Nr.1365 Herausgegeben im Auftrage des

FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr.1365
Herausgegeben
im Auftrage des Ministerpräsidenten Dr. Franz Meyers
von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 621.396.674:517.948.32(047)
517.948.32: 621.396.694(047)
Prof. Dr. rer. nato Claus Müller
Dipl.-Math. Peter Urban
Institut für Reine und Angewandte Mathematik
der Rhein.-Westf Techn. Hochschule Aachen
Mathematische Charakterisierung und Bewertung
elektromagnetischer Senderanordnungen
WESTDEUTSCHER VERLAG· KÖLN UND OPLADEN 1964
ISBN 978-3-663-06376-6
ISBN 978-3-663-07289-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07289-8
Verlags-Nr.011365
© 1964 by Westdeutscher Verlag, Köln und Opladen
Gesamtherstellung : Westdeutscher Verlag
Inhalt
1. Einleitung .....................................................
7
2. Die Strahlungscharakteristiken zweier isolierter elektrischer Dipole . . . . .
14
3. Das Ausstrahlungsmaß und die charakteristischen Stromverteilungen ..
24
4. Beispiele .......................................................
31
a) Charakteristische Anordnungen dreier elektrischer Dipole in den Ecken
eines gleichseitigen Dreiecks ................................... 31
b) Charakteristische Verteilungen elektrischer Ströme auf einem Kreis
vom Radius r ................................................ 40
c) Charakteristische Verteilungen elektrischer Ströme auf einer Kugel
vom Radius r ................................................ 45
Anhang 1 Eine Formel aus der Theorie der BEssEL-Funktionen ........
57
Anhang 2 Zwei Hilfssätze aus der Theorie der Kugelfunktionen ........
58
Literaturverzeichnis ................................................
61
5
1. Einleitung
Eine Anordnung von schwingenden elektrischen und magnetischen Dipolen
(Dipoldichten) im Innern eines Gebietes kann als Modell eines Senders aufgefaßt
werden. Beispiele dafür sind isolierte Dipole und Stromverteilungen, d. h. Dipoldichten auf Kurven, Flächen oder in räumlichen Gebieten.
Die von elektrischen und magnetischen Dipolen mit den Momenten i:l. (t) und
j:'ag.(t) erzeugten Felder (f*(x, t) und f>*(x, t) genügen außerhalb des räumlichen
Gebietes, in dem sich ihre Quellen befinden, den homogenen Maxwellschen
Gleichungen, die - in Gaußschen Einheiten geschrieben und für den Fall des
Vakuums (E = 1, (J. = 1) spezialisiert \l X
~*
~
\l X (f*
-
1 - 0 (f* = 0
-
c
ot
1
0
+ -c -ot
(c
= Lichtgeschwindigkeit)
(1.1)
f>* = 0
lauten. Wir werden im folgenden stets voraussetzen, daß die Feldstärken und die
Dipolmomente mit der gleichen Frequenz
(f*(x, t)
=
(f(x) e-ic.>*t, f>*(x, t)
und
= ~* schwingen; d. h. es soll
v
21t
= f>(x) e-ic.>*t
i:'ag. (t) = i' e-ic.>*t
(i 2 = -1)
(1.2)
(1.3)
gelten. Setzt man (2) in (1) ein und schreibt noch
öl
w*
=-,
C
(1.4)
so ergeben sich die homogenen Maxwellschen Gleichungen in der zeitunabhängigen Form, in der wir sie dieser Arbeit zugrunde legen wollen:
\l X f>
\l
X
+ iw(f = 0
(f -iwf> = O.
(1.5)
Wir können dann den Zeitfaktor i. a. unterdrücken und nur noch von den Dipolen j und j' und den von ihnen erzeugten Feldern (f, f> sprechen. Die Vektorfelder
(f, f> sollen ebenso wie die Dipole j, j' i. a. komplexwertig sein. Physikalische Bedeutung haben dann die Realteile der mit dem Zeitfaktor e-ic.>*t multiplizierten
Größen.
7
Ein komplexer Dipol kann auf zwei Arten gedeutet werden. Aus
erhält man nämlich
ji (t)
=
Re G* (t))
=
j cos oo*t
+ j2 sin oo*t.
