Einzelaufgabe aus der Aufgabensammlung zur

Rolf Haftmann: Aufgabensammlung zur Höheren Mathematik mit ausführlichen Lösungen
(Hinweise zu den Quellen für die Aufgaben)
Aufgabe 9.39
∞
Ermitteln Sie in folgenden Fällen, ob die Folgen (an ) und die Reihen
∑ an konvergieren:
n=0
50n4 +1000n3 +999 999n
5n
5n
a) an =
+ 2 , b) an = n , c) an = 2n ,
2n4 +5n2 +9
n +1
3
3
√
√ √
e) an = n( n+12 − n), f) an = (−1)n , g) an = (−1)n(n+1) ,
d) an =
1
,
(n+11)(n+12)
h) an = (−1)
n(n+1)
2
!
Bestimmen Sie im Konvergenzfall die Grenzwerte bzw. Summen!
Lösung:
a) an =
=
50n4 +1000n3 +999 999n
+ 2
=
2n4 +5n2 +9
n +1
999
50+ 1000
n + n4
2+ n52 + n94
1000 999
50+ n + n4
n · 999
+ 5
1
9
4
2
n 2+ n2 + n4
n 1+ n2
n4
999
50 + 0 + 0
−−−→
+ + 0 = 25
n 1+ n12 n → ∞ 2 + 0 + 0
Da die Reihe nur konvergieren kann, wenn die Folge gegen 0 konvergiert, diese aber gegen
25 konvergiert, divergiert die Reihe.
n
5n
5
b) an = n =
−−−→ ∞, Da die Folge divergiert, divergiert die Reihe erst recht.
n→∞
3
3
n
∞
∞ n
1
9
5n
5
5n
5
−−−→ 0, ∑ an = ∑
=
= .
c) an = 2n = 2 n =
5
n→∞
3
9
4
(3 )
1− 9
n=0
n=0 9
1
= 0, offensichtlich.
n→∞ (n+11)(n+12)
1
1
(n+12) − (n+11)
1
−
=
=
n+11 n+12
(n+11)(n+12)
(n+11)(n+12)
N
N
1
1
1
=∑
−
SN = ∑
(n+11)(n+12)
n+11
n+12
n=0
n=0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= −
− + − + − ±· · ·+
−
+
−
=
11 12 12 13 13 14
N+10 N+11 N+11 N+12
11 N+12
d) lim
∞
1
1
lim SN =
∑ (n+11)(n+12) = N→∞
11
n=0
√
√ √
√ √
√ √
√ √
√ n+12 − n
n+12− n
n+12+ n
12 n
√
e) n n+12− n = n
= n√
√
√ =√
√
n+12+ n
n+12+ n
n+12 + n
√
12
12 n
! −−−→
=6
=
r
n→∞ 1 + 1
√
12
n
1+ + 1
n
√
√
√
(Zur „Probe“ kann man z.B. a10000 = 10000 10012 − 10000 ≈ 5.9982 berechnen.)
Da die Reihe nur konvergieren kann, wenn die Folge gegen 0 konvergiert, diese aber gegen 6
konvergiert, divergiert die Reihe.
Aufgabe 9.39
f) an = (−1)n =
2
(
(−1)2l = 1,
n = 2l, d.h. gerade
2l+1
(−1)
= −1, n = 2l+1, d.h. ungerade
Die Folgenglieder sind alternierend +1 und −1, so dass die Folge unbestimmt divergiert. Da
die Folge divergiert, divergiert die Reihe erst recht.
g) Da das Produkt zweier aufeinander folgender ganzer Zahlen in jedem Falle gerade ist, gilt
immer an = (−1)n(n+1) = 1 und damit auch lim an = 1. Da die Reihe nur konvergieren kann,
n→∞
wenn die Folge gegen 0 konvergiert, diese aber gegen 1 konvergiert, divergiert die Reihe.
h) Von zwei aufeinander folgenden ganzen Zahlen ist immer genau eine gerade. Ist diese auch
n(n+1)
durch 4 teilbar, so ist auch 2 gerade, ist sie nur durch 2, nicht aber durch 4 teilbar, so ist
n(n+1)
n(n+1)
ungerade. Der Exponent 2 ist also genau dann gerade, wenn n oder n+1 durch 4
2
teilbar ist, n also bei Division durch 4 den Rest 0 oder 3 lässt. Somit gilt

1, n = 4l



n(n+1)
−1,
n = 4l+1
.
an = (−1) 2 =
−1, n = 4l+2



1, n = 4l+3
Die Folge divergiert also unbestimmt. Da die Folge divergiert, divergiert die Reihe erst recht.