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Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE Zahlen und Maße Zahlenmengen I 1D Wahr oder falsch? a) Zwischen zwei negativen ganzen Zahlen liegen mindestens 10 rationale Zahlen b) Es gibt Brüche, die in der Dezimalschreibweise nicht enden c) 714 ist nicht durch 3 teilbar, weil 714 auch nicht durch 9 teilbar ist d) 2n ist eine gerade Zahl, nєZ e) 2n – 1 ist eine ungerade Zahl, nєZ f) 4n + 1 ist eine ungerade Zahl, nєZ g) 2n + 1 ist eine gerade Zahl, nєZ Lösung: a) w. Zwischen 2 unterschiedlichen ganzen Zahlen (negativ oder positiv) liegen unendlich viele rationale Zahlen. b) w. die periodischen Dezimalen können als Bruch geschrieben werden, ihre Dezimalen enden nicht. c) 714 ist durch 3 teilbar (die Ziffernsumme ist 12, das ist durch 3 teilbar), aber nicht durch 9. Wenn die Zahl durch 9 teilbar sein sollte, dann müsste die Ziffernsumme durch 9 teilbar sein. Das ist nicht der Fall, 720 (ZS= 18) ist zB durch 3 und durch 9 teilbar. d) w. Jede ganze Zahl ergibt durch die Multiplikation mit 2 eine gerade Zahl e) w. Da 2n eine gerade Zahl ist, entsteht durch das Abziehen von 1 eine ungerade Zahl f) w. 4n ergibt auf jeden Fall eine gerade Zahl, daher ist die um 1 vermehrte Zahl ungerade. g)f. 2n ist gerade, zählt man 1 dazu, so wird die Zahl ungerade. I 1-D Wurzel aus negativer Zahl Begründen Sie, warum die Wurzel aus einer negativen Zahl in der Menge der reellen Zahlen nicht gezogen werden kann! Möglicher Lösungsweg: Wurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens. Man sucht eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der Wurzel ergibt. Bsp 4 bedeutet: Ich suche eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl -4 ergibt. Diese Zahl gibt es in der Menge der reellen Zahlen nicht. 2 . 2 = +4 und (-2) . (-2) = +4! 2 . (-2) = -4, aber das ist nicht die Multiplikation von 2 gleichen Zahlen! 1 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE I 1-C Zahlen zuordnen Fügen Sie die Zahlen , 3 , (-2)2, 4 16 , 0 in das folgende Diagramm ein und setzen Sie in der Tabelle die Symbole und ein. N Z Q R R Z N Q (-2)2 16 0 3 4 16 4 , (-2)2 = 4 Mögliche Lösung: Folgende Voraussetzung: N ohne 0, R Z N Q (-2)2 16 0 3 4 2 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE I 1A-Irrationales (Zahlenmengen) Überlegen Sie ein Konstruktionsverfahren, mit dem man irrationale Zahlen - wie zB die Zahl √2 - auf dem Strahlenstrahl richtig positionieren kann? Lesen Sie die Zahl möglichst genau ab. Möglicher Lösungsweg: Man verwendet das Modell des rechtwinkligen Dreiecks und stellt die folgende Überlegung an: Der pythagoreische Lehrsatz a² + b² = c² mit a = 1 und b= 1 liefert: 1² + 1² = 2 die gesuchte √2 ist daher die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit 2 gleich großen Katheten mit je einer Länge von 1. Daher ergibt sich die folgende Konstruktion: Ablesung: √2 = 1,4 I 1B-Irrationale Zahlen (Zahlenmengen) 1) 1) Finden Sie heraus, welche der folgenden Zahlen rational bzw. irrational sind. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. a) Möglicher Lösungsweg: Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Bruch schreiben. a) ergibt 9, rational b) ergibt eine Zahl mit unendlich vielen Kommastellen, die Zahl ist irrational. c) ergibt 10 , rational d) ergibt 3/2, rational e) ist eine endliche Kommazahl, rational f) 7/9 ist ein Bruch, Zahl ist rational 3 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE Zahlendarstellung und Maße I 1-A Die größte Zahl Welche ist die größte Zahl, die Sie mit 3 Ziffern schreiben können? Lösung: 99 9 I 1 A-Zellen (Gleitkomma) Aus wie vielen Zellen besteht der menschliche Körper ungefähr? Eine Zelle ist näherungsweise eine Kugel mit ca. 10 µm Durchmesser. (Wie kann man diese Frage lösen? Welche zusätzlichen Annahmen führen zum Ziel?) Möglicher Lösungsweg: Annahmen: VMensch = 30.20.180 cm3 . Damit wird VMensch etwa zu 0,1m3 Zell-Durchmesser = 10 µm = 10-5m Rechnung: Die Anzahl der Zellen wird näherungsweise bestimmt, indem das Volumen des Menschen durch das Zellvolumen dividiert wird. Mit obigen Annahmen erhält man etwa 2.1014 Zellen. VZelle dZelle3 6 Zellenanzahl 0, 5 1015 m3 VMensch VZelle 2 1014 I 1B-Sonne (Gleitkomma ) Die Masse m der Sonne beträgt ca. 2 . 