I-Blatt2_2001 - Fachbereich Wirtschaftswissenschaften

Johann Wolfgang Goethe - Universität
Frankfurt am Main
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Institut für Statistik und Mathematik
Prof. Dr. H. Rommelfanger
MATHEMATIK I FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
2. Übungsblatt
SS 2001
A.
Übungsaufgaben, die nach privater Vorbereitung in den Tutorien besprochen werden.
1.
a. Wie viele verschiedene sechsstellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern der Zahl 471143
bilden?
b. Wie viele Teilnehmer kann ein Telefonnetz haben, wenn nur fünfstellige Telefonnummern
vergeben werden und die Ziffer 0 nicht an erster Stelle stehen darf?
c. Aus wieviel Produkten ij, i, j  {1, 2,..., 9, 10}, besteht das “kleine Einmaleins”, wenn
wegen der Kommutativität der Multiplikation reeller Zahlen die Produkte ij und ji als
gleich angesehen werden?
Lösungshinweis:
2.
a. 180;
b. 90.000;
c. 55.
Bei einer Feier stößt jeder mit jedem der Anwesenden an. Die Gläser erklingen 120 mal. Als
es zum Tanzen geht, sagt jemand: “Wenn jeder Herr mit jeder Dame einmal tanzt, so können
wir insgesamt 60 verschiedene Paare bilden”.
Wieviel Damen und Herren sind anwesend, wenn es mehr Damen als Herren sind?
Lösungshinweis: Es sind 10 Damen und 6 Herren anwesend.
3.
Dipl. Kff. K. Ombinutz findet in ihrem Hotelzimmer im Hotel Sunrise, Hongkong einen
Privatsafe mit einem sechsstelligen Zahlenschloß vor. Bei der Einstellung ihrer privaten
Geheimzahl erinnert sie sich mit Freude an die Mathematik-I-Veranstaltung im 1. Semester
ihres Studiums und spontan fallen ihr die folgenden Fragen ein:
a. Für jede Stelle kann sie eine Ziffer zwischen 1 und 6 wählen. Wieviel Geheimzahlen sind
dann einstellbar, wenn alle Ziffern verschieden sein sollen?
b. Für jede Stelle stehen die Ziffern 0 bis 9 zur Verfügung.
. Wieviele Geheimzahlen sind möglich, wenn jede Ziffer nur einmal vorkommen darf?
. Wieviele Geheimzahlen sind möglich, wenn Ziffern mehrfach vorkommen dürfen?
. Frau Ombinutz stellt ihre Geheimnummern (Typ ) ein und schließt den Safe, um zum
Dinner zu gehen. Als sie nach ihrer Rückkehr ins Hotelzimmer den Safe öffnen will,
bemerkt sie mit Schrecken, daß sie die Geheimnummer vergessen hat. Gott sei Dank,
hatte sie aber die Quersumme dieser Zahl in ihrem Notizbuch vermerkt. Sie lautet 15.
Wieviele Zahlenkombinationen muß Frau Ombinutz maximal ausprobieren, bis sich der
Safe öffnet?
Lösungshinweise:
a. 720;
b. . 151.200, . 1.000.000, . 13.992.
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4.
Die KFZ-Kennzeichen von England bestehen aus einem, zwei oder drei Buchstaben, denen
bis zu vier Ziffern folgen. Wie viele verschiedene Autokennzeichen sind möglich, wenn
Wiederholungen von Buchstaben und Ziffern erlaubt sind, die Zahl 0 aber nicht vergeben
wird?
Lösungshinweis: Möglich sind 182.761.722 Kennzeichen.
5.
a. Wie viele verschiedene vierstellige Autonummern gibt es, deren Quersumme 9 beträgt?
(Die Zahl 1 werde als 0001 geschrieben usw.)
b. Wie viele verschiedene vierstellige Autonummern gibt es, deren Quersumme 18 beträgt?
Lösungshinweis:
6.
a. Aussteuerversicherung;
b. Bank.
Der weiße Nil wurde im Jahre 1958 bei Jebel Aulia durch einen Damm aufgestaut. Die
Wasseroberfläche des Stausees, die im Jahre 1958 nur 12 qkm betrug, wuchs in den nächsten
Jahren jährlich um 50%.
a. Wie groß war die Wasseroberfläche nach einem, nach zwei,..., nach n Jahren?
b. Wieviele Jahre dauerte es, bis die maximal erreichbare Wasseroberfläche von 200 qkm
erreicht war?
Lösungshinweis:
8.
b. 670.
Ein Vater hat zwei Möglichkeiten, sich gegen den Bankrott durch eine frühzeitige Heirat
seiner Tochter finanziell abzusichern:
i. Er zahlt ab 1.1.1976 zu Beginn jeden Monats 50,-- DM bei einer Bank ein. Diese zahlt ihm
12% Zinsen p.a. bei monatlicher Abrechnung.
ii. Er schließt am 1.1.1976 eine Aussteuerversicherung in Höhe von 10.000,-- DM mit einer
Laufzeit von 20 Jahren ab. Er zahlt hierfür eine monatliche Prämie von DM 50,--. Die
Versicherungsgesellschaft rechnet ihm am Ende jeden Jahres 10% der bis dahin insgesamt
gezahlten Prämien als Gewinnanteil an. Die Gewinnanteile werden unverzinst zusammen
mit der Versicherungssumme (am Hochzeitstag) ausbezahlt.
Wie hätte sich der Vater entscheiden sollen,
a. wenn seine Tochter am 31.12.1985 heiratet?
b. wenn seine Tochter am 31.12.1995 heiratet?
Lösungshinweise:
7.
a. 220;
b. 7 Jahre.