Der komplexe Dipol kann danach entweder als ein Paar räumlich fester, verschieden gerichteter reeller Dipole, die gegeneinander phasenverschoben schwingen,
aufgefaßt oder als ein mit der Kreisfrequenz 00* sich drehender Dipol mit räumlich veränderlichem reellen Dipolmoment betrachtet werden. Dabei beschreibt die
Spitze des Vektors ji (t) eine Ellipse. Das gleiche Schwingungsbild kann daher
auch durch zwei aufeinander senkrecht stehende reelle Dipole 11 und 12 erzeugt
werden. Da solche Dipolanordnungen technisch kaum zu realisieren sind, werden
die Beispiele in Abschnitt 4 so angelegt werden, daß nur reelle Dipole auftreten.
Ein elektrischer Dipol j an der Stelle 1) erzeugt das Feld
(f(1)
=
~(1)
= -j
ioojel>
wobei
el>(1, 1))
X
+ ~00 VxCiVxel»
(1.6)
Vxel>,
eiwlx-lJl
= -11-1) 1
(1.7)
ist und man das Dipolmoment j in einem geeigneten Maßsystem zu messen hat.
Das Feld eines isolierten magnetischen Dipols i' an der Stelle 1) ist entsprechend
durch
(f(1) =
i'
X
Vx el>
~(1) = iooj'el> + ~
VxCi'Vxel»
00
(1.8)
gegeben. Das Feld (6) kann im reellen Fall bekanntlich als die einfachste Schematisierung des Feldes einer Linearantenne angesehen werden, während das Feld
des magnetischen Dipols (8) das Feld einer Rahmenantenne schematisiert [1,1].
Die beiden Felder (6) und (8) sind Lösungen der Maxwellsehen Gleichungen (5)
außerhalb eines räumlichen Gebietes G, das den Dipol (im Falle der Superposition mehrerer Elementarfelder die ganze Dipolverteilung) enthält. Darüber hinaus
erfüllen diese Felder die Ausstrahlungsbedingungen
(1.9)
8
gleichmäßig für alle Richtungen Io. Sie gestatten außerdem eine asymptotische
Entwicklung
e- iWr lj(Io) + 0 ( ~
1)
(f(rIo) = -r-
(1.10)
e~(uo) = -rIo X lj(Io)
iwr
+0
(
1)
~
,
die ebenfalls gleichmäßig für alle Richtungen Io gilt. Die asymptotische Entwicklung (10) ist sogar für jedes elektromagnetische Feld (f, ~ möglich, das außerhalb
eines räumlichen Gebietes den Maxwellsehen Gleichungen (5) und den Ausstrahlungsbedingungen (9) genügt [2,1].
Das Vektorfeld lj (Io) in (10) heißt die Strahlungscharakteristik des elektromagnetischen Feldes (f,~. Für lj(Io) gilt wegen der Ausstrahlungsbedingungen
I o X lj(Io) =
o.
(1.11)
Die Strahlungscharakteristik ist daher ein auf der Einheitskugel definiertes
komplexwertiges Vektorfeld, das keine Normalkomponenten besitzt. Man kann
zeigen, daß jedem Ausstrahlungsvorgang umkehrbar eindeutig eine Strahlungscharakteristik zugeordnet ist [2,1].
Die Gesamtheit aller Strahlungscharakteristiken wird vollständig durch die Bedingungen des folgenden Satzes charakterisiert [3,1].
Satz: Ein auf der Einheitskugel definiertes Vektorfeld lj(Io) ist genau dann eine
(vektorielle) Strahlungscharakteristik, wenn ein ganzes harmonisches
Vektorfeld ~(I) existiert, das die folgenden Eigenschaften hat:
1.
L:.~ (I)
2.
~(I)
3.
I~ (I)
= 0
für alle
= lj(Io)
für
= 0
für I I I = 1.
1
4. lim-Iog
r~oo
wr
J
:xl
=
I.
I = Io.
1~(rIo)12dF=R<oo.
r
Die Strahlungscharakteristik hängt eng mit der ausgestrahlten Energie zusammen.
