Übungen zur Vorlesung Mathematische

Übungen
zur Vorlesung
Mathematische Rechenmethoden I
Prof. Dr. Haye Hinrichsen, WS 16/17
Aufgabe 22 Dirac-δ-Funktion (2 Punkte)
Die Heaviside-Sprungfunktion θ(x) ist definiert durch
(
0 für x < 0
θ(x) =
.
1 für x ≥ 0
Zeigen Sie durch Überprüfung der Definitionseigenschaften, dass δ(x) = θ0 (x) ist.
Lösungsvorschlag für Aufgabe 22:
Die drei defnierenden Eigenschaften von δ(x) sind (s. Vorlesungsskript):
(
∞ für x = 0
δ(x) =
0 für x 6= 0
Z +∞
dx δ(x) = 1
(1)
(2)
−∞
Z +∞
dx δ(x)f (x) = f (0)
(3)
−∞
Zu (??):
Eigenschaft (??) ist mit Vorsicht zu genießen, da δ im streng mathematischen Sinn
keine Funktion, sondern eine sog. Distribution ist. Einfach gesprochen sind diese Objekte nur innerhalb von Integralen definiert. Des Weiteren ist die Heaviside-Funktion
unstetig an der Stelle x = 0, weshalb eine Ableitung im klassischen Sinn dort gar
nicht definiert ist. Dennoch sind hier zwei mögliche Argumente gezeigt, wie Gl. (??)
plausibel erklärt werden kann.
Heuristischer Beweis: Die Heaviside-Funktion ist für alle x 6= 0 konstant, also gilt
für die Ableitung
θ0 (x) = 0 ∀x 6= 0
Stellt man sich den Sprung der Heaviside-Funktion an der Stelle x = 0 als vertikale Tangente vor, so muss die Ableitung an dieser Stelle einen unendlichen Wert
annehmen. Dies enspricht also genau Gl. (??).
Repräsentation der Heaviside-Funktion mithilfe des Arkustangens:
Folgende Funktion kann verwendet werden, um die Heaviside-Funktion mit Hilfe
eines Grenzwerts anzunähern:
θ (x) :=
x π 1
arctan
+
π
2
Annhand der folgenden Abbildung sollte klar sein, dass θ (x) im Grenzfall → 0
der Heaviside-Funktion entspricht:
θ(x) = lim
→0
1.0
x π 1
arctan
+
π
2
ϵ=1
ϵ = 0.1
0.8
ϵ = 0.01
θϵ (x)
0.6
0.4
0.2
0.0
-10
-5
0
5
10
x
Ableiten dieser Gleichung ergibt:
θ0 (x) = lim
→0
x π 1 d 1
arctan
+
= lim
2
→0
π dx
2
π + x2
(4)
Wobei arctan0 (x) = 1/(1 + x2 ) verwendet wurde. Das Vertauschen von Ableitung
und Grenzwert darf hierbei keinesfalls als trivial angesehen werden!
Verwendet man nun Gl. (??), erhält man folgendes Ergebnis:
→0
x 6= 0 :
z}|{
1
0
=0
θ (x) = lim
→0 π 2 + x2
| {z }
→x2 6=0
x=0:
θ0 (0) = lim
→0
1 11
= lim
=∞
2
→0 π π
Dies entspricht genau Gl. (??).
Zu (??):
Diese Eigenschaft kann mithilfe partieller Integration bewiesen werden. Des Weiteren
wird angenommen dass f eine vernünftige Funktion ist, womit u.a. gemeint ist, dass
die Grenzwerte limx→±∞ f (x) existieren.
Z +∞
Z a
part.Int.
0
dx θ (x)f (x) = lim
dx θ0 (x)f (x) =
−∞
a→+∞ −a
= lim
a→+∞
a
θ(x)f (x) −a −
Z
a
dx θ(x)f (x) =
0
−a