1030 kg, ihr Radius gerundet R = 700 000 km. Wie groß ist die durchschnittliche Dichte der Sonne in kg/m³? Anleitung: Es gelten die Beziehungen: Masse = Volumen mal Dichte m = V . ρ, also ρ= m/V Das Volumen ist annähernd kugelförmig, es gilt: V = 4 R³ π / 3 Möglicher Lösungsweg: Umrechnungen der Größen in gleiche Einheiten: m = 2 . 1030 kg, R = 7. 108 m Berechnung von V = 4. (7. 108 )³ . π : 3 = 1,4. 10 27 m³ Berechnung von ρ = m/V = ( 2 . 1030) : (1,4.1027) = 1,4 . 103 kg / m³ 4 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE I 1A-Haare Wie viel Haare hat der Mensch auf dem Kopf? (Anleitung: Suchen sie nach passenden Annahmen, die zur Lösung des Problems führen!) Möglicher Lösungsweg Annahmen: mittlerer Haarabstand » 1 mm, also 10.10 Haare/cm² . kugelförmiger Kopf mit Durchmesser 20 cm, etwa die Hälfte wird als behaart angenommen. Rechnung: Es wird die halbe Oberfläche der Kugel berechnet (in cm 2) und das Ergebnis mit 100 Haare/cm² multipliziert. 2 1 100 Haare 20 Anzahl der Kopfhaare 4 cm 4 10 1 2 2 2 cm 2 cm 2 3 5 10 1 Haare cm 2 60 10 3 Haare 60 000 Haare Zum Vergleich folgende Daten aus dem Internet (www.infohair.ch, 2006) Haardichte: 200 Follikel / cm2 Anzahl der Kopfhaare (Durchschnitt): 100.000 (Blonde haben durchschnittlich mehr Haare, Rothaarige weniger) I 1B- Wassermolekülkette (Gleitkomma) Ein Mol (18 g) Wasser enthält ungefähr 6 . 1023 Moleküle. Der Durchmesser eines Wassermoleküls beträgt ungefähr 3 . 10-10m. Wie oft kann man ungefähr eine Kette, die aus den aneinander gereihten Molekülen von einem Gramm Wasser besteht, um den Erdäquator legen (U = ca. 40 000 km)? Möglicher Lösungsweg 1g Wasser = 6 . 1023 : 18 enthält ca. 3 . 1022 Moleküle. 3 . 1022. 3.10-10 = ca. 1013m Die Kette wäre ungefähr 1013m lang, das entspricht 1010 km. 1010: 40 000 = ca. 250 000 Man könnte die Kette ca. 250 000-mal um den Äquator legen. 5 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE I 1B- Digitalkamera (Gleitkomma, Einheiten) Eine Digitalkamera hat eine Bildauflösung von 1600x1200 Bildpunkten (so genannte Pixel). Sie hat die Bezeichnung „2 MegaPixel-Kamera". Handelt es sich bei dieser Bildauflösung um genau 2 Mega-Pixel? Wie viele Pixel Unterschied besteht? Wie groß ist der relative Fehler, der bei dieser Bezeichnung gemacht wird? Möglicher Lösungsweg: Anzahl der Pixel = 1600 . 1200 = 1,92.106 die Auflösung hat 80 000 Pixel weniger als 2 MegaPixel. Relativer Fehler = (1,92.106 - 2.106) : 2.106 = - 0,04 = - 4% I 1-A Zugsverbindung Der Film, den sich Peter und Max anschauen wollen, beginnt um 18:00. Um ins CinemaPlexx zu kommen, müssen sie mit dem Zug und der Straßenbahn fahren. Der Zug fährt jede halbe Stunde (…15:35, 16:05, 16:35,…) und braucht 25 Minuten. Die Straßenbahn fährt alle 6 Minuten (…16:05, 16:11, 16:17,…) und braucht 10 Minuten. Welchen Zug müssen die beiden nehmen, um spätestens um 17:45 beim Kino zu sein? Möglicher Lösungsweg: Straßenbahnabfahrtszeiten 17: 05,11,17,23,29,35,41 … 17:45 – 10 = 17:35 wäre eine Straßenbahn möglich gewesen. 17:05 + 25 = 17:30 5 Minuten Zeit für das Umsteigen Sie müssten den Zug um 17:05 nehmen. I 1-B Lichtgeschwindigkeit Der mittlere Bahnradius der Erde auf der Umlaufbahn um die Sonne beträgt ca. 150 10 6 km . Die Lichtgeschwindigkeit beträgt ca. c 300 000 km/ s . a) Stellen Sie eine passende Formel für die Umrechnung auf, wenn die Dauer gefragt ist bzw. wenn die Entfernung gefragt ist! b) Wie lange braucht das Licht durchschnittlich von der Sonne bis zur Erde? Möglicher Lösungsweg: a) Dauer t = Entfernung s / Geschwindigkeit c ; Entfernung s = Geschwindigkeit c . Dauer t b) 150 106 3 105 500s 500 60 . 