Für die Gesamtausstrahlung eines elektromagnetischen Feldes (f, ~ erhält man
nämlich
C = lim
r-+oo lxi
J
=
r
Io«f
X
~) dFx •
(1.12)
Unter Benutzung der Ausstrahlungsbedingungen (9) folgt
C = lim
J
[(f(f -
= lim
J
(f(fdFx •
r-+oo lxi = r
r-+oo lxi = r
0
(~)]
dFx
r
9
Mittels (10) hat man dann
C = lim
r--+oo
=
lim
r--+oo
III
f
~ r
iWr
e
tJ(Io)
[r
f ~
III ~ r r 2
I
+0
tJ(Io) 1 2 dFl
iWr
l)J
[e-tJ(Io) + ( 1)J dF
r
r
r
(-
-
0
-
l
;
also ist
C
=
f tJ (Io)
o
I
1
2 dw.
(1.13)
Die gleiche Strahlungscharakteristik kann durch verschiedene Dipolverteilungen
(Stromverteilungen) erzeugt werden. Es seien hund j2 zwei Dipolverteilungen in
einem Gebiet G, die die gleiche Strahlungscharakteristik erzeugen. Dann erzeugt
die Verteilung jo = h - h ein Feld, das außerhalb von G überall verschwindet.
Die Verteilung jo kann daher zu einer beliebigen Verteilung j in G hinzugefügt
werden, ohne daß sich die Strahlungscharakteristik ändert.
Um ein Beispiel einer solchen Dipolverteilung jo zu geben, gehen wir von dem
Feld eines isolierten elektrischen Dipols j an der Stelle 1) = 0 aus. Nach GI. (6)
erzeugt der Dipol das Feld
i
(t (I) = i w j <1>0 + - \7 (j \7 <1>0)
w
~(I)
= - j
X
\7 <1>0
mit
eiWll
(1.14)
<1>0 = - - .
III
Dieses Feld genügt für I I I > 0 den Maxwellschen Gleichungen (5) und erfüllt
die Ausstrahlungsbedingungen für I I I -+ 00 gleichmäßig bezüglich aller Richtungen Io. Es kann daher nach dem Huygensschen Prinzip [2,2] z. B. für alle
I im Äußeren der Einheitskugel I I I = 1 durch seine Werte auf der Einheitskugel dargestellt werden:
(1.15)
Definiert man jetzt j (Io) = I o X ~ und j' (Io) = - Io X (t und setzt für
(t = (t(Io) und ~ = ~ (Io) noch die Werte aus (14) ein, so erhält man eine Verteilung von elektrischen und magnetischen Strömen auf der Oberfläche 0 der Einheitskugel, die für I I I > 1 das gleiche Feld wie der isolierte elektrische Dipol j
an der Stelle 1) = 0 erzeugen:
j (Io) = - Io X (j X \7 <1>0)
j'(Io) = - Io X
10
[iw j <1>o + ~ \7(j\7<1>0)].
(1.16)
Die Stromverteilung (16) zusammen mit dem isolierten elektrischen Dipol
(- j) in 1) = 0 erzeugt daher ein Feld, das für alle I außerhalb der Einheitskugel verschwindet.
Dieses Beispiel ist insofern nur von theoretischem Interesse, als dabei elektrische
und magnetische Flächenströme auftreten, die außerdem noch komplexwertig
sind. Ein Beispiel einer Verteilung reeller elektrischer Dipole, die nichts ausstrahlt, erhalten wir, wenn wir Eigenschwingungen im Innern einer Kugel
I I I = r betrachten. Es sei
(1.17)
(f=IX\7'1'",
wobei 'I'" der Helmholtzschen Schwingungs gleichung
ß'I'" + cu 2'1'" = 0
genügen soll. Weil (f als Rotation, (f = I X \7'1'" = werden kann, ist
\7(f =
o.
(1.18)
\7 X I'I'", dargestellt
(1.19)
Weiterhin ist nach (18)
ßI'I'" = I ß'I'" + 'I'" ßI + 2 \7 'I'"
=-cu 2I'I'" +2\7'1'",
also
(1.20)
Damit ist (f Lösung von
\7 X \7 X (f = cu 2(f.
(1.21)
Setzen wir nun
~=-i\7x(f,
(1.22)
so erhalten wir in (17) und (22) zusammen mit (18) ein Feld, das Lösung der
Maxwellschen Gleichungen (5) ist.
Wir wählen jetzt
(I = rIo).