Z
= lim f (a) θ(a) −f (−a) θ(−a) −
a→+∞
|{z}
| {z }
=1
= lim
a→+∞
= lim
a→+∞
=0
Z
f (a) −
a
dx f 0 (x)
0
−a
dx θ(x) f 0 (x) −
|{z}
=0
Z
0
a

dx θ(x) f 0 (x) =
|{z}
=1
=
0
a f (a) − f (x) 0
= lim (f (a) − f (a) + f (0)) =
a→+∞
= f (0)
Dies enspricht genau Gl. (??). In der Rechnung wurde dabei mehrmals die Defnition
der Heaviside verwendet, insbesondere dass θ(x) = 0 für alle negativen x ist.
Zu (??):
Diese Eigenschaft folgt sofort aus (??), wenn f (x) ≡ 1 eingesetzt wird.
Damit sind alle gewünschten Eigenschaften gezeigt worden und es kann gefolgert
werden, dass
θ0 (x) = δ(x)
ist.
Aufgabe 23 Diskrete Fourier-Transformation(2 Punkte)
Berechnen Sie die diskrete Fourier-Transformierte folgender Zahlenketten {a0 , . . . , aN −1 }:
{1, 0, 0, 0} ;
{1, −1, 1, −1} ;
{1, i, −1, −i} ;
{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}
Lösungsvorschlag für Aufgabe 23:
Diskrete Fourier-Transformation:
N −1
1 X 2πikn
ãk := √
e N an
N n=0
(5)
Interpretiert man die auftretende Exponentialfunktion als Matrix Ω mit den Elementen
1 2πikn
Ωkn = √ e N ,
N
lässt sich die diskrete Fourier-Transformation auch als einfache Matrixmultiplikation
auffassen:
ã = Ωa,
(6)
wobei a = (a0 , . . . , aN −1 )T und ã = (ã0 , . . . , ãN −1 )T sind.
Die Form der Matrizen ist dabei nur von der Dimension N (=Anzahl an komplexen
Zahlen an ) abhängig. Für Aufgabe (a)-(c) gilt N = 4, weshalb


1 1
1
1
1 1 i −1 −i 

Ω= 
(7)
2 1 −1 1 −1
1 −i −1 i
ist.
(a) a = (1, 0, 0, 0)T :

 
 
1 1
1
1
1
1




1
(??)
(??) 1 1
i −1 −i  0
1

ã = Ωa = 
= 





0
2 1 −1 1 −1
2 1
1 −i −1 i
0
1
(b) a = (1, −1, 1, −1)T :
   

0
1
1 1
1
1





(??)
(??) 1
1 i −1 −i  −1 0

=
ã = Ωa = 

2 1 −1 1 −1  1  2
0
−1
1 −i −1 i
(c) a = (1, i, −1, −i)T :
   