8,3min 8 Minuten 20 Sekunden 6 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE I 1-A,B,C,D Zentralraum Oberösterreichs Linz, Wels und Steyr verfügen über ein eigenes Stadtrecht in Oberösterreich. Gemeinsam bilden sie das Städtedreieck und gemeinsam mit Eferding und Enns bilden sie den Zentralraum Oberösterreichs. Die folgende Landkarte ist im Maßstab 1 : 500 000 erstellt worden. a) Entnehmen Sie die Länge der Strecken Wels-Linz bzw. Steyr-Linz der Karte und rechnen Sie sie in Kilometer um. b) Berechnen Sie nun die Strecke Wels-Steyr. c) Wird auch der autointerne Kilometerzähler diese Länge angeben? Warum ja, warum nein? d) Sehen Sie die zweite Landkarte an. Darauf sind im gleichen Maßstab zwei Autorouten von Wels nach Steyr eingezeichnet. Die „untere“ Autoroute wird von dem Routenplaner empfohlen. Können Sie erklären, warum das so ist, obwohl die „obere“ Route offensichtlich die kürzere ist? 7 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE 8 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE Möglicher Lösungsweg: a) Inhaltsebene 1 (Maßeinheiten, Maßstabsberechnungen) Handlungsdimension A bzw. B Maßstab 1 : 500 000 Strecke Wels-Linz: ca. 4,3 cm 4,3 𝑐𝑚 ∙500000=2150000 𝑐𝑚=21,5 𝑘𝑚 𝐿𝑢𝑓𝑡𝑙𝑖𝑛𝑖𝑒 Strecke Steyr-Linz: ca. 4,9 cm 4,9 𝑐𝑚 ∙500000=2450000 𝑐𝑚=24,5 𝑘𝑚 𝐿𝑢𝑓𝑡𝑙𝑖𝑛𝑖𝑒 b) Inhaltsebene 2 (Elementare Geometrie) Handlungsdimension B Die Strecken Wels-Linz (WL) bzw. Steyr-Linz (SL) fungieren als Katheten. Es muss also lediglich die Hypotenuse (WS) berechnet werden: (WS)² = (WL)² + (SL)² 𝑊𝑆²= 21,5²+24,5² WS≈32,6 𝑘𝑚 c) Handlungsdimension C (Inhaltsebene?) Interpretieren des Ergebnisses d) Handlungsdimension C Interpretieren und schätzen; Zur Information: „obere“ Autoroute: 38,4 km (B122/Voralpen-Bundesstraße), Dauer: 0:54 min „untere“ Autoroute: 45,7 km (B122), Dauer: 0:55 min I 1-A,B,D Raumschiff Ein Lichtjahr ist eine Strecke, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt im Vakuum ca. 3 . 10 5 km/s. a) Berechnen Sie die Länge eines Lichtjahrs in km. b) Ein Raumschiff erkundet von der Erde aus das Universum. Nehmen Sie an, es bewegt sich ungefähr mit 20 % der Lichtgeschwindigkeit. b1) Wie lange braucht es bis zum Pluto, der sich in ca. 6 Milliarden km Entfernung von der Erde befindet? b2) Wie lange würde dieses Raumschiff bis zum nächsten Stern Proxima Centauri benötigen? (4,2 Lichtjahre entfernt.) b3) Beschaffen Sie sich Informationen über eine realistische Geschwindigkeit eines Raumschiffs. Wie lange dauert damit ein Flug zu Pluto und zu Proxima Centauri? Möglicher Lösungsweg: a) 1 Lichtjahr = 365. 24 . 60 . 60 . 3 . 10 5 = 9,5 .1012 km. b1) v = 3 . 105 . 0,2 = 6 . 104 km /s, t= s/v = 6.109 /6 . 104 = 105 s = 27h47min b2) 4,2. 9,4 .1012 /6 . 104 = 6,58 . 108 s = fast 21 Jahre b3) Unbemannt ca. 70 km/s, 6 . 109 / 70 = 85714,3 s = 2 Jahre und ca 263 Tage 4,2. 9,4 .1012 /70 000 = 5,64.108 s = fast 18 000 Jahre bis Proxima Centauri 9 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE Rechnen mit Zahlen I 1-B Vorzeichenregel (Rechnen mit Zahlen) 1) Ergänzen Sie folgende Übersicht – Achten Sie besonders auf das Vorzeichen Addition und Subtraktion (+3) + (5) = –3 – 5 = –3 + 5 = 3–5= Multiplikation (3) (5) = (–3) (–5) = (–3) (5) = (3) (–5) = Division (3) : (5) = (–3) : (–5) = (–3) : (5) = (3) : (–5) = Fassen Sie die hier verwendeten Rechenregeln zusammen Möglicher Lösungsweg: Addition und Subtraktion (+3) + (5) = 8 –3 – 5 = -8 –3 + 5 = 2 3 – 5 = -2 Multiplikation (3) (5) = 15 (–3) (–5) = 15 (–3) (5) = -15 (3) (–5) =-15 Division (3) : (5) = 0,6 (–3) : (–5) = 0,6 (–3) : (5) =-0,6 (3) : (–5) =-0,6 Die Rechenregeln: Haben Zahlen gleiche Vorzeichen, so hat deren Produkt ein positives Vorzeichen. Haben die beiden Zahlen unterschiedliche Vorzeichen, so ist das Produkt negativ. I 1-D Wo stecken die Fehler? Lösung: Einheitenfehler! 1€ = 10 Cent .10 = 1/10 € . 10 = 1 € I 1-C Text gesucht Finden Sie einen Text, der folgende Umformung erklärt 20 – 7 – 5 = 20 – (7 + 5) Möglicher Lösungsweg: Petra hat aus der Geldtasche, in der vorgestern noch 20 € waren, gestern 7 € genommen und heute 5€. Es sind nun um 7+5€ weniger in der Geldtasche. 10 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE I 1-D Rechengang Wer von den Dreien hat Recht? Begründen Sie! 200 – (70 + 15) . 2 + 18 . 