(1.23)
Diese Funktion erfüllt die Helmholtzsche Schwingungsgleichung [2,3]. Dabei
ist ~l(cur) die BEssEL-Funktion
~l(cur) = 1/
V 2 cur
11"
]3/2(cur)
(1.24)
und K 1 (Io) eine Kugelfunktion 1. Ordnung, d. h. r K 1 (Io) ist ein harmonisches
Polynom vom 1. Grade. Benutzen wir die Darstellung des Gradienten in Kugelkoordinaten I = rIo, I I I = r,
11
\/'Y
=
c'Y
Io-
er
+-1r \/0'Y,
(1.25)
so erhalten wir
(f
1
= I X \/'Y = - (I X \/0 'Y) = Io X \/0 'Y
(1.26)
r
und nach GI. (23)
(1.27)
Wir wählen bei festem Radius r die Frequenz W =
Funktion ~1 wird. Dann ist auf der Kugel I I I = r
(f = 0,
Io X (f = 0
für
Wo
so, daß wor Nullstelle der
I I I = r,
W
Felder dieser Art heißen Eigenschwingungen der Kugel
GI. (22) ist
= wo.
(1.28)
II I =
r [2,4]. Nach
5 = \/ X ~l(wr) [Io X \/oK 1 (Io)]
= \/ ~l(wr) X [Io X \/oK 1 (Io)]
+ ~l(wr) \/ X
[Io X \/oK 1 (Io)J,
also
Setzen wir w = wo, so ergibt sich wegen
~1 (wo r)
= 0
(1.30)
d. h. 5 hat auf der Kugel I I I = r nur Tangentialkomponenten. Da die Nulldenen von ~l(wr) zusammenfallen, ist 5
d(wr)
auf der Kugel I I I = r nicht identisch gleich Null. Die Felder (f,5, \/ X (f und
\/ X 5 sind stetig im Innern der Kugel I I I =r. Nach dem Huygensschen Prinzip [2,2] verschwindet dann das Feld, das durch
stellen von
(f(I) =
5(I) =
~~(wr)
=
d~l(wr) nicht mit
~ J [- iW(Io
41t' IIJI=r
~ J
41t' IIJI =r
X
5) <I> -
(Io X (f) X \/ <I> -
«(fIo) \/ <I>] dFIJ
(1.31)
[iw(Io X (f) <I> -
(Io X 5) X \/ <I> -
(5Io) \/ <I>] dFIJ
dargestellt werden kann, im Äußeren der Kugel I I I = r identisch. Setzen wir
nun
(1.32)
so haben wir eine Verteilung reeller elektrischer Dipole auf der Kugel I I I = r
gefunden, die nichts ins Äußere der Kugel ausstrahlt.
12
Durch die vorstehenden Beispiele wird man auf zwei Probleme geführt.
1. Ist es möglich, alle Strahlungscharakteristiken zu kennzeichnen, die durch
Dipolverteilungen bei festen geometrischen Verhältnissen erzeugt werden
können?
2. Wie kann die Bewertung einer solchen Senderanordnung definiert werden?
Wir werden im zweiten Abschnitt diese Verhältnisse zunächst am Beispiel zweier
isolierter elektrischer Dipole untersuchen und dabei zu einer Definition des
»Ausstrahlungsmaßes« gelangen, die als Verallgemeinerung der in der Antennentheorie üblichen Definition des Gewinns einer Senderanordnung in bezug auf den
Elementardipol anzusehen ist [3,2]. Die Definition des Ausstrahlungsmaßes gibt
eine Möglichkeit zur Bewertung einer Senderanordnung hinsichtlich der Gesamtausstrahlung und gestattet andererseits die Kennzeichnung aller Strahlungscharakteristiken, die bei festen geometrischen Verhältnissen von Dipolverteilungen erzeugt werden können. Richtwirkungen werden dabei nicht berücksichtigt
[3].
Im dritten Abschnitt werden diese Ergebnisse auf den allgemeinen Fall einer stetigen Verteilung elektrischer und magnetischer Dipole auf Kurven, Flächen oder
in räumlichen Gebieten übertragen.
Der vierte Abschnitt enthält drei charakteristische Beispiele.
13
2. Die Strahlungscharakteristiken zweier isolierter
elektrischer Dipole
Wir berechnen zunächst die Strahlungscharakteristik eines einzelnen elektrischen
Dipols j, der sich an der festen Stelle 1) befinden soll. Das von ihm erzeugte Feld
lautet
(2.1)
Setzen wir! = r!o, so wird für r
-+
00
(2.2)
da
(R
=
I! -1) I)
ist. Weiter gilt
(2.3)
14
weil
ist. Damit folgt
(2.4)
und schließlich
(2.5)
Nach den Ausstrahlungsbedingungen (1.9) folgt weiter
<f(uo) = -
Io X
~ + 0 (~).