0
1
1 1
1
1





(??)
(??) 1
1 i −1 −i   i  0

ã = Ωa = 
=
2 1 −1 1 −1 −1 0
2
−i
1 −i −1 i
(d) a = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)T , N = 9:
Diese Aufgabe kann nun analog gelöst werden, jedoch handelt es sich hierbei
um eine 9 × 9-Matrix mit 81 Einträgen! Aufgrund der Struktur der Angabe
(an = 1 ∀n) kann jedoch folgende Formel aus der Vorlesung verwendet werden:
(
N
−1
X
2πikn
N falls k ganzzahliges Vielfaches von N ist
e N =
(8)
0
sonst
n=0
Damit folgt:
N −1
8
2πikn Ang. 1 X 2πikn (??) 1
1 X
a˜k = √
an e N
=
e 9 =
3
3
N n=0
n=0
(??)
(
(
9 k=0
3 k=0
=
0 sonst
0 sonst
Hierbei wurde verwendet, dass von den Zahlen {0, 1, 2, . . . , 8} nur die 0 ein
ganzzahliges Vielfaches von 9 ist.
Aufgabe 24 Invarianz unter diskreten Fourier-Transformationen (2 Punkte)
Seien a0 , . . . , aN −1 und b0 , . . . , bN −1 komplexe Zahlen und ã0 , . . . , ãN −1 und b̃0 , . . . , b̃N −1
die entsprechenden diskreten Fourier-transformierten Daten. Zeigen Sie, dass
N
−1
X
(a)
N
−1
X
an b∗n =
n=0
N
−1
X
(b)
ãk b̃∗k
k=0
2
|an | =
N
−1
X
n=0
|ãk |2
k=0
Lösungsvorschlag für Aufgabe 24:
Aus der Vorlesung und aus Gl. (??) folgt folgende wichtige Identität:
N
−1
X
e
2πik(m−n)
N
∀m, n ∈ {0, . . . , N − 1}
= N δm,n
(9)
k=0
Dabei ist δm,n das sog. Kronecker-Symbol mit
(
1 m=n
δm,n :=
0 m 6= n
Insbesondere gilt:
N X
N
X
xm,n δm,n =
m=0 n=0
N
X
xn,n
(10)
n=0
(a) Beginne mit der rechten Seite:
N
−1
X
(??)
ãk b̃∗k =
k=0
=
=
N
−1
X
N −1
2πikm
1 X
√
am e N
N m=0
k=0
N
−1 N
−1 N
−1
X
X
X
1
N
1
N
am e
2πikm
N
k=0 m=0 n=0
N
−1 N
−1
X
X
N
−1
X
m=0 n=0
k=0
am b∗n
e
!
b∗n e−
N −1
2πikn
1 X
√
bn e N
N n=0
2πikn
N
2πik(m−n)
N
!∗
=
=
(??)
=
N −1 N −1
1 X X
(??)
=
am b∗n N δm,n =
N
=
m=0 n=0
N
−1
X
an b∗n
n=0
(b) Verwende |an |2 = an a∗n und setzte b∗n = a∗n in der Formel aus (a)
Aufgabe 25 Oszillierender Integrand (2 Punkte)
Lösen Sie das Integral
Z
∞
f (x) =
e
ikx
dk = lim+
µ→0
−∞
∞
Z
2
eikx e−µk dk
−∞
durch quadratische Ergänzung, wobei Sie annehmen
R ∞dürfen, dass Grenzwertbildung und
Integration vertauschen. Bestimmen Sie außerdem −∞ f (x)dx.
Lösungsvorschlag für Aufgabe 25:
Allgemeines Gauß-Integral:
Z +∞
−a(x−b)2
dx e
r
=
−∞
π
a
für a > 0
(11)
Diese Formel gilt auch für beliebige b ∈ C, was aber keinesfalls trivial ist!
Quadratische Ergänzung:
Z +∞
Z
f (x) =
dk eikx = lim
µ→0+
−∞
+∞
2
dk eikx e−µk =
−∞
Z
+∞
= lim
dk e
µ→0+
−µ k2 − ikx
µ
=
−∞
Z
+∞
= lim
dk e
µ→0+
−∞
= lim e
−x
4µ
2
µ→0+
Z
−µ
2 2 2 ix
k− 2µ
− i x2
+∞
dk e
4µ
=
2
ix
(??)
−µ k− 2µ
=
−∞
r
= lim
µ→0+
π − x4µ2
e
µ
Damit folgt:
Z
+∞
Z
+∞
dx f (x) =
−∞
r
dx lim
−∞
µ→0+
π − x4µ2
e
=
µ
r Z +∞
2
π
− x (??)
= lim
dx e 4µ =
µ −∞
µ→0+
r
π p
= lim
· 4πµ =
µ
µ→0+
= 2π
Mit dieser Eigenschaft und der im Skript angegeben Formel für die Delta-Distribution
(Grenzwert einer immer schmaler und höher werdenden Gauß-Glocke; Setze 2a =
4µ) folgt damit:
Z +∞
1
f (x) = 2πδ(x)
bzw.
δ(x) =
dk eikx
2π −∞