technische universität münchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R . D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT , D R . VANESSA K RUMMECK , DANIELA S CHAFSTADLER
Lineare Algebra I für Lehramt Gymnasium (Wintersemester 2010/11)
— Aufgabenblatt 11 (18. Januar 2011) —
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 66. Basiswechsel konkret.
Gegeben seien die drei Einheitsvektoren e1 , e2 , e3 ∈ R3 sowie drei weitere Vektoren v1 , v2 , v3 ∈ R3 :
 
 
 
 
 
 
1
0
0
1
1
1
e1 = 0 , e2 = 1 , e3 = 0 ,
v1 = 0 , v2 = 1 , v3 = 1 .
0
0
1
1
1
2
1.) Die Standardbasis des R–Vektorraums R3 besteht aus den drei Einheitsvektoren e1 , e2 , e3 ∈ R3 .
Zeigen Sie, dass die Vektoren v1 , v2 , v3 ∈ R3 ebenfalls eine Basis des R3 bilden, und stellen Sie die
Einheitsvektoren e1 , e2 , e3 als Linearkombinationen der Vektoren der Basis (v1 , v2 , v3 ) dar.
 
 
 
6
3
s1





2.) Gegeben seien nun die drei Vektoren p = 3 , q = 2 und s = s2  ∈ R3 .
9
6
s3
Stellen Sie die drei Vektoren p, q und s jeweils
a.) als Linearkombination der Vektoren der Standardbasis S := (e1 , e2 , e3 ) dar und
b.) als Linearkombination der Vektoren der Basis B := (v1 , v2 , v3 ) dar.
Aufgabe 67. Konvexe Hülle.
Eine Menge M ⊂ Rn heißt genau dann konvex, wenn für alle Punkte p, q ∈ M die Verbindungsstrecke
pq = {λp + µq | λ, µ ≥ 0 ∧ λ + µ = 1}
in M liegt.
Die kleinste konvexe Menge, die alle Elemente einer Menge M enthält, heißt konvexe Hülle H(M ) von M .
Zeigen Sie: Für die konvexe Hülle von k Punkten p1 , ..., pk ⊂ Rn , k ∈ N, gilt:
H(p1 , ..., pk ) = {x ∈ Rn | x =
k
X
i=1
λi · pi ∧ λi ≥ 0 ∀i ∧
k
X
i=1
λi = 1}
— Hausaufgaben —
Aufgabe 68. Basis eines Spans von Vektoren.
Gegeben seien folgende Vektoren v1 , v2 , v3 , v4 ∈ R6 mit
 
 

2
5
 4 
 4 

 
 

 6 
 2 





v1 =   , v 2 =   , v 3 = 

 9 
 1 

 2 
 3 

5
6
9
12
14
16
7
13








 , v4 = 






1
2
3
4
1
2




.



1.) Bestimmen Sie eine Basis von Span(v1 , v2 , v3 , v4 ).
2.) Ergänzen Sie die Basis von Span(v1 , v2 , v3 , v4 ) zu einer Basis des R6 .
Aufgabe 69. Linerae Unabhängigkeit von Funktionen im Vektorraum der Funktionen.
Gegeben sei der Vektorraum V := Abb(R, R) := {f : R −→ R}.
1.) Zeigen Sie: Die drei Funktionen f1 : R −→ R mit f1 (x) = 1
f2 : R −→ R mit f2 (x) = sin x
f3 : R −→ R mit f3 (x) = sin(2x)
sind in V linear unabhängig.
für alle x ∈ R,
für alle x ∈ R,
für alle x ∈ R
2.) Zeigen Sie: Die drei Funktionen g1 : R −→ R mit g1 (x) = sin(x)
g2 : R −→ R mit g2 (x) = cos(x)
g3 : R −→ R mit g3 (x) = sin(x + π4 )
sind in V linear abhängig.
für alle x ∈ R,
für alle x ∈ R,
für alle x ∈ R
Hinweis: Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen.
Aufgabe 70. Magische Quadrate.
Eine reelle 3 × 3-Matrix


a11 a12 a13
A = a21 a22 a23 
a31 a32 a33
heißt magisches Quadrat, falls alle Zeilensummen, alle Spaltensummen und die beiden Diagonalsummen
a11 + a22 + a33 und a13 + a22 + a31 miteinander übereinstimmen.
1.) Zeigen Sie, dass die Menge M aller magischen Quadrate ein Untervektorraum von R3×3 bezüglich
der komponentenweisen Matrizenaddition und skalaren Multiplikation mit λ ∈ R ist.
2.) Zeigen Sie, dass die drei Matrizen




1 1 1
1 −1
0
0
1 ,
V1 =  1 1 1  , V2 =  −1
1 1 1
0
1 −1


0
1 −1
0
1 
V3 =  −1
1 −1
0
eine Basis von M bilden.
3.)* Besonders magisch:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Zahlen 1, 2, . . . , 9 in einem magischen Quadrat anzuordnen?
Abgabe der Hausaufgaben:
am Dienstag, 25.01.2011, zu Beginn der Vorlesung - Rückmeldung der Hausaufgabenteams bis Donnerstag,
20.1.2011, 20:00 Uhr.