(2.6)
Setzt man (2.5) in (2.6) ein, so ergibt sich
(2.7)
Die Strahlungscharakteristik eines isolierten elektrischen Dipols vom Moment
an der Stelle 1) ist somit durch
\J(Io) = iNlo X
G X Io) Ci ",(x o
!)
i
(2.8)
gegeben.
Wir berechnen noch die Gesamtausstrahlung dieses Dipols. Es ist nach (1.13)
c=
J~\JdN = N 2 J [Io X (] X Io)] [Io X (i X Io)] dNx o
f.l
f.l
15
Für das verbleibende Integral erhält man
I Ix fI
n(xD dF
=
I f
V (jx) dV
=
I Ix fI ;;;
=
~ 1
I x I ;;; 1
jdV
1
Es ergibt sich damit für die Gesamtausstrahlung des isolierten elektrischen
Dipols j
(2.9)
Wir gehen nun zur Behandlung des Falles von zwei isolierten elektrischen Dipolen hin 1)1, j2 in 1)2 über. Die Strahlungscharakteristik des von dieser Dipolanordnung erzeugten Feldes setzt sich additiv aus den Charakteristiken der einzelnen Dipole zusammen:
(2.10)
Die Gesamtausstrahlung ist
C
=
f
n
(Y (xo) (Y (xo) dwxo
2
= w2
I
2
I
f
(2.11)
(Y(.L(Xo) (Yv(Xo) dw xo '
(.L~lv~ln
Setzen wir
(2.12)
so können wir weiterschreiben
C(.LV =
r[xo X cJ(.L X xo)] [xo X Civ X xo)] e
iwXo
n
(1)(.L -1)v) dw xo '
Nach einer bekannten Formel der Vektoralgebra wird dann
C(.LV
=
f
n
[(J(.Ljv)-(xol(.L) (xojv)] eiwxo (1)(.L-1)v) dw xo '
(2.13)
Aus der Theorie der Kugelfunktionen bzw. der Theorie der BEssEL-Funktionen
übernehmen wir die Formel [2,5]
(r=I1)I)·
16
(2.14)
Hierin bedeutet
~n(wr)
die BEssEL-Funktion
~n(wr) =
V
(2.15)
2:r J(2n+ 1)/ 2 (wr),
und Kn(Io) ist eine Kugelfunktion der Ordnung n. Dann ist
(r =III)
(2.16)
ein homogenes harmonisches Polynom vom Grade n. Man prüft leicht nach, daß
(2.17)
ein harmonisches Polynom vom Grade 2 ist. Daher ist
(2.18)
eine Kugelfunktion der Ordnung 2. Andererseits ist das skalare Produkt (Idv)
bezüglich Io eine Kugelfunktion der Ordnung Null. Mit diesen Bezeichnungen
kann (2.13) folgendermaßen geschrieben werden:
=
f
[Ko - K 2 (Io)] ei<i>Xo(lJ,,"--lJ v) dw xo
•
Cl
Nach GI. (2.14) folgt dann
C ILV =
8
1t
3
[~o(W 11)1L -
= 831t [{1:o(w 11),," -
+ 'J «(1),," R
1)v I)
1)v I)
) ;-) «(
1)v IIL
1),," -
.K o +i
K
2 (
1),," 11),," -
- H2(W 11),," ) •)
1)v Iv
1:2
1)v I)} cf,,"iv)
(w 1 1),," 1
1),," -
1:2(W 11),," -
1)v )
1)v 1
1)v
1)v 1)]
12
1)v I)]
+
•
Wenn man nun noch das Produkt «(1),," - 1)v) J,,") «(1),," - 1)v) iv) mittels der Schreibweise des dyadischen Produkts zweier Vektoren in die Form
bringt, dann kann C,,"v als bilineare Form in den Komponenten der Vektoren J,,"
und iv aufgefaßt werden:
(2.19)
17
Die dreireihige Matrix
uniLv=[~o((,)It)iL-t)vl)-H2((,)It)iL-t)vl)]
~+ ~2 ~2tlt)iLlt)vl)
(t)iL-t)V) (t)iL-t)V)'
t)iL-t)V 2
mit
~ =
(2.20)
(1 0 0)
0
1 0
0 1
o
ist reell symmetrisch:
(2.21)
Weiterhin ist
(2.22)
Für fL = v ist uniLv wegen
matrix, d. h.
un iL v
=
~o(O)
= 1 und
(1 0 0)
0
o
1 0
0 1
~2(0)
= 0 identisch mit der Einheits-
für
fL =
v.