5 = Petra sagt: Ich berechne zuerst die Summe in der Klammer, multipliziere diese mit 2 und subtrahiere dieses Ergebnis von 200. Anschließend addiere ich das Produkt aus 18 und 5 mit dem Ergebnis der vorherigen Rechenschritte. Maria sagt: Zuerst multipliziere ich die beiden Summanden in der Klammer mit 2, anschließend rechne ich 200 minus 140 und plus 30 und dazu addiere ich dann das Ergebnis aus 18 mal 5. Franz sagt: Ich beginne mit 200 minus 85, das Ergebnis mal 2, dann kommt noch das Produkt aus 18 mal 5 dazu. Möglicher Lösungsweg: Petra rechnet in der richtigen Reihenfolge, das Ergebnis ist: 120 Maria rechnet ebenfalls in einer richtigen Reihenfolge, allerdings übersieht sie, dass bei Auflösung der Klammer das Vorzeichen vor 30 negativ wird. daher ist das Ergebnis falsch:180 Franz hält sich nicht an die Rechenreihenfolge, die Multiplikation mit 2 hat Vorrang vor der Subtraktion von 200, Ergebnis daher falsch. I 1-D Mittelwert a) Zeigen Sie mit 5 beliebigen Zahlen, dass der Mittelwert dieser Zahlen niemals kleiner als die kleinste Zahl oder größer als die größte Zahl sein kann. b) Können Sie das allgemein beweisen? (Etwas schwieriger…) Möglicher Lösungsweg: a) Der Mittelwert berechnet sich aus der Summe aller Zahlen dividiert durch die Anzahl aller Zahlen. Ordnet man die Zahlen der Größe nach, dann gilt z B 2,6,9,11,56 m = 16,8 m>2 und m<56 b) kleinste Zahl x1, größte Zahl xn x1 x2 .... xn n es gilt : x1 x 2 x 3 .... xn daher; x1 x 2 .... xn nxn daraus folg t : m xn m x1 x2 .... xn n es gilt : xn xn1 xn2 .... x1 daher; x1 x2 .... xn nx1 daraus folg t : m x1 m 11 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE 12 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE I 1-C,D Richtig multiplizieren Wie multipliziert man ein Produkt? Stimmt die Aussage? 2 . (a . b) = 2a . 2b Geben Sie ein Beispiel aus dem alltäglichen Leben an, das Ihre Behauptung belegt! Möglicher Lösungsweg: Die Behauptung stimmt nicht! Es gilt das Assoziativgesetz, das bedeutet: (2 . a) . b = 2 . (a . b) = 2ab Beispiel: a..Zahl von Heften, b… Preis pro Heft. der Ausdruck 2 . (a . b) bedeutet dann, dass 2 Personen je a Hefte kaufen und dafür a . b Geld benötigen. I 1 A Texttransfer Übersetzen Sie den Text in eine mathematische Rechenanweisung. Welche allgemeine Aussage können Sie formulieren? a) Das Doppelte von 7 b) Das Dreifache von 12 c) Das Zehnfache von 5 d) Die Hälfte von 20 e) Ein Drittel von 9 f) Ein Zehntel von 80 g) 40% von 200 h) 5% von 70 i) 120% von 50 Möglicher Lösungsweg a) 7 . 2 b) 12 . 3 c) 5 . 10 d) 0,5 . 20 oder 20 : 2 f) 1/10 . 80 oder 80 : 10 g) 200 . 0,4 h) 70 . 0,05 e) 1/3 . 9 oder 9 :3 i) 50 . 1,2 I 1-B Bruchzahlen, Dezimalzahlen Berechnen Sie den folgenden Term mit dem Taschenrechner. Geben Sie das Ergebnis als Bruch an. Erklären Sie worauf Sie bei der Eingabe in den Taschenrechner besonders achten müssen und wie man einen Bruch in eine Dezimalzahl und eine Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln kann. Möglicher Lösungsweg: . Man muss achten, dass man bei Brüchen die Zähler und Nenner in Klammern setzt. Beginnt die Zahl mit dem Vorzeichen, dann ist am Rechner das Vorzeichenminus zu verwenden. Je nach Rechner ist die Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche unterschiedlich. 13 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE I 1-B Quadrat- und Wurzelzahlen (Rechnen mit Zahlen) 1) Wie berechnen Sie folgende Angaben mit dem Taschenrechner? Schreiben Sie eine kurze Dokumentation Ihrer Eingabeschritte. 23 2 = 45 5 = Möglicher Lösungsweg: Je nach dem Rechner unterscheiden sich die Eingaben: Hier TI 82: 23 / x² / enter ergibt: 529 45/ ^/5/enter ergibt: 1 845 281 25 2nd x² /( / 625 /) enter ergibt 25 6 / MATH/ 5 / 64 /enter ergibt 2 I 1-C Einkauf-Verkauf (Rechnen mit Zahlen) Um eine genaue Preiskalkulation erstellen zu können, muss der Wareneinsatz mit den tatsächlichen Einkaufspreisen errechnet werden. (Einkaufsgewichte sind gleichzusetzen mit Rohgewichten.) Man kauft 4,25 kg Karotten für eine Menübeilage um 2 €. Wie viele Portionen zu je ca. 0,17 kg ergeben sich daraus? Argumentieren Sie, warum die Kosten für eine Portion Karotten nicht mit 0,08 € kalkuliert werden können? Möglicher Lösungsweg Diskussion mit Argumenten und kleinen Berechnungen, wie der Preis am besten gestaltet wird und welche Verluste auftreten können. z. B Bei der Vorbereitung entstehen Abfälle, Verluste und Nebenprodukte, die eventuell für andere Gerichte, meist mit niedrigerem Verkaufspreis, verwendet werden. (20% Putzverlust siehe Lehrbücher, Internet) 14 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE Rechnen mit Prozent I 1-C Autobahn (Prozent) Gibt es in Österreich oder in Deutschland mehr Unfälle auf den Autobahnen? Anmerkung: In Deutschland gelten Straßen, die bei uns Schnellstraßen heißen, auch als Autobahnen. Die Zahlen beziehen sich daher auf Autobahn- und Schnellstraßenkilometer : Einwohnerzahl km Autobahn und Unfälle auf Autobahnen Schnellstraßen + Schnellstraßen Deutschland 83 250 000 12 003 21 458 Österreich 8 170 000 1 863 2 561 a) Berechnen Sie für Österreich und für Deutschland die Unfälle bezogen auf die Einwohnerzahl und interpretieren Sie das Ergebnis. b) Berechnen Sie für Österreich und für Deutschland die Unfälle bezogen auf Autobahnkilometer und interpretieren Sie das Ergebnis. c) Stellen Sie einen Vergleich zwischen den beiden Ergebnissen an und überlegen Sie, ob dieser Vergleich überhaupt zulässig ist. Was könnte man bei beiden Berechnungsmethoden übersehen haben? Möglicher Lösungsweg a) In Deutschland gab es pro 100 000 Einwohner 25,775 Unfälle auf Autobahnen und Schnellstraßen, in Österreich waren es 31,346. Daher gab es in Österreich um fast 22% mehr Unfälle als in Deutschland. b) In Deutschland gab es 2004 pro 100 km 178,772 Unfälle, in Österreich 137, 466. Das bedeutet, dass es in Deutschland 30% mehr Unfälle pro Kilometer gab. c) Die Berechnungsmethode im ersten Fall berücksichtigt nicht, dass Österreich ein klassisches Urlauber- und Transitland ist, und daher unfallgefährdeter ist, die Unfälle betreffen aber nicht unbedingt die Einwohner. Bei der zweiten Berechnungsmethode spielt die Verkehrsdichte in den beiden Ländern eine Rolle. Wenn sie annähernd gleich wäre, dann könnte man vergleichen. Es ist dies aber nicht wahrscheinlich. Als Alternative könnte man Abschnitte annähernd gleicher Verkehrsdichte in den beiden Ländern heraussuchen und dort die Unfallzahlen auf die Kilometer beziehen. I 1-A,C Einkauf/Verkauf Finden Sie aus dem Bereich Einkauf/Verkauf einen passenden Text zu folgender Gleichung: x 0,2x 300 Möglicher Lösungsweg: Ein Produkt (z.B. Fahrrad) kostet inkl. 20% MWSt. 300,-€. Wie hoch ist der Nettopreis x? 15 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE I 1-C Hotelauslastung (Prozent) Laut Bundessparte Tourismus und Freizeitwirtschaft gibt es folgende Formel zur Berechnung der Auslastung eines Hotels (Quelle: www.dertourismus.at) Auslastung in % = (Übernachtung mal 100)/(Betten mal Tage) a) Erklären Sie diese Formel! b) Dokumentieren Sie die Anwendung der Formel an Hand folgender Angaben: „Hotel unter den 3 Eichen“ 44 Betten Sommermonate Juni – August: 2700 Übernachtungen Möglicher Lösungsweg: a) Unter Auslastung versteht man den Anteil der verkauften Betten an der vorhandenen Bettenkapazität. Wenn an einem Tag von beispielsweise 100 vorhandenen Betten 50 verkauft werden, beträgt die Auslastung 50%. Soll die Auslastung für einen größeren Zeitraum angegeben werden, so muss die Anzahl der vorhandenen Betten mit der Anzahl der Tage (der gefragte Zeitraum) multipliziert werden, damit erhält man die größtmögliche Übernachtungszahl für den gegebenen Zeitraum. Soll nun in Folge der Anteil ermittelt werden, so muss nur die Anzahl der tatsächlichen Übernachtungen durch die größtmögliche Übernachtungszahl dividiert werden. Damit erhält man den Anteil als Dezimalzahl, multipliziert man diese mit 100, so wird der Anteil, die sogenannte Auslastung, in % angegeben. b) Übernachtungen: 2700 Betten: 44 Tage: 92 (Juni, Juli, August) Auslastung : 2700 100 66,6996% 66,7% 44 92 I 1-A Tourismus (Prozent) Aus der "Statistik Austria" kann man entnehmen: 16,5% des BIP (Brutto-Inland-Produkts) betrugen im Jahre 2005 40,53 Mrd. € und wurden von der Tourismus- und Freizeitwirtschaft erbracht. Wie findet man die Höhe des BIP 2005? Möglicher Lösungsweg 16,5% von BIP = 16,5% . BIP = 40,53 . 