12 Technik Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie Begriff Berechnung Ortsvektor Vektor mit Anfangspunkt im Koordinatenursprung: Addition zweier Vektoren Die Komponentenwerte der Vektoren a und b werden einzeln addiert, das Er- æa ö æb ö çç 1 ÷÷ çç 1 ÷÷ ÷ ç OA = ça 2 ÷÷ ; OB = ççb 2 ÷÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çèb 3 ø÷ èça 3 ÷ø a1 b 1 a1 b 1 a b a2 b2 a2 b2 c a b a b 3 3 3 3 gebnis ist ein Vektor c . Verbindungsvektor zwischen den Punkten A und B Spitze Minus Fuß b a b a1 1 1 1 AB OB OA b 2 a 2 b 2 a 2 b a b a 3 3 3 3 Betrag eines Vektors Die Quadrate der Komponentenwerte werden addiert und dann wird die Wurzel gezogen. (Dreidimensionaler Pythagoras) 2 2 2 AB = (b1 - a1) + (b 2 - a 2 ) + (b 3 - a 3 ) Einheitsvektor a0 Vektor mit der Länge 1. S- Multiplikation a12 1 a2 2 a3 2 a1 a2 a 3 a1 a a2 a 3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar λ : Die Koordinatenwerte des Vektors werden einzeln multipliziert, das Ergebnis ist ein Vektor. a a12 a 2 2 a 3 2 Es gilt: a a (kollineare Vektoren) b a abhängig ab a und b linear Mittelpunkt einer Strecke [AB] 1 OM OA OB 2 Schwerpunkt eines Dreiecks ABC 1 OS OA OB OC 3 1/8 12 Technik Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie Begriff Berechnung Skalarprodukt a1 b1 a b a2 b2 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b 3 3 Summe aus dem Produkt der einzelnen Komponentenwerte, das Ergebnis ist eine skalare Größe. a b a b cos a , b Winkel zwischen zwei Vektoren Anwendung des Skalarproduktes Senkrechte Vektoren ab Winkelhalbierender Vektor Diagonale Vektoren in der Raute, die von a b arccos a b a b 0 w1 b a und w 2 b a a und b aufgespannt wird. Projektion Vektor b auf Vektor a ba Vektor in Richtung von a mit Länge der Projektion Vektorprodukt oder Kreuzprodukt Berechnung bestimmter Unterdeterminanten, das Ergebnis ist ein Vektor. a b a 2 a a1 a b a2 a 3 a b a b sin a , b Betrag des Vektorproduktes: Fläche eines Parallelogramms Die linear unabhängigen Vektoren F a b Vektoren a und b erzeugen ein Parallelogramm. Fläche eines Dreiecks Die linear unabhängigen Vektoren b1 a2 b3 a3 b2 b2 a3 b1 a1 b3 b a b a b 2 1 3 1 2 F a und b erzeugen ein Dreieck. 2/8 1 ab 2 12 Technik Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie Begriff Berechnung Spatprodukt Die linear unabhängigen Vektoren a , b a2 b3 a3 b2 c1 P a b c a 3 b1 a1 b 3 c 2 a b a b c 1 2 3 2 1 und c erzeugen einen Spat. Das Ergebnis ist eine skalare Größe. (a 2 b 3 a 3 b 2 ) c 1 (a 3 b1 a1 b 3 ) c 2 (a1 b 2 a 2 b1 ) c 3 P 0 a , b und c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Determinante Spatprodukt a1 b1 c1 a2 b2 c 2 = (-1)1+3 ⋅ c 1 ⋅ a3 b3 c3 +(-1) 2+3 ⋅ c 2 ⋅ Volumen eines Spats (Parallelepiped) a1 b1 a3 b3 1 ⋅ a´b c 3 Volumen einer Pyramide mit Dreieck als Grundfläche VTetraeder = 1 ⋅ a´b c 6 Sind die zwei Vektoren a und b a b linear abhängig? linear abhängig? a b a1 b1 a2 b2 1 ⋅ a´b c 2 VP yramide = b3 