Übungsaufgaben zur Vorlesung Algebra I

Übungsaufgaben zur Vorlesung Algebra I
im Wintersemester 2012/13
Serie I 1
Abgabe in den Seminaren der Woche vom 15. - 19. Oktober 2012
Wenn nicht ausdrücklich anders gesagt, besitzen alle betrachteten Ringe ein vom
Nullelement verschiedenes Einselement. Für einen Ring R sei
Z(R) := {x ∈ R | x · r = r · x für alle r ∈ R}
das Zentrum von R. Z(R) ist kommutativer Unterring von R.
1. Seien A ein kommutativer Ring und R, S A-Algebren (zur Denition s.
Bemerkung LA 3.6.8).
Eine Abbildung f : R → S heiÿt A-Homomorphismus, wenn f sowohl Ringals auch A-Modul-Homomorphismus ist. Zeigen Sie:
(a) Die durch a 7→ a1R für alle a ∈ A denierte Abbildung ϕ : A → R ist
ein Ringhomomorphismus mit Bild ϕ ⊆ Z(R). Er heiÿt Strukturhomomorphismus der A-Algebra R.
Bemerkung:
Z(R)
setzt
f : A → R mit Bild f ⊆
man für a ∈ A und r ∈ R
Umgekehrt gibt jeder Ringhomomorphismus
Anlaÿ zu einer
A-Algebra-Struktur
auf
R,
indem
ar := f (a) · r.
(b) Für jeden A-Modul M ist EndA (M ) mit dem in Bemerkung LA 4.8.9
denierten Homomorphismus h : A → EndA (M ) eine A-Algebra. (Für
a ∈ A ist h(a) der durch m 7→ am für alle m ∈ M denierte AEndomorphismus von M .)
2. Zeigen Sie:
(a) Jeder Ring R ist eine Z-Algebra, wenn man die Z-Modulstruktur von
(R; +) wie in Bemerkung LA 3.6.4 durch entsprechende Vielfachenbildung erklärt.
(b) C ist eine R-Algebra und durch z 7→ z̄ , z ∈ C, (z̄ : zu z konjugiert
komplexe Zahl, s. Übungsaufgabe LA I26) ist ein R-Automorphismus
von C gegeben. Neben idC ist er der einzige R-Automorphismus von
C.
ϕ ein R-Automorphismus von C. Da für a, b ∈ R gilt ϕ(a + bi) =
a + bϕ(i), ist ϕ durch den Wert der imaginären Einheit i umkehrbar eindeutig
Hinweis:
Sei
festgelegt. Für die Eindeutigkeitsaussage müssen Sie also nur überlegen, welche
komplexen Zahlen für
ϕ(i)
überhaupt in Frage kommen.
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3. Sei R ein Ring. Zeigen Sie:
(a) Ist I zweiseitiges Ideal von R mit I 6= R, so ist die durch
r 7→ r + I, r ∈ R,
denierte Abbildung π : R → R/I ein Ringepimorphismus mit
Kern π = I .
Man bezeichnet π auch als kanonischen Epimorphismus (in den Restklassenring modulo I ), vgl. auch Bemerkung LA 4.8.11.
Bemerkung:
Für
I = R ist R/I
der Nullring, den wir generell ausgeschlossen haben.
(b) Eine echte Teilmenge I von R ist genau dann zweiseitiges Ideal von R,
wenn I Kern eines Ringhomomorphismus in einen geeigneten weiteren
Ring ist.
Hinweis:
Vgl. Übungsaufgabe LA II6(a).
4. (Zusatzaufgabe) Ein Ring R heiÿt einfach, wenn das Nullideal von R und
R selbst die einzigen zweiseitigen Ideale von R sind.
(a) Zeigen Sie: Ein Ring R ist genau dann einfach, wenn jeder Ringhomomorphismus von R in einen beliebigen anderen Ring injektiv (also
Monomorphismus) ist.
(b) Nach Lemma LA 3.20(a) ist ein kommutativer Ring genau dann einfach, wenn er ein Körper ist. Zeigen Sie, dass eine entsprechende Aussage für nicht kommutative Ringe i. a. falsch ist, d. h. geben Sie ein
Beispiel für einen einfachen Ring an, der kein Schiefkörper ist.
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