109 40,53 109 40,53 109 40,53 109 40,53 1011 2,4563 1011 246 Mrd. 2 16,5% 0,165 16,5 16,5 10 (BIP = ) 16 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE I 1-B Nächtigungen (Prozent) Die Tourismus- und Freizeitwirtschaft Österreichs nimmt im internationalen Wettbewerb eine herausragende Stellung ein. Im Jahr 2006 wurden 30,12 Mio. Ankünfte (+2,7%) und 119,32 Mio. Nächtigungen (+0,1%) erzielt. Wie viele Nächtigungen bzw. Ankünfte waren 2005 zu verzeichnen? Wie viele Nächtigungen bzw. Ankünfte waren zahlenmäßig 2006 mehr im Vergleich zum Vorjahr? Möglicher Lösungsweg (zB mit Excel) B 2 3 2005 4 2006 5 Wachstum: C D Nächtigungen in Mio. Ankünfte in Mio. =C4/(1+C5) =D4/(1+D5) 119,32 30,12 0,001 0,027 Nächtigungen in Mio. 2005 119,20 2006 119,32 Wachstum: 0,10% Ankünfte in Mio. 29,33 30,12 2,70% I 1-B,C,D Sonderangebot Der Preis einer Ware ist mit € 250,- exkl. 20% Mehrwertsteuer angeschrieben. Durch ein Sonderangebot wird die Ware um 20% günstiger verkauft. Hans denkt sich, dass er demnach die Ware um € 250,- mitnehmen kann, weil sich seiner Meinung nach der Rabatt und die Mehrwertsteuer aufheben. An der Kassa werden aber € 240,- berechnet. a) Wie hat der Verkäufer an der Kassa gerechnet? b) Welchen Fehler hat Hans bei seiner Überlegung gemacht? c) Macht es einen Unterschied, ob der Rabatt zuerst abgezogen und dann die MWSt. dazugerechnet wird, oder umgekehrt? Begründen Sie Ihre Aussagen! Möglicher Lösungsweg: a) An der Kassa: 250 . 1,2 . 0,8 = 250 . 0,8 . 1,2 = 240 b) Der Rabatt wird von der Ware inklusive Mehrwertsteuer berechnet wird, also von 300€, und beträgt 60 €. Hans berücksichtigt nicht, dass Rabatt und Mehrwertsteuer von einem unterschiedlichen Grundwert ausgehen. c) Nein, die Reihenfolge bei der Multiplikation egal. 17 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE I 1-A,B,D Taschengeld Anton, Bertram, Clemens und Dietmar unterhalten sich über ihr Taschengeld, das sie von zu Hause bekommen. Bertram erhält 30% mehr als Anton und Clemens 20% weniger als Anton. Dietmar bekommt mit € 42,- am meisten Taschengeld, er hat so viel wie Bertram und Clemens zusammen. a) Stellen Sie den Zusammenhang in einer Gleichung dar! Argumentieren Sie! b) Wie viel erhalten die 4 Burschen? Möglicher Lösungsweg: a) A…x, B…1,3x, C..0,8x, D…42 = 1,3x + 0,8x b) 2,1x = 42 x = 20, A…20€, B 26€, C=16€, D…42€ I 1-A,B Skonto Herr Huber erhält von der Firma Bösch eine Rechnung in Höhe von € 239,50. Bei Bezahlung innerhalb von 8 Tagen wird ihm ein Skonto von 2% gewährt. a) Wie viel muss Herr Huber bezahlen, wenn er innerhalb dieser Frist bezahlt? b) Wie hoch ist der Anteil der Mehrwertsteuer von 20% im überwiesenen Betrag? c) Durch welche einfache Division kann die MWSt. in b) berechnet werden? Möglicher Lösungsweg: a) 239,50 . 0,98 = 234,71 € b) Bruttopreis = 239,50 = Nettopreis + MwSt MwSt= 39,92 € c) „Nettopreis durch 5“ I 1-A,B,D Preisschilder Der Lehrling packt die gelieferten Waren aus und muss für die Auslage Preisschilder anfertigen. Sein Chef teilt ihm mit, dass er den Einkaufspreis mit dem Faktor 1,6 multiplizieren muss, um den tatsächlichen Verkaufspreis zu erhalten. a) Um wie viel Prozent hat sich der Einkaufspreis gegenüber dem Verkaufspreis erhöht? b) Wie hoch ist der Verkaufspreis, wenn die Ware im Einkauf € 9,90 kostet? c) Der Lehrling weiß, dass sich der Verkaufspreis aus dem Einkaufspreis, einem Aufschlag und 20% MWSt. zusammensetzt. Er ist neugierig und möchte wissen, wie hoch der Aufschlag für diese Ware ist. Stellen Sie eine Gleichung auf und berechnen Sie den Aufschlag für die Ware in b)! Möglicher Lösungsweg: a) Um 60 % b)15,84€ c) (pE + x ). 1,2 = pV =1,6. pE pE +x = pE . 1,333 Aufschlag ist 33,3% 18 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE I 1-D Theaterkarten ( Prozent) Eine Agentur hat Eintrittskarten zu einer sehr stark nachgefragten Vorstellung gekauft, um diese mit Gewinn wieder zu verkaufen. Leider hat sehr kurzfristig die Hauptdarstellerin abgesagt, sodass die Theaterkarten in ihren Preisen um 50% gefallen sind. Da sehr rasch ein guter Ersatz gefunden wurde, stiegen die Preise der Karten wieder um 50%. Beurteilen Sie die folgenden Aussagen: a) b) c) d) Der Kartenpreis ist nach den Änderungen derselbe wie ursprünglich. Der Kartenpreis beträgt nun 75% des ursprünglichen Preises. Der Kartenpreis ist um ein Viertel gesenkt worden. Der Kartenpreis ist um die Hälfte gestiegen. Möglicher Lösungsweg: Möglicher Lösungsweg: x....Preis pro Karte x . 50% . 150% = x . 75% Antwort b) und c) richtig ODER: Aus dieser grafischen Darstellung ist eindeutig erklärbar, dass Antwort b) und c) richtig sind! I 1-A,B Stehlampe Eine Stehlampe kostet laut Listenpreis € 49,90. Sie wird im Abverkau f um € 29,90 verkauft. Geben Sie den Nachlass in Euro und in Prozent an! Möglicher Lösungsweg: Nachlass: 20 €, 20:49,90 = 0,4 40% werden vom Listenpreis nachgelassen. 19 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE I 1-C,D Finanzberatung Ein Finanzberater rät Ihnen in einen Fond zu investieren. Auf die Frage bzgl. des hohen Risikos der Investition, erklärt der Finanzberater: „Es gibt kein Problem, wenn Sie in einem Jahr einen Verlust von 30% haben, Sie müssen ja nur im nächsten Jahr wieder 30% Gewinn machen.“ Sind Sie gut beraten? Begründen Sie Ihre Überlegungen. Mögliche Lösung: Angenommen es geht um eine Investition von 10.000,-- Euro, dann bedeuten 30% Verlust 3.000,-- Euro. Also sind es nur noch 7.000,-- Euro. Im nächsten Jahr sind 30% von 7.000,-- Euro aber nur mehr 2.100,-- Euro. Daher sind es dann 9.100,-- Euro. D.h. Sie haben einen Verlust von 900,-- Euro und deshalb wurden Sie nicht gut beraten. I 1-B,D Investition Markus investiert 2000 € an der Börse und verliert sofort 30%. Aber glücklicherweise steigen seine Aktien einige Tage später wieder um 40%. a) Argumentieren Sie, ob er mit dieser Entwicklung zufrieden sein kann? b) Wäre es besser gewesen, er hätte zuerst 40% gewonnen und anschließend 30% verloren? Begründen Sie Ihre Antwort. Möglicher Lösungsweg: a) Er kann nicht zufrieden sein. Er hat 40,-- Euro verloren b) Nein es macht keinen Unterschied, weil es egal ist, ob die Rechnung in 2 Schritten oder ohne Zwischenergebnis gerechnet wird und bei der Multiplikation das Kommutativgesetz gilt. I 1-D Mehrwertsteuer Ein PC mit allem Zubehör kostet € 850,- ohne MwSt. Der Verkäufer gewährt 20% Rabatt und rechnet dann die MwSt. dazu. Ist für den Käufer egal, ob zuerst der Rabatt abgezogen und dann die MwSt. dazu kommt oder ob man zuerst die MwSt. und dann den Rabatt berücksichtigt? Möglicher Lösungsweg: 20% Rabatt abgezogen von 850 = 680, davon die Mehrwertsteuer dazu: 816€ 850 € mit MwSt = 1 020, davon 20 % Rabatt abgezogen =816 € Das Ergebnis verändert sich nicht. 20 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE I 1-A Straßensteigung Unter der Steigung einer Straße versteht man das Verhältnis des Höhenunterschieds h, der auf einer waagrechten Entfernung zustande kommt, und dieser waagrechten Entfernung d. Sie wird oft in Prozent (oder auch Promille) angegeben. Fertigen Sie eine Zeichnung an und geben Sie durch eine Rechenanweisung (Formel) an, wie die Steigung in % berechnet wird! Möglicher Lösungsweg: Steigung in % = h 100 d I 1-A,B,D Nahversorgung Um einzukaufen, hat Frau Anderl zwei Möglichkeiten: Sie kauft beim Nahversorger im Ort ein, der allerdings um etwa 20 % teurer ist als ein 10 km weit entfernter Diskonter. Die Fahrtkosten pro km betragen etwa 0,42 €. a) Ab welcher Einkaufssumme wird es billiger sein, zum Diskonter zu fahren? b) Warum kann es trotzdem sinnvoller sein im Ort einzukaufen? Möglicher Lösungsweg: a) Ab einer Einkaufssumme von 42 € ist es beim Diskonter billiger.(8,4 € kostet die Fahrt hin und retour, das muss durch die 20 % Verbilligung aufgehoben werden) b) Man spart Zeit und es ist besser für die Umwelt, wenn man auf die Autofahrt zum Diskonter verzichtet. Außerdem sollte man die örtlichen Nahversorger unterstützen, da sonst die Gefahr besteht, dass dieses Angebot völlig verschwindet. I 1-B,D Aktien Eine Aktie hatte an fünf aufeinanderfolgenden Tagen folgende Kursschwankungen zu verzeichnen: +2,4%, +0,2%, -1,8%, -0,6%, +0,6% Kurswert der Aktie am ersten Tag: 538,00 Ein Aktienbesitzer rechnet folgendermaßen: +2,4 % + 0,2% - 1,8% -0,6% +0,6% = 0,8% a) Sind seine Überlegungen richtig? Begründen Sie! b) Wie hoch ist der Kurswert nach 5 Tagen? Möglicher Lösungsweg: a) Seine Überlegungen sind nicht richtig. Die Prozentsätze dürfen nicht addiert bzw. subtrahiert werden. Richtig wäre x 1,024 1,002 0,982 0,994 1,006 = x . 1,0075 b) Der Kurswert nach fünf Tagen beträgt: 538 1,0075 = 542,058 21 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE I 1-A,B,D Preisnachlass Ein Rechnungsbetrag einer Maschine lautet auf 14.550,-€, wobei ein Preisnachlass von 3% berücksichtigt wurde. a) Geben Sie eine Schätzung des Ausgangswertes ab. b) Überlegen Sie, wie man vorgehen muss, um den ursprünglichen Preis des Artikels zu ermitteln. Möglicher Lösungsweg: a) individuelle Antwort b) x 0,97 14550 => x 15000 Der ursprüngliche Preis der Maschine ist 15000,-€. I 1-A,B,D Fabriksarbeit Die Wochenarbeitszeit eines Fabriksarbeiters/einer Fabriksarbeiterin wird von 40 Stunden auf 37,5 Stunden gesenkt. a) Welche Fragen können durch diesen Umstand den Chef/die Chefin des Unternehmens beschäftigen? b) Bei wie viel Arbeitern muss eine neue Kraft eingestellt werden, um die gleiche Arbeit zu erledigen? c) Welche prozentuelle Lohnerhöhung pro Arbeitsstunde würde dies bei vollem Lohnausgleich bedeuten? d) Aufgrund der angespannten wirtschaftlichen Situation muss der Lohn „entsprechend“ gekürzt werden. Was bedeutet dies für den Arbeitgeber? Begründen Sie Ihre Meinung. Möglicher Lösungsweg: a) Personalsituation, Auftragslage, weniger Arbeit – weniger Lohn b) 37,5=(40-37,5).x x = 15 Bei einem Personalstand von 15 Arbeitern/Arbeiterinnen wird eine neue Kraft benötigt. c) Es sei s der ursprüngliche Stundenlohn und x der neue Stundenlohn: s . 40 = x . 37,5 x = 1,0667s d.h. der neue Lohn bist um 6,67% höher als der ursprüngliche Lohn. d) mögliche Antwort: prozentuelle Angleichung des Lohns an die verkürzte Arbeitszeit, d.h. x 37,5 100 93,75% 40 Der neue Lohn beträgt 93,75% von früher; das sind um 6,25% weniger. 1 1-A,B Umsatz Der Umsatz eines Betriebes betrug im Jahr 2005 4,45 Mio. Euro. In den folgenden drei Jahren 2006 bis 2008 stieg der Umsatz jeweils um 25%, 12% und 18%. 2009 sank der Umsatz um 10%. a) a) Wie hoch war der Umsatz 2006, 2007, 2008 und 2009? 22 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE b) Um wie viel Prozent stieg/fiel der Umsatz insgesamt in der vier Jahren? c) Um wie viel Prozent stieg/fiel der Umsatz in den letzten beiden Jahren? Möglicher Lösungsweg: a) U(2006) = 4,45 Mio . 1,25 = 5,56 Mio U(2007)= 5,56 Mio . 1,12 = 6,23 Mio U(2008)= 6,23 Mio . 1,18 = 7,35 Mio U(2009)= 7,35 Mio. 0,9 = 6,62 Mio Umsätze in Euro. b) 1,25 . 1,12 . 1,18 . 0,09 = 1,4868 oder 6,62 : 4,45 = 1,4868 Antwort: Der Umsatz stieg in den Jahren 2006 bis 2009 um insgesamt 48,68%. c) 1,18.0,09 = 1,062 Antwort: Der Umsatz stieg in den letzten beiden Jahren um 6,2%. Häufiger Fehler: 18% Zuwachs und 10% Abnahme ergeben nicht 8% Zuwachs! I 1-A,D Studienabschluss 60 % der Studierenden eines Lehrgangs sind Mädchen, davon erreichen 90 % einen positiven Abschluss. Welcher der folgenden Terme gibt an, wie viele Mädchen einen positiven Abschluss erreichen, wenn x die Gesamtzahl der Studierenden ist! Begründen Sie Ihre Entscheidung! (Mehrfachlösungen möglich) ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ 0,6 ∙ x 0,54 ∙ x 0,9 ∙ 0,6 ∙ x 0,6 ∙ 0,9 ∙ x 0,9 ∙ x Lösung: 0,9 ∙ 0,6 ∙ x = 0,6 ∙ 0,9 ∙ x = 0,54 ∙ x 23 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE 1 1-C,D Bevölkerung Die beiden Diagramme zeigen die Bevölkerung von 6 EU-Staaten. Lesen Sie aus den Diagrammen Antworten auf die folgenden Fragestellungen ab und fassen Sie anschließend die Vor- und Nachteile der beiden Diagrammtypen zusammen! a) Welches der 6 Länder ist das bevölkerungsreichste Land? b) Wie viele Menschen leben ca. in Italien? c) Ist Italien oder Frankreich bevölkerungsreicher? d) Wie viel Prozent macht ungefähr die Bevölkerung Deutschlands in Bezug auf diese 6 Länder aus? e) Stimmt die Aussage, dass Italien, Spanien, Polen und Österreich gemeinsam etwa die gleiche Bevölkerungszahl haben wie Deutschland und Frankreich? f) Ist es richtig, dass Italien und Spanien gemeinsam etwa 25% der Bevölkerung der 6 Staaten haben? 24 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes-ARGE Möglicher Lösungsweg: a) Deutschland, beide Diagramme gut geeignet b) 59 Mio. Stabdiagramm geeignet, Kreisdiagramm ohne Zahlenangabe ungeeignet c) Frankreich. Stabdiagramm eignet sich besser als Kreisdiagramm ohne Zahlenangabe d) ca. 30 %. Kreisdiagramm zur Abschätzung günstiger. Kreisdiagramm mit Prozentangabe wäre hier am besten. e) Ja. Kreisdiagramm ideal für die Beantwortung dieser Frage. f) Sie haben mehr als 25 % (25% wäre ein Viertel des Kreises). Im Kreisdiagramm gut sichtbar, Stabdiagramm eignet sich nicht. 25