(2.23)
Die Gesamtausstrahlung der Dipolanordnung ist damit nach (2.11), (2.12) und
(2.19)
(2.24)
Führt man den 6-dimensionalen Vektor
(2.25)
und die 6-reihige reelle symmetrische Matrix
(2.26)
ein, so kann die Gesamtausstrahlung als quadratische Form in den sechs Komponenten des Vektors ,3 aufgefaßt werden:
C
81t"
-
= 3 (,)2(,3, un,3).
(2.27)
Bekanntlich nimmt eine quadratische Form (:5, un,3) ihre Extremwerte unter der
Nebenbedingung (:53) = 1 genau für die Eigenvektoren ,3k der Matrix un an
[4,1]. Für diese gelten die Beziehungen
,3k = Akun3k
(:5k,31) = 8k 1·
18
(2.28)
Da ID1 reell symmetrisch ist, sind auch die Eigenwerte Ak und die Eigenvektoren
3k von ID1 reell. Ist Ak der zum Eigenvektor 3k gehörende Eigenwert, so ist
A"k 1 = (:3k, ID13k) .
(3k3k)
Mit anderen Worten, die Extremwerte Ak des Quotienten
(2.29)
sind die reziproken Eigenwerte der Matrix ID1, die genau für die zugehörigen Eigenvektoren angenommen werden, d. h.
(2.30)
Die Größe A wird das Ausstrahlungsmaß der Dipolanordnung genannt [3,2]. Das
Ausstrahlungsmaß läßt die folgende physikalische Deutung zu. Es war
C
=
87t
3
6)2C3, ID13)
die Gesamtausstrahlung der Dipolanordnung. Diese ist i. a. nicht gleich der
Summe der Ausstrahlungen der einzelnen Dipole; falls die Dipole als kohärent
schwingend angenommen werden, wird durch die Wechselwirkung der Felder
die Gesamtausstrahlung entweder vergrößert oder verkleinert werden. Setzt man
dagegen die Dipole als inkohärent schwingend voraus, so ist das gleichbedeutend
damit, daß die Dipole im Verlaufe einer langen Zeit eine große Zahl von Wellenzügen (endlicher Länge) mit verschiedenen Phasendifferenzen 3 = 31 - 32 aussenden. Der Wechselwirkungsanteil der Gesamtausstrahlung ist dann von der
Form
f (lhIJ2 eiw (8, -8.) + ~2IJl e- iw (8 , -8.») d6)x o
n
= ~ 6)2 {CIl, ID1l2h) eiw8 + cJ2, ID12lh) e- iw8}
3
=
87t 6)2 {cIl
3
+ iCIl -
+ h, ID1l2(I2 + j2)) cos 3 +
h, ID1l2cJ2 - j2)) sin 3}.
Über einen langen Zeitraum werden alle Phasendifferenzen 3 von 0 bis 2 7t
gleichverteilt auftreten. Mittelt man die Gesamtausstrahlung über diesen Zeitraum, so verschwindet der Wechselwirkungsanteil, und es bleibt für die inkohärente Ausstrahlung
19
also
(2.31 )
Das Ausstrahlungsmaß kann daher als das Verhältnis der kohärenten Ausstrahlung C zur inkohärenten Ausstrahlung I aufgefaßt werden:
C
A=-.
(2.32)
I
Die Extremwerte Ak von (2.32) bzw. (2.29) nennen wir die charakteristischen Ausstrahlungsmaße. Nach Definition sind die A k nicht negativ. Die Matrix
ist daher
positiv defin.it. Weiterhin ist die Summe der sechs charakteristischen Ausstrahlungsmaße gleich der Spur von
m
m:
Al
+ A + ... + A
2
6
=
6.
