode geht von der Reinvestition und
Finanzierung zum Einheitszins und damit von einem vollkommenen und
vollständigen Kapitalmarkt aus.
3.5 Die Kapitalwertfunktion
Die Kapitalwertfunktion bildet den Kapitalwert einer Zahlungsreihe in Abhängigkeit
des Kalkulationsflußes i ab:
n
K0 
 (1 e i)
t
t
t 0
Dabei sind nur positive i von Interesse, da negative Kapitalmarktzinsen nur virtuell
beim Wärhungsverfall (Inflation) auftreten. Untersucht werden:
1. Steigung:
1. Ableitung nach i
2. Krümmung:
2. Ableitung nach i
n
3. Extremwerte an Rändern:
i = 0: K 0 (i  0) 
e
t
t 0
i = oo: lim K 0 (i )  e0
i  
Bei Investitionen hat die Kapitalwertfunktion einen fallenden, konvexen Verlauf und
für
n
K 0 (i  0) 
e
t
 0
t 0
genau eine Nullstelle. Bei Finanzierungen hat sie einen steigenden, konkaven
Verlauf und für K0 (i=0) < 0 genau eine Nullstelle.
ZU BEISPIEL 3.2.1
K0(i)
i = 0%
50
i = 10%
25,85
i = 20%
7,64
i = 30%
-6,46
i = 50%
-26,67
i = 100%
-53,75
Bei Zahlungsreihen mit mehr als einem Vorzeichenwechsel (keine Normalinvestitionen und -finanzierungen )
sind
Steigung
und
Krümmung
der
Kapitalwertfunktion nicht eindeutig bestimmt.
BEISPIEL 3.5.1
t=0
-40
t=1
100
t=2
-60
3.5.2 Die Kapitalwertfunktion einer Normalinvestition
Bei Normalinvestitionen ist e0 < 0 und für jedes t > 0 gilt et > 0, d. h. auf die
Anschaffungsauszahlung (-) folgen ausschließlich Einzahlungsüberschüsse (+). Als
Vorzeichenfolge ergibt sich dann: -+++... (genau ein Vorzeichenwechsel)
Bei Normalfinanzierungen ist es genau umgekeht. Jetzt ist e0 > 0 und et < 0 für alle
t > 0, d. h. auf die Anfangseinzahlung (+) folgen ausschließlich Auszahlungsüberschüße (-). Die Vorzeichenfolge ist dementsprechend: +---... (auch hier genau
ein Vorzeichenwechsel)