Theorie - Beträge - Gymnasium "Am Thie"

Gymnasium „Am Thie“
Blankenburg
Theorie - Beträge
Definition des Betrags
Hinweis: Der Betrag wird manchmal auch absoluter Betrag genannt!
Beispiele:
Wir können grundsätzlich drei Fälle für die Werte zwischen den Betragszeichen
betrachten (positiv, Null, negativ):
Die Betragsgleichung |x|=c
Wie löst man Betragsgleichungen, also Gleichungen in denen die Variable im
Betragszeichen vorkommt. Die einfachste Form einer Betragsgleichung ist die
Gleichung:
Allgemein müssen wir dabei wieder drei Fälle unterscheiden:
Fall 1: c ist positiv
Wenn c positiv ist, dann hat die Gleichung zwei Lösungen, +c und –c.
Fall 2: c ist Null
Wenn c=0 ist, dann hat die Gleichung eine Lösung, die Zahl 0.
Fall 3: c ist negativ
Wenn auf der rechten Seite eine negative Zahl steht, dann hat die Gleichung
keine Lösung, denn auf der linken Seite der Gleichung steht ein Betrag, und ein
Betrag ist immer positiv.
Zusammenfassung der Fälle
Gymnasium „Am Thie“
Blankenburg
Theorie - Beträge
Die Betragsgleichung |x+a|=c
Auch hier müssen wir drei Fälle unterscheiden:
Fall 1: c ist positiv
Die Betragsgleichung hat dann zwei Lösungen:
Die erste Lösung ergibt sich, wenn der Term im Betragszeichen (also x+a) gleich c
wird, denn dann gilt: |c| = c und somit: c=c. Wir halten fest: x+a = c ergibt eine erste
Lösung der Betragsgleichung.
Die zweite Lösung ergibt sich, wenn der Term im Betragszeichen (also x+a) gleich –c
wird, denn dann gilt: |–c| = c und somit: c=c. Wir halten fest: x+a = –c ergibt eine
zweite Lösung der Betragsgleichung.
Zusammengefasst ergeben sich die beiden Lösungen aus: x+a = ±c. Wir stellen die
Formel um und erhalten die Lösungen der Betragsgleichung: x = –a±c.
Fall 2: c ist Null
Wir untersuchen also den Fall: |x+a|=0. In diesem Fall hat die Gleichung nur
eine Lösung, nämlich –a, denn nur wenn x=a gilt, ist die Betragsgleichung wahr:
|–a+a|=0 <=> |0|=0 <=> 0=0
Fall 3: c ist negativ
Wenn auf der rechten Seite eine negative Zahl steht, dann hat die Gleichung
keine Lösung, denn auf der linken Seite der Gleichung steht ein Betrag, und ein
Betrag ist immer positiv.
Zusammenfassung der Fälle