Volumen einer Pyramide mit Viereck als Grundfläche Sind die drei Vektoren a , b und c a3 VSpat a b c VPr isma = b2 + (-1)3+3 ⋅ c 3 ⋅ Volumen eines Prismas mit Dreieck als Grundfläche a2 linear unabhängig linear abhängig a b c 0 linear unabhängig a b c 0 linear abhängig 3/8 12 Technik Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie Begriff Eintrag der Vektoren in eine Matrix: Linearkombination Berechnung v 1 a 2 b 3 c a1 b1 a2 b 2 a b 3 3 c1 c2 c3 v1 v2 v 3 Lösen mit Gauß Stellen drei Vektoren eine Basis des IR3 dar? Ja, wenn die Vektoren linear unabhängig sind. Basis-Dreibein des geometrischen Anschauungsraumes: 1 e1 0 ; 0 Lösungen eines linearen (nxn)Gleichungssystems Gleichungssystem auf Dreiecksform bringen: genau eine Lösung unendlich viele Lösungen mit einem freien Parameter unendlich viele Lösungen mit zwei freien Parametern keine Lösung a23 a33 b1 b2 b3 a13 a23 0 b1 b2 0 Rg(A) Rg(A erw ) n 2 1 a11 a12 0 0 0 0 a13 Rg(A) Rg(A erw ) n 1 2 a11 a12 0 a22 0 0 0 e3 0 1 Rg(A) Rg(A erw ) n 3 a11 a12 0 a22 0 0 0 e2 1 ; 0 a13 0 0 b1 0 0 Rg(A) Rg(A erw ) a11 a12 0 a22 0 0 4/8 a13 a23 0 b1 b2 b3 12 Technik Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie Frage Geradengleichungen Lösung Punkt und Richtung g : x OA u Zwei Punkte A und B g : x OA AB Ebenengleichungen E : x OA u v Parameterform Normalenform E : n x OA 0 mit n u v Koordinatenform a E : a x1 b x 2 c x 3 d 0 mit n b c Spurpunkte von Geraden x1 a1 u1 g : x 2 a 2 u2 x a u 3 3 3 Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene: x1 0 a1 u1 0 1 Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene: x 2 0 a 2 u2 0 2 a2 u2 Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene: x 3 0 a3 u3 0 3 a3 u3 Lage von Geraden zueinander parallel Richtungsvektoren sind linear abhängig und keine gemeinsamen Punkte. identisch a1 u1 u v mit IR und A g A h Richtungsvektoren sind linear abhängig und der Aufpunkt der einen Geraden liegt in der anderen Geraden. ug v h mit IR und A g A h schneiden sich Gleichsetzen und Schnittpunkt bestimmen ug v h und g h windschief Nicht parallel und schneiden sich nicht ug v h und g h oder direkter Nachweis: u v AB 0 5/8 12 Technik Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie Frage Lösung Besondere Lage von Ebenen parallel zur x1-Achse es fehlt die x1-Koordinate E : b x2 c x3 d 0 parallel zur x2-Achse es fehlt die x2-Koordinate E : a x1 c x 3 d 0 parallel zur x3-Achse es fehlt die x3-Koordinate E : a x1 b x 2 d 0 parallel zur x1-Achse und zur es fehlen die x1- und die x2-Koordinate E : c x3 d 0 es fehlen die x1- und die x3-Koordinate x2-Achse, also parallel zur x1x2-Ebene parallel zur x1-Achse und zur E : b x2 d 0 x3-Achse, also parallel zur x1x3-Ebene parallel zur x2-Achse und zur E : a x1 d 0 x3-Achse es fehlen die x2- und die x3-Koordinate parallel zur x2x3-Ebene Spurpunkte einer Ebene (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) S(s / 0 / 0) ; T(0 / t / 0) ; U(0 / 0 / u) Schnittpunkt mit der x1-Achse: x 2 0 x 3 0 a x1 d 0 x1 d a Schnittpunkt mit der x2-Achse: x1 0 x 3 0 b x 2 d 0 x 2 d b Schnittpunkt mit der x3-Achse: x1 0 x 2 0 c x 3 d 0 x 3 d c Achsenabschnittsform E: x1 x 2 x3 1 s t u 6/8 12 Technik Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie Frage Winkelberechungen zwischen zwei Vektoren Lösung u v cos() u v auch stumpfer Winkel möglich zwischen zwei Geraden spitzer Winkel zwischen den Richtungsvektoren u v cos() u v zwischen zwei Ebenen spitzer Winkel zwischen den Normalenvektoren cos( ) nE nF nE nF zwischen Ebene und Gerade spitzer Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem Richtungsvektor der Geraden wird berechnet, gesucht ist der Gegenwinkel 90 , also: sin ug nE ug nE Schnittpunkt Gerade mit Ebene g: x a u E : n1 x1 n2 x 2 n3 x 3 c 0 Allgemeinen Geradenpunkt in Koordinatengleichung der Ebene einsetzen, die entstehende Gleichung nach dem Parameter S auflösen, in Geradengleichung einsetzen: Schnittpunkt OS OA S u , S(s1 / s2 / s3 ) ; Bestimmung des Lotfußpunktes L( l1 / l2 / l3 ) eines Punktes P p1 / p2 / p3 auf eine Gerade g: g: x OA u Allgemeiner Lotfußpunkt auf der Geraden g: a u1 a1 u1 p1 1 OL a2 u2 ; PL a2 u2 p2 a u a u p 3 3 3 3 3 PL seht senkrecht auf g PL u 0 ... L( l1 / l2 / l3 ) Bestimmung des Lotfußpunktes L( l1 / l2 / l3 ) eines Punktes Aufstellen der Lotgeraden h durch P senkrecht E: h : x OP nE E : a x1 b x 2 c x 3 d 0 Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene bestimmen. P p1 / p2 / p3 auf eine Ebene E: 7/8 12 Technik Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie Frage Abstand Punkt – Ebene Lösung Lotfußpunkt L berechnen, Abstand = Länge des Verbindungsvektors der Punkte P und L. d PL siehe Abstand Punkt – Ebene Abstand Gerade – Ebene Ebene und Gerade sind parallel (am besten den Aufpunkt verwenden) zueinander Abstand Punkt – Gerade Über die Dreiecksfläche: Wähle zwei Punkt A und B auf g und berechne PA PA d AB Oder: Berechnung des Lotfußpunktes auf g d PL Spiegelpunkte Spiegelpunkt P* eines Punktes P zu Berechnung des Lotfußpunktes L einer Geraden g. OP OP 2 PL Spiegelpunkt P* eines Punktes P zu Berechnung des Lotfußpunktes L einer Ebene E. OP OP 2 PL Bestimmung der Spiegelgeraden gs: Bestimmung des Schnittpunktes S der Geraden mit der Ebene E. Bestimmung des Spiegelpunktes P* eines beliebigen Punktes P auf der Geraden. gs : x OS PS Projektion einer Geraden g in eine Ebene E: Schnittpunkt S der Geraden g mit der Ebene E bestimmen, Lotfußpunkt L eines Geradenpunktes bestimmen: Projektionsgerade gp : x OS LS Schnittgerade zweier Ebenen Beide Ebenen in Koordinatenform gegeben Eine Ebene in Koordinatenform, eine Ebene in Parameterform Beide Ebenen in ein Gaußsystem eintragen, eine Nullzeile hinzufügen und lösen. Die Ebenen in einander einsetzen, ein Parameter in Abhängigkeit des anderen ausdrücken und in die Ebene in Parameterform einsetzen, zusammenfassen, Geradengleichung. 8/8