(2.33)
Daraus folgt unmittelbar, daß das größte charakteristische Ausstrahlungsmaß
(2.34)
Al> 1
ist, während für das kleinste charakteristische Ausstrahlungsmaß
A6
<
(2.35)
1
gilt. Das Gleichheitszeichen kann in (2.34) und (2.35) nicht auftreten; würde es
nämlich in einer der bei den Ungleichungen doch stehen, dann müßten alle A k
gleich 1 sein. Das kann aber nur der Fall sein, wenn m die (6reihige) Einheitsmatrix ist; da die Nullstellen von ~o(wr) und ~2(wr) nicht zusammenfallen, folgt
aus (2.20), daß dieser Fall nicht eintreten kann. Weil jeder Eigenvektor eine bestimmte charakteristische Dipolanordnung repräsentiert, gibt es also stets eine
Anordnung von zwei isolierten elektrischen Dipolen ir und h mit festem Abstand, deren Ausstrahlungsmaß größer als 1 ist.
Auch der Fall A 6 =
kann nicht vorkommen. Er würde bedeuten, daß das von
der zugehörigen charakteristischen Dipolverteilung ,J6 erzeugte Feld <r, f> keine
Energie ausstrahlt. Nach dem Eindeutigkeitssatz muß dieses Feld dann überall verschwinden. Die Annahme von Dipolsingularitäten in 1)1 und 1)2 führt daher
auf einen Widerspruch. Also gilt, wenn mit A 6 das kleinste charakteristische Ausstrahlungsmaß bezeichnet wird,
°
A6
>
(2.36)
0.
Um die charakteristischen Ausstrahlungsmaße A k und die zugehörigen charakteristischen Dipolanordnungen ,Jk im Falle von zwei elektrischen Dipolen zu bestimmen, setzen wir
1)1
20
=
(0,0,0),
1)2
=
(R, 0, 0).
(2.37)
Die Matrix 9R hat dann folgendes Aussehen:
1 0
0 1
0 0
9R=
a+bO
0 a
0 0
mit
Oa+bO
0 0 a
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a 0 0
0
0
a
0
0
1
(2.38)
- t ~2(wR),
a
=
~o(wR)
b
=
~ ~2(wR).
(2.39)
Wir erhalten für die A k und die ,3k
+a +b
,31
A2 = 1-a- b
,32
Al = 1
A3
=
1
(1,0,0; 1,0,0)
,33 =
,35 =
= 1-a
,36
=
V;
V;
-~ ~-
(1,0,0; -1, 0, 0)
V; (0,1,0; 0,1,0)
,34 = V; (0,0, 1; 0, 0, 1)
+a
A s = 1-a
A6
V;
= V;
=
t
t
I .................. .!
1.. ............ i
(0, 1, 0; 0, - 1, 0)
t ..
(0,0, 1; 0, 0, -1)
i
(2.40)
In der folgenden Zeichnung sind die charakteristischen Ausstrahlungsmaße in
Abhängigkeit von wR aufgetragen.
A(..,R)
2,O r""",,==::::-~
__--_A.
1,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0.
6,O .. R
21
Das Verhalten der charakteristischen Ausstrahlungsmaße für wR<R: 1 läßt sIch
der vorstehenden graphischen Darstellung entnehmen. Das Verhalten für große
Werte von wR(wR» 1) ergibt sich aus dem asymptotischen Verhalten der Funktionen ~o und ~2 [2,3].
Es gilt für r
-+
~o(r) =
00
sin
r
( -1 )
-+0
r
r2
_ sin (r - 7t)
r
,
~2 (r ) -
1)
+ 0 ( -.
r
2
(2.41)
Daraus folgt für alle Ak
wR
-+
00.
(2.42)
Nun erzeugt jede der Dipolanordnungen ,jk eine Strahlungscharakteristik
(Jk(Io). Andererseits kann jede beliebige Anordnung von zwei elektrischen Dipolen in zwei festen Punkten vom Abstand R mit geeigneten komplexen Konstanten a kaIs Linearkombination der ,jk geschrieben werden:
6
,j
=
L
ak,jk.
(2.43)
k~l
Die zugehörige Strahlungscharakteristik ist dann
6
(J(Io) =
L
ak(Jk(Io),
(2.44)
k~l
und für die Gesamtausstrahlung ergibt sich
C=
J
n
1
(J 1 2 dw =
6
6
k~l
l~l
L L
äkalAkl
(2.45)
mit
(2.46)
Nach GI. (2.27), (2.28) und wegen 'Xkl = A k ist nun
(2.47)
22