Der Geschäftsmann G vereinbart am 1. Januar 1971 mit dem Lieferanten L, eine ausstehende
Geldschuld dadurch zu begleichen, daß er ihm am Ende dieses und der nächsten 11 Jahre
jeweils DM 1.570,-- zahlt. Im Dezember 1975 gewinnt G DM 100.000,-- im Lotto und
beschließt, am Ende dieses Jahres die gesamte Restschuld bar zu bezahlen. Wie hoch ist
dieser Betrag, wenn bei obiger Vereinbarung ein Zinsfuß von 4% p.a. (Zinseszins) zugrunde
gelegt wurde?
Lösungshinweis: Der Geschäftsmann G muß dann Ende Dezember 1975 einen Betrag von
DM 10.993,-- zahlen.
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B.
Weitere Aufgaben für die Tutoren- oder Plenumsübungen und zur privaten
Bearbeitung
9.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, beim Zahlenlotto 6 aus 49
a. 6 Richtige,
b. 5 Richtige mit Zusatzzahl,
c. 5 Richtige ohne Zusatzzahl,
d. 4 Richtige,
e. 3 Richtige zu ziehen?
Lösungshinweise:
e. 1765  10-5.
10.
a. 7,15  10-8;
b. 42,9  10-8;
c. 1,8  10-5;
d. 96,84  10-5;
Für die Werbung eines Produkts kann der Werbetext in drei verschiedenen Schrifttypen, vier
verschiedenen Formaten und fünf verschiedenen Farben präsentiert werden. Wie viele verschiedene Möglichkeiten ergeben sich?
Lösungshinweis: Es gibt 60 Möglichkeiten.
11.
Ein Dominospiel besteht aus Steinen, die mit den Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 beschriftet sind,
und zwar so, daß auf jedem Stein eine Zahlenkombination {i, j} steht. Aus wie vielen Steinen
besteht ein Dominospiel, wenn wir wissen, daß jede Zahlenkombination {i, j}, mit
i, j  {0, 1,..., 6} einmal vorkommt?
Lösungshinweis: Ein Dominospiel besteht aus 28 Steinen.
12.
a. Herr K. Icker sitzt in seinem WM-Fernsehsessel und möchte den Finalsieg seines Teams
mit einem WM-Cocktail begießen. Dazu stehen ihm 7 Grundgetränke (einschließlich
Mineralwasser) zur Verfügung, von denen er aufgrund des begrenzten Glasvolumens nur
maximal 5 Einheiten zusammengießen kann. Dabei können auch mehrere Einheiten desselben Getränkes eingeschenkt werden.
Wie viele verschiedene Getränke (sowohl vom Bestandteil als auch von der Konzentration)
kann er sich mixen, wenn er als passiver Sportler mindestens 2 Einheiten Mineralwasser in
jedem Mix-Cocktail haben will und keine puren Geränke erlaubt sind (Denn dann könnte
er ja gleich aus der Flasche trinken!)?
b. In der Halbzeitpause spielt Herr K. Icker Schach. Dabei will er 8 Bauern so auf dem 88
Felder großen Spielbrett verteilen, daß keiner der Bauern in einer Spalte oder Zeile mit
einem anderen steht. Wieviele verschiedene Möglichkeiten hat er?
c. Bei der großen Hitze in den USA erinnert er sich sehnsüchtig an die kühlen Temperaturen
während der olympischen Winterspiele in Lillehammer. Besonders Biathlon hatte es ihm
angetan, wo mit 5 Schuß 5 nebeneinander aufgestellte schwarze Scheiben fallen sollen.
Dabei erinnert er sich an das folgende Problem:
Wieviele unterscheidbare Möglichkeiten im Trefferbild gibt es, bei denen nach 5 Schuß
mindestens 3 der 5 Scheiben getroffen wurden?
d. Wieviele (auch sinnlose) Wörter können aus dem Begriff “FUSSBALL” gebildet werden,
bei denen das S nicht an erster Stelle stehen darf?
Lösungshinweise:
a. 116;
b. 40.320;
c. 16;
d. 7.560.
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13.
a. Wieviele Tonfolgen aus fünf Tönen mit gleicher Tonlänge lassen sich aus den sechs Tönen
c, d, f, g, a, h bilden, wenn
. jeder Ton nur einmal klingen soll,
. Töne sich wiederholen dürfen?
b. Wieviele fünfstellige Zahlen lassen sich aus drei Ziffern “1” und zwei Ziffern “2” bilden?
Wieviele dieser fünfstelligen Zahlen beginnen mit einer “1”?
Lösungshinweise: a. Es gibt . 720 bzw. . 7776 verschiedene Tonfolgen.
b. Es lassen sich 10 verschiedene Zahlenfolgen bilden, wovon 6 mit einer 1 beginnen.
14.
Herr B. legt ein Kapital von DM 100.000,-- bei einem Zinsfuß von 10% am 1. Januar 1970 an.
Ab 1973 erhält er am Ende jeden Jahres eine Rente von r DM bis zum 31.12.1980. Dann ist
das Kapital aufgebraucht.
Wie groß ist r? Wie groß wäre die Rente, wenn am Ende noch DM 100.000,-- übrig bleiben?
Lösungshinweis: Die Rente beträgt 24.949 DM bzw. 16.204 DM.
15.
Zur Holzgewinnung wurden 1960 eine Schonung mit A = 12.000 m3, 1962 eine mit
B = 13.000 m3 und 1964 eine mit C = 14.000 m3 angelegt. 1970 wurde durch einen
Waldbrand D = 6.000 m3 vernichtet. Wieviel m3 Holz standen 1975 zur Verfügung, wenn
man eine jährliche Zuwachsrate von 5% zugrunde legt?
Lösungshinweis: 65.747